04 - O Paradoxo de Bertrand e Exercícios

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Observação 5 (Paradoxo de Bertrand) O Paradoxo de Bertrand nos mostra
que não existe um único modelo de Probabilidade para um dado experimento, se
a gênese do fenômeno não é conhecida. Vejamos o paradoxo:
Seja um triângulo equilátero inscrito num círculo unitário. Uma corda do círculo
é selecionada aleatoriamente. Qual a probabilidade de que a corda seja maior que o
lado do triângulo?
Modelo 1: A corda é obtida através da seleção aleatória de dois pontos da
circunferência. Então p = 1
3
.
Modelo 2: Um ponto é escolhido aleatoriamente sobre um diâmetro do círculo.
A corda é obtida pela perpendicular ao diâmetro que passa pelo ponto. Então p = 1
2
.
Modelo 3: Um ponto é escolhido aleatoriamente do círculo. A corda é con-
struída tendo o ponto selecionado como seu ponto médio. Então p = 1
4
.
12
Vejamos os seguintes exemplos para aplicação dos resultados obtidos.
Exemplo 10 Suponha que dois dados sejam lançados. Qual a probabilidade de que
a soma dos números seja par?
Exemplo 11 5 bolas brancas e 3 bolas vermelhas são retiradas aleatoriamente de
uma urna. Qual a probabilidade de que a primeira e a última bolas sejam brancas?
Qual a probabilidade de que a primeira e a última bolas tenham cores diferentes?
Exemplo 12 Um ponto é selecionado do círculo unitário. Qual a probabilidade de
se selecionar um ponto no setor angular de 0 a
�
4
radianos?
Exemplo 13 Sete pessoas entram juntas num elevador no andar térreo de um ed-
ifício de 10 andares. Suponha que os passageiros saiam independentemente e de
maneira aleatória com cada andar (1; 2; :::; 10) tendo a mesma probabilidade de ser
selecionado. Qual a probabilidade de que todos saiam em andares diferentes?
Exemplo 14 Numa sala há n alunos (n � 365). Qual a probabilidade de haver dois
ou mais alunos com a mesma data de aniversário (dia e mês idênticos)?
Exemplo 15 Em uma sala, 10 pessoas estão usando emblemas numerados de 1 a
10. Três pessoas são escolhidas ao acaso e convidadas a se retirarem simultanea-
mente. Os números dos emblemas são registrados. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de que o menor número seja 5?
(b) Qual a probabilidade de que o maior número seja 5?
Exemplo 16 Da população canadense 30% são da província de Quebec, 28% falam
francês e 24% são de Quebec e falam francês. Escolhido ao acaso um canadense,
qual a probabilidade de:
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(a) ser de Quebec ou falar francês?
(b) não ser de Quebec nem falar francês?
(c) falar francês mas não ser de Quebec?
Exemplo 17 Se quatro dados são lançados, qual a probabilidade de que os quatro
números sejam diferentes?
Exemplo 18 Qual a probabilidade de se ganhar a sena com um único cartão e
jogando apenas 6 números? E a quina? E a quadra?
Exemplo 19 Uma caixa contém 2n sorvetes, n do sabor A e n do sabor B. De um
grupo de 2n pessoas, a < n preferem o sabor A, b < n o sabor B e 2n� (a+ b) não
têm preferência. Se os sorvetes são distribuídos ao acaso, qual a probabilidade de
que a preferência de todas as pessoas seja respeitada?
Exemplo 20 Se P (E) = 0; 9 e P (F ) = 0; 8, mostre que P (E \F ) � 0; 7. Em geral
mostre que
P (E \ F ) � P (E) + P (F )� 1.
Este resultado é conhecido como a desigualdade de Bonferroni.
Exemplo 21 Suponha que n homens presentes numa festa joguem seus chapéus no
centro da sala. Em seguida cada homem de olhos vendados seleciona um chapéu.
Mostre que a probabilidade de que nenhum dos n homens selecione o seu próprio
chapéu é
1
2!
�
1
3!
+
1
4!
� :::+
(�1)n
n!
.
O que acontece quando n!1?
Exemplo 22 Um baralho tem 52 cartas. Estas cartas consistem de 4 naipes chama-
dos paus, ouros, copas e espadas. Cada naipe tem 13 cartas com os símbolos 2, 3, 4,
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..., 10, J, Q, K, A. Uma mão de pôquer consiste de 5 cartas extraídas do baralho, sem
reposição e sem consideração de ordem. Considera-se que constituem seqüências as
mãos do seguinte tipo: A, 2, 3, 4, 5; 2, 3, 4, 5, 6;...; 10, J, Q, K, A. Determine a
probabilidade de se extrair:
(a) um Royal Flush ((10, J, Q, K, A) do mesmo naipe).
(b) um Straight Flush (cinco cartas do mesmo naipe em seqüência).
(c) um Four (valores da forma (x, x, x, x, y) onde x e y são distintos).
(d) um Full House (valores da forma (x, x, x, y, y) onde x e y são distintos).
(e) um Flush (cinco cartas do mesmo naipe).
(f) um Straight (cinco cartas em seqüência, sem consideração de naipes).
(g) uma Trinca (valores da forma (x, x, x, y, z) onde x, y e z são distintos).
(h) Dois pares (valores da forma (x, x, y, y, z) onde x, y e z são distintos).
(i) um par (valores da forma (x, x, y, z, w) onde x, y, z e w são distintos).
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