Apostila 4 Pré-Cálculo

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PRÉ-CÁLCULO 
PRÉ-CÁLCULO 
Me. Rebecca Manesco Paixão 
1. Noções de trigonometria 
2. Função seno 
3. Função cosseno 
4. Função tangente 
5. Função secante 
6. Função cossecante 
7. Função cotangente 
8. Funções trigonométricas inversas 
9. Funções hiperbólicas 
10. Funções hiperbólicas inversas 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
PRÉ-CÁLCULO 
Antes de iniciarmos nossos estudos sobre as funções 
trigonométricas, é importante relembrarmos que, em Cálculo, 
é usual a utilização de radianos para denotar a medida de 
ângulos. A medida, em radianos, do ângulo ACB no centro de 
uma circunferência trigonométrica diz respeito ao 
comprimento do arco que ACB forma no círculo 
trigonométrico. 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA E AS FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 
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Exemplo 1: determine quantos radianos existem em 60 graus. 
Para determinarmos quantos radianos existem em 60 graus, 
podemos utilizar um fator de conversão, sabendo que 𝜋 
radianos = 180º, ou seja, 
𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠
180º
= 1. Assim: 
60º
𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠
180º
=
60𝜋
180
=
𝜋
3
 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠; logo, 60 graus é igual a 
𝜋
3
 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠. 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA E AS FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 
Exemplo 2: determine quantos graus existem em 
𝜋
2
 radianos. 
Para determinarmos quantos graus existem em 
𝜋
2
 radianos, 
podemos utilizar um fator de conversão, sabendo que 𝜋 
radianos = 180º, ou seja, 1 radiano =
 180º
𝜋
. Assim:
𝜋
2
∙
180º
𝜋
=
90º; logo, 
𝜋
2
 radianos é igual a 90º. 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA E AS FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 
Quando o ângulo 𝜃 é colocado na posição-padrão no centro de uma 
circunferência de raio r, as seis funções trigonométricas básicas de 
𝜃 são definidas como: 
• Seno: 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑦
𝑟
 
• Cosseno: cos 𝜃 =
𝑥
𝑟
 
• Tangente: 𝑡𝑔 𝜃 =
𝑦
𝑥
 
• Cossecante: cossec 𝜃 =
𝑟
𝑦
 
• Secante: sec 𝜃 =
𝑟
𝑥
 
• Cotangente: co𝑡𝑔 𝜃 =
𝑥
𝑦
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA E AS FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 
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Por convenção, o círculo trigonométrico possui raio unitário, 
uma vez que está associado a um sistema cartesiano. Dessa 
forma, quando a circunferência apresentar raio r = 1, teremos 
que cos 𝜃 = x e que sen 𝜃 = y . 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA E AS FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 
As funções trigonométricas que estudaremos ao longo desta 
aula são periódicas. Isso quer dizer que quando um ângulo de 
medida 𝜃 e um ângulo de medida 𝜃 + 2𝜋 estão na posição-
padrão, suas semirretas terminais coincidem; em suma, isso 
significa que os valores das funções trigonométricas se 
repetem em intervalos regulares. 
 
Definição: uma função f (x) é periódica se existe um número 
positivo p tal que f (x + p) = f (x) para qualquer valor de x . O 
período de f será o menor valor possível de p . 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA E AS FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 
Clique para editar o título da disciplina 
Ao aplicarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo 
da Figura 3, temos que: 
𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 1 
Ao dividirmos a identidade anterior por 𝑐𝑜𝑠2𝜃 e, em seguida, 
por 𝑠𝑒𝑛2𝜃, obtemos, respectivamente: 
1 + 𝑡𝑔2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 
1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝜃 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
IDENTIDADES 
Fórmulas para soma ou diferença dos ângulos: 
 
 
 
Fórmulas para o ângulo duplo: 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
IDENTIDADES 
Tangente de uma soma ou diferença dos ângulos: 
 
 
 
Lei dos senos: 
Seja ∆𝐴𝐵𝐶 com ângulos A, B e C e lados opostos a, b e c, 
respectivamente, então a equação é verdadeira: 
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑏
=
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑐
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
IDENTIDADES 
Lei dos cossenos: 
Seja ∆𝐴𝐵𝐶 com ângulos A, B e C e lados opostos a, b e c, 
respectivamente, então a equação é verdadeira: 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
IDENTIDADES 
Identidades de cofunções: 
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
IDENTIDADES 
Identidades de redução de potências: 
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
IDENTIDADES 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
IDENTIDADES 
Exemplo 3: escreva a expressão: 𝑐𝑜𝑠
𝜋
3
𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
+ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
 
como o seno ou o cosseno de um ângulo. 
Utilizando a fórmula para soma de ângulos: 
cos 𝐴 − 𝐵 = cos 𝐴 cos 𝐵 + 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 
Considerando que A =
𝜋
3
 e B =
𝜋
4
, temos que: 
cos
𝜋
3
cos
𝜋
4
+ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
 
= 𝑐𝑜𝑠
𝜋
3
−
𝜋
4
 
= 𝑐𝑜𝑠
𝜋
12
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
IDENTIDADES 
Utilizando a lei dos senos: 
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑏
=
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑐
 
Temos que: 
 
𝑠𝑒𝑛 45º
6 2
=
𝑠𝑒𝑛 30º
𝑐
 
2/2
6 2
=
1/2
𝑐
 
2/2 ∙ 𝑐 = 3 2 
𝑐 = 3 2 ∙ 2/ 2 
𝑐 = 6 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
IDENTIDADES 
Definição: toda função f : ℝ →ℝ que a cada x ∈ ℝ faz 
corresponder o número real y = sen x é uma função seno. 
 
A função seno é uma função contínua e limitada. A partir da 
sua representação gráfica, também chamada de senóide, 
notamos que a função é ímpar. Por definição: 
𝑠𝑒𝑛 −𝜃 =
−𝑦
𝑟
= −𝑠𝑒𝑛 𝜃 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO SENO 
 
 
 
 
 
Quanto ao domínio e a imagem da função seno, temos que D( 
f ) = ℝ e que Im( f ) = {y ∈ ℝ −1 ≤ 𝑦 ≤ 1}, ou seja, 
− 1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≤ 1 . 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO SENO 
 
 
 
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO SENO 
 
 
 
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO SENO 
Temos que o domínio da função seno é o conjunto dos 
números reais. Assim, D( f ) = ℝ . 
Para determinar a imagem, fazemos: 
𝑦 = 3 + 5𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
𝑦 − 3
5
 
Lembrando que a imagem de seno é dada por 𝐼𝑚 𝑓 =
−1,1 , podemos escrever que: 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO SENO 
−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≤ 1 
−1 ≤
𝑦 − 3
5
≤ 1 
−5 ≤ 𝑦 − 3 ≤ 5 
−2 ≤ 𝑦 ≤ 8 
 
Portanto a imagem da função 𝑓 𝑥 = 3 + 5𝑠𝑒𝑛 𝑥 é 
𝐼𝑚 𝑓 = −2,8 . 
 
 
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO SENO 
Definição: toda função f : ℝ →ℝ que a cada x ∈ ℝ faz 
corresponder o número real y = cos x é uma função cosseno. 
 
A representação gráfica da função cosseno é denominada de 
cossenoide. A partir da mesma, notamos que a função é 
contínua, limitada, e é uma função par, ou seja, 
𝑐𝑜𝑠 −𝜃 =
𝑥
𝑟
= 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO COSSENO 
 
 
 
 
 
Quanto ao domínio e a imagem da função cosseno, temos que 
D( f ) = ℝ e que Im( f ) = {y ∈ ℝ −1 ≤ 𝑦 ≤ 1}, ou seja, 
− 1 ≤ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ≤ 1 . 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO COSSENO 
 
 
 
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO COSSENO 
Definição: toda função f : ℝ →ℝ que a cada x ∈ ℝ faz 
corresponder o número real y = tg x é uma função tangente. 
 
A função tangente é contínua sobre o seu domínio, não é 
limitada nem superior e nem inferiormente, e é ímpar: 
𝑡𝑔 −𝜃 =
𝑠𝑒𝑛 −𝜃
cos −𝜃
=
−𝑠𝑒𝑛 𝜃
cos 𝜃
= −𝑡𝑔 𝜃 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO TANGENTE 
 
 
 
 
 
 
Quanto ao domínio e a imagem da função tangente, temos 
que D( f ) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ e que Im( f ) = ℝ. 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO TANGENTE 
 
 
 
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO TANGENTE 
Definição: toda função f : ℝ →ℝ que a cada x ∈ ℝ faz 
corresponder o número real y = sec x é uma função secante. 
 
A função secante é recíproca da função cosseno, e é par: 
𝑠𝑒𝑐 −𝜃 =
1
cos −𝜃
=
1
cos 𝜃
= 𝑠𝑒𝑐 𝜃 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO SECANTE 
 
 
 
 
 
 
Quanto ao domínio e a imagem da função secante, temos que 
D( f ) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑛𝜋, 𝑛∈ ℤ e que Im( f ) = 
𝑦 ∈ ℝ 𝑦 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑦 ≥ 1 , ou seja, sec 𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 sec 𝑥 ≥ 1. 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO SECANTE 
 
 
 
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO SECANTE 
Definição: toda função f : ℝ →ℝ que a cada x ∈ ℝ faz 
corresponder o número real y = cossec x é uma função 
cossecante. 
 
A função cossecante é recíproca da função seno, e é ímpar: 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 −𝜃 =
1
sen −𝜃
=
1
−sen 𝜃
= −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝜃 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO COSSECANTE 
 
 
 
 
 
 
Quanto ao domínio e a imagem da função cossecante, temos que 
D( f ) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠ 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ e que Im( f ) = 
𝑦 ∈ ℝ 𝑦 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑦 ≥ 1 , ou seja, 
cossec 𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 cossec 𝑥 ≥ 1. 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO COSSECANTE 
 
 
 
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO COSSECANTE 
Definição: toda função f : ℝ →ℝ que a cada x ∈ ℝ faz 
corresponder o número real y = cotg x é uma função 
cotangente. 
 
A função cotangente é recíproca da função tangente, e é 
ímpar: 
𝑐𝑜𝑡𝑔 −𝜃 =
cos −𝜃
sen −𝜃
=
cos 𝜃
−sen 𝜃
= −𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO COTANGENTE 
 
 
 
 
 
 
Quanto ao domínio e a imagem da função cotangente, temos 
que D( f ) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠ 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ e que Im( f ) = ℝ. 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO COTANGENTE 
 
 
 
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO COTANGENTE 
Cada uma das funções estudadas até o momento são 
periódicas, o que implica em funções não injetoras. Assim, 
para estudarmos as funções trigonométricas inversas, 
devemos restringir o domínio da função original para um no 
qual ela seja injetora e, assim, encontrar a inversa da função 
em sua forma restrita. 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
Restringindo o domínio de f (x) = sen x no intervalo −
𝜋
2
,
𝜋
2
 
, para que a função restrita seja injetora, podemos definir a 
inversa de seno como sendo 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛−1𝑥. 
 
O domínio da função arco-seno e D( f ) = {𝑥 ∈ ℝ −1 ≤ 𝑥 ≤ 1} 
e a imagem é Im( f ) = 𝑦 ∈ ℝ −
𝜋
2
≤ 𝑦 ≤
𝜋
2
. 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO SENO INVERSO (FUNÇÃO ARCO-SENO) 
 
 
 
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Restringindo o domínio de f (x) = cos x no intervalo 0, 𝜋 
, para que a função restrita seja injetora, podemos definir a 
inversa de cosseno como sendo 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠−1𝑥. 
 
O domínio da função arco-cosseno e D( f ) = 
{𝑥 ∈ ℝ −1 ≤ 𝑥 ≤ 1} e a imagem é Im( f ) = 
𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 . 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO COSSENO INVERSO (FUNÇÃO ARCO-COSSENO) 
 
 
 
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Restringindo o domínio de f (x) = tg x no intervalo −
𝜋
2
,
𝜋
2
 
, para que a função restrita seja injetora, podemos definir a 
inversa de tangente como sendo 𝑦 = 𝑡𝑔−1𝑥. 
 
O domínio da função arco-tangente e D( f ) = ℝ e a imagem é 
Im( f ) = 𝑦 ∈ ℝ −
𝜋
2
≤ 𝑦 ≤
𝜋
2
. 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO TANGENTE INVERSA (FUNÇÃO ARCO-TANGENTE) 
 
 
 
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Restringindo o domínio de f (x) = sec x no intervalo 
0,
𝜋
2
 ∪ 
𝜋
2
, 𝜋 , para que a função restrita seja injetora, 
podemos definir a inversa de secante como sendo 𝑦 =
𝑠𝑒𝑐−1𝑥. 
 
O domínio da função arco-secante é D( f ) = {𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≥ 1} e 
a imagem é Im( f ) = 𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋, 𝑦 ≠
𝜋
2
. 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO SECANTE INVERSA (FUNÇÃO ARCO-SECANTE) 
 
 
 
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Restringindo o domínio de f (x) = cossec x no intervalo 
0,
𝜋
2
 ∪ 
𝜋
2
, 𝜋 , para que a função restrita seja injetora, 
podemos definir a inversa de cossecante como sendo 
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐−1𝑥. 
 
O domínio da função arco-cosseno e D( f ) = {𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≥ 1} e 
a imagem é Im( f ) = 𝑦 ∈ ℝ −
𝜋
2
≤ 𝑦 ≤
𝜋
2
, 𝑦 ≠ 0 . 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO COSSECANTE INVERSA (FUNÇÃO ARCO-COSSECANTE) 
 
 
 
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Restringindo o domínio de f (x) = cotg x no intervalo 0, 𝜋 
, para que a função restrita seja injetora, podemos definir a 
inversa de cotangente como sendo 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔−1𝑥. 
 
O domínio da função arco-cotangente é D( f ) = ℝ e a imagem 
é Im( f ) = 𝑦 ∈ ℝ −
𝜋
2
≤ 𝑦 ≤
𝜋
2
. 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÃO COTANGENTE INVERSA (FUNÇÃO ARCO-
COTANGENTE) 
 
 
 
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
As funções exponenciais 
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2
 e 
𝑒𝑥+𝑒−𝑥
2
 ocorrem 
frequentemente, na Matemática Aplicada. Essas expressões 
definem as funções seno hiperbólico de x e cosseno 
hiperbólico de x , respectivamente. 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
Função Seno Hiperbólico 
A função seno hiperbólico é definida por: 
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 =
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2
 
O domínio da função é D( f ) = ℝ e a imagem é Im( f ) = ℝ . 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
Função Cosseno Hiperbólico 
A função cosseno hiperbólico é definida por: 
𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 =
𝑒𝑥+𝑒−𝑥
2
 
O domínio da função é D( f ) = ℝ e a imagem é Im( f ) = 
 1,+∞ . 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
 
 
 
 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
Função Inversa Seno Hiperbólico 
A função inversa do seno hiperbólico é definida por: 
𝑦 = arg 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 ⟺ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑦 
arg 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥2 + 1 , 𝑥 ∈ ℝ 
Função Inversa Cosseno Hiperbólico 
A função inversa do cosseno hiperbólico é definida por: 
𝑦 = arg 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 ⟺ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑦 
arg 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥2 − 1 , 𝑥 ≥ 1 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS 
Função Inversa Tangente Hiperbólica 
A função inversa da tangente hiperbólica é definida por: 
𝑦 = arg 𝑡𝑔ℎ 𝑥 ⟺ 𝑥 = 𝑡𝑔ℎ 𝑦 
arg 𝑡𝑔ℎ 𝑥 =
1
2
𝑙𝑛
1 + 𝑥
1 − 𝑥
, −1 < 𝑥 < 1 
Função Inversa Secante Hiperbólica 
A função inversa da secante hiperbólico é definida por: 
𝑦 = arg 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 ⟺ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑦 
arg 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = 𝑙𝑛
1 + 𝑥2 − 1
𝑥
, 0 < 𝑥 < 1 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS 
Função Inversa Cossecante Hiperbólica 
A função inversa da cossecante hiperbólica é definida por: 
𝑦 = arg 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 ⟺ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑦 
arg 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = 𝑙𝑛
1
𝑥
+
1 + 𝑥2
𝑥
, 𝑥 ≠ 0 
Função Inversa Cotangente Hiperbólica 
A função inversa da cotangente hiperbólica é definida por: 
𝑦 = arg 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑥 ⟺ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑦 
arg 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑥 =
1
2
𝑙𝑛
𝑥 + 1
𝑥 − 1
, 𝑥 > 1 
 
Unidade 4 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS