Prova e Gabarito P1 - 2018

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GABARITO 1° PROVA DE MICROECONOMIA I 
 
1. 
1.1. Suponha . Então, 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto essa função de utilidade é homogênea de grau 1. 
 
1.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3. Essa função é do tipo Cobb-Douglas, que tem solução interior, portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) 
Substituindo na restrição orçamentária, 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) 
Substituindo (2) em (1): 
 
 
 
 
 
 
 
 
(3) 
Onde são, respectivamente, os preços do bem 1 e 2 e a renda. 
 
1.4. Substituindo os valores em (2) e (3): 
 
 . 
 
1.5. Nada acontecerá em relação ao item anterior, pois esses novos valores são o dobro dos valores do 
item anterior. Como as funções de demanda marshallianas são homogêneas de grau zero, isso 
implica que 
 
 . Para verificar isso, note que, da restrição 
orçamentária, 
 
Isto é, a restrição se mantém inalterada, logo o problema de maximização é o mesmo do item 
anterior. 
 
2. 
2.1. Sem perda de generalidade, suponha que além de iguais, ambos os preços do bem nos dois períodos 
é 1. Então a restrição orçamentária intertemporal (em valor presente) é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
Ou, 
 
 
 
 
2.2. No ótimo, 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como , . Daqui já podemos concluir que o consumidor consome mais no 
segundo período do que no primeiro. Substituindo essa relação na restrição orçamentária 
intertemporal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores, temos: 
 e 
 . Então podemos dizer que o consumidor é 
emprestador em , pois, no primeiro período, consumiu menos do que sua renda naquele 
período. 
 
2.3. Das funções de demanda obtidas no item anterior, é fácil notar que 
 
 
 e 
 
 
 , logo um 
aumento na taxa de juros faria com que o consumidor consuma mais em e menos em . 
Para fins de comparação, quando , 
 e 
 . 
Quanto ao bem estar do consumidor, quando o consumidor é emprestador, o aumento da taxa 
de juros necessariamente mantém o consumidor como emprestador e propicia um aumento no eu 
bem estar. Podemos verificar isso por comparação direta, substituindo os valores e calculando o 
valor da função de utilidade com cada cesta, ou então notando que, graficamente, a mudança rotação 
na linha orçamentária devido ao aumento na taxa de juros irá levar o consumidor a uma curva de 
indiferença mais elevada, como pode ser observado no gráfico abaixo
12
. 
 
 
 
1 Durante a monitoria eu havia afirmado erroneamente que havia alguma ambigüidade, mas não há. De fato, ele sempre estará numa situação 
melhor. 
2 Além do argumento gráfico, poderíamos mostrar que a função de utilidade indireta é crescente na taxa de juros. Para ver isso, note que o 
lagrangiano deste problema é dado por: 
 
 
 
Utilizando o Teorema do Envelope: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde é a função de utilidade indireta, , e . Então, se o consumidor for emprestador no primeiro 
período, uma elevação na taxa de juros aumenta a utilidade do indivíduo. 
3. 
3.1.Como 
 e 
 , no ótimo interior: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo na restrição orçamentária, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde 
 e 
 são as demandas marshallianas. Para encontrar as demandas hickisianas, note que a 
condição de ótimo dada pelo problema de minimização de dispêndio continua sendo , 
portanto, substituindo na função de utilidade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2. Substituindo os valores nas funções de demanda marshallianas, temos 
 e 
 . 
 
3.3. Com 
 , 
 e 
 . Para a segunda parte da questão, note que a renda 
necessária para o consumidor continuar sendo capaz adquirir a cesta original aos novos preços é dada 
por: 
 
 
 
 
 
 
 
Com essa renda, 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Esse seria o consumo de após a mudança no preço 
caso ele seja compensado (nesse caso, com uma diminuição de renda) de modo a se manter sobre a 
mesma curva de indiferença (a ‘rotação’ na linha orçamentária em torno da cesta original). Então 
podemos calcular o Efeito Substituição (ES) como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Efeito Renda (ER) pode ser calculado pela diferença entre o Efeito Total (ET) e o Efeito 
Substituição (ES): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Como , no ótimo devemos ter , logo, substituindo na restrição 
orçamentária: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.Substituindo nas funções de demanda: 
a. 
b. 
 
 
 
 
 
 
c. 
 
 
 
 
 
 
4.2. Podemos localizar cada uma dessas alocações no gráfico abaixo: 
 
 
4.3. 
 
 
 
 e 
 
 
 
.