Matemática: Conjuntos Numéricos e Operações

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CUIDADOR EDUCACIONAL DE CRECHE – PREFEITURA DE ALTAMIRA/PA 2020 
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1. Conjuntos Numéricos:................................................................................................................................. 2 
Naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais .................................................................................................. 2 
2. Operações com os conjuntos numéricos:................................................................................................. 4 
Adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação ................................................................. 4 
3. Equação e inequação do 1º grau ................................................................................................................ 10 
4. Equação do 2º grau ...................................................................................................................................... 14 
5. Fatoração ...................................................................................................................................................... 16 
6. Porcentagem ................................................................................................................................................ 18 
7. Juros simples e compostos ........................................................................................................................ 22 
8. Descontos ..................................................................................................................................................... 24 
9. Relações e Funções..................................................................................................................................... 26 
10. Área, perímetro, volume e densidade ...................................................................................................... 27 
11. Área das figuras planas ............................................................................................................................. 29 
12. Sistema decimal de medidas .................................................................................................................... 30 
13. Razões e proporções ................................................................................................................................. 32 
14. Raciocínio Lógico ...................................................................................................................................... 33 
15. Expressões Numéricas.............................................................................................................................. 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS, 
IRRACIONAIS E REAIS 
CONJUNTOS NUMÉRICOS (N, Z, Q E R) 
A noção de conjunto numérico é bastante 
simples e fundamental na Matemática. A partir dos 
conceitos sobre conjuntos podemos expressar 
todos os conceitos matemáticos. 
Um conjunto nada mais é do que uma 
coleção qualquer de objetos. Por exemplo: 
1. conjunto das estações do ano: E = 
{Primavera, Verão, Outono, Inverno} 
2. conjunto dos números primos: B = 
{2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} 
Cada item dentro de um conjunto é um 
elemento desse conjunto. 
A ideia dos conjuntos numéricos segue uma 
ordem de acordo com a história da Matemática. Ou 
seja, à medida que a matemática avançou, foi 
necessário a criação de novos conceitos e, com 
isso, foram surgindo vários conjuntos de números. 
Conjunto dos números naturais (N) 
N={0,1,2,3,4,5,6,...} 
O número zero é o primeiro elemento desse 
conjunto. O sucessor de cada número nesse 
conjunto é igual à soma dele mesmo com uma 
unidade, ou seja, o sucessor de 3 será 4 pois 3 + 1 
= 4. 
Para representar o conjunto dos números 
naturais não-nulos (ou seja, diferentes de zero), 
deve-se colocar um * ao lado do símbolo: 
N∗={1,2,3,4,5,6,...} 
Conjunto dos números inteiros (Z) 
Em determinada época da história, se fez 
necessário a criação de números que 
representassem “perdas”, ou “dívidas”. Surgiram, 
assim, os números negativos. Esses números 
negativos, junto com os números naturais, formam 
o conjunto dos números inteiros: 
Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...} 
Nesse conjunto, para cada número há o 
seu oposto, ou seu simétrico, por exemplo, 3 e -3 
são opostos ou simétricos. 
Veja que todo número natural é inteiro, mas 
nem todo número inteiro é natural. Dizemos que o 
conjunto dos números naturais está contido no 
conjunto dos números inteiros. 
 
 Conjunto dos números racionais (Q) 
Com a necessidade de descrever partes de 
algo inteiro, surgiram as frações. Quando 
adicionamos as frações aos números inteiros, 
obtemos os números racionais. São exemplos 
números racionais: 
Q={−1,−25,43,5,...} 
Formalmente, um número racional é todo 
aquele que pode ser escrito na forma de uma fração. 
Assim, 
Q={x/x=ab,a∈Z,b∈Z,b≠0} 
Observe que todo número inteiro é racional, 
mas nem todo número racional é inteiro. Por 
exemplo, -1 é inteiro e é racional, mas 43 é racional e 
não é inteiro. Assim, o conjunto dos números inteiros 
está contido no conjunto dos números racionais: 
 
Conjunto dos números irracionais (IR) 
O conjunto dos números irracionais é 
composto por todos os números que não são 
possíveis de se descrever como uma fração. É o 
caso das raízes não exatas, como 2–√, 3–√, 5–√, e 
do número π, do logaritmo neperiano, o número de 
ouro ϕ (fi), por exemplo. 
Este conjunto não está contido em nenhum 
dos outros três, ou seja, nenhum número irracional é 
racional, inteiro ou natural e nenhum número natural, 
inteiro ou racional é irracional. 
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Conjunto dos números reais (R) 
Da reunião do conjunto dos números 
racionais com os números irracionais obtemos o 
conjunto dos números reais. Podemos dizer que o 
conjunto dos números reais é formado por todos os 
números que podem ser localizados em uma reta 
numérica. 
Assim, todo número que é irracional é real, 
assim como os naturais, inteiros e racionais. 
 
Existem ainda conjuntos maiores, que 
englobam todos vistos até aqui. Um exemplo é o 
conjunto dos números complexos. São números 
que possuem uma parte real e uma arte imaginária, 
chamada de “i”. São números da forma a+bi, onde 
a é a parte real e b é a parte imaginária. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
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ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, 
MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, 
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 
A adição (soma) 
A adição é uma das quatro operações 
básicas da álgebra. Consiste em combinar dois 
números (chamados de termos, somandos ou 
parcelas) em um único número, a soma. Para se 
adicionar mais números, basta repetir a operação. 
Em termos mais simples, podemos pensar na 
operação de adição quando nosso desejo é juntar 
coisas que estão separadas. 
Adição de Números Inteiros 
Em um colégio, existem 3 turmas. A 
primeira turma tem 14 alunos, a segunda tem 19 
alunos e a terceira tem 15 alunos. Quantos alunos 
o colégio possui? 
Para determinarmos a quantidade de 
alunos que o colégio possui, basta juntarmos os 
alunos de todas as turmas. Isto é: somar a 
quantidade de alunos de cada turma. 
14 + 19 + 15 = 48 
Portanto, existem 48 alunos neste colégio. 
Adição de Números Decimais 
Em seu aniversário de 7 anos, Leonardo 
recebeu presentes em dinheiro. Seu pai lhe deu 
R$ 15,50, sua mãe R$ 7,65 e seu irmão R$ 8,28. 
Qual o valor total recebido por Leonardo? 
Para calcularmos o valor total recebido por 
Leonardo, basta somarmos todos os valores 
recebidos. 
Para realizar a adição de números 
decimais, as parcelas são dispostas de modo que 
se tenha vírgula sobre vírgula. 
 
A soma é feita por colunas, da direita para 
a esquerda. Caso a soma da coluna ultrapasse o 
valor 9 (nove), somente preencheremos o campo 
de resultado com o dígito direito do resultado 
obtido. Os dígitos restantes ficarão acima da 
coluna imediatamente à esquerda da coluna 
somada. No caso da coluna somada ser a última, 
todos os dígitos poderão ser incluídos no campo 
de resultado. 
Neste exemplo, a primeira coluna a ser 
somada tem os seguintes valores: 0, 5 e 8. 
Portanto, 0 + 5 + 8 = 13. Como o resultado 
ultrapassou o valor 9, preencheremos o campo de 
resultado somente com o o dígito direito do 
resultado obtido (neste caso, o número 3). O dígito 
1 será incluído acima da coluna imediatamente à 
esquerda da coluna calculada. 
 
Na segunda coluna, os valores a serem 
somados incluem o número 1 colocado acima desta 
coluna. Portanto, 1 + 5 + 6 + 2 = 14. O mesmo 
procedimento é utilizado até calcularmos todas as 
colunas, obtendo-se assim a soma desejada. 
 
Com este resultado, sabemos que o valor 
total recebido por Leonardo é R$ 31,43. 
Adição de Números Fracionários 
Podemos definir as frações como partes de 
um todo. Por exemplo, teremos de uma pizza se 
dividirmos esta pizza em 8 pedaços iguais e 
tomarmos 3 destas partes. Também definimos a 
fração como o resultado da divisão de dois 
números. Por exemplo, a fração é o resultado da 
divisão de 3 por 8. 
Para somar frações que tenham o mesmo 
denominador, basta somar seus numeradores, 
como no exemplo abaixo: 
 
No caso de frações com denominadores 
diferentes, devemos seguir alguns passos. Para 
entendermos este processo, calcularemos a 
seguinte soma de frações: 
 
1.º Passo: Encontrar um número que seja 
múltiplo de todos os denominadores (para isto, 
podemos utilizar o M.M.C., que será detalhado em 
outro tópico). Este número será o novo 
denominador. 
Podemos utilizar, neste exemplo, o número 
30 como múltiplo de todos os denominadores. 
2.º Passo: Representar todas as frações da 
adição com este mesmo denominador. Para 
representar cada fração com este novo 
denominador, basta dividirmos este novo 
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denominador pelo numerador da fração, e então 
multiplicar o resultado obtido pelo numerador 
desta mesma fração, obtendo assim o novo 
numerador desta fração. 
Nas frações de nosso exemplo as contas 
são: 30 ÷ 3 × 7 = 70, 30 ÷ 2 × 4 = 60 e 30 ÷ 5 × 4 = 
24. Portanto, temos: 
 
Apenas simplificando, temos: 
 
Propriedades Importantes da Adição 
Comutatividade: A ordem das parcelas 
não altera o resultado final da operação. Assim, se 
x + y = z, logo y + x = z. 
Associatividade: O agrupamento das 
parcelas não altera o resultado. Assim, se (x + y) + 
z = w, logo x + (y + z) = w. 
Elemento Neutro: A parcela 0 (zero) não 
altera o resultado das demais parcelas. O zero é 
chamado "elemento neutro" da adição. Assim, se x 
+ y = z, logo x + y + 0 = z. 
Fechamento: A soma de dois números 
naturais será sempre um número natural. 
Anulação: A soma de qualquer número e 
o seu oposto é zero. Exemplo: 2 + (-2) = 0. 
A subtração 
A subtração pode ser considerada como o 
oposto da adição. Pensamos em subtração 
quando queremos tirar um valor de outro, para 
saber quanto restará. Por exemplo, temos: 
a - b = c 
Nesta subtração, temos que: a é o 
minuendo, b é o subtraendo e c é a diferença 
(ou resto). 
Subtração de Números Inteiros 
Um carteiro, de nome Francisco, deve 
entregar 100 correspondências por dia. Se em 
determinado dia, até seu almoço, Francisco 
entregar 63 correspondências, quantas ele deverá 
entregar após o almoço para atingir sua meta? 
Para determinarmos a quantidade de 
correspondências que devem ser entregues após 
o almoço, devemos subtrair o número de 
correspondências já entregues. Ou seja, subtrair 
63 de 100: 
100 - 63 = 37 
Portanto, Francisco deverá entregar 37 
correspondências após o almoço. 
Subtração de Números Decimais 
Marta foi à feira e levou R$ 43,50. Durante 
suas compras, Marta gastou 31,23. Com quanto 
dinheiro Marta voltou para casa? 
Para calcularmos o valor restante, basta 
subtrairmos o valor gasto do valor inicial. 
Para realizar a subtração de números 
decimais, as parcelas são dispostas de modo que 
se tenha vírgula sobre vírgula. 
 
A subtração é feita por colunas, da direita 
para a esquerda, onde devemos retirar do dígito do 
minuendo o dígito do subtraendo. Caso o dígito do 
minuendo seja menor do que o dígito do 
subtraendo, devemos retirar uma unidade do dígito 
do minuendo imediatamente à esquerda do dígito 
que está sendo calculado, e somar 10 (dez) ao 
dígito do minuendo do cálculo atual. 
Neste exemplo, a primeira coluna a ser 
subtraída apresenta os seguintes valores: 0 (dígito 
do minuendo) e 3 (dígito do subtraendo). Como o 
dígito do minuendo é menor que o dígito do 
subtraendo, precisamos retirar 1 (um) do dígito do 
minuendo à esquerda (neste caso, o dígito 5). Após 
isto, devemos somar 10 (dez) ao dígito do minuendo 
do cálculo atual. Portanto, o dígito 5 passa a valer 4, 
e o dígito 0 passa a valer 10. Veja abaixo como 
ficou a subtração após o cálculo da primeira coluna: 
 
O mesmo procedimento é utilizado até 
calcularmos todas as colunas, obtendo-se assim a 
subtração desejada. 
 
Com este resultado, sabemos que Marta 
voltou para casa com R$ 12,27.Subtração de Números Fracionários 
Para subtrair frações que tenham o mesmo 
denominador, basta subtrair seus numeradores, 
como no exemplo abaixo: 
 
No caso de frações com denominadores 
diferentes, devemos seguir alguns passos. Para 
entendermos este processo, calcularemos a 
seguinte subtração de frações: 
 
1.º Passo: Encontrar um número que seja 
múltiplo de todos os denominadores (para isto, 
podemos utilizar o M.M.C., que será detalhado em 
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outro tópico). Este número será o novo 
denominador. 
Podemos utilizar, neste exemplo, o 
número 30 como múltiplo de todos os 
denominadores. 
2.º Passo: Representar todas as frações 
da subtração com este mesmo denominador. Para 
representar cada fração com este novo 
denominador, basta dividirmos este novo 
denominador pelo numerador da fração, e então 
multiplicar o resultado obtido pelo numerador 
desta mesma fração, obtendo assim o novo 
numerador desta fração. 
Nas frações de nosso exemplo as contas 
são: 30 ÷ 15 × 13 = 26 e 30 ÷ 2 × 1 = 15. Portanto, 
temos: 
 
Propriedades Importantes da Subtração 
3) Elemento Neutro: A parcela 0 (zero) 
não altera o resultado das demais parcelas. O zero 
é chamado "elemento neutro" da adição. Assim, x 
- 0 = x, y - 0 = y e x - 0 - y = x - y. 
4) Fechamento: A diferença de dois 
números naturais será sempre um número natural. 
5) Anulação: Quando o minuendo é igual 
ao subtraendo, a diferença será 0 (zero). Exemplo: 
2 - 2 = 0. 
A multiplicação 
Em sua forma mais simples, a 
multiplicação nada mais é do que uma simples 
forma de se somar uma quantidade finita de 
números iguais. Na multiplicação cada número é 
chamado de fator, e o resultado da multiplicação é 
chamado de produto. 
A multiplicação pode ser escrita de 
diversas formas, todas elas equivalentes: 3 × 4 = 3 
. 4 = 3 * 4. 
Multiplicação de Números Inteiros 
A multiplicação de números inteiros pode 
ser considerada como uma soma de parcelas 
iguais. Por exemplo: 
4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 
O número 3 apareceu 4 vezes. Portanto, 4 
vezes 3 é igual a 12. Da mesma forma temos: 
3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12 
Neste caso, o número 4 apareceu 3 vezes. 
Então, 3 vezes 4 é igual a 12. 
Problema: Sabemos que Patrícia treina 
natação durante 45 horas a cada mês. Quantas 
horas Patrícia treina durante um ano? 
Para determinarmos quantas horas de 
treinamento Patrícia realiza em um ano, devemos 
multiplicar a quantidade de horas de treinamento em 
um mês (15) pela quantidade de meses em um ano 
(12). 
Temos, portanto, a seguinte multiplicação a 
ser realizada: 15 × 12. 
Para realizarmos a multiplicação, montamos 
a conta da seguinte maneira: 
 
Da direita para esquerda, devemos 
multiplicar cada dígito do segundo fator por todos os 
dígitos do primeiro fator. 
A disposição do resultado se dará da direita 
para a esquerda, iniciando-se abaixo do dígito do 
segundo fator que está sendo calculado. 
Caso a multiplicação de dois dígitos 
ultrapasse o valor 9 (nove), somente 
preencheremos o campo de resultado com o dígito 
direito do resultado obtido. Os dígitos restantes 
ficarão acima do dígito do primeiro fator, 
imediatamente à esquerda do dígito calculado. No 
caso do dígito da esquerda do primeiro fator, todos 
os dígitos poderão ser incluídos no campo de 
resultado. 
Neste exemplo, temos a seguinte 
multiplicação: 2 × 5 = 10. Portanto, o 0 (zero) fica 
abaixo do 2, e o 1 fica acima do dígito 1 do primeiro 
fator. 
 
Quando o dígito do primeiro fator estiver 
sendo multiplicado e tiver herdado um número 
acima, será feita a multiplicação normalmente, e 
após isto será somado o valor que estiver acima 
deste dígito, conforme mostra o exemplo abaixo, 
onde 2 × 1 + 1 = 3 
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 
Neste capitulo abordaremos o cálculo de 
números sob a forma de potencias. 
Com a evoluçao tecnologica este tipo de 
calculos está praticamente reservado ao uso de 
calculadoras cientificas; mas nao se deixe levar por 
esta tendencia só vai limitar seus conhecimentos. 
Vamos supor que se esquece da calculadora 
ou que o calculo é tão grande que precisa saber 
analisar os seus resultados continuamente ou ainda 
que o seu exercicio parte da analise de um grafico de 
uma potencia e que precisa chegar a função 
potencia. 
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POTENCIAÇÃO 
Regras Potenciação (Potencias). 
 
Radiciação 
 
Quando o índice da raiz, n, é omitido; então é 
assumido como índice daquela raiz o valor 2. Ou seja 
n = 2. 
Conforme se espera; toda a raiz deve ter um 
resultado real x, onde a correspondência entre estes 
é expressa abaixo. 
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Regras Radiciação (Raizes). 
Definições e Demonstrações: 
Raiz de 1 quociente e quociente de 2 
raizes: o quociente de 2 radicais do mesmo indice, 
é o radical do mesmo indice cujo o radicando é 
quociente dos radicandos do divisor e do dividendo. 
 
Raiz de 1 Raiz: A raiz de indice n da raiz 
de indice p de um certo numero e a raiz de indice 
n.p desse numero. 
 
Raiz de 1 produto e produto de 1 raiz: A 
raiz de um produto e igual ao produto das raizes do 
mesmo indice. 
 
Multiplicação de Potencia da mesma base 
(no caso base -3): O produto de potencia da mesma 
base é a potencia com a mesma base cujo expoente 
é a soma dos expoentes dos factores. 
 
Divisão de potencias com a mesma base 
(base -2): O quociente de potencias com a mesma 
base é uma potencia com a mesma base e cujo o 
expoente é a diferença entre os expoentes do 
dividendo e do divisor. 
 
Potencia de expoente fraccionário: 
Reciprocamente todo o radical é convertivel 
em potencia de expoente fraccionário. 
 
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Potencia de uma potencia: A potencia de 
uma potencia éoutra potência com a base da 1ª e 
expoente igual ao produto dos expoentes. 
 
Inversamente/o: Qualquer coefiente ou 
factor de um radical pode passar pode passar para 
factor do seu radicando desde que se multiplique o 
seu expoente pelo indice do radical. 
Os Exercicios seguintes 1., 2. e 3. são os 
mais importantes para a manipulação fluente de 
potencias e raizes, verifique com atenção a 
simplicidade das operações: 
 
O proximo exercicio vem demonstrar o 
porquê das operaçoes entre coeficientes (o nº 
fora da raiz) e radicando (o nº dentro da raiz) são 
possiveis. 
Quando o indice da raiz for igual ao 
expoente do radicando, o radicando com expoente 
= ao indice da raiz passa a coeficiente dessa 
mesma raiz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
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EQUAÇÃO DO 1º GRAU (PRIMEIRO GRAU) 
Equação do primeiro grau é nada mais do 
que uma igualdade entre as expressões, que as 
transformam em uma identidade numérica, para um 
ou para mais valores atribuídos as suas variáveis. 
Definição de uma equação do primeiro 
grau 
É toda sentença aberta, redutível e 
equivalente a ax + b = 0, com a ∈ R* e b ∈ R. 
Ou seja, a e b são números que pertencem 
ao conjuntos dos números reais (R), com a 
diferente de zero e x representa uma variável que 
não conhecemos (incógnita). 
A incógnita é o valor que precisamos achar 
para encontrar a solução para a equação. A 
variável que não conhecemos (incógnita) 
costumamos representá-la na equação pelas letras 
x, y, z. Numa equação do primeiro grau o expoente 
da incógnita é sempre 1. 
Exemplo: 
 5 + x = 8 
Essa equação se transforma numa 
identidade, fazendo: 
 x = 3 ⇒ 5 + x = 8 ⇒ 5 + 3 = 8 
⇒ 8 = 8 temos uma identidade. 
A letra x na equação é denominada a 
variável da equação ou incógnita, enquanto que o 
número 3 é chamado de solução da equação, 
conjunto verdade ou raiz. 
Na equação acima o que está antes da 
igualdade é chamado de primeiro membro, e o que 
está do lado direito é chamado de segundo membro 
da equação. 
Exemplo: 
 3x – 12 = 7 + x 
1° membro 2° membro 
Tipos de equações 
As equações podem ter uma ou mais 
incógnitas ou variáveis, como queira chamar: 
Exemplos: 
 4 + 2x = 11 + 3x (uma incógnita ou 
uma variável, a variável x) 
 y – 1 = 6x + 13 – 4y (duas 
incógnitas ou duas variáveis, x e y) 
 8x – 3 + y = 4 + 5z – 2 (três 
incógnitas ou três variáveis, x,y, e z) 
Observação: não importa se a variável 
apareceu várias vezes, o que conta é quantas 
variáveis tem na equação. 
Exemplo: x + 1 = x + 2, temos uma variável, 
o x, e não duas, não é a quantidade que levamos em 
conta. 
Forma normal de uma equação 
Uma equação está na forma normal quando 
todos os seus termos estão no primeiro membro 
reduzido e ordenado segundo as potências 
decrescentes de cada variável. 
Exemplos: 
 5x – 20 = 0 
Ou seja, todos os termos estão antes da 
igualdade (1º membro). 
Classificação de uma equação do 1º grau 
(primeiro grau) 
As equações algébricas podem ser racionais 
e irracionais. 
Racionais: quando a variável não tem 
nenhum expoente fracionário, ou seja, quando a 
incógnita não está sob um radical. Caso contrário, 
são ditas irracionais. 
Exemplo: 
 2x – 16 = 0 (racional) 
 
As equações racionais classificam-se em 
inteiras e fracionarias. São inteiras se todos os 
expoentes das incógnitas são números inteiros e 
positivos. Caso contrário, se existir uma incógnita no 
denominador ou, com expoente inteiro e negativo, a 
equação se diz fracionária. 
Exemplo: 
2x – 16 = 0 (racional inteira) 
 
Equações equivalentes 
Duas ou mais equações são equivalentes 
quando admitem as mesmas soluções ou mesmos 
conjuntos verdade. 
Exemplo: 
 3x – 9 = 0 ⇒ admites 3 como 
solução (ou raiz) 
 4 + x = 7 ⇒ admite 3 como solução 
(ou raiz) 
Então podemos dizer que estas equações 
são equivalentes. 
Equações numéricas 
É a equação que não tem nenhuma outra 
letra diferente a não ser a das incógnitas. 
Exemplo: 
 x – 5 = -2x + 22 
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Equações literais 
Toda equação que contém outra letra, além 
das que representam as variáveis. 
Exemplo: 
3ax – 5 = ax + 4 (variável x) 
Equações possíveis e determinadas 
São as equações que admitem um número 
finito de soluções que, neste caso, por ser uma 
equação do 1º grau só admite uma única solução. 
Exemplo: 
x – 2(x + 1) = -3 (admite somente o número 
1 como solução) 
S = V = {1} conjunto unitário (conjunto que 
possui somente um elemento) 
Equações possíveis e indeterminadas 
Equações que admitem infinitas soluções, 
ou seja, um número infinito de soluções. Também 
denominada de identidades. Seu conjunto verdade 
é representado pelos números reais. 
V = S = R (conjunto de todos os números 
reais) 
Exemplo: 
5x – 2y = 105 (admite infinitas soluções) 
Equações impossíveis 
São todas as equações que não admitem 
soluções. Seu conjunto solução é o conjunto vazio 
Exemplo: 
x + 2 = x + 3 ⇒ x – x = -2 + 3 ⇒ 0 = 1 
Não forma uma igualdade. 
Conjunto solução ou conjunto verdade: V = 
S = {} = Ø = vazio 
Como resolver uma equação de primeiro 
grau? 
Para resolver uma equação do primeiro 
grau deve-se levar em consideração que ao 
mudarmos as variáveis (incógnitas) e os valores 
numéricos de posição na equação, a igualdade 
deve continuar sendo verdadeira. 
Também devemos ficar atento com o sinal 
de cada variável ou valor numérico, pois para que a 
igualdade continue valendo devemos inverter o 
sinal ao mudar de lado na equação apenas quando 
se trata de uma adição ou subtração. 
Dessa forma, uma multiplicação passa para 
o outro lado dividindo, uma divisão passa 
multiplicando, uma subtração passa somando e 
uma soma passa subtraindo. Veja: 
Exemplo: Encontrar o valor de x na 
equação 3x + 2 = x + 1 
 
Dessa forma o valor da variável x que torna a 
equação verdadeira é -
1
⁄2. 
Vamos ver outro exemplo. 
Exemplo: Encontrar o valor de x para a 
equação -5x = -5 
Existe duas formas de responder essa 
equação, multiplicando os dois lados por -1 para 
tornar toda a equação positiva ou manter o sinal e 
lembrar que durante a divisão de dois números 
negativos o sinal muda para positivo. Veja: 
 
Atenção: a multiplicação por -1 só deve 
acontecer quando os dois lados são negativos, caso 
contrário não terá efeito agradável. 
INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 
Quando estudamos equações do 1º grau 
lidamos com igualdades, ou seja, expressões em que 
precisamos encontrar um valor para a variável em 
questão. Porém, quando tratamos de uma 
inequação a nossa expressão conterá, ao invés do 
sinal de igual (=), outros sinais que determinarão uma 
relação de ordem entre os seus elementos. 
Geralmente, o conjunto solução de inequações será 
definido no conjunto dos números Reais. Abaixo as 
desigualdades e relações de ordem de números 
Reais: 
Se x≥y, dizemos que x é maior ou igual a y; 
Se x>y, então x é maior do que y; 
Se x≠y, dizemos que x é diferente de y. 
Agora, algumas propriedades a respeito das 
desigualdades: 
Reflexiva: x≥x 
Antissimétrica: x≥y e y≥x⇒x=y 
Transitiva: x≥y e y≥z⇒x≥z 
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Compatibilidade com a Adição: 
x≥y⇒x+z≥y+z 
Compatibilidade com a Multiplicação: 
x≥y e z≥0⇒xz≥yz 
Exemplo 1) Tomemos agora x, y, z e w, 
quaisquer números Reais e vamos descobrir se há 
uma relação de ordem entre eles dados x≤y e z≤w. 
Pela compatibilidade com a adição 
podemos dizer que: 
x≤y⇒x+z≤y+z 
z≤w⇒y+z≤y+w 
Agora, pela propriedade transitiva temos: 
x+z≤y+zy+z≤y+w}⇒x+z≤y+w 
Concluindo: 
x≤yz≤w}⇒x+z≤y+w 
Resolvendo equações do primeiro grau 
Exemplo 2) Vamos resolver a equação: 
3x+4<x−8, inicialmente solucionamos como uma 
equação do primeiro grau comum, isolando as 
variáveis conservando a regra de sinais: 
3x−x<−4−8 
2x<−12 
x<−122 
x<−6 
Sendo assim, o conjunto solução da 
equação será: 
S={x∈R:x<−6} 
A solução também pode ser escrita na 
notação de intervalos reais ou representado na reta 
real como: 
 
S=]−∞,−6[ 
Exemplo 3) Agora, note a solução da 
equação 3x+4≤7x−8: 
3x−7x≤−4−8 
−4x≤−12 
Perceba que neste ponto, ambos os lados 
da desigualdade estão negativos. 
Convenientemente, podemos trocar o sinal de 
ambos os lados da igualdade multiplicando toda a 
expressão por (-1). Mas, numa desigualdade, 
quando invertemos o sinal de toda a expressão, 
também invertemos a desigualdade, o que nos leva 
a: 
4x≥12 
x≥124 
x≥3 
Escrevendo então o conjunto solução desta 
equação nas três possíveis representações temos: 
S={x∈R:x≥3} 
S=[3,+∞[ 
 
Estudando sinais de inequações 
Estudar sinais de inequações permite saber 
todas as possibilidades para determinar o valor de 
variáveis em uma expressão. Veja os exemplos 
abaixo: 
Exemplo 4) Vamos estudar o sinal da 
expressão x-4. Note que esta expressão não está 
definida em uma igualdade ou desigualdade. 
Podemos dizer então que existem três possibilidades, 
são elas: 
⎧⎩⎨x−4>0⇒x>4x−4<0⇒x<4x−4=0⇒x=4 
Escolhendo valores maiores, menores ou 
iguais a 4, vemos que o seu sinal sofrerá mudanças à 
medida que variarmos o valor de x. Supondo que 
escolha um valor de x que seja menor do que 4, por 
exemplo, 3. Pela expressão teríamos: 
x−4⇒3−4=−1 
Então, para qualquer valor menor do que 
quatro, o resultado da expressão será sempre um 
número negativo. Agora um valor maior que 4, pode 
ser o 5: 
x−4⇒5−4=1 
Qualquer valor maior do que 4 a expressão 
resultará sempre em um número positivo. E se o 
valor de x fosse 4, teríamos o zero: 
x−4⇒4−4=0 
Por fim, se analisarmos o resultado obtido 
pelo nosso estudo de sinal na reta real, chegaríamos 
à seguinte representação: 
 
O que significa que qualquer valor à direita 
da reta sempre nos retornaria um valor positivo, à 
esquerda valores negativos e quando x for 4 a 
expressão será igual a zero. 
Exemplo 5) Existem algumas inequações 
onde, para obtermos uma solução, é necessário 
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estudar o comportamento do sinal. Vamos 
solucionar a inequação 3x+1x−5>0: 
Como esta inequação está na forma de 
uma fração, devemos inicialmente estudar o sinal 
dos dois termos separadamente assim como 
fizemos no exemplo 4 e depois comparar as 
análises com a inequação completa: 
 
Como a nossa inequação originalmente era 
3x+1x−5>0 vemos que após o estudo do sinal, 
nossa solução não estará entre −13 e 5, pois neste 
intervalo qualquer valor de x terá valor negativo. 
Substituindo o valor de x na equação original por 
−13 temos: 
3⋅(−13)+1−13−5=0−13−5=0 
A nossa inequação originalmente dizia quer 
o valor da expressão deve ser maior do que zero, 
logo −13 não estará contido no nosso conjunto 
solução. Vamos agora substituir por 5: 
3⋅(5)+15−5=160=∃ 
Então, 5 também não estará contido no 
intervalo do conjunto solução. Por fim, a solução 
para esta equação será: 
S={x∈R:x<−13 ou x>5} 
S=]−∞,−13[∪]5,+∞[ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EQUAÇÕES DE 2º GRAU 
Equações algébricas são equações nas 
quais a incógnita x está sujeita a operações 
algébricas como: adição, subtração, multiplicação, 
divisão e radiciação. 
Exemplos: 
1. a x + b = 0 
2. a x² + bx + c = 0 
3. a x4 + b x² + c = 0 
Uma equação algébrica está em sua forma 
canônica, quando ela pode ser escrita como: 
ao x
n
 + a1 x
n-1
 + ... + an-1 x
1
 + an = 0 
onde n é um número inteiro positivo 
(número natural). O maior expoente da incógnita 
em uma equação algébrica é denominado o grau da 
equação e o coeficiente do termo de mais alto grau 
é denominado coeficiente do termo dominante. 
Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o 
grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. 
Neste caso, dizemos que esta é uma equação do 
segundo grau. 
A FÓRMULA QUADRÁTICA DE SRIDHARA 
(BHASKARA) 
Mostraremos na sequência como o 
matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida 
como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral 
para a resolução de equações do segundo grau. 
Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não 
foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu 
Sridhara, pelo menos um século antes da 
publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo 
próprio Bhaskara, embora o material construído 
pelo pioneiro não tenha chegado até nós. 
O fundamento usado para obter esta 
fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação 
do segundo grau a uma do primeiro grau, através 
da extração de raízes quadradas de ambos os 
membros da mesma. 
Seja a equação: 
a x² + b x + c = 0 
com a não nulo e dividindo todos os 
coeficientes por a, temos: 
x² + (b/a) x + c/a = 0 
Passando o termo constante para o 
segundo membro, teremos: 
x² + (b/a) x = -c/a 
Prosseguindo, faremos com que o lado 
esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e 
para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os 
membros da equação para obter:x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)² 
Simplificando ambos os lados da equação, 
obteremos: 
[x+(b/2a)]
2 
= (b² - 4ac) / 4a² 
Notação: Usaremos a notação R[x] para 
representar a raiz quadrada de x>0. R[5] 
representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está 
sendo introduzida aqui para fazer com que a página 
seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem 
HTML ainda não permite apresentar notações 
matemáticas na Internet de uma forma fácil. 
Extraindo a raiz quadrada de cada membro 
da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo 
número real não negativo é também não negativa, 
obteremos duas respostas para a nossa equação: 
x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²] 
ou 
x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²] 
que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem: 
 
contendo um sinal ± que é lido como mais ou 
menos. Lembramos que este sinal ± não tem 
qualquer significado em Matemática. 
Como estamos procurando duas raízes para 
a equação do segundo grau, deveremos sempre 
escrever: 
x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a 
ou 
x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a 
A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita 
como: 
 
onde D (às vezes usamos a letra maiúscula 
"delta" do alfabeto grego) é o discriminante da 
equação do segundo grau, definido por: 
D = b² - 4ac 
Uma equação do segundo grau na incógnita 
x é da forma: 
a x² + b x + c = 0 
onde os números reais a, b e c são os 
coeficientes da equação, sendo que a deve ser 
diferente de zero. Essa equação é também chamada 
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de equação quadrática, pois o termo de maior grau 
está elevado ao quadrado. 
EQUAÇÃO COMPLETA DO SEGUNDO GRAU 
Uma equação do segundo grau é completa, 
se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de 
zero. 
Exemplos: 
1. 2 x² + 7x + 5 = 0 
2. 3 x² + x + 2 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fatorar é o mesmo que decompor o número 
em fatores primos, isto é, escrever um número 
através da multiplicação de números primos. Na 
fatoração utilizamos os números primos 
obedecendo a uma ordem crescente de acordo com 
as regras de divisibilidade em razão do termo a ser 
fatorado. Números primos são aqueles que podem 
ser divididos somente por um e por ele mesmo. 
Observe a decomposição em fatores primos dos 
números a seguir: 
24 = 2 x 2 x 2 x 3 
10 = 2 x 5 
52 = 2 x 2 x 13 
112 = 2 x 2 x 2 x 2 x 7 
600 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5 
Forma prática de fatoração 
O número a ser fatorado deverá ocupar a 
coluna da esquerda e a coluna da direita será 
preenchida com os fatores primos. Ao dividir o 
número pelo algarismo primo os resultados deverão 
ser colocados na coluna da direita. As divisões 
deverão ser efetuadas no intuito de simplificar ao 
máximo o número, isto é reduzi-lo ao número 1. 
 
Objetivos da fatoração 
Cálculo da raiz quadrada de um número. 
Vamos determinar a raiz quadrada do 
número 144. 
De acordo com a fatoração do número 144 
temos: 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3. 
No caso da raiz quadrada, podemos 
representar o número 144 da seguinte forma: 
2² x 2² x 3². Como o índice da raiz 
quadrada é 2, podemos simplificar os expoentes de 
valor 2 com o índice 2 da raiz. As bases dos 
expoentes simplificados saem da raiz multiplicadas 
entre si. Acompanhe a demonstração a seguir: 
 
Fatorar significa transformar a soma e a 
subtração de expressões algébricas ou equações 
em um produto com fatores. Podemos entender a 
fatoração como sendo a simplificação das sentenças 
matemáticas. Existem sete casos de fatoração, 
confira a seguir alguns deles. 
Fator comum em evidência 
Esse caso de fatoração é determinado pela 
fórmula: 
ax+bx=x⋅(a+b) 
Veja que o termo a ser colocado em 
evidência foi o x, pois ele se repete na composição 
do monômio ax e bx. 
Exemplos: 
6x+6y=6⋅(x+y) 
2ax−3bx=x⋅(2a−3b) 
cx2+bx=x⋅(cx+b) 
Observe que nesse exemplo o x de menor 
grau foi colocado em evidência. 
Agrupamento 
A fórmula geral que estabelece o 
agrupamento é dada por: 
ax+bx+ay+by=(x+y)⋅(a+b) 
Sendo que: 
ax+bx+ay+by=x⋅(a+b)+y⋅(a+b)=(x+y)⋅(a+b) 
Observe que nesse caso de fatoração não há 
um fator que será comum a todos os termos, temos 
somente fatores que são comuns a alguns termos. 
Exemplos: 
⇒ 2x+8x+2y+8y= 
=x⋅(2+8)+y⋅(2+8)= 
=(2+8)⋅(x+y) 
⇒ 5z+2z+5x+2x= 
=5z+5x+2z+2x= 
=5⋅(z+x)+2⋅(z+x)= 
=(5+2)⋅(z+x) 
Diferença de dois quadrados 
Confira a seguir a fórmula geral desse caso 
de fatoração: 
a2−b2=(a+b)⋅(a−b) 
Observe que esse caso de fatoração é o 
inverso do produto notável Soma pela Diferença de 
Dois Quadrados, representado por: 
(a+b)⋅(a−b)=a2−b2 . Acompanhe a seguir alguns 
exemplos da Diferença de Dois Quadrados: 
Exemplos: 
⇒ 36x2−81y2= 
=(6x)2−(9y)2= 
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=(6x+9y)⋅(6x−9y) 
⇒ 4x2−9z2= 
=(2x)2−(3z)2= 
=(2x+3z)⋅(2x−3z) 
Trinômio quadrado perfeito 
Esse caso de fatoração é o inverso dos 
produtos notáveis: Quadrado da soma de dois 
termos e Quadrado da diferença de dois termos. O 
Trinômio quadrado perfeito possui representação 
tanto na soma como na diferença. Acompanhe a 
seguir as suas fórmulas gerais. 
Diferença: a2−2ab+b2=(a−b)2 
Soma: a2+2ab+b2=(a+b)2 
Façamos agora um exemplo de cada caso: 
Exemplos: 
Diferença: 9y2−12y+4= 
=(3y)2−2⋅3y⋅2+(2)2= 
(3y−2)2 
Isso por que: 9y2=(3y)2 
12y=2⋅3y⋅2 
4=(2)2 
Soma: 16x2+40x+25= 
=(4x)2−2⋅4x⋅5+(5)2= 
(4x+5)2 
Isso por que: 16y2=(4y)2 
40x=2⋅4x⋅5 
25=(5)2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
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Praticamente todos os dias, observamos 
nos meios de comunicação, expressões 
matemáticas relacionadas com porcentagem. O 
termo por cento é proveniente do Latim per centum 
e quer dizer por cem. Toda razão da forma a/b na 
qual o denominador b=100, é chamada taxa de 
porcentagem ou simplesmente porcentagem ou 
ainda percentagem. 
Historicamente, a expressão por cento 
aparece nas principais obras de aritmética de 
autores italianos do século XV. O símbolo %surgiu 
como uma abreviatura da palavra cento utilizada 
nas operações mercantis. 
Para indicar um índice de 10 por cento, 
escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 
unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 
80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, 
isto é: 
Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 
= 8 
Em geral, para indicar um índice de M por 
cento, escrevemos M% e para calcular M% de um 
número N, realizamos o produto: 
Produto = M%.N = M.N / 100 
Exemplos: 
1. Um fichário tem 25 fichas 
numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão 
etiquetadas com um número par. Quantas fichas 
têm a etiqueta com número par? Quantas fichas 
têm a etiqueta com número ímpar? 
Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 
13 
Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com 
número par e 12 fichas com número ímpar. 
2. Num torneio de basquete, uma 
determinada seleção disputou 4 partidas na 
primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de 
vitórias obtida por essa seleção nessa fase? 
Vamos indicar por X% o número que 
representa essa porcentagem. Esse problema pode 
ser expresso da seguinte forma: 
X% de 4 = 3 
Assim: 
(X/100).4 = 3 
4X/100 = 3 
4X = 300 
X = 75 
Na primeira fase a porcentagem de vitórias 
foi de 75%. 
3. Numa indústria há 255 empregadas. 
Esse número corresponde a 42,5% do total de 
empregados da indústria. Quantas pessoas 
trabalham nesse local? Quantos homens trabalham 
nessa indústria? 
Vamos indicar por X o número total de 
empregados dessa indústria. Esse problema pode 
ser representado por: 
42,5% de X = 255 
Assim: 
42,5%.X = 255 
42,5 / 100.X = 255 
42,5.X / 100 = 255 
42,5.X = 25500 
425.X = 255000 
X = 255000/425 = 600 
Nessa indústria trabalham 600 pessoas, 
sendo que há 345 homens. 
4. Ao comprar uma mercadoria, obtive 
um desconto de 8% sobre o preço marcado na 
etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual 
o preço original dessa mercadoria? 
Seja X o preço original da mercadoria. Se 
obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o 
preço que paguei representa 100%-8%=92% do 
preço original e isto significa que 
92% de X = 690 
logo 
92%.X = 690 
92/100.X = 690 
92.X / 100 = 690 
92.X = 69000 
X = 69000 / 92 = 750 
O preço original da mercadoria era de R$ 
750,00. 
É frequente o uso de expressões que 
refletem acréscimos ou reduções em preços, 
números ou quantidades, sempre tomando por base 
100 unidades. Alguns exemplos: 
 A gasolina teve um aumento de 15% 
Significa que em cada R$100 houve um 
acréscimo de R$15,00 
 O cliente recebeu um desconto de 
10% em todas as mercadorias. 
Significa que em cada R$100 foi dado um 
desconto de R$10,00 
 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 
90% são craques. 
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Significa que em cada 100 jogadores que 
jogam no Grêmio, 90 são craques. 
Razão centesimal 
Toda a razão que tem para consequente o 
número 100 denomina-se razão centesimal. 
Alguns exemplos: 
 
Podemos representar uma razão 
centesimal de outras formas: 
 
As expressões 7%, 16% e 125% são 
chamadas taxas centesimais ou taxas 
percentuais. 
Considere o seguinte problema: 
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. 
Quantos cavalos ele vendeu? 
Para solucionar esse problema devemos aplicar a 
taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. 
 
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que 
representa a porcentagem procurada. 
Portanto, chegamos a seguinte definição: 
Porcentagem é o valor obtido ao 
aplicarmos uma taxa percentual a um 
determinado valor. 
Exemplos: 
 Calcular 10% de 300. 
 
 Calcular 25% de 200kg. 
 
 
Logo, 50kg é o valor correspondente à 
porcentagem procurada. 
EXERCÍCIOS: 
1) Um jogador de futebol, ao longo de um 
campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em 
gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse 
jogador fez? 
 
Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 
2) Se eu comprei uma ação de um clube por 
R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa 
percentual de lucro obtida? 
Montamos uma equação, onde somando os 
R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou 
em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00. 
 
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 
20%. 
Uma dica importante: o FATOR DE 
MULTIPLICAÇÃO. 
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a 
um determinado valor, podemos calcular o novo valor 
apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o 
fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, 
multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a 
tabela abaixo: 
Acréscimo 
ou Lucro 
Fator de 
Multiplicação 
10% 1,10 
15% 1,15 
20% 1,20 
47% 1,47 
67% 1,67 
Exemplo: Aumentando 10% no valor de 
R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 
No caso de haver um decréscimo, o fator de 
multiplicação será: 
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na 
forma decimal) 
Veja a tabela abaixo: 
Desconto 
Fator de 
Multiplicaçã
o 
10% 0,90 
25% 0,75 
34% 0,66 
60% 0,40 
90% 0,10 
Exemplo: Descontando 10% no valor de 
R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 
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* Como calcular porcentagem 
Todo o cálculo de porcentagem,como 
informado, é baseado no número 100. 
O cálculo de tantos por cento de uma 
expressão matemática ou de um problema a ser 
resolvido é indicado pelo símbolo (%), e pode ser 
feito, na soma, por meio de uma proporção simples. 
Para que se possam fazer cálculos com 
porcentagem (%), temos que fixar o seguinte: 
1) A taxa está para porcentagem 
(acréscimo, desconto, etc), assim como o valor 100 
está para a quantia a ser encontrada. 
Exemplificando: 
Um título tem desconto 10%, sobre o valor 
total de R$ 100,00. Qual o valor do título? 
30% : R$ 100,00 
100% : X 
X = R$ 30,00 
2) O número que se efetua o cálculo de 
porcentagem é representado por 100. 
Exemplificando: 
Efetue o cálculo 10% de 50 
100% : 50 
10% : X 
X = 5 
Obs. Nos dois exemplos dados foram 
usados o sistema de cálculo de regra de três, já 
ensinados em tutoriais anteriores. 
3) O capital informado tem sempre por 
igualdade ao 100. 
Exemplificando: 
Efetua-se o resgate de um cheque pré-
datado no valor de R$ 150,00 e obtem-se um 
desconto de 20% 
100% : R$ 150,00 
20% : X 
X = R$ 30,00 
* Exemplos para fixação de definição 
1) Um jogador de basquete, ao longo do 
campeonato, fez 250 pontos, deste total 10% foram 
de cestas de 02 pontos. Quantas cestas de 02 
pontos o jogador fez do total de 250 pontos. 
10% de 250 = 10 X 250 = 2500 = 25 
 100 100 
Portanto, do total de 250 pontos o jogador 
fez 25 pontos de 02 pontos. 
2) Um celular foi comprado por R$ 300,00 e 
revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa 
percentual de lucro ? 
Neste caso é procurado um valor de 
porcentagem no qual são somados os R$ 300,00 
iniciais com a porcentagem aumentada e que tenha 
como resultado o valor de R$ 340,00 
300 + 300.X/100 = 340 
3X = 340 – 300 
X = 40/3 
X = 13,333 (dízima periódica) 
Assim, a taxa de lucro obtida com esta 
operação de revenda foi de 13,33% 
* Fator Multiplicante 
Há uma dica importante a ser seguida, no 
caso de cálculo com porcentagem. No caso se 
houver acréscimo no valor, é possível fazer isto 
diretamente através de uma operação simples, 
multiplicando o valor do produto/serviço pelo fator de 
multiplicação. 
Veja: 
Tenho um produto X, e este terá um 
acréscimo de 30% sobre o preço normal, devido ao 
prazo de pagamento. Então basta multiplicar o valor 
do mesmo pelo número 1,30. Caso o mesmo produto 
ao invés de 30% tenha 20% de acréscimo então o 
fator multiplicante é 1,20. 
Observe esta pequena tabela: 
 
Exemplo: Aumente 17% sobre o valor de um 
produto de R$ 20,00, temos R$ 20,00 * 1,17 = R$ 
23,40 
E assim sucessivamente, é possível montar 
uma tabela conforme o caso. 
Da mesma forma como é possível, ter um 
fator multiplicante quando se tem acréscimo a um 
certo valor, também no decréscimo ou desconto, 
pode-se ter este fator de multiplicação. 
Neste caso, faz-se a seguinte operação: 1 – 
taxa de desconto (isto na forma decimal) 
Veja: 
Tenho um produto Y, e este terá um 
desconto de 30% sobre o preço normal. Então basta 
multiplicar o valor do mesmo pelo número 0,70. Caso 
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o mesmo produto ao invés de 30% tenha 20% de 
acréscimo então o fator multiplicante é 0,80. 
Observe esta pequena tabela: 
 
Exemplo: Desconto de 7% sobre o valor de 
um produto de R$ 58,00, temos R$ 58,00 * 0,93 = 
R$ 53,94 
E assim sucessivamente, é possível montar 
uma tabela conforme o caso. 
* Exercícios resolvidos de porcentagem 
Os exercícios propostos estão resolvidos, 
em um passo-a-passo prático para que se possa 
acompanhar a solução de problemas envolvendo 
porcentagem e também para que se tenha uma 
melhor fixação sobre o conteúdo. 
1) Qual valor de uma mercadoria que 
custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta um 
lucro de 17%? 
Solução: 
100% : 555 
17 X 
X = 555x17 /100 = 9435/100 
X = 94,35 
Temos o valor da mercadoria: R$ 555,00 + 
R$ 94,35 
Preço Final: R$ 649,35 
Obs. Este cálculo poderia ser resolvido 
também pelo fator multiplicador: R$ 555,00 * 1,17 = 
R$ 649,35 
2) Um aluno teve 30 aulas de uma 
determinada matéria. Qual o número máximo de 
faltas que este aluno pode ter sabendo que ele será 
reprovado, caso tenha faltado a 30% (por cento) 
das aulas ? 
Solução: 
100% : 30 
30% : X 
X = 30.30 / 100 = 900 / 100 = 9 
X = 9 
Assim, o total de faltas que o aluno poderá 
ter são 9 faltas. 
3) Um imposto foi criado com alíquota de 2% 
sobre cada transação financeira efetuada pelos 
consumidores. Se uma pessoa for descontar um 
cheque no valor de R$ 15.250,00, receberá líquido 
quanto? 
100% : 15.250 
0,7% : X 
Neste caso, use diretamente o sistema de 
tabela com fator multiplicador. O capital principal que 
é o valor do cheque é : R$ 15.250,00 * 0,98 = R$ 
14.945,00 
Assim, o valor líquido do cheque após 
descontado a alíquota será de R$ 14.945,00. Sendo 
que os 2% do valor total representam a quantia de 
R$ 305,00. 
Somando os valores: R$ 14.945,00 + R$ 
305,00 = R$ 15.250,00 
Obs. Os quadros dos cálculos foram 
colocados em cada operação repetidamente, de 
propósito, para que haja uma fixação, pois é 
fundamental conhecer “decoradamente” estas 
posições. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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JUROS SIMPLES 
O regime de juros será simples quando o 
percentual de juros incidir apenas sobre o valor 
principal. Sobre os juros gerados a cada período 
não incidirão novos juros. 
Valor Principal ou simplesmente principal é 
o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de 
somarmos os juros. Transformando em fórmula 
temos: 
J = P . i . n 
Onde: 
J = juros 
P = principal 
(capital) 
i = taxa de 
juros 
n = número 
de períodos 
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 
que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo 
regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 
meses. Os juros que pagarei serão: 
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 
Ao somarmos os juros ao valor principal 
temos o montante. 
Montante = Principal + Juros 
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de 
juros x Número de períodos ) 
M = P . ( 1 + ( i . n ) ) 
Exemplo: Calcule o montante resultante da 
aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. 
durante 145 dias. 
SOLUÇÃO: 
M = P . ( 1 + (i.n) ) 
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = 
R$72.960,42 
Observe que expressamos a taxa i e o 
período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, 
anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o 
valor equivalente em anos, já que um ano comercial 
possui 360 dias. 
Exercícios sobre juros simples: 
1) Calcular os juros simples de R$ 
1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 
0.13 / 6 = 0.02167 
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195 
j = 1200 x 0.195 = 234 
2 - Calcular os juros simples produzidos 
por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., 
durante 125 dias. 
Temos: J = P.i.n 
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias 
= 0,001 a.d. 
Agora, como a taxa e o período estão 
referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, 
poderemos calcular diretamente: 
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00 
3 - Qual o capital que aplicado a juros 
simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros 
em 75 dias? 
Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 
3500 = P.(1,2/100).(75/30) 
Observe que expressamos a taxa i e o 
período n em relação à mesma unidade de tempo, ou 
seja, meses. Logo, 
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: 
P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67 
4 - Se a taxa de uma aplicação é de150% 
ao ano, quantos meses serão necessários para 
dobrar um capital aplicado através de 
capitalização simples? 
Objetivo: M = 2.P 
Dados: i = 150/100 = 1,5 
Fórmula: M = P (1 + i.n) 
Desenvolvimento: 
2P = P (1 + 1,5 n) 
2 = 1 + 1,5 n 
n = 2/3 ano = 8 meses 
JUROS COMPOSTOS 
O regime de juros compostos é o mais 
comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil 
para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros 
gerados a cada período são incorporados ao principal 
para o cálculo dos juros do período seguinte. 
Chamamos de capitalização o momento em 
que os juros são incorporados ao principal. 
Após três meses de capitalização, temos: 
1º mês: M =P.(1 + i) 
2º mês: o principal é igual ao montante do 
mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 
3º mês: o principal é igual ao montante do 
mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) 
Simplificando, obtemos a fórmula: 
M = P . (1 + i)
n
 
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Importante: a taxa i tem que ser expressa 
na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de 
juros ao mês para n meses. 
Para calcularmos apenas os juros basta 
diminuir o principal do montante ao final do período: 
J = M - P 
Exemplo: 
Calcule o montante de um capital de 
R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 
ano, à taxa de 3,5% ao mês. 
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788) 
Resolução: 
P = R$6.000,00 
t = 1 ano = 12 meses 
i = 3,5 % a.m. = 0,035 
M = ? 
Usando a fórmula M=P.(1+i)
n
, obtemos: 
M = 6000.(1+0,035)
12
 = 6000. (1,035)
12
 
Fazendo x = 1,035
12
 e aplicando logaritmos, 
encontramos: 
log x = log 1,035
12
 => log x = 12 log 1,035 
=> log x = 0,1788 => x = 1,509 
Então M = 6000.1,509 = 9054. 
Portanto o montante é R$9.054,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
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São juros recebidos (devolvidos) ou 
concedidos quando o pagamento de um título é 
antecipado. 
O desconto é a diferença entre o valor 
nominal (S) de um título na data do seu vencimento 
e o seu valor atual (C) na data em que é efetuado o 
pagamento, ou seja: 
D = S - C 
Os descontos são nomeados simples ou 
compostos em função do cálculo dos mesmos 
terem sido no regime de juros simples ou 
compostos, respectivamente. 
Os descontos (simples ou compostos) 
podem ser divididos em: 
 Desconto comercial, bancário ou 
por fora; 
 Desconto racional ou por dentro. 
DESCONTOS SIMPLES 
 Por Fora (Comercial ou Bancário) 
O desconto é calculado sobre o valor 
nominal (S) do título, utilizando-se taxa de juros 
simples 
Df = S.i.t 
 É o desconto mais utilizado no 
sistema financeiro, para operações de curto prazo, 
com pequenas taxas. 
 O valor a ser pago (ou recebido) 
será o valor atual C = S - Df = S - S.i.t , ou seja 
C = S.(1- i.t) 
 Por Dentro (Racional) 
 O desconto é calculado sobre o 
valor atual (C) do título, utilizando-se taxa de juros 
simples 
Dd = C.i.t 
 Como C não é conhecido (mas sim, 
S) fazemos o seguinte cálculo: 
C = S - Dd ==> C = S - C.i.t ==> C + C.i.t = S ==> 
C(1 + i.t) = S 
C = S/(1 + i.t) 
 Este desconto é utilizado para 
operações de longo prazo. 
 Note que (1 - i.t) pode ser nulo, 
mas (1 + i.t) nunca vale zero. 
DESCONTOS COMPOSTOS 
 O desconto (Dc) é calculado com 
taxa de juros compostos, considerando n período(s) 
antecipado(s): 
Dc = S - C 
 onde, de S = C.(1 + i)
n
, tiramos que 
C = S/(1 + i)
n
 
DESCONTO RACIONAL E DESCONTO 
COMERCIAL 
 A chamada operação de desconto 
normalmente é realizada quando se conhece o valor 
futuro de um título (valor nominal, valor de face ou 
valor de resgate) e se quer determinar o seu valor 
atual. O desconto deve ser entendido como a 
diferença entre o valor de resgate de um título e o 
seu valor presente na data da operação, ou seja: D = 
VF - VP, em que D representa o valor monetário do 
desconto, VF o seu valor futuro (valor assumido pelo 
título na data do seu vencimento) e VP o valor 
creditado ou pago ao seu titular. Assim como no caso 
dos juros, o valor do desconto também está 
associado a uma taxa e a determinado período de 
tempo. 
 Embora seja frequente a confusão 
entre juros e descontos, trata-se de dois critérios 
distintos, claramente caracterizados. Assim, 
enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao 
período da operação incide sobre o capital inicial ou 
valor presente, no desconto à taxa do período incide 
sobre o seu montante ou valor futuro. 
 De maneira análoga aos juros, os 
descontos são também classificados em simples e 
composto, envolvendo cálculos lineares no caso do 
desconto simples e exponencial no caso do desconto 
composto. 
 O desconto é dividido em: 
 a) Desconto Racional (por dentro). 
 b) Desconto Comercial (por fora). 
DESCONTO RACIONAL 
 Desconto Racional é calculado 
sobre o valor atual. 
 Desconto racional simples é aquele 
aplicado no valor atual do título n períodos antes do 
vencimento, ou seja, é o mesmo que juro simples. 
Não será dada muita importância a menos de 
comparação, pois raramente tem sido aplicado no 
Brasil. 
Dr = VF – VP 
 Onde Dr = Desconto Racional 
 Como VP = VF /(1+i.n) 
 Temos: 
)1(
..
in
niVF
Dr


 
 Desconto Racional: é o equivalente 
ao juro simples produzido pelo valor atual no período 
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correspondente. Também chamado de “desconto 
por dentro”. 
Dr = Vn – Va = Vn - Vn / ( 1 + i . n ) = Vn . i . n / ( 1 
+ i . n ) 
 Desconto Racional Composto: é 
o Desconto Racional calculado com jurocomposto. 
Drc = Vn - Vn / ( 1 + i ) ^ n 
 Sendo “i” a taxa de desconto (ou 
taxa de juro), “n” o número de períodos antes do 
vencimento e “^” o símbolo de potência). 
DESCONTO COMERCIAL 
 Desconto Comercial é calculado 
sobre o valor nominal 
 Desconto comercial simples é 
aquele em que a taxa de desconto incide sempre 
sobre o montante ou valor futuro. É utilizado no 
Brasil de maneira ampla e generalizado, 
principalmente nas chamadas operações de 
“desconto de duplicatas” realizadas pelos bancos, 
sendo, por essa razão, também conhecido por 
desconto bancário ou comercial. É obtido 
multiplicando-se o valor de resgate do título pela 
taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu 
vencimento, ou seja: 
D = VF.d.n 
 Onde d representa a taxa de 
desconto e n o prazo. E para se obter o valor 
presente, também chamado de valor descontado, 
basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do 
título, como segue: 
VP = FV – D 
 Daí vem que: VP = VF – VF.d.n => 
VP = VF.(1. –.d.n) 
 Desconto Comercial: é o 
equivalente ao juro simples produzido pelo valor 
nominal no período correspondente. Também 
chamado de “desconto por fora”. Alguns o chamam 
de “desconto irracional”. 
Dc = Vn . i . n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
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Quando estudamos função em matemática 
é importante compreendermos o que é uma 
relação, pois função nada mais é que uma relação 
entre dois conjuntos. 
Isso não significa que toda relação seja uma 
função, para que uma determinada relação seja 
uma função é preciso seguir algumas regras. 
Aqui iremos trabalhar a relação entre dois 
conjuntos e as formas pelas quais essa relação 
pode ser representada. 
Dado dois conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = 
{3, 4, 5, 6}, atribuímos à 
relação de A para B (A → B), isso significa que os 
elementos de A estão relacionados com os 
elementos de B, veja: 
A 0 1 2 3 
B 3 4 5 6 
Da relação feita acima podemos tirar um 
conjunto (conjunto formado pela relação dos 
conjuntos A e B: 
R = {(0,3) (1,4) (2,5) (3,6)} 
O conjunto R é formado pela relação dos 
elementos de A e de B formados por pares 
ordenados, o primeiro número de cada par é 
chamado de domínio da relação e o segundo de 
imagem da relação. 
Assim, são formados mais dois conjuntos 
dessa mesma relação, o conjunto domínio e o 
conjunto imagem: 
D (R) = {0, 1, 2, 3} 
Im (R) = {3, 4, 5, 6} 
A relação A → B pode ser representada das 
seguintes formas: 
►Pares ordenados: R = {(0, 3) (1, 4) (2, 5) 
(3, 6)} 
►Podemos colocar esses pares ordenados 
em forma de gráficos: 
 
►Mediante uma regra 
Para relacionarmos o eixo x com o eixo y foi 
estabelecida uma regra para que essa relação seja 
feita. Se observarmos veremos que em cada 
elemento do eixo x foram adicionadas 3 unidades 
para que esse seja relacionado com um número do 
eixo y. 
x x + 3 y 
0 0 + 3 3 
1 1 + 3 4 
2 2 + 3 5 
3 3 + 3 6 
►Diagrama 
Essa regra pode ser colocada em forma de 
diagrama. 
 
 
 
 
 
 
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ÁREA 
Já o conceito de área é mais complicado 
porque não é padrão, visto que diversas formas 
geométricas têm os seus próprios cálculos. A área 
é a delimitação interna de um polígono. 
Geralmente, área é mais utilizada do que o 
perímetro, justamente para medir terrenos. A seguir 
será exemplificado os cálculos de áreas mais 
comuns: 
• Retângulo: base x altura. Se o retângulo 
tiver 5 cm de altura e 10 de base, a sua área será 
de 50. 
• Quadrado: lado x lado. Como o quadrado 
tem todos os lados iguais e se tiver 5 cm cada lado, 
a sua área será a multiplicação, isto é, 25 cm. 
• Triângulo: base x altura/2. O triângulo 
nada mais é do que a metade de um retângulo, 
logo, se sua base for de 6 cm e altura de 4 cm, a 
sua área será de 12 cm. 
• Losango: Diagonal Maior x Diagonal 
menor. Para a área do losango, deve-se multiplicar 
a sua diagonal maior, de 7 cm, pela sua diagonal 
menor, de 5 cm, por exemplo. Sua área seria de 35 
cm. 
• Círculo: (pi) x r2. A área do círculo é 
achada ao dividi-lo em partes iguais, até formar 
triângulos. Se o raio do círculo for 10 cm e pi é 
considerado 3,14, a área seria de 314 cm. 
PERÍMETRO 
O perímetro, muitas vezes, é pensado 
como a “soma de todos os lados”, entretanto, o 
perímetro de um cilindro, por exemplo, não tem 
lados, logo esse tipo de conceito está equivocado. 
Por isso que se diz que o perímetro é a soma do 
contorno de uma figura (geométrica ou não). Por 
exemplo, se cada lado de um quadro tiver 5 cm, o 
seu perímetro será 20 (5 + 5 + 5 + 5). 
VOLUME 
Já o volume é conhecido por ser o sólido 
que ocupa o espaço de um polígono ou uma forma 
geométrica. Para realizar o cálculo de volume, é 
preciso considerar as três dimensões. Para cada 
forma, há um cálculo diferente, também. 
• Paralelepípedo retângulo: a x b x c; 
• Cubo: a x a x a; 
• Cilindro: (pi) x r2 x h; 
Para o dia a dia é muito comum nós 
pensarmos sobre o volume, principalmente ao 
estacionar o carro ou encher um copo ou recipiente 
de água. 
DENSIDADE 
A densidade é uma propriedade específica 
de cada material que serve para identificar uma 
substância. Essa grandeza pode ser enunciada da 
seguinte forma: 
A densidade (ou massa específica) é a 
relação entre a massa (m) e o volume (v) de 
determinado material (sólido, líquido ou gasoso). 
Matematicamente, a expressão usada para 
calcular a densidade é dada por: 
 
Equação matemática para o cálculo da 
densidade 
Unidades de medida para a densidade 
A unidade de medida da densidade, no 
Sistema Internacional de Unidades, é o quilograma 
por metro cúbico (kg/m
3
), embora as unidades mais 
utilizadas sejam o