Dimensionamento de pilares intermediários

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DIMENSIONAMENTO 
DE PILARES DE 
EXTREMIDADE E 
CANTO
1 – PILARES DE EXTREMIDADE
▪ Definição: recebem o carregamento de vigas em que uma delas é contínua e 
outra não. Desta forma momentos fletores de 1ª ordem 𝑀1𝑑,𝐴,𝑥 ou 𝑀1𝑑,𝐴,𝑦 são 
aplicados nas extremidades desses pilares.
▪ Os momentos fletores aplicados nas extremidades do pilar são obtidos com a
resolução do pórtico assim formado, que leva em conta o carregamento da viga
não contínua, esta recebe as cargas das lajes e paredes
■ Roteiro para o cálculo e pilares de extremidade
o A sequência é a mesma do cálculo dos pilares intermediários
➢ Determinação da altura útil do pilar - 𝑙𝑒
A altura útil pode ser determinada pela distância entre eixos das vigas de 
cada pavimento
➢ Cálculo da força normal solicitante de cálculo 𝑁𝑑, dada por:
𝑁𝑑 = 𝛾𝑛. 𝛾𝑓 . 𝑁𝑘. Onde: 𝛾𝑛 = 1,95 − 0,05 ∙ 𝑏 ou ver tabela e 𝛾𝑓 = 1,4
➢ Cálculo da esbeltez 𝜆𝑒 segundo os eixos x e y;
➢ Cálculo dos momentos mínimos para os eixos x e y
Para os pilares de extremidade devem ser calculados também os
momentos mínimos para os eixos 𝑥 e 𝑦, dados por:
𝑀1𝑑,𝑚í𝑛,𝑥 = 1,5 + 0,03ℎ𝑥 . 𝑁𝑑
𝑀1𝑑,𝑚í𝑛,𝑦 = 1,5 + 0,03ℎ𝑦 . 𝑁𝑑
➢ Análise dos momentos mínimos e do pórtico
■ Se 𝑀1𝑑,𝐴,𝑥 = −𝑀1𝑑,𝐵,𝑥 < 𝑀𝑑,𝑚í𝑛,𝑥 então: 𝛼𝐵 = 1,0 ou
■ Se 𝑀1𝑑,𝐴,𝑦 = −𝑀1𝑑,𝐵,𝑦 < 𝑀𝑑,𝑚í𝑛,𝑦 então: 𝛼𝐵 = 1,0
➢ Análise dos momentos mínimos e do pórtico
■ Se 𝑀1𝑑,𝐴,𝑥 = −𝑀1𝑑,𝐵,𝑥 > 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛,𝑥 ou
■ Se 𝑀1𝑑,𝐴,𝑦 = −𝑀1𝑑,𝐵,𝑦 > 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛,𝑦, calculamos o 
valor de 𝛼𝐵 obtido através da relação entre os 
momentos superior 𝑀𝐴 e inferior 𝑀𝐵.
𝛼𝑏 = 0,60 + 0,40
𝑀𝐵
𝑀𝐴
0,40 ≤ 𝛼𝑏 ≤ 1,0
➢ Cálculo da esbeltez limite (35 ≤ 𝜆1 ≤ 90) nas direções x e y:
𝜆1,𝑥 =
25 + 12,5
𝑒1,𝑥
ℎ𝑥
𝛼𝑏
𝜆1,𝑦 =
25 + 12,5
𝑒1,𝑦
ℎ𝑦
𝛼𝑏
➢ Efeitos de segunda ordem
Além dos momentos de primeira ordem é necessário acrescentar os momentos de 
segunda ordem, nas seguintes condições:
▪ Se 𝜆𝑥 < 𝜆1,𝑥 : Não se considera os efeitos de 2ª ordem na direção x;
▪ Se 𝜆𝑥 > 𝜆1,𝑥 : É necessário considerar os efeitos de 2ª ordem na direção x.
▪ Se 𝜆𝑦 < 𝜆1,𝑦 : Não se considera os efeitos de 2ª ordem na direção y;
▪ Se 𝜆𝑦 > 𝜆1,𝑦 : É necessário considerar os efeitos de 2ª ordem na direção y.
➢ Cálculo dos momentos de segunda ordem segundo os eixos x e y
𝑀2 = 𝑁𝑑 .
𝑙𝑒
2
10
.
1
𝑟
Onde:
1
𝑟
=
0,005
ℎ(𝜈+0,5)
e 𝜈 =
𝑁𝑑
𝐴𝑐 .𝑓𝑐𝑑
➢ Cálculo dos momentos totais: obtido pela soma do momento mínimo
ou de primeira ordem e momento de 2ª. ordem nas respectivas
direções x e y, nas seguintes condições:
■ Para a direção x:
Se: 𝑀𝑑1,𝑥 > 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛𝑥 → 𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑥 = 𝑀𝑑1,𝑥 +𝑀2,𝑥
Ou se: 𝑀𝑑1,𝑥 < 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛𝑥 → 𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑥 = 𝑀𝑑,𝑚í𝑛𝑥 +𝑀2,𝑥
▪ Para a direção y:
Se: 𝑀𝑑1,𝑦 > 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛𝑦 → 𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑦 = 𝑀𝑑1,𝑦 +𝑀2,𝑦
Ou se: 𝑀𝑑1,𝑦 < 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛𝑦 → 𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑦 = 𝑀𝑑,𝑚í𝑛𝑦 +𝑀2,𝑦
➢ Cálculo dos esforços adimensionais
𝜈 =
𝑁𝑑
𝐴𝑐 . 𝑓𝑐𝑑
𝜇𝑥 =
𝑀𝑑𝑥
𝐴𝑐 . ℎ. 𝑓𝑐𝑑
𝜇𝑦 =
𝑀𝑑𝑦
𝐴𝑐 . 𝑏. 𝑓𝑐𝑑
➢ Taxa de armadura (𝜔):é obtida através de ÁBACOS em que os 
dados de entrada são os valores de 𝜈, 𝜇𝑥 e 𝜇𝑦. 
𝜇
𝜈
Valor de 𝜇
calculado
Valor de 𝜈
calculado
𝜈
𝜇
Valor de 𝜔
determinado
➢ Cálculo da área de aço
Dada por:
𝐴𝑠 =
𝜔.𝑓𝑐𝑑.𝐴𝑐
𝑓𝑦𝑑
2 – PILARES DE CANTO
Definição: recebem o carregamento de vigas em que as duas não são contínuas.
Desta forma momentos fletores de 1ª ordem 𝑀1𝑑,𝐴,𝑥 e 𝑀1𝑑,𝐴,𝑦 são aplicados nas
extremidades desses pilares.
O dimensionamento é análogo ao de pilares de extremidade, sendo a análise de
momentos de 1ª ordem feitos nas duas direções x e y.
2 – PILARES DE CANTO
A análise deve ser feita considerando pórticos nas direções x e y, em que obtemos
diagramas de momentos fletores nessas direções.
FIM