Introdução a Eletrodinâmica Aula 5 (EXERCÍCIOS)

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Questão
6. Dois condutores são feitos do mesmo
material e têm o mesmo comprimento. O
condutor A é um fio maciço de 1mm de
diâmetro; o condutor B é um tubo oco com
um diâmetro externo de 2mm e diâmetro
interno de 1mm. Qual é a razão entre as
resistências RA/RB? As resistências são
medidas entre as extremidades dos fios.
Solução: Calculando a área das seções de
cada fio.
𝐴𝐴 =
𝜋𝑑2
4
=
𝜋
4
𝑚𝑚2
𝐴𝐵 =
𝜋𝑑𝑒
2
4
−
𝜋𝑑𝑖
2
4
=
𝜋
4
22 − 12 =
3
4
𝜋𝑚𝑚2
Calculando a resistência de cada condutor
𝑅𝐴 =
𝜌𝐿
𝐴𝐴
𝑒 𝑅𝐵 =
𝜌𝐿
𝐴𝐵
𝑅𝐴
𝑅𝐵
=
𝜌𝐿
𝐴𝐴
𝜌𝐿
𝐴𝐵
=
𝐴𝐵
𝐴𝐴
=
3𝜋/4
𝜋/4
= 3
𝑅𝐴
𝑅𝐵
= 3
Questão
7. (ENEM) A resistência elétrica de um fio é
determinada pelas suas dimensões e pelas
propriedades estruturais do material. A
condutividade (σ) caracteriza a estrutura do
material, de tal forma que a resistência de
um fio pode ser determinada conhecendo-
se L, o comprimento do fio, e A, a área de
seção reta. A tabela relaciona o material à
sua respectiva resistividade em
temperatura ambiente.
Mantendo-se as mesmas dimensões
geométricas, o fio que apresenta menor
resistência elétrica é aquele feito de
Solução: Quanto maior a condutividade
menor a resistência, assim o fio de prata é o
melhor condutor e apresenta menor
resistência.
Questão
9. (Unicamp-SP) O gráfico abaixo mostra a
resistividade elétrica de um fio de nióbio (Nb)
em função da temperatura.
No gráfico, pode-se observar que a
resistividade apresenta uma queda brusca em
T=9,0K, tornando-se nula abaixo dessa
temperatura. Esse comportamento é
característico de um material supercondutor.
Um fio de Nb de comprimento total L = 1,5 m e
seção transversal de área A = 0,050mm2 é
esticado verticalmente do topo até o fundo de
um tanque de hélio líquido, a fim de ser usado
como medidor de nível, conforme ilustrado na
figura anterior. Sabendo-se que o hélio líquido
se encontra a 4,2K e que a temperatura da
parte não imersa do fio fica em torno de 10 K,
pode-se determinar a altura h do nível de hélio
líquido através da medida da resistência do fio.
Solução
Abaixo de 9K o Nióbio possui resistência
nula, assim o problema consiste em medir a
resistência do trecho que está acima do
nível do Hélio líquido.
Se o comprimento submerso vale h (nível).
o comprimento do fio que devemos medir
a resistência vale.
Além disso são dados:
a) Calcule a resistência do fio quando toda 
a sua extensão está a 10 K, isto é, quando o 
tanque está vazio.
𝐿 = 1,5 − ℎ
𝐴 = 0,050𝑚𝑚2
𝜌 = 1.10−6Ω𝑚 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑇 = 10𝐾 𝑛𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜)
𝑅 =
𝜌𝐿
𝐴
=
2.10−6Ω.𝑚. 1,5𝑚
0,05𝑚𝑚2
𝑅 =
2.10−6Ω.𝑚. 1,5𝑚
0,05.10−6𝑚2
𝑅 =
3Ω.
5.10−2
𝑅 =
3Ω
5.10−2
= 60Ω
Quando o tanque está vazio h = 0 e L = 1,5m,
Aplicando a segunda lei.
b) Qual é a altura h do nível de hélio líquido no
interior do tanque em uma situação em que a
resistência do fio de Nb vale 36Ω?
𝑅 =
𝜌𝐿
𝐴
→ 2.10−6.
1,5 − ℎ
0,05.10−6
= 36
3 − 2ℎ = 0,05 . 36 − 2ℎ = 1,8 − 3
ℎ =
1,2
2
𝑚 = 0,6𝑚
Questão
10. (Fuvest-SP) Um chuveiro elétrico de 220 V
dissipa uma potência de 2,2 kW.
a) Qual o custo de um banho com 10 min de
duração se a tarifa é de R$ 0,20 por kWh?
b) Desejando-se duplicar a variação de
temperatura da água mantendo-se constante a
sua vazão, qual deve ser a nova resistência do
chuveiro?
Solução: a) Dados
Calculando a energia consumida durante
um intervalo de tempo t = 10min = 1/6 h
𝑃 = 2,2𝑘𝑊 𝑒 𝑈 = 220 𝑉
∆𝐸 = 𝑃∆𝑡 = 2,2𝑘𝑊.
1
6
ℎ = 0,367 𝑘𝑊. ℎ
𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 = 0,367 0,2 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 = 0,73𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
b) Deseja-se dobrar a variação de
temperatura.
Calculando a nova resistência
∆𝑇𝑓 = 2∆𝑇
𝑄𝑓
𝑐𝑚
=
2𝑄𝑜
𝑐𝑚
𝑄𝑓
∆𝑡
=
2𝑄𝑜
∆𝑡
→ 𝑃𝑓 = 2𝑃𝑜
𝑄𝑓 = 2𝑄𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟∆t
𝑃𝑓 = 2𝑃𝑜 = 4400𝑊
𝑃 =
𝑈2
𝑅
→ 𝑅 =
𝑈2
𝑃
=
2202
4400
𝑅 =
𝑈2
𝑃
=
2202
4400
= 11Ω
Questão
11. (IFCE) Suponha um fio cilíndrico de
comprimento L, resistividade ρ1 e raio da seção
transversal circular r. Um engenheiro eletricista,
na tentativa de criar um fio cilíndrico menor em
dimensões físicas, mas com mesma resistência,
muda o comprimento do fio para L/2, o raio da
seção transversal circular para r/3 e a
resistividade do material de que é feito o fio
para ρ2. Dessa forma, a razão entre ρ1 e ρ2,
para que as resistências do segundo e do
primeiro fio sejam iguais, deve ser de: 9/2
Solução: Igualando a resistência para cada caso
e tomando a razão entre elas
𝑅 =
𝜌1𝐿
𝜋𝑟2
→ 𝑅 =
𝜌2𝐿/2
𝜋
𝑟
3
2 =
9
2
𝜌2𝐿
𝜋𝑟2
𝑅1 =
𝜌1𝐿
𝐴1
= 𝑅2 =
𝜌2𝐿
𝐴2
Tomando a razão
𝑅
𝑅
=
𝜌1𝐿
𝜋𝑟2
9
2
𝜌2𝐿
𝜋𝑟2
=
2
9
𝜌1
𝜌2
= 1
𝜌1
𝜌2
=
9
2
Questão
12. (Udesc -SP) A tabela a seguir fornece os
comprimentos, as áreas da seção transversal e
as resistividades para fios de cinco materiais
diferentes.
A resistência desses fios não depende da
tensão aplicada.
A partir desses dados, indique a alternativa que
contém o fio referente ao material que
transforma mais energia por unidade de tempo
quando todos estão individualmente
submetidos à mesma diferença de potencial em
suas extremidades.
Solução: Vamos analisar a fórmula da
potência que relaciona U com R
A maior potência ocorrerá para um valor
menor de resistência, assim devemos
procurar um fio com a maior área, menor
comprimento e menor resistividade.
𝑃 =
𝑈2
𝑅
→ 𝑅 =
𝜌𝐿
𝐴
𝑅𝐴 =
𝜌𝐿
3𝐴
𝑅𝐵 =
6𝜌𝐿
𝐴
𝑅𝐶 =
6𝜌𝐿
2𝐴
𝑅𝐷 =
3𝜌𝐿
3𝐴
𝑅𝐸 =
2𝜌𝐿
4𝐴
Questão
14. Determine a resistividade de um
condutor de alumínio na temperatura de 60
°C, sabendo que na temperatura de 20 °C
sua resistividade vale 2,18 ·10–8Ω·m e seu
coeficiente de temperatura vale 3,2·10–3
(°C–1).
Solução: Aplicação direta da fórmula da
resistividade.
𝜌 = 𝜌𝑜 + 𝜌𝑜 𝑇 − 𝑇𝑜
𝜌 = 𝜌𝑜(1 +  𝑇 − 𝑇𝑜 )
𝜌 = 2,18.10−8(1 + 3,2.10−3 60 − 20 )
𝜌 = 2,46.10−8Ω.𝑚
Questão
15. Um motor elétrico é composto por uma
bobina de cobre que possui resistência de
elétrica de 50 ohm a 20°C. Quando em
operação a temperatura aumentou para 80°C.
Determine a resistência da bobina sabendo
que o coeficiente de temperatura do cobre
vale 4·10–3 (°C–1).
Solução: Aplicação direta da fórmula da
resistividade.
𝑅 = 𝑅𝑜 + 𝑅𝑜 𝑇 − 𝑇𝑜
𝑅 = 𝑅𝑜(1 +  𝑇 − 𝑇𝑜 )
𝑅 = 50 + 0,2.60 = 74Ω
𝑅 = 50(1 + 4.10−3 80 − 20) − 𝑇𝑜 )
Questão
13. (Mack -SP) Um cabo de cobre, utilizado para
o transporte de energia elétrica, tem, a cada
quilômetro de comprimento, resistência
elétrica de 0,34 Ω. A massa de um metro desse
cabo é igual a:
densidade = 9 000 kg/m3;
resistividade = 1,7 · 10-8 Ω · m
Solução: Objetivo encontrar a área e o volume
A resistência por unidade de comprimento é
A resistência em um metro de fio será
𝑅
𝐿
= 0,34
Ω
𝑘𝑚
= 0,34
Ω
103𝑚
𝑅
𝐿
= 0,34.10−3
Ω
𝑚
𝑅 = 0,34.10−3Ω
Calculando a área através da segunda lei de
ohm
Calculando a massa
𝑅 =
𝜌𝐿
𝐴
𝐴 =
𝜌𝐿
𝑅
𝐴 =
𝜌𝐿
𝑅
=
1,7.10−8. 1
3,4.10−4
𝐴 =
𝜌𝐿
𝑅
= 0,5.10−8− −4 = 0,5.10−4𝑚2
𝑚 = 𝑑. 𝑉 = 𝑑. 𝐴. 𝐿
𝑚 = 9000. 0,5.10−4. 1
𝑚 = 0,45 𝑘𝑔
Questão
14. (FGV-2005) Uma fábrica de lâmpadas
utiliza a mesma liga de tungstênio para
produzir o filamento de quatro modelos de
lâmpadas para tensão de 127 V. Os
modelos diferenciam-se entre si pelo
comprimento e área da secção transversal
do filamento, conforme o indicado no
quadro. Solução: Calculando a resistência de cada
lâmpada.
Se P = U2/R , quanto menor R maior a potência
𝑅1 =
𝜌𝐿
𝑆
Quando ligadas em paralelo a uma mesma
fonte de tensão de 127 V, as potências P1,
P2, P3 e P4 das respectivas lâmpadas
guardam a relação
𝑅2 =
𝜌𝐿
2𝑆
𝑅3 =
𝜌2𝐿
𝑆
𝑅4 =
𝜌𝐿
𝑆
𝑅2 < 𝑅1 = 𝑅4 < 𝑅3
𝑃2 > 𝑃1 = 𝑃4 > 𝑃3 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑒
Questão
43) (UFSCar-2007) O gráfico mostra como a
resistividade de determinado material
varia, conforme a temperatura de um
resistor é aumentada.
Considere desprezíveis as alterações nas
dimensões do fio, dadas pela variação de
temperatura, e responda. Dos gráficos
seguintes, aquele que pode representar a
variação da potência elétrica dissipada por
um fio resistivo cilíndrico, feito desse
material emantido sob uma diferença de
potencial constante, é
Solução
A resistividade está variando com a
temperatura próximo a uma parábola
O material é mantido sob uma diferença de
potencial constante, é
𝜌 = 𝑎𝑇2
A resistência segue o mesmo padrão
𝑅 =
𝜌𝐿
𝐴
=
𝐿𝑎
𝐴
𝑇2 = 𝑐𝑇2
A potência irá variar com a temperatura
segundo a equação dado U constante.
𝑃 =
𝑈2
𝑅
=
𝑈2
𝑐𝑇2
=
𝑏
𝑇2
Questão
15) (FMTM-2002) Um pedaço de fio de
tungstênio tem, a 0 ºC, resistência elétrica
igual a 110 . Ao ser colocado em um
forno, a resistência desse fio passa a ser
337,7. Pode-se concluir que o forno
atingiu, em ºC, uma temperatura igual a
Dado: coeficiente de temperatura do
tungstênio = 4,6.10-3 ºC-1
a) 450. b) 365. c) 227. d) 180. e) 110.
Solução: A resistência varia com a
temperatura segundo a equação.
337,7 = 110 + 110. 4,6.10−3∆𝑇
𝑅 = 𝑅𝑜 + 𝑅𝑜 𝑇 − 𝑇𝑜
337,7 − 110 = 110. 4,6.10−3∆𝑇
∆𝑇 =
227,7
110 . 4,6.10−3
= 450°𝐶
Questão
17) (Um ser humano pode morrer se uma
corrente elétrica da ordem de 50 mA passar
perto do coração. Um eletricista
trabalhando com as mãos suadas, o que
reduz consideravelmente a resistência da
pele, segura dois fios desencapados, um
em cada mão. Se a resistência do corpo do
eletricista é 2000 Ω, qual é a menor
diferença de potencial entre os fios capaz
de produzir um choque mortal?
Solução: Dados
I = 50mA = 0,05A
R = 2000
U =?
𝑈 = 2.103. 5.10−2 = 100𝑉
𝑈 = 𝑅𝐼 = 2000 . 0,05