02 - Introdução às Probabilidades

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Capítulo 1
Probabilidade
1.1 De�nições e Resultados Básicos da Teoria das
Probabilidades
Suponha que vamos realizar um experimento cujo resultado não pode ser predito
de antemão. Entretanto, suponha que saibamos todos os possíveis resultados de
tal experimento. Este conjunto de todos os resultados possíveis, que denotaremos
por 
, é chamado de espaço amostral do experimento. Assim, temos a seguinte
de�nição:
De�nição 1 O conjunto 
 de todos os resultados possíveis de um determinado ex-
perimento é chamado de espaço amostral.
Exemplo 1 Se o experimento consiste em lançar uma moeda, então 
 = fCa;Cog,
onde Ca é �cara� e Co é �coroa�.
Exemplo 2 Se o experimento consiste em lançar um dado e observar a face supe-
rior, então 
 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g.
Exemplo 3 Se o experimento consiste em lançar duas moedas, então
 = f(Ca;Ca); (Ca;Co); (Co;Ca); (Co;Co)g, onde o resultado (a; b) ocorre se a
face da primeira moeda é a e a face da segunda moeda é b.
2
Exemplo 4 Se o experimento consiste em lançar dois dados e observar as faces
superiores, então
 =
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
(1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6)
(2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)
(3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)
(4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)
(5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6)
(6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)
9
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
;
onde o resultado (i; j) ocorre se a face i aparece no primeiro dado e a face j no
segundo dado.
Exemplo 5 Se o experimento consiste em medir a vida útil de um carro, então um
possível espaço amostral consiste de todos os números reais não-negativos, isto é,
 = [0;1).
De�nição 2 Qualquer subconjunto A do espaço amostral 
, isto é A � 
, ao qual
atribuímos uma probabilidade, é dito um evento aleatório.
Obviamente, como ? � 
 e 
 � 
 os conjuntos ? e 
 são eventos aleatórios. O
conjunto vazio ? é denominado evento impossível e o conjunto 
 é denominado
evento certo. Se ! 2 
 o evento f!g é dito elementar (ou simples).
De�nição 3 Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos ou incom-
patíveis se A \B = ?.
Observação 1 É importante saber traduzir a notação de conjuntos para a lin-
guagem de eventos: A [ B é o evento �A ou B�; A \ B é o evento �A e B� e
Ac é o evento �não A�.
Observação 2 (Concepção Errônea) Um dos equívocos comumente observado é
o estabelecimento de uma relação um a um do experimento com o espaço amostral
associado. É preciso ter em mente que para todo experimento é possível estabelecer
3
uma in�nidade de espaços amostrais, todos legítimos, pois o espaço amostral deve
ser o conjunto que contém todos os resultados possíveis, mas não há necessidade
de que este seja minimal. Assim, se o experimento consiste em lançar um dado
e se observar a sua face superior, podemos ter 
1 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g, 
2 = N e
3 = (0;1) como espaços amostrais legítimos para esse experimento. Em todos
eles basta atribuir a probabilidade de 1
6
para os pontos 1; 2; 3; 4; 5 e 6 e probabilidade
nula para os demais pontos se houver. Claro que não há necessidade de se pecar por
excesso, se podemos reconhecer o espaço amostral mínimo, mas isso nem sempre
é possível, como o exemplo 5, que se presta a vários possíveis espaços amostrais e
nesse caso pecaremos por excesso e deixaremos a medida de probabilidade fazer o
trabalho de de�nir pontos (ou regiões) de maior e menor probabilidade.
É preciso lembrar também que toda escolha do espaço amostral induz uma medida
de probabilidade diferente. Por exemplo, se temos uma urna com três bolas brancas
e 2 bolas vermelhas e o experimento consiste em se retirar uma bola e registrar a sua
cor, então poderíamos ter os seguintes espaços amostrais, dentre outros possíveis:
1 = fb; vg e 
2 = fb1; b2; b3; v1; v2g. No primeiro espaço amostral, estaríamos con-
siderando as bolas pretas e vermelhas indistinguíveis entre si e assim o ponto b teria
3
5
de chance e o ponto v teria 2
5
de chance, ou seja, um espaço amostral de elemen-
tos não equiprováveis. No segundo espaço amostral, estaríamos considerando todas
as bolas como distinguíveis e, nesse caso, cada ponto tem a mesma probabilidade
1
5
, construindo assim um espaço amostral de elementos equiprováveis. Portanto, se
o evento for "retirar uma bola branca", então esse evento será dado por fbg pelo
espaço amostral 
1, e fb1; b2; b3g pelo espaço amostral 
2. No entanto, ambos terão
a mesma chance de 3
5
.
4
1.1.1 De�nição e Propriedades das Probabilidades
Há várias interpretações da probabilidade. Discutiremos as três mais correntes:
(Clássica) Baseia-se no conceito de equiprobabilidade, ou seja, de resultados equiprováveis.
Seja A um evento e 
 o espaço amostral �nito, então
P (A) =
jAj
j
j
onde jAj é a cardinalidade de A e j
j a cardinalidade de 
.
Vemos, portanto, que esta de�nição de probabilidade presupõe que todos os
elementos de 
 são igualmente prováveis, ou seja, têm o mesmo peso. Este é o caso
por exemplo de um dado equilibrado.
Esta forma de de�nir a probabilidade é também conhecida pelo nome de probabil-
idade de Laplace, em homenagem ao astrônomo e matemático francês Pierre-Simon
Laplace, que estabeleceu, de uma maneira sistemática e rigorosa, os princípios e
propriedades desta forma de calcular probabilidades.
Exemplo 6 Sete pessoas entram juntas num elevador no andar térreo de um ed-
ifício de 10 andares. Suponha que os passageiros saiam independentemente e de
maneira aleatória com cada andar (1; 2; :::; 10) tendo a mesma probabilidade de ser
selecionado. Qual a probabilidade de que todos saiam em andares diferentes?
(Freqüentista) Baseia-se na freqüência relativa de um �número grande� de realizações inde-
pendentes do experimento. Seja A um evento, então
P (A) = lim
n!1
nA
n
onde nA é o número de ocorrências do evento A em n realizações.
5
Observação 3 O limite acima não pode ser entendido como um limite matemático,
pois dado " > 0 não há garantia de que existe n0 2 N tal que para todo n � n0 se
tenha
�
�
�
P (A)�
nA
n
�
�
�
< ".
É improvável que
�
�
�
P (A)�
nA
n
�
�
�
� " para n � N (grande), mas pode acontecer.
Outra di�culdade do conceito freqüentista é que o experimento nunca é realizado
in�nitas vezes, logo não há como avaliar a probabilidade de forma estrita.
Exemplo 7 (Discussão em sala de aula) Suponha a seguinte situação: Você está
participando de um programa televisivo chamado "Porta da Felicidade", da seguinte
forma: O apresentador do programa lhe mostra três portas, uma das quais esconde
um carro como prêmio e as outras duas não oferecem nada e o colocam fora do jogo.
O que acontece? Você escolhe uma porta e o apresentador abre uma outra porta
vazia não escolhida por você. Assim, ainda há a chance de você ganhar o carro.
Mas agora lhe é oferecida a oportunidade de mudar de porta! O que você deve fazer
para maximizar a chance de acerto? Ficar com a mesma porta escolhida; mudar
para a outra porta; ou qualquer das duas estratégias, por ser indiferente? Analise a
estratégia ótima à luz do conceito frequentista de probabilidade.
(Subjetiva) Baseia-se em crenças e/ou informações do observador a respeito do fenômeno
em estudo. Neste caso a probabilidade de um evento depende do observador,
isto é, do que o observador conhece sobre o fenômeno em estudo. Pode pare-
cer um tanto informal para uma de�nição de probabilidade de um evento. No
entanto, em muitas situações é necessário recorrer a um especialista para ter
pelo menos uma ideia vaga de como se comporta o fenômeno de nosso inter-
esse e saber se a probabilidade de um evento é alta o baixa. Por exemplo,
6
qual é a probabilidade de que o Vasco ganhe o próximo campeonato? Cer-
tas circunstâncias internas do time, as condições do time rival ou qualquer
outra condição externa, são elementos que só algumas pessoas conhecem e que
poder¬am nos dar uma ideia mais exata desta probabilidade. Esta forma sub-
jetiva de atribuir probabilidades aos diferenteseventos deve, entretanto, ser
consistente com uma série de regras naturais que estudaremos adiante.
Exemplo 8 Por exemplo, seja o evento C �chove em Moscou�.
Então, para alguém no Rio de Janeiro, sem qualquer conhecimento prévio, podemos
ter a seguinte avaliação: P (C) = 0; 5.
Já para alguém de São Petersburgo, podemos ter: P (C) = 0; 8, se chove em São
Petersburgo e P (C) = 0; 2, se não chove em São Petersburgo.
Finalmente, para alguém de Moscou, tem-se: P (C) = 1, se está chovendo em
Moscou e P (C) = 0, se não está chovendo em Moscou.
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