05 - Probabilidade Condicional - Teoremas da Probabilidade Total e de Bayes

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1.1.2 Probabilidade Condicional
De�nição 4 Seja 
 um espaço amostral. Se B � 
 e P (B) > 0, a probabilidade
condicional de A dado B é de�nida por
P (A j B) =
P (A \B)
P (B)
, A � 
. (1.1)
Note que P (A j B), A � 
, é realmente uma probabilidade (veri�que os ax-
iomas!). Conseqüentemente as propriedades de probabilidade são mantidas, por
exemplo,
P (Ac j B) = 1� P (A j B).
Exemplo 23 Certo experimento consiste em lançar um dado equilibrado duas vezes,
independentemente. Dado que os dois números sejam diferentes, qual é a probabili-
dade condicional de
(a) pelo menos um dos números ser 6;
(b) a soma dos números ser 8?
Teorema 7 Sejam A;B � 
 com P (A) > 0 e P (B) > 0. Então
P (A \B) = P (B):P (A j B)
= P (A):P (B j A)
Prova. (Em aula.)
Teorema 8 (a) P (A \B \ C) = P (A):P (B j A):P (C j A \B).
(b) P (A1 \ A2 \ ::: \ An) = P (A1):P (A2 j A1):P (A3 j A1 \ A2):::P (An j A1 \
A2 \ :::An�1), para todo A1; A2; :::; An � 
 e para todo n = 2; 3; :::.
Prova. (Em aula.)
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Exemplo 24 Selecionar três cartas sem reposição ao acaso. Qual a probabilidade
de se retirar 3 reis. (Use o teorema acima para resolver o problema e compare com
o uso da análise combinatória.)
De�nição 5 Seja 
 um conjunto não-vazio. Uma partição de 
 é uma família de
conjuntos A1, A2, ..., An tais que
(i)
n
[
i=1
Ai = 
(ii) Ai \ Aj = ?, para todo i 6= j.
Ou seja, os conjuntos A1, A2, ..., An são disjuntos dois a dois e a sua união é
o conjunto 
. Dizemos também que 
 foi particionado pelos conjuntos A1, A2, ...,
An.
Para todo evento B � 
 temos
B =
n
[
i=1
(Ai \B) .
Como os Ai são disjuntos, então os Ci = Ai\B são disjuntos. Com isto podemos
demonstrar os seguintes teoremas:
Teorema 9 (Teorema da Probabilidade Total) Se a seqüência (�nita ou enu-
merável) de eventos aleatórios A1, A2, ...formar uma partição de 
, então
P (B) =
X
i
P (Ai):P (B j Ai) (1.2)
para todo B � 
.
Prova. (Em aula.)
Teorema 10 (Fórmula de Bayes) Se a seqüência (�nita ou enumerável) de even-
tos aleatórios A1, A2, ... formar uma partição de 
, então
P (Ai j B) =
P (Ai)P (B j Ai)X
j
P (Aj):P (B j Aj)
. (1.3)
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Prova. (Em aula.)
Exemplo 25 Seja uma caixa contendo 3 moedas: duas honestas e uma de duas
caras. Retirar uma moeda ao acaso e jogá-la. Qual a probabilidade condicional da
moeda ter sido a de duas caras, dado que o resultado �nal foi cara?
Exemplo 26 Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O
Fluminense ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade de 0,4; e em
um dia sem chuva com a probabilidade de 0,6. Se ganhou um jogo em novembro,
qual a probabilidade de que choveu nesse dia?
Exemplo 27 Pedro quer enviar uma carta à Marina. A probabilidade de que Pedro
escreva a carta é de 0,80. A probabilidade de que o correio não a perca é de 0,9. A
probabilidade de que o carteiro a entregue é de 0,9. Dado que Marina não recebeu a
carta, qual é a probabilidade de que Pedro não a tenha escrito?
Exemplo 28 Uma moeda é lançada. Se ocorre cara, um dado é lançado e o seu
resultado é registrado. Se ocorre coroa, dois dados são lançados e a soma dos pontos
é registrada. Qual a probabilidade de ser registrado o número 2?
Exemplo 29 Suponha que temos 4 cofres, cada um com dois compartimentos. Os
cofres 1 e 2 têm um anel de brilhante num compartimento e um anel de esmeralda
no outro. O cofre 3 têm dois anéis de brilhante em seus compartimentos, e o cofre
4 têm dois anéis de esmeralda. Escolhe-se um cofre ao acaso, abre-se um dos com-
partimentos ao acaso e encontra-se um anel de brilhantes. Calcule a probabilidade
de que o outro compartimento contenha:
(a) um anel de esmeralda;
(b) um anel de brilhantes.
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Exemplo 30 Um estudante se submete a um exame de múltipla escolha no qual
cada questão tem cinco respostas possíveis, das quais exatamente uma é correta. O
estudante seleciona a resposta correta se ele sabe a resposta. Caso contrário, ele
seleciona ao acaso uma resposta dentre as 5 possíveis. Suponha que o estudante
saiba 70% das questões. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de que o estudante escolha a resposta correta para uma
dada questão?
(b) Se o estudante escolhe a resposta correta para uma dada questão, qual a
probabilidade de que ele sabia a resposta?
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