BASES FUNÇÃO LOG

Prévia do material em texto

BASES MATEMÁTICAS 
PROF SILVIO TADEU 
 
FUNÇÃO LORAGITMICA 
 
 Um pouco de história... 
Para a Função Logarítmica têm-se que, no inicio do século XVI e XVII, em meio as 
grades navegações, os cálculos da Astronomia e Navegações eram atribulados, 
detinham de grande trabalho e tempo. Para que houvesse uma simplificação nos 
cálculos surgiram as primeiras tábuas de logaritmos, criadas por Jost Bürgi (1552 – 
1632) e Jhon Napier (1550 – 1617). Para Mendes & Soares (2008, p.53) “Os 
quadrinhos de Napier eram tábuas de multiplicação montadas sobre barras de secções 
quadradas”. Tornando assim cálculos um pouco mais rápidos. 
“Essa maravilhosa invenção de Napier foi entusiasticamente adotada por toda a Europa, revolucionando 
cálculos úteis à navegação e a astronomia” (MENDES & SOARES, 2008 p. 55) 
 A criação dos logaritmos de Napier foi oriundo da seguinte maneira. De acordo 
com Mendes & Soares (2008) 
“Imaginemos os pontos C e F percorrendo respectivamente o segmento AB e a semi-reta DX, partindo 
ao mesmo tempo do ponto A e do ponto D, com a mesma velocidade inicial, admitamos ainda que, 
numericamente, a velocidade de C seja dada sempre pela medida de CB e que a velocidade de F seja 
constante; Nessas condições Napier definiu como Logaritmo de X=CB o npumero y=DF. Assim, 
explicitamente, nesse conceito não intervem a idéia de base. Mas pode-se provar que y=10
7
log1/e 
 
 
 . A 
potência 10
7
 surgi aí porque Napier considerava AB = 10
7
” (MENDES & SOARES, 2008, p.65) 
 Como os logaritmos de Napier não tinham bases, foram dedicados por quase 
vinte anos para que pudesse explorar os princípios do seu trabalho em termos 
geométricos, resultando uma publicação em 1614, intitulada “Mirifici logaritmorum 
canonis descriptio”, que pode ser traduzida como “Descrição da maravilhosa lei dos 
logaritmos”. E em seguida, aperfeiçoada por Henry Briggs (1561 – 1631), apresentando 
os logaritmos decimais. Alterando o logaritmo de 1 para 0 e o logaritmo de 10 para 
uma potência conveniente de 10, criando assim os logaritmos Brigssianos, ou seja, os 
logaritmos de base 10. 
 Em 1615, Briggs visitou Napier na Escócia, onde discutiram sobre os logaritmos. 
Briggs apresenta a proposta de utilização da potência de 10, e Napier propõe a 
construção de uma tabela onde log1=0 e log10=1, afim de que pudessem evitar 
frações. Porém, em 1617 morre Napier, restando assim a Briggs à construção da 
primeira tabela de logaritmos comuns, ou Logaritmos Briggsianos. 
 Para a construção da tabela Briggs parti da idéia de Napier, adquirido por meio 
da relação entre P.A. e P.G., logo: 
1 2 10 Progressão Aritmética 
10
0
 10
n 
10
1 
Progressão Geométrica 
Tabela apresentada por Mendes & Soares (2008, p. 68) 
 
 Como, pela tabela, 100 < n < 101, então 0 < log2 < 1. Assim, Briggs passou a 
trabalhar com média geométrica entre os extremos. 
 A fundamental contribuição dos Logaritmos na facilitação dos cálculos foi a de 
transformar as multiplicação em adição em divisão em subtração. Ao verificar suas 
propriedades operatórias: 
loga (x.y) = loga x + loga y 
loga 
 
 
 = loga x – loga y 
 Tais descobertas aumentaram a capacidade dos Cálculos no campo da 
Astronomia e Navegação. Então os logaritmos foram criados com a intenção de 
simplificar as trabalhosas operações aritméticas, no século XVII, para a construção das 
tabelas de navegação, com as suas propriedades. Tais aplicações perduraram até 
serem vastamente superadas pelas calculadoras eletrônicas. 
 A Função logarítmica, juntamente com sua inversa a Função Exponencial, 
permanece como umas das mais importantes ferramentas Matemáticas, não apenas 
por sua utilidade como instrumento de cálculo aritmético. Se antes, no século XVII, os 
matemáticos achavam importante pela rapidez e eficiência nos cálculos. Hoje, os 
matemáticos acham que as Funções Exponenciais e Logarítmicas ocupam a posição 
central na Análise Matemática. 
 Em 1837, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 – 1859) apresenta um 
conceito de Função e suas variações que surgiram em torno dela, supriram por algum 
tempo o desenvolvimento da matemática. Ciro Braga (2006, p.18) apresenta uma 
necessidade inerente a ultima década do século XIX da ampliação do conceito de 
Função para além dos conjuntos numéricos. 
 
DEFINIÇÃO DE LOGARITMO 
- Responda o que se pede: 
1. A que expoente devemos elevar 2 para obtermos 8? 
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ 
 
2. A que expoente devemos elevar 4 para obtermos 16? 
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ 
3. A que expoente devemos elevar 2 para obtermos 32? 
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ 
4. A que expoente devemos elevar 3 para obtermos 27? 
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ 
5. A que expoente devemos elevar 9 para obtermos 81? 
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ 
6. A que expoente devemos elevar 5 para obtermos 125? 
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ 
7. A que expoente devemos elevar 2 para obtermos 16? 
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ 
8. A que expoente devemos elevar 3 para obtermos 81? 
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ 
9. A que expoente devemos elevar 6 para obtermos 216? 
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ 
10. A que expoente devemos elevar 5 para obtermos 25? 
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ 
Em Matemática, a pergunta “A que expoente devemos elevar 2 para obtermos 8?” é 
equivalente a pergunta: “Qual o logaritmo de 8 na base 2?” 
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ 
Portanto, podemos definir o logaritmo como sendo uma denominação para expoente, 
entretanto em um novo rearranjo. Definimos de formalmente logaritmos, da seguinte 
maneira: 
ax = b ↔ x = log ab, sendo b > 0, a > 0 e a ≠ 1 
Onde: a = Base do logaritmo; b = logaritmando e x = logaritmo 
É importante perceber que b > 0 é porque para todo valor x real. Então, temos 
uma Condição de Existência para o logaritmando que é b>0. 
- Calcule 
a) log10100 
b) log5 25 
c) log3 1024 
d) log2 1024 
e) log32 1024 
f) log14 196 
g) log12 1728 
h) log12144 
i) log13 169 
j) log6 36 
k) log2 4 
Existem algumas propriedades importantes partindo da definição de logaritmo, 
observe a resolução dos itens a seguir: 
- Calcule: 
a) log3 1 
b) log4 1 
c) log5 1 
d) log6 1 
e) log7 1 
f) log8 1 
g) log9 1 
h) log2 1 
i) log11 1 
j) log13 1 
 
Podemos concluir, a partir dos exercícios acima que: loga 1 = 0 temos então nossa 
primeira propriedade. 
 
Agora, vamos observar os seguintes itens: 
a) log3 3 
b) log4 4 
c) log5 5 
d) log6 6 
e) log7 7 
f) log8 8 
g) log9 9 
h) log2 2 
i) log11 11 
j) log13 13 
Percebemos com a resolução que: logaa=1 temos assim nossa segunda propriedade. 
 
Quando o logaritmo estiver no expoente devemos proceder da seguinte forma: 
 
2log2
 8 → log28 (resolvendoo logaritmo)→ 2
x=8 →x=3, logo, 23 = 8 (resultado final) 
Com base no exemplo, resolvas as questões a seguir: 
a) 3log3
 9 
b) 5log5
 25 
c) 2log2
 4 
d) 7log7
 343 
e) 4log4
 64 
f) 2log2
 16 
g) 9log9
 81 
h) 5log5
 25 
i) 11log11
 121 
Podemos concluir assim que , a terceira propriedade. 
Outra propriedade que podemos obter pela definição é a igualdade de logaritmos, 
assim: logab=logac → b =c 
 
Exercícios 
 
1) Calcule o valor de x em cada item e utilize a notação de logaritmos para 
indicar a resposta: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
d) 
 
2) O logaritmo de 256 em certa base é 4. Qual é essa base? 
3) O logaritmo de 729 em certa base é 6. Qual é essa base? 
 
4) Calcule os logaritmos na base 5 dos números abaixo: 
a) 5 
b) 25 
c) 
 
 
 
d) 625 
 
5) Calcule: 
a) 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
e) 
f) 
 
6) Determine x para que estejam definidos: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
7) Calcule o valor de x: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
d) 
 
 
 
 
8) Calcule o valor de: 
a) 
b) 
 
9) Calcule o valor de: 
a) 
b) 
 
Propriedades Operatórias 
 
Logaritmo de um produto 
 
 
 
Logaritmo de um quociente 
 
 
 
 
 
 
Logaritmo de uma potência 
 
 
 
 
Essas propriedades são derivadas da potência do logaritmo, sendo utilizadas em 
equações e inequações logaritmicas. 
 
Os algoritmos que possuem base 10 são chamados de logaritmos decimais. Estes 
foram muito importantes para o desenvolvimento dos logaritmos no século XVI devido 
aos cálculos para as grandes navegações com a utilização das tábuas de logaritmos. 
Outra fato interessante é que esses logaritmos são utilizados nas calculadoras pode 
serem base do sistema de numeração que usamos. 
 
ANOTAÇÕES 
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Qual é o tempo necessário para que um capital inicial empregado a taxa de 2% ao 
mês de juros compostos, que são capitalizados mensalmente, dobre de valor? 
(considere: log 1,02 = 0,0086 ; log 2 = 0,3010). 
 
2. Se log 2 = 0,30 calcule o valor real de x que satisfaz a sentença 1213 54   xx 
 
3. Se S é a soma das raízes da equação 02loglog 2  xx , então calcule o valor de 
1073 - 10S. 
 
4. Há números em que, para cada um deles, o quadrado do logaritmo decimal é igual 
ao logaritmo do seu respectivo quadrado. Logo, a soma dos valores reais dos números 
que satisfazem essa é: 
a) 90 
b) 99 
c) 100 
d) 101 
e) 201 
 
5. Encontre os valores de x que satisfazem 36log)5log(log  xx . 
6. Se  356logk 5  , determine o valor de 5k + 5-k. 
 
7. (ITA) - Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada 
base k são números primos satisfazendo 
 
 
 
 
 
 
Então, é igual a: 
a) 52 
b) 61 
c) 67 
d) 80 
e) 97 
 
8. Se 16)(log 2  ba e 8)(log 2  ba , calcule  222log ba  . 
 
9. O logaritmo decimal do número positivo x é representado por . Então, a soma 
das raízes de é igual a: 
 
a) 1 
b) 101 
c) 1000 
d) 1001 
e) 10 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO LOGARITMÍCA 
 
São funções definidas pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada 
função logarítmica de base a. 
Agora podemos iniciar nossos estudos para definir formalmente a função logarítmica e 
seus gráficos. 
Para todo x IR, x > 0, existe um único logaritmo em uma base a positiva e diferente 
de 1. Assim: A função F(0, + ) → IR, que a todo número x > 0 associa o logaritmo de x 
na base a (a > 0 e a ≠ 1) é denominado função logarítmica de base a. 
Exemplos: f(x) = log2x, f(x) = log3x, f(x) = log1/2x, f(x) = log10x, f(x) = log1/3x, f(x) = log4x, 
f(x) = log2(x – 1), f(x) = log0,5x 
 
DOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM 
Partindo da função y = loga x temos que seu domínio é dado por x IR, com x > 0, ou 
seja, valores reais positivos não nulos. 
O conjunto imagem são todos os reais sem restrições, ou seja, Im = IR. 
GRÁFICOS 
Para a função: y = loga x, estudaremos dois casos: 
1° CASO: 
Para a > 1 
 
 
Figura 1 – FONTE: http://www2.anhembi.br/html/ead01/matematica/lu12/lo1/img/img01.jpg 
 
Podemos dizer então que a função é crescente. 
 
2° CASO 
Para 0 < a < 1 
 
Figura 2 – FONTE: http://www2.anhembi.br/html/ead01/matematica/lu12/lo1/img/img02.jpg 
 
Podemos dizer então que a função é decrescente. 
 
Exercícios 
 
1. O IDH - Índice de Desenvolvimento Humano - é um número entre 0 e 1, calculado pela 
média aritmética de três índices: de educação, de expectativa de vida ao nascer e do 
PIB em dólares. Com base nesses dados e na comparação entre os países, é possível 
analisar a qualidade de vida e o desenvolvimento humano no planeta. O cálculo do 
índice do PIB é feito através da seguinte fórmula mostrada, onde PIB per capita é o 
valor da renda per capita do país analisado, em dólar; 40000 dólares é o valor máximo 
de renda per capita no mundo. 
Calcule aproximadamente o PIB per capta de um país que tenha o índice do PIB igual a 
0,79. 
 
Índice do PIB = 
log(PIB per capita) – log 100 
log 40000 – log 100 
 
 
2. O ouvido humano pode perceber uma extensa faixa de intensidades de ondas sonoras 
(som), desde cerca de 10 -12 w/m2 (que se toma usualmente como o limiar de audição) 
até cerca de 1w/m2 (que provoca a sensação de dor na maioria das pessoas). Em 
virtude da enorme faixa de intensidades a que o ouvido é sensível usa-se uma escala 
logarítma para descrever o nível de intensidade de uma onda sonora. O nível de 
intensidade G medido em decibéis (db) se define por 






1210
log.10
I
G , onde I é a 
intensidade do som. 
a) Calcule nessa escala, o limiar de audição. 
b) Calcule nessa escala, o limiar de audição dolorosa. 
 
3. (UERJ) Admita que, em um determinado lago, a cada 40 cm de profundidade, a 
intensidade de luz é reduzida em 20%, de acordo com a equação 
 
 
 
 
na qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h, em centímetros, e Io é a 
intensidade na superfície. Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a 
intensidade da luz, em um ponto P, é de 32% daquela observada na superfície. A 
profundidade do ponto P, em metros, considerando log 2 = 0,3, equivale a: 
 
 (A) 0,64 (B) 1,8 (C) 2,0 (D) 3,2 
 
4. (UFCE) Se a875log7  , então 245log35 é igual a: 
a) 
7a
2a

 b) 
5
2


a
a c) 
2
5


a
a d) 
2a
7a


 e) 
7a
5a


 
 
5. (FUVEST) Se log8 = a, então log5 vale: 
a) 
3
a b) 1a5  c) 
3
a2 d) 
3
a
1 e) 
3
a
1 
 
6. (UERJ) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente 
industrial, atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial. 
Leia as informações a seguir. 
 • A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada 
dez dias. 
 • O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da 
seguinte equação: 
 
Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, 
necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial. 
Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a: 
 
(A) 30 (B) 32 (C) 34 (D) 367. (UERJ) Considere-se que uma população inicial cresce 3% ao ano, observados os dados 
log3 = 0,477 e log103 = 2,013 o número aproximado de anos que ela triplicará é: 
 
A) 37 B) 47 C) 57 D) 67 
 
8. O volume de um líquido volátil diminui 4% a cada 10 minutos. O tempo 
necessário para que o volume se reduza à quarta parte é: (Se necessário use log2 = 03, 
e log3 = 0,48) 
 
(A) 4 horas (B) 5 horas (C) 6 horas (D) 8 horas (E)12 horas e 30 
minutos. 
 
9. Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural a 
se desintegrar (emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim 
sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. 
Suponhamos que certa quantidade de um elemento químico radioativo com 
inicialmente m₀ gramas de massa se decomponha segundo a equação matemática 
70
t
0 10.m)t(m

 , onde m(t) é a quantidade de massa radioativa no tempo t (em 
anos). Usando a aproximação log2 = 0,3, determine quantos anos demorará para que 
esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial. 
 
 
QUESTÕES ENEM 
 
01) (ENEM/2000) – João deseja comprar um carro cujo preço à vista, com todos os 
descontos possíveis, é de R$ 21 000,00, e esse valor não será reajustado nos próximos 
meses. Ele tem R$ 20 000,00, que podem ser aplicados a uma taxa de juros compostos 
de 2% ao mês, e escolhe deixar todo o seu dinheiro aplicado até que o montante atinja 
o valor do carro. Para ter o carro, João deverá esperar: 
a) dois meses, e terá a quantia exata. 
b) três meses, e terá a quantia exata. 
c) três meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 225,00. 
d) quatro meses, e terá a quantia exata. 
e) quatro meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 430,00. 
 
02) (ENEM/2011) A Escala e Magnitude de Momento (abreviada como MMS e 
denotada como M), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, 
substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos 
de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala 
usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. 
Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. 
Mw e Mo se relacionam pela fórmula: 
Mw = – 10,7 + 
 
 
 log (M0) 
Onde Mo é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de 
movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina cm. O 
terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos 
que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve 
magnitude Mw = 7,3. 
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. 
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado). 
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos 
matemáticos, qual foi o momento sísmico Mo do terremoto de Kobe (em dina cm)? 
a)10-5,10 
b)10-0,73 
c) 1012 
d) 1021,65 
e) 1027,00 
(ENEM/2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo 
ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de 
radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A 
meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse 
material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade 
restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão 
M(t) = A · (2,7)kt, onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa. 
Considere 0,3 como aproximação para log10 2. 
Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 
se reduza a 10% da quantidade inicial? 
a) 27 
b) 36 
c) 50 
d) 54 
e) 100 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
GOMES, F. M. Pré-Cálculo UNICAMP. Disponível em: < 
http://www.ime.unicamp.br/~chico/ma091/precalculo5.pdf> Acesso: 20 de Fev. de 
2017. 
 
http://www.ime.unicamp.br/~chico/ma091/precalculo5.pdf
IEZZI, G. e MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar. Vol. 1, 8ª Ed. São 
Paulo. 
 
MENDES, Iran Abreu & SOARES, Evanildo Costa. A criação dos logarítmicos no fim do 
século XVI: as contribuições de Napier. Briggs e Burg. In:A Matemática no século de 
Andrea Palladio/ Org. Iran Abreu Mendes, RN: EDUFRN – Editora da UFRN, 2008 
 
SILVA, Silvio Tadeu Teles da. 2013. 219f. O Ensino das Funções Exponencial e 
Logarítmica por atividade. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do 
Estado do Pará, Belém, 2013.