03 - Base Axiomática das Probabilidades

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(Axiomática) Na de�nição axiomática da probabilidade não se estabelece a forma explícita
de calcular as probabilidades, mas unicamente as regras que o cálculo das
probabilidades deve satisfazer. Três postulados ou axiomas para a Teoria das
Probabilidades foram estabelecidos em 1933 pelo matemático russo Andrey
Nikolaevich Kolmogorov.
Não nos preocuparemos com o problema de como de�nir probabilidade para cada
experimento. Assentaremos a base axiomática da teoria das probabilidades tal como
foi erigida por Kolmogorov, responsável pela base matemática sólida da teoria.
Seja 
 um espaço amostral e A um subconjunto de 
. Uma medida de proba-
bilidade P é uma aplicação de argumento A tendo os seguintes axiomas:
A1) P (A) � 0.
A2) P (
) = 1.
A3) (Aditividade �nita) Se A1; A2; :::; An � 
 são disjuntos dois a dois, isto é,
Ai \ Aj = ? para todo i 6= j, então P
�
n
[
i=1
Ai
�
=
n
X
i=1
P (Ai).
Uma função P satisfazendo os Axiomas 1, 2 e 3 é chamada probabilidade �ni-
tamente aditiva. Entretanto, no curso formal de Probabilidade você verá que,
para dar conta dos problemas reais de Probabilidade, será mais conveniente
supor �-aditividade:
A3�) Se A1; A2; ::: � 
 são disjuntos dois a dois, então P
�
1
[
i=1
Ai
�
=
1
X
i=1
P (Ai).
Com base nos axiomas de probabilidade, pode-se demonstrar os seguintes teore-
mas:
Teorema 1 P (?) = 0.
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Prova. (Em aula.)
Observação 4 (Concepção Errônea) Sabemos agora que se A = ? então P (A) =
0. No entanto, a recíproca não é verdadeira, isto é, P (A) = 0 não implica neces-
sariamente que A = ?! Um evento pode ter probabilidade nula e não ser impossível.
Da mesma forma, sabemos pelo Axioma 2 que se A = 
 então P (A) = 1. No
entanto um evento pode ter probabilidade 1 e não ser o evento certo 
. É o que
chamamos em probabilidade de um evento quase-certo.
Vejamos o exemplo a seguir para ilustrar esses fatos.
Exemplo 9 Um experimento consiste em se selecionar um ponto aleatoriamente do
círculo de raio unitário centrado na origem. Então
 =
�
! = (x; y) : x2 + y2 � 1
	
Como todo ponto é aleatoriamente escolhido, a probabilidade de um ponto cair numa
região do círculo deveria ser a razão entre a área dessa região e a área do círculo
unitário. Assim, se A � 
, temos
P (A) =
SA
�
,
com SA a área da região de�nida pelos pontos de A. Mas então, todo evento ele-
mentar desse espaço amostral tem probabilidade nula, pois se A = f(a; b)g, então
SA = 0, e consequentemente
P (A) =
0
�
= 0.
No entanto A 6= ?. Além disso, observe que todo experimento terá como um resul-
tado um ponto do círculo unitário, que tinha probabilidade nula antes de ele ocorrer.
Portanto eventos de probabilidade 0 não são necessariamente eventos impossíveis!
9
Seja agora o evento B como sendo o conjunto de pontos do círculo unitário tais
que a abscissa é diferente da ordenada, isto é, B = f! = (x; y) : x2 + y2 � 1 e x 6= yg.
Naturalmente B é subconjunto próprio de 
. Mas
P (B) =
SB
�
=
�
�
= 1,
pois SB (a área da região de�nida pelos pontos de B) equivale à área de 
. Assim
B é um evento quase-certo, pois embora possamos obter um ponto do tipo (a; a) que
não satisfaz ao evento B, a chance de isso ocorrer é nula.
Teorema 2 Para todo A � 
, temos P (Ac) = 1� P (A).
Prova. (Em aula.)
Teorema 3 Para todo A � 
, temos 0 � P (A) � 1.
Prova. (Em aula.)
Teorema 4 Sejam A e B � 
. Se A � B, então
(a) P (B � A) = P (B)� P (A);
(b) P (A) � P (B).
Prova. (Em aula.)
Teorema 5 Sejam A e B � 
. Então P (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B).
Prova. (Em aula.)
Teorema 6 Sejam A, B e C eventos aleatórios. Então P (A [ B [ C) = P (A) +
P (B) + P (C)� P (A \B)� P (A \ C)� P (B \ C) + P (A \B \ C).
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Prova. (Em aula.)
O que o teorema acima nos informa é que a probabilidade da união de três even-
tos é dado pela soma das probabilidades da ocorrência individual deles, retirada da
soma das probabilidades de ocorrerem dois a dois e somada com a chance de eles
ocorrerem concomitantemente. O resultado acima, conhecido como o Princípio da
Inclusão e Exclusão da Probabilidade, pode ser generalizado para n eventos. As-
sim, a probabilidade da união de n eventos será dada pela soma das probabilidades
individuais, menos a soma das probabilidades dois a dois, mais a soma das probabili-
dades dos eventos tomados três a três, menos a soma das probabilidades dos eventos
tomados quatro a quatro, e assim por diante. Assim, quando temos um número par
de eventos a fórmula termina com uma diferença; se o número de eventos é ímpar,
a fórmula termina com uma soma. Em outras palavras, sejam A1; A2; :::; An � 
.
Então
P
�
n
[
i=1
Ai
�
=
n
X
i=1
P (Ai)�
X
i<j
P (Ai \ Aj) +
X
i<j<k
P (Ai \ Aj \ Ak)
�
X
i<j<k<l
P (Ai \ Aj \ Ak \ Al) + :::+ (�1)
n+1P (A1 \ A2 \ ::: \ An)
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