Transformada de Laplace Inversa

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TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
Semana 8
O foco desta semana é de aprender a calcular transformadas de Laplace inversas. Porém,
uma ferramenta importante para conseguir fazer tais contas é aquela das frações parciais.
Vamos relembrar das frações parciais antes de atacar a questão da transformada de Laplace
inversa.
1. Frações parciais
Considere uma função f definida por f(x) = P1(x)/P2(x) onde P1 : R → R e P2 : R → R
são polinomios, P2 sendo não nulo. Nos cálculos de integrais e para calcular transformadas
de Laplace inversas, é interessante ser capaz de escrever f como soma de funções mais
simples. Isso é a decomposição em frações parciais que vamos explicar agora. Primeiramente,
relembremos de dois conceitos relativos aos polinomios.
Definição 1 (grau de um polinomio, termo dominante). Por um polinomio não nulo P (x) =
a0 + a1x + · · · + adxd, onde ad 6= 0. O inteiro d ≥ 0 é chamado o grau de P e denotado
grau(P ). O termo adxd é chamado termo dominante de P . Se P é nulo (P ' 0), por
convenção grau(P ) = −∞.
Se voltarmos ao problema de simplificar a expressão de f(x) = P1(x)/P2(x),
o primeiro passo é de fazer a Divisão Euclideana de P1 por P2 é decompor P1 na forma
P1(x) = Q(x)P2(x) +R(x)
onde Q e R são polinomios, com grau(R) < grau(P2).
Nesta situação temos
f(x) =
P1(x)
P2(x)
=
Q(x)P2(x) +R(x)
P2(x)
= Q(x) +
R(x)
P2(x)
.
e consideramos que basta simplificar a expressão R(x)
P2(x)
para entender bem f(x), pois o termo
Q é simplesmente um polinomio.
Este passo não vai ser necessário no contexto da transformada de Laplace inversa. Neste
contexto, sempre temos P1 = R. Porém, para quem tiver interesse, explicamos o algoritmo
da divisão euclideana para polinomios no anexo deste texto.
O segundo passo é a propria decomposição em frações parciais de R(x)
P2(x)
, como descrita no
próximo enunciado. Este enunciado baseia-se sobre o fato que qualquer polinomio P : R → R
pode ser decomposto como um produto de polinomios
P (x) = KL1(x)
α1 · · ·Lk(x)αkQ1(x)β1 · · ·Qr(x)βr
onde os fatores Li têm grau 1, os fatores Qj têm grau 2, os expoentes αi, βj são inteiros
positivos e K ∈ R∗.
Teorema 1 (Decomposição em frações parciais). Se R : R → R e P : R → R são dois
polinomios, com grau(R) < grau(P ) e P (x) = KL1(x)α1 · · ·Lk(x)αkQ1(x)β1 · · ·Qr(x)βr como
1
acima, então podemos decompor R(x)/P (x) como
∑k
i=1
∑αi
j=1
ai,j
Li(x)j
+
∑r
i=1
∑βi
j=1
bi,j+ci,jx
Qi(x)j
,
onde ai,j, bi,j, ci,j ∈ R. Além disso a decomposição é única.
Para entender melhor podemos escrever a expansão das somas do teorema anterior, a
decomposição se escreve então
R(x)
P (x)
= a1,1
L1(x)
+ · · · + a1,α1
L1(x)α1
+
...
+
ak,1
Lk(x)
+ · · · + ak,αk
Lk(x)
αk
+ b1,1+c1,1x
Q1(x)
+ · · · + b1,β1+c1,β1x
Q1(x)β1
+
...
+ br,1+cr,1x
Qr(x)
+ · · · + br,βr+cr,βrx
Qr(x)βr
.
Observação 1 (Método universal). Para calcular os coeficientes ai,j, bi,j, ci,j na decomposição
acima, é possível somar todos os termos que aparecem do lado direito, botando sobre o
mesmo denominador; a equação acima vira da forma R(x)
P (x)
= R̃(x)
P (x)
, onde os coeficientes de R̃
dependem dos ai,j, bi,j, ci,j. Identificando os coeficientes das várias potências de x em R e
R̃, obtem-se um sistema linear invertível nos ai,j, bi,j, ci,j. Basta resolver este sistema para
concluir. Este método está exemplificado nos vídeos do Professor M. Pacini e na lista de
exercícios.
Nos exemplos a seguir vamos acrescentar um outro método que é bastante eficaz. Note
porém que o seu campo de aplicação é menor do que o método universal. Com efeito, está
limitado às situações onde P não tem fatores de grau 2.
Exemplo 1. R(x) = 3, P (x) = (x − 1)(x − 2). A fatoração de P é dada por P = Lα11 Lα22
onde L1(x) = (x − 1), L2(x) = (x − 2), α1 = α2 = 1. Aqui não tem fator de grau 2 (não
tem nenhum Qi) e K = 1. Temos grau(R) = 0 (R = a0x0, com a0 = 3.) e grau(P ) = 2
(P = a0 + a1x+ a2x2 com a2 = 1, verifique). Em particular grau(R) < grau(P ). Segundo o
Teorema 1, podemos decompor R/P como
3
(x− 1)(x− 2)
=
a1,1
x− 1
+
a2,1
x− 2
por certos coeficientes reais a1,1, a2,1. Vamos determinar estes coeficientes. se multiplicarmos
ambos lados da equação por (x− 1) obtemos
3
(x− 2)
= a1,1 +
a2,1(x− 1)
x− 2
Tomando o limite de ambos lados quando x tende a 1 obtemos −3 = a1,1.
Multiplicando ambos lados por (x − 2) em vez de (x − 1) e tomando o limite quando x
tende a 2, obtem-se 3 = a2,1. Podemos então concluir 3(x−1)(x−2) =
−3
x−1 +
3
x−2 .
Vamos agora exemplificar que o mesmo método funciona por um número qualquer de
fatores Li, sem fatores Qj. Desde que todos os expoentes (αi) são iguais a 1.
2
Exemplo 2. Segundo o Teorema 1
x2 + x+ 1
(x− 1)(x− 2)(x− 3)
=
a1,1
x− 1
+
a2,1
x− 2
+
a3,1
x− 3
.
Multiplicando ambos lados por (x− 1) obtem-se
x2 + x+ 1
(x− 2)(x− 3)
= a1,1 +
a2,1(x− 1)
x− 2
+
a3,1(x− 1)
x− 3
.
Tomando o limite quando x tende a 1 deduz-se então 3/2 = a1,1.
Multiplicando ambos lados da equação inicial por (x− 2) obtem-se
x2 + x+ 1
(x− 1)(x− 3)
=
a1,1(x− 2)
x− 1
+ a2,1 +
a3,1(x− 2)
x− 3
.
Tomando o limite quando x tende a 2 deduz-se então −7 = a2,1.
Multiplicando ambos lados da equação inicial por (x− 3) obtem-se
x2 + x+ 1
(x− 1)(x− 2)
=
a1,1(x− 3)
x− 1
+
a2,1(x− 3)
x− 2
+ a3,1.
Tomando o limite quando x tende a 3 deduz-se então 13/2 = a3,1. A conclusão é
x2 + x+ 1
(x− 1)(x− 2)(x− 3)
=
3/2
x− 1
− 7
x− 2
+
13/2
x− 3
.
Agora uma generalização do método para tratar eventuais αi > 1.
Exemplo 3. Segundo o Teorema 1
x2 + x+ 1
(x− 1)2(x− 2)2(x− 3)
=
a1,1
x− 1
+
a1,2
(x− 1)2
+
a2,1
x− 2
+
a2,2
(x− 2)2
+
a3,1
x− 3
.
Vamos começar determinando os coeficientes que corespondem ao maior valor dos expoentes
αi. Aqui o maior valor é α1 = α2 = 2. Multiplicando ambos lados por (x− 1)2 obtem-se
x2 + x+ 1
(x− 2)2(x− 3)
= a1,1(x− 1) + a1,2 +
a2,1(x− 1)2
x− 2
+
a2,2(x− 1)2
(x− 2)2
+
a3,1(x− 1)2
x− 3
.
Tomando o limite quando x tende a 1 deduz-se então −3/2 = a1,2.
Multiplicando ambos lados da equação inicial por (x− 2)2 obtem-se
x2 + x+ 1
(x− 1)2(x− 3)
=
a1,1(x− 2)2
x− 1
+
a1,2(x− 2)2
(x− 1)2
+ a2,1(x− 2) + a2,2 +
a3,1(x− 2)2
x− 3
.
Tomando o limite quando x tende a 2 deduz-se então −7 = a2,2.
Antes de continuar vamos usar os coeficientes já determinados para transformar o problema
num problema análogo onde o maior valor dos expoentes αi baixou. Temos
x2 + x+ 1
(x− 1)2(x− 2)2(x− 3)
=
a1,1
x− 1
− 3/2
(x− 1)2
+
a2,1
x− 2
− 7
(x− 2)2
+
a3,1
x− 3
i.e.
x2 + x+ 1
(x− 1)2(x− 2)2(x− 3)
+
3/2
(x− 1)2
+
7
(x− 2)2
=
a1,1
x− 1
+
a2,1
x− 2
+
a3,1
x− 3
3
o lado esquerdo é
x2 + x+ 1 + (3/2(x− 2)2 + 7(x− 1)2) (x− 3)
(x− 1)2(x− 2)2(x− 3)
=
x2 + x+ 1 + ((3/2 + 7)x2 + (−6− 14)x+ 6 + 7) (x− 3)
(x− 1)2(x− 2)2(x− 3)
=
x2 + x+ 1 + (17
2
x2 − 20x+ 13)(x− 3)
(x− 1)2(x− 2)2(x− 3)
=
x2 + x+ 1 + 17
2
x3 − (20 + 51/2)x2 + (13 + 60)x− 39
(x− 1)2(x− 2)2(x− 3)
=
17
2
x3 − 89
2
x2 + 74x− 38
(x− 1)2(x− 2)2(x− 3)
=
(x− 1)(x− 2)(17
2
x− 19)
(x− 1)2(x− 2)2(x− 3)
=
17
2
x− 19
(x− 1)(x− 2)(x− 3)
Então temos
17
2
x− 19
(x− 1)(x− 2)(x− 3)
=
a1,1
x− 1
+
a2,1
x− 2
+
a3,1
x− 3
,
um problema que sabemos resolver desde o Exemplo 2. Obtem-se a1,1 = −21/4, a2,1 = 2,
a3,1 = 13/4 e finalmente
x2 + x+ 1
(x− 1)2(x− 2)2(x− 3)
=
−21/4
x− 1
+
−3/2
(x− 1)2
+
2
x− 2
+
−7
(x− 2)2
+
13/4
x− 3
.
2. Transformada de Laplace inversa
Definição 2. Seja F (s) uma função digamos que a transformada de Laplace inversa de F
existe se existe uma segunda função f definida sobre [0,+∞) tal que L{f} = F . Neste caso
denotamos f = L−1{F}.
Sendo que a transformada de Laplace é linear, a transformada de Laplace inversa também.
Teorema 2. Se F e G são duas transformadas de Laplace, então para qualquer cosntantes
a, b ∈ R,
L−1{aF + bG} = aL−1{F}+ bL−1{G}.
Da mesma maneira que as tabelas de derivadas traduzem-se em tabelas de primitivas, as
tabelas de transformadas de Laplace traduzem-se em tabelas de transformadas de Laplace
inversas.
Exemplo 4. (1) L{eat} = 1/(s− a), então L−1{1/(s− a)} = eat;
(2) L{sen(at)} = a/(s2 + a2),então L−1{1/(s2 + a2)} = sen(at)/a;
(3) L{cos(at)} = s/(s2 + a2), então L−1{s/(s2 + a2)} = cos(at);
(4) Se F (s) = L{f} L{eatf} = F (s− a), então L−1{F (s− a)} = eatL−1{F};
(5) L{tn} = n!/sn+1, então L−1{1/sn+1} = tn/n! ;
(6) Se F (s) = L{f}, L{tnf} = (−1)nF , então L−1{F} = (−1)n 1
tn
L−1{ dn
dsn
F} ;
4
(7) Se F (s) = L{f}, L
{∫ t
0
f(u)du
}
= F (s)
s
então L−1
{
F (s)
s
}
=
∫ t
0
f(u)du.
Exemplo 5. Vamos calcular a transformada de Laplace inversa de F (s) = 1
s(s−1) . Por
isso começamos por decompor F em frações parciais: F (s) = −1
s
+ 1
s−1 . Lembrando do
Exemplo 4-(1), temos L−1{1/s} = 1 e L−1{1/(s− 1)} = et. Então L−1{F (s)} = −1 + et.
Exemplo 6. Vamos calcular a transformade de Laplace inversa de F (s) = s2+s+1
(s−1)(s−2)(s−3) .
No Exemplo 2, obtemos
s2 + s+ 1
(s− 1)(s− 2)(s− 3)
=
3/2
s− 1
− 7
s− 2
+
13/2
s− 3
.
Então, lembrando do Exemplo 4-(1), L−1{F (s)} = 3
2
et − 7e2t + 13
2
e3t.
Exemplo 7. Vamos calcular a transformada de Laplace inversa de F (s) = s2+s+1
(s−1)2(s−2)2(s−3) .
No Exemplo 3, obtemos
s2 + s+ 1
(s− 1)2(s− 2)2(s− 3)
=
−21/4
s− 1
+
−3/2
(s− 1)2
+
2
s− 2
+
−7
(s− 2)2
+
13/4
s− 3
.
Usando os pontos (1),(5) e (4) do Exemplo 4, deduzimos
L−1{F (s)} = −21
4
et − 3/2tet + 2e2t − 7te2t + 13
4
e3t.
Em certas questões práticas, vamos precisar mais do que as tabelas já conhecidas. Vamos
precisar usar convolução para calcular certas transformadas inversas.
3. Convolução
Definição 3. Sejam f e g duas funções definidas sobre R. Se a integral imprópria
f ∗ g(t) =
∫ +∞
−∞
f(u)g(t− u)du
converger para qualquer real t, então a função f ∗ g assim definida é chamada o produto de
convolução de f e g.
Observação 2. A mudança de variável u = t − v mostra que o produto de convolução é
comutativo: f ∗ g = g ∗ f .
Vamos querer aplicar convolução a transformadas de Laplace inversas. O problema é
que as transformadas de Laplace inversas estão bem determinadas somente sobre o domínio
[0,+∞), ao contrário das funções f e g da definição acima que têm domínio R = (−∞,+∞).
Definição 4. Uma função causal é uma função f definida sobre R que toma o valor zero
sobre todos os reais negativos:
∀x < 0, f(x) = 0.
Para resolver o problema acima mencionado, se f e g são duas transformadas de Laplace
inversas, vamos interpretar elas como funções causais: vamos estender elas a R definindo
f(x) = g(x) = 0 para qualquer x < 0.
5
Nesta situação vamos ter então
f ∗ g(t) =
∫ +∞
−∞
f(u)g(t− u)du =
∫ t
0
f(u)g(t− u)du,
pois f(u) é 0 para u < 0 e g(t− u) é 0 para t− u < 0, i.e. u > t.
Observamos também que se t < 0, f ∗ g(t) é 0, isto é: o produto de convolução de duas
funções causais é uma função causal.
Teorema 3 (Convolução). Se f e g são duas funções causais que possuem as respetivas
transformadas de Laplace F e G, então L{f ∗ g} = FG.
Observação 3. Se f é uma função definida sobre R tal que
L{f} = F , então a função causal que tem transformada de Laplace F é Uf onde U é definida
por:
U(t) =
{
1 se t ≥ 0;
0 se t < 0.
e será chamada função degrau unitário nas próximas aulas.
Exemplo 8. Vamos calcular a transformada de Laplace inversa de F (s) = s
(s2+1)(s−1) .
Observamos F (s) = L{cos t}L{exp(t)}. Usando o Teorema de convolução, sabemos que
L{(U cos) ∗ (Uexp)} = F. Vamos então calcular (U cos) ∗ (U exp).
(U cos) ∗ (U exp)(t) =
∫ t
0
cos(u)et−udu = et
∫ t
0
cos(u)e−udu
Usando duas integrações por partes,∫ t
0
cos(u)e−udu =
[
sen(u)e−u
]t
0
+
∫ t
0
sen(u)e−udu
=
[
sen(u)e−u
]t
0
−
[
cos(u)e−u
]t
0
−
∫ t
0
cos(u)e−udu
= (sen t+ cos t)e−t + 1−
∫ t
0
cos(u)e−udu.
Então ∫ t
0
cos(u)e−udu = (e−t(sen t+ cos t) + 1)/2
e
cos ∗ exp(t) = (sen t+ cos t+ et)/2
i.e.
L−1
{
s
(s2 + 1)(s− 1)
}
= cos ∗ exp(t) = (sen t+ cos t+ et)/2.
Observação 4. Podemos ver no exemplo acima que é um pouco pesado escrever a formula de
convolução com U na frente das funções cos e exp. No contexto de transformadas de Laplace
6
inversa, a gente faz somente convoluções de funções causais e é frequente deixar implícito
esse produto por U . Poderiamos ter escrito simplesmente
cos ∗ exp(t) =
∫ t
0
cos(u)et−udu
Anexo. Divisão euclideana por polinomios
Consideremos dois polinomios P1, P2 : R → R. Fazer a Divisão Euclideana de P1 por P2
é decompor P1 na forma
P1(x) = Q(x)P2(x) +R(x)
onde Q e R são polinomios, com grau(R) < grau(P2).
Por analogia com a divisão euclideana dos inteiros, Q é chamado o quociente da divisão
euclideana de P1 por P2 e R é Q é chamado o resto da divisão euclideana de P1 por P2.
Como calcular esta divisão euclideana de polinomios? É um algoritmo simples (ou receita)
bem parecido ao algoritmo de divisão dos inteiros.
A gente começa com R0 = P1, Q0 = 0. Temos então P1 = Q0P2+R0, a única propriedade
que poderia faltar para (Q0, R0) dar a divisão euclideana de P1 por P2 é a condição
grau(R0) < grau(P2).
Vamos calcular uma lista de pares de polinomios (Qi, Ri), que satisfazem
P1 = QiP2 +Ri
e na qual o grau de Ri vai diminuindo quando i crescer. O último par da lista (Qk, Rk) terá
a propriedade desejada
grau(Rk) < grau(P2).
A lista (Qi, Ri) é obtida por modificações sucessivas do par inicial (Q0, R0) da seguinte
maneira. Conhecendo (Qi, Ri) tal que P1 = QiP2+Ri, podem aparecer somente duas opções:
(1) se grau(Ri) < grau(P2), então decidimos que (Qi, Ri) é o último par da lista, ele dá
a divisão euclideana de P1 por P2 (com Q = Qi, R = Ri).
(2) se grau(Ri) ≥ grau(P2) construimos (Qi+1, Ri+1) assim: sejam axd o termo dominante
de P2 e bxe o termo dominante de Ri. Definimos
Qi+1 = Qi +
b
a
xe−d , Ri+1 = Ri+1 = Ri −
b
a
xe−dP2
e temos então
Qi+1P2 +Ri+1 = (Qi +
b
a
xe−d)P2 +Ri −
b
a
xe−dP2 = QiP2 +Ri = P1.
Observamos tambem que o termo dominante de b
a
xe−dP2 é
b
a
xe−daxd = bxe,
então é igual ao termo dominante de Ri. Em consequência, na diferença Ri+1 =
Ri − bax
e−dP2, os termos dominantes se cancelam e obtemos grau(Ri+1) < grau(Ri).
Na Figura 1 segue um exemplo de cálculo de divisão euclideana de polinomios apresentado
num diagrama cómodo. Neste diagrama destacamos onde aparecem os Ri, Qi do algoritmo.
Isso está feito meramente por fins pedagógicos e não é necessário na prática.
7
Figura 1. Um exemplo de divisão euclideana
8