Calculo-Vetorial-e-Tensorial

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Cálculo Vetorial e Tensorial
Antonio Cândido Faleiros
Centro de Matemática, Computação e Cognição
Universidade Federal do ABC
Santo André, SP
4 de abril de 2018
2
Sumário
1 Álgebra vetorial 7
1.1 Vetores e escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Operações com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Adição de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Multiplicação de um vetor por um escalar . . . . . . . . 11
1.2.3 Soma de um ponto a um vetor . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Diferença entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Combinação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Dependência e independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Produto escalar e vetorial 23
2.1 O produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 A convenção da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 O produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Símbolos de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 O duplo produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Bases recíprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Curvas e campos 41
3.1 Conjuntos ordenados �nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Função vetorial com variável real . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Fórmulas de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.1 Parametrização pelo comprimento de arco . . . . . . . . 51
3.3.2 Triedro móvel de Frenet-Serret . . . . . . . . . . . . . . . 52
3
4 SUMÁRIO
3.3.3 Mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 Campos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5.1 Limite e derivada de campos vetoriais . . . . . . . . . . . 61
3.5.2 Fórmulas de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Gradiente, divergente e rotacional 65
4.1 O operador diferencial nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 O gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.1 Gradiente e a superfície de nível . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 O divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.1 Divergente e compressibilidade . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4 O rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5 Fórmulas envolvendo o operador nabla . . . . . . . . . . . . . . 70
4.6 Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6.1 Derivada direcional e o gradiente . . . . . . . . . . . . . 74
4.6.2 Derivada direcional e a temperatura . . . . . . . . . . . . 75
4.6.3 Variação máxima de um campo escalar . . . . . . . . . . 76
4.7 Invariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Integral de linha 79
5.0.1 A integral de�nida e inde�nida . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1 Integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.1.1 Independência da parametrização . . . . . . . . . . . . . 81
5.1.2 Linearidade da integral de linha . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.1 Orientação da curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 Integral das componentes do campo . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3.1 Trabalho e energia cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.5 Gradiente e a independência do caminho . . . . . . . . . . . . . 88
5.6 Métodos para determinar o potencial . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.7 Condição necessária para o campo ser gradiente . . . . . . . . . 96
5.8 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.8.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 Integral de superfície 101
6.1 Superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.1 O produto vetorial fundamental . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2 Área de uma superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2.1 Área de superfície de�nida explicitamente . . . . . . . . 107
SUMÁRIO 5
6.2.2 Área de superfície de�nida implicitamente . . . . . . . . 108
6.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.4 Integral de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.4.1 Mudança da representação paramétrica . . . . . . . . . . 117
6.5 Vazão de um �uído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.5.1 Orientação de uma superfície suave . . . . . . . . . . . . 119
6.5.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.6 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.7 Interpretação do rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.8 Extensões do Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.9 Teorema de Gauss ou do divergente . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.10 Interpretação do divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
6 SUMÁRIO
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
Capítulo 1
Álgebra vetorial
O objetivo da Ciência é o estudo e a compreensão da Obra Divina. Para
perseguir este objetivo, é comum fazer abstrações e hipóteses simpli�cadoras.
Neste livro, vamos supor que nosso Universo é formado por pontos que seguem
as regras da Geometria Euclidiana e que a física é Newtoniana.
Os conceitos de ponto, reta e plano são considerados primitivos e não
possuem de�nição. Sempre que se tentou de�nir esses conceitos se chegou
a um impasse, pois as de�nições usavam conceitos ainda não de�nidos. Depois
de inúmeras tentativas, os matemáticos desistiram de de�nir os conceitos de
ponto, reta e plano e os tomou como conceitos primitivos. Ou seja, todos nós
temos noção do signi�cado de ponto, reta e plano.
Na Geometria Euclidiana parte-se do presuposto que possuímos instrumen-
tos de medida perfeitos, ideais, capazes de fornecer valores exatos de distâncias
e ângulos, sem erros de qualquer natureza. Estes instrumentos ideais nos per-
mitem traçar retas e planos, medir distâncias e ângulos.
No mundo físico, estes instrumentos ideais não existem. Os instrumentos
reais que possuímos permitem sim medir distâncias e ângulos mas com uma
determinada precisão, com um determinado êrro, que depende do instrumento
e do processo de medida. Toda medida real é aproximada.
1.1 Vetores e escalares
Neste Universo encontramos grandezas que podem ser classi�cadas como es-
calares, vetores e tensores, dentre outras grandezas estudadas em cursos espe-
cí�cos.
Escalares são quantidades que podem ser especi�cadas fornecendo apenas
um número e a unidade correspondente. Como exemplos, apresentamos o
comprimento (2 metros), a área (8 metros quadrados), a massa (500 gramas),
a temperatura (36 graus Celsius), a densidade (1 kg por decímetro cúbico)
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
8 Álgebra vetorial
e o trabalho (1 Newton metro). Os escalares podem ser comparados apenas
se tiverem as mesmas dimensões físicas. Dois escalares medidos num mesmo
sistema de unidades são ditos iguais se possuírem o mesmo valor absoluto e
o mesmo sinal.
Vetores são gandezas especi�cados por uma direção, um sentido e uma
magnitude (ou intensidade oumódulo, ou norma).Como exemplos, apre-
sentamos o deslocamento, a velocidade, a aceleração, a força, o momento de
uma força, o campo elétrico, o campo magnético.
Tensores são grandezas cuja especi�cação exigem mais do que direção,
sentido e magnitude. Apresentamos como exemplos, o tensor de tensões e
tensor de deformações num meio contínuo. Sobre eles falaremos mais tarde.
Denotaremos por AB o segmento de reta cujos pontos extremos são A
e B. A direção do segmento de reta é aquela fornecida pela sua reta suporte.
Todo segmento de reta AB possui dois sentidos de percurso. De A para B
ou de B para A. Quando escolhemos um desses dois sentidos de percurso,
diremos que o segmento está orientado e chamamos o sentido de percurso
escolhido de positivo. Se o sentido escolhido foi de A para B, diremos que
A é o ponto inicial e B é o ponto �nal do segmento orientado, que será
denotado por (A,B) e representado por uma seta iniciada em A e terminada
em B. A seta colocada no ponto �nal indica o sentido de percurso escolhido.
Quando conveniente, chamaremos um segmento de reta orientado de seta.
O vetor é representado por um segmento de reta orientado. Todas
as setas com o mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido, repre-
sentam o mesmo vetor. Cada uma delas é um representante do vetor. O
comprimento (no sistema de unidades escolhido), direção e sentido de cada re-
presentante do vetor fornece o comprimento, a direção e o sentido do vetor. O
vetor que possui um representante com ponto inicial em A e ponto �nal em B
será denotado por
−→
AB. Conhecida uma seta que representa o vetor, podemos
reproduzir todas as outras por translação.
Como as setas que representam um vetor podem ser transladadas e conti-
nuar representando o mesmo vetor, diremos que os vetores são livres.
Além da notação anterior, podemos denotar os vetores usando letras em
negrito como u e v ou U e V, usando uma pequena seta sobre a letra como
em ~u e ~v ou ~U e ~V . A magnitude de u é denotada por |u| ou u sem negrito.
O vetor de magnitude zero é chamado de vetor nulo e denotado por 0 (o
zero em negrito) ou ~0. Tanto se pode falar que a este vetor não possui direção e
sentido ou, de forma alternativa, se pode dizer que ele possui todas as direções
e todos sentidos.
O vetores só podem ser comparados se tiverem o mesmo signi�cado ge-
ométrico ou físico. Dois desses vetores u e v, medidos no mesmo sistema
de unidades, são ditos iguais se possuírem mesma direção, mesmo sentido e
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
1.2 Operações com vetores 9
mesma magnitude (comprimento) e escrevemos u = v. Quando a magnitude
de um vetor for igual a 1 se diz que é um vetor é unitário.
Vetores livres, deslizantes e �xos
Alguns autores, além dos vetores livres, fazem referência aos vetores deslizantes
e aos vetores �xos. Um vetor deslizante é aquele em que a seta que o
representa pode ser transladado ao longo da reta que a contém. Um vetor �xo
é aquele representado por uma única seta, com pontos inicial e �nal �xados.
Como o estudo dos vetores deslizantes e �xos se reduz ao estudo dos vetores
livres, vamos considerar apenas vetores desse último tipo.
1.2 Operações com vetores
1.2.1 Adição de vetores
Para adicionar os vetores u e v, colocamos o ponto inicial da seta que repre-
senta v no ponto �nal da seta que representa u. A soma u + v é o vetor que
liga o ponto inicial de u com o ponto �nal de v. De modo equivalente, podemos
fazer coincidir os pontos iniciais das duas setas e a soma u + v é o vetor cujo
representante é a diagonal do paralelogramo cujos lados são formados pelas
setas que representam u e v. Neste caso, o ponto inicial da seta que representa
o vetor soma é o ponto inicial das setas que representam u e v.
Propriedades da adição de vetores
1. Comutativa.
u + v = v + u
2. Associativa.
(u + v) + w = u + (v + w).
3. O vetor nulo é o elemento neutro da adição
u + 0 = u
4. Vetor oposto. Dado um vetor v não nulo, existe um vetor w que possui
a mesma magnitude a mesma direção de v, mas sentido oposto e tal que
v + w = 0.
Pode-se provar que, dado v, existe um único vetor w que somado a v dá o
vetor nulo. Vamos denotar w por −v. Assim,
v + (−v) = 0.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
10 Álgebra vetorial
O vetor −v é chamado de oposto ou o negativo de v. O único vetor igual ao
seu oposto é o vetor nulo.
Como a adição é associativa,
(u + v) + w = u + (v + w),
podemos denotar qualquer uma dessas somas por
u + v + w.
Para efetuar geometricamente esta soma, no ponto �nal da seta que representa
u, colocamos o ponto inicial da seta que representa v e, no ponto �nal da seta
que representa v, colocamos o ponto inicial da seta que representa w. A seta
que representa a soma u + v + w é aquela que vai do ponto inicial de u ao
ponto �nal de w.
Se u, v, w forem deslocamentos consecutivos de um ponto no espaço, a
soma u + v + w é o deslocamento total do ponto, resultado �nal dos desloca-
mentos individuais.
Para adicionar mais do que três vetores, basta encadeá-los numa certa
ordem, e colocar o ponto incial de cada um no ponto �nal do anterior. A soma
é representado pela seta que vai do ponto inicial do primeiro ao ponto �nal do
último.
Quando dissermos ponto inicial e �nal do vetor, entenda-se que queremos
dizer ponto inicial e �nal de uma seta que representa o vetor. Note que a
notação
−→
AB para vetores é muito conveniente pois, dado um ponto C qualquer,
−→
AB =
−→
AC +
−−→
CB.
A subtração de u por v, é a operação de�nida por
u− v = u + (−v)
Se
x + v = u, então x = u− v. (1.1)
O fato de uma quantidade possuir uma magnitude, uma direção e um
sentido, é condição necessária mas não su�ciente para classi�cá-la como quan-
tidade vetorial. Ela também deve obedecer às leis da álgebra vetorial, em
particular, as leis da adição de vetores.
As rotações �nitas de um corpo rígido não é um vetor. Adição de rotações
em torno de eixos perpendiculares não é comutativa. Imagine um dois eixos x
e y ortogonais no espaço e duas rotações de 900 de um livro. Uma em torno do
eixo x, seguida por outra em torno do eixo y. Agora, coloque o livro na mesma
posição inicial que a anterior e realize outras duas rotações de 900. Primeiro
em torno do eixo y seguida por outra em torno do eixo x. Observe que agora
a posição �nal do livro não coincide com a posição �nal obtida com as duas
rotações anteriores.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
1.2 Operações com vetores 11
1.2.2 Multiplicação de um vetor por um escalar
Seja u um vetor e m um escalar. Em nosso curso, os escalares são números
reais. O vetor
mu
chamado de múltiplo de u, é assim de�nido:
1. Quando m = 0 ou u = 0, de�nimos mu = 0.
2. Quando m 6= 0 e u 6= 0, de�nimos a magnitude de mu por
|mu| = |m| |u|
e sua direção é a mesma de u. Observe que |u| é a magnitude de u e |m| é
o valor absoluto de m. Quando m > 0, os vetores u e mu possuem o mesmo
sentido. Quando m < 0, os vetores u e mu possuem sentidos contrários.
O vetor 3u possui a mesma direção e o mesmo sentido de u com 3 vezes a
sua magnitude. O vetor −3u possui a mesma direção e o sentido contrário ao
de u com 3 vezes a sua magnitude.
Propriedades da multiplicação de um vetor por um escalar
1. Associativa
(mn)u = m(nu).
2. Distributiva em relação à adição de escalares e vetores
(m+ n)u = mu + nu,
m(u + v) = mu +mv.
3. Quando m = 1, mu = u e, quando m = −1, v = −u.
Dois ou mais vetores são colineares quando possuírem representantes cujos
pontos iniciais e �nais pertencem, todos eles, a uma mesma reta.
Dois vetores u e v são colineares se, e só se, um deles for múltiplo do outro,
isto é, existe um escalar m tal que
v = mu.
A estrutura matemática formada pelo conjunto de vetores e as duas opera-
ções acima, é chamada de espaço vetorial. Como a multiplicação é efetuada
entre um número real e um vetor, se pode dizer que o espaço vetorial é real.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
12 Álgebra vetorial
1.2.3 Soma de um ponto a um vetor
Dado um ponto A e um vetor v, existe um único ponto B tal que
v =−→
AB.
Vamos escrever
B = A+ v.
Certamente,
(A+ v) + w = A+ (v + w).
1.2.4 Diferença entre dois pontos
A igualdade
B = A+
−→
AB,
sugere denotar o vetor
−→
AB por B − A
B − A =
−→
AB.
Esta é chamada de notação de Grassmann (Polonês, 1809 a 1877).
Note que se aplica a �lei do cancelamento�,
(C −B) + (B − A) = C − A.
o que torna útil a notação.
1.3 Combinação linear
Considere n vetores u1, u2, . . . , un e n escalares c1, c2, . . . , cn. O vetor
c1u1 + c2u2 + · · ·+ cnun
é chamado de combinação linear dos vetores u1, u2, . . . , un com coe�cien-
tes c1, c2, . . . , cn. O múltiplo
mu,
do vetor u é uma combinação linear com um único vetor. A soma
0u1 + 0u2 + · · ·+ 0un
é chamada de combinação linear trivial dos vetores u1, u2, . . . , un. Certa-
mente, a combinação linear trivial resulta sempre no vetor nulo.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
1.4 Dependência e independência linear 13
1.4 Dependência e independência linear
Um conjunto de n vetores
u1, u2, . . . , un
é linearmente dependente se existirem n escalares
c1, c2, . . . , cn
nem todos iguais a zero, tais que
c1u1 + c2u2 + · · ·+ cnun = 0. (1.2)
Quando este for o caso, existe uma combinação linear não trivial dos vetores
u1, u2, . . . , un igual ao vetor nulo. Todo conjunto que contém o vetor nulo é
linearmente dependente pois a combinação linear não trivial
10 + 0u1 + · · ·+ 0un
é igual ao vetor nulo.
Se o conjunto de vetores u1, u2, . . . , un não for linearmente dependente,
diremos que é linearmente independente. Neste caso, a única combinação
linear dos vetores u1, u2, . . . , un que resulta no vetor nulo é a combinação
linear trivial, isto é, a igualdade
c1u1 + c2u2 + · · ·+ cnun = 0,
só se veri�ca quando
c1 = c2 = · · · = cn = 0.
Teorema 1.1 Um conjunto de vetores é linearmente dependente se, e só se,
um dos seus vetores for uma combinação linear dos demais.
Corolário 1.2 Um conjunto com apenas dois vetores é linearmente depen-
dente se, e só se, os dois vetores forem colineares.
Dois ou mais vetores são coplanares quando possuírem representantes
cujos pontos iniciais e �nais pertencem, todos eles, a um mesmo plano. Evi-
dentemente, se forem colineares, são coplanares.
Corolário 1.3 Um conjunto com apenas três vetores é linearmente depen-
dente se, e só se, os dois vetores forem coplanares.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
14 Álgebra vetorial
Prova. Sempre podemos tomar representantes dos três vetores com o
mesmo ponto inicial.
1. Se o conjunto de três vetores for linearmente dependente, um deles é
combinação linear dos outros dois. Fazendo os pontos iniciais coincidir, os
pontos �nais são vértices de um paralelogramo, que é uma �gura plana. Logo,
os quatro pontos (o inicial e os três �nais) pertencem ao mesmo plano e são
coplanares.
2. Se os três vetores forem coplanares, seus pontos �nais e o ponto inicial
comum pertencem ao mesmo plano.
2.1. Se os três vetores forem colineares, dois deles são múltiplos do terceiro
e o conjunto de vetores é linearmente dependente.
2.2. Se dois vetores não forem colineares, tome-os para formar um parale-
logramo que possui o terceiro como diagonal. Este vetor será uma combinação
linear dos outros dois e o conjunto formado pelos três vetores é linearmente
dependente. �
Corolário 1.4 Um conjunto com quatro vetores no espaço geométrico é line-
armente dependente.
Prova. 1. Se dois vetores forem colineares, o conjunto é LD.
2. Se três vetores forem coplanares, o conjunto é LD.
3. Se não houver três vetores coplanares, pegue representantes dos quatro
vetores com ponto inicial num mesmo ponto do espaço. Tome três vetores
quaisquer do conjunto e construa um paralelogramo em que três arestas �cam
nas retas suporte dos seus representantes e o representante do quarto vetor
é a diagonal. Este quarto vetor é uma combinação linear dos outros três e o
conjunto é LD.
Este paralelogramos é assim construído: se {e1, e2, e3} forem os três ve-
tores não coplanares, três faces deste paralelogramo são determinados pelos
representantes de e1 e e2, de e2 e e3, de e3 e e1. As outras três faces são deter-
minadas por planos paralelos às outras faces e quem passam pelo ponto �nal
do representante do quarto vetor. �
Teorema 1.5 Se o conjunto de vetores u1, u2, . . . , un for linearmente inde-
pendente e
c1, c2, . . . , cn
d1, d2, . . . , dn
forem dois conjuntos de n escalares para os quais
c1u1 + c2u2 + · · ·+ cnun = d1u1 + d2u2 + · · ·+ dnun, (1.3)
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
1.5 Base 15
então c1 = d1, c2 = d2, . . . , cn = dn.
1.5 Base
Um conjunto de vetores {e1, e2, . . . , en} é base do espaço vetorial se:
1. for linearmente independente;
2. todo vetor do espaço é uma combinação linear dos vetores da base.
Quando nos limitamos aos espaços geométricos bi ou tridimensionais, as
bases possuem dois e três vetores, respectivamente. Em espaços vetoriais mais
gerais, as bases podem ter mais do que três vetores.
No plano geométrico, um conjunto {v,w} com dois vetores não colineares
é base. Como um não é múltiplo do outro, o conjunto é linearmente inde-
pendente. Todo vetor u no plano é combinação linear desses dois. Logo, tal
conjunto com dois vetores não colineares é base. Dado um vetor u no plano
geométrico, existem escalares a e b tais que
u = pv + qw.
No espaço geométrico, um conjunto {e1, e2, e3} com três vetores não co-
planares base. De fato, tal conjunto é linearmente independente e um quarto
vetor v no espaço é combinação linear dos três. Existem escalares c1, c2, c3
tais que
v = c1e1 + c2e2 + c3e3. (1.4)
A independência linear do conjunto {e1, e2, e3} garante que os escalares c1, c2,
c3 são os únicos para os quais esta igualdade ocorre.
Quando {e1, e2, . . . , en} for uma base de um espaço vetorial, todo vetor v
desse espaço é uma combinação linear dos vetores da base
v = c1e1 + c2e2 + · · ·+ cnen.
Os números reais c1, c2, . . . , cn são chamados de coordenadas de v na base
{e1, e2, . . . , en}. Se e1, e2, . . . , en forem ortogonais entre si, a base formada
por eles é dita ortogonal. Se além disso possuírem magnitude unitária, a base
é chamada ortonormal.
Um conjunto {v1,v2, . . . ,vn} é um conjunto gerador do espaço vetorial
se todo vetor u for uma combinação linear dos vetores v1, v2, . . . , vn. Toda
base é um conjunto gerador do espaço vetorial. Com essa de�nição, podemos
dizer que base é um conjunto linearmente independente que gera o espaço
vetorial.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
16 Álgebra vetorial
1.6 Mudança de base
Sejam B = (e1, e2, . . . , en) e B′ = (e′1, e
′
2, . . . , e
′
3) duas bases. Cada vetor da
base B pode ser decomposto como combinação linear dos vetores da base B′
e1 = a11e
′
1 + a21e
′
2 + · · ·+ an1e′n,
e2 = a12e
′
1 + a22e
′
2 + · · ·+ an2e′n,
· · ·
en = a1ne
′
1 + a2ne
′
2 + · · ·+ anne′n.
Usando a convenção da soma, podemos escrever todas essas equações de uma
forma bem compacta
ej = aije
′
i, (1.5)
onde há uma soma em i e a igualdade vale para j = 1, . . . n. A matriz
MBB′ =
 a11 · · · a1n... . . . ...
an1 · · · ann

é chamada de matriz de mudança de base, de B para B′.
Todo vetor v pode ser decomposto como combinações lineares dos vetores
da base
v = x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen
= x′1e
′
1 + x
′
2e
′
2 + · · ·+ x′ne′n
Usando a convenção da soma,
v = xjej = x
′
ie
′
i. (1.6)
Os números xi são as coordenadas do vetor v na base B e yj são as coor-
denadas do vetor v na base B′. As matrizes
[v]B =
 x1...
xn
 , [v]B′ =
 x
′
1
...
x′n

são chamadas de matrizes de coordenadas de v nas bases B e B′, respec-
tivamente.
Vamos determinar a relação entre as coordenadas de v nas duas bases. De
(1.6) temos
x′ie
′
i = xjej = xjaije
′
i.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
1.6 Mudança de base 17
Da independência linear dos vetores da base B′,
x′i = aijxj,
onde há uma soma em j. Esta igualdade vale para i = 1, . . . , n, o que acarreta
a igualdade entre as matrizes x
′
1
...
x′n
 =
 a11 · · · a1n... . . . ...
an1· · · ann

 x1...
xn

ou, usando a notação estabelecida,
[v]B′ = MBB′ [v]B .
Esta é a relação entre as coordenadas de v na base B e as coordenadas de v
na base B′.
Se escrevermos os vetores e′j como combinações lineares dos vetores ei,
obtemos
e′j = bijei. (1.7)
A matriz
MB′B =
 b11 · · · b1n... . . . ...
bn1 · · · bnn

é a matriz de mudança da base B′ para a base B. De (1.5) e (1.7) obtemos
e′j = bkjek = bkjaike
′
i = aikbkje
′
i
= δije
′
i
Daí,
aikbkj = δij,
igualdade que vale para i, j = 1, 2, . . . , n, que implica na igualdade matricial
MBB′MB′B = I.
Provamos que MBB′ e MB′B são inversíveis, sendo uma a inversa da outra.
Exemplo. Sejam B = (e1, e2, e3) e B′ = (e′1, e
′
2, e
′
3) duas bases de vetores
do espaço e que
e1 = −e′1 − e′2 + 2e′3
e2 = e
′
2
e3 = −e′1 + e′3
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
18 Álgebra vetorial
Sabendo que
v = 2e′1 − 3e′2 + e′3,
determine os números reais a, b e c tais que
v = ae1 + be2 + ce3.
�
Resolução. Os números reais a, b e c são as coordenadas de v na base B
e as matrizes
[v]B =
 ab
c
 [v]B′ =
 2−3
1

são as matrizes de coordenads de v nas bases B e B′ respectivamente e quere-
mos determinar [v]B . Sabe-se que
[v]B = MB′B [v]B′
Os problema nos fornece
MBB′ =
 −1 0 −1−1 1 0
2 0 1

que é a inversa de MB′B. Invertendo MBB′ obtemos
MB′B = M
−1
BB′ =
 1 0 11 1 1
−2 0 −1

e assim, usando a fórmula [v]B = MB′B [v]B′ calculamos
[v]B =
 1 0 11 1 1
−2 0 −1
 2−3
1
 =
 30
−5

ou seja,
v = 3e1 − 5e3.
�
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
1.7 Sistema de coordenadas 19
1.7 Sistema de coordenadas
Eixo coordenado
Dada uma reta e uma unidade de medida, vamos associar a cada um dos seus
pontos um número real. Escolhemos um ponto O da reta e a ele associamos o
número real 0 (zero). Este ponto divide a reta em duas semi-retas que vamos
numerar 1 e 2. Seja x a distância de um ponto P da reta até o ponto O.
Quando P está na semi-reta 1, associamos este ponto ao número real positivo
x. Quando P está na semi-reta 2, associamos P ao número real negativo −x.
Este número real é denominado coordenada do ponto P. Esta reta, à qual
associamos um número real a cada um dos seu pontos é chamada de reta
coordenada ou eixo coordenado.
Representamos este eixo desenhando um segmento de reta com uma seta
na extremidade de maior coordenada e apontando para o sentido em que as
coordenadas crescem. Ao fazer isto, estabelecemos uma bijeção entre os pontos
da reta e o conjunto dos números reais. Esta reta coordenada oferece uma
representação geométrica dos números reais.
No espaço geométrico tridimensional, considere três eixos coordenados não
coplanares passando por um mesmo ponto O. Em cada um dos eixos, o ponto
O está associado a número real 0 (zero). Considere os pontos A, B, C, corres-
pondentes ao número real 1 em cada um dos três eixos coordenados. Tome os
três vetores unitários
e1 =
−→
OA, e2 =
−−→
OB, e3 =
−→
OC.
Estes vetores não são coplanares e formam uma base do espaço. Denote por
Oek o eixo coordenado que passa por O e contém o representante do vetor
ek. Os eixos coordenados Oe1, Oe2, Oe3 fornecem um sistema oblíquo de
coordenadas com origem O, que é denotado por Oe1e2e3. As retas Oej e
Oek, quando j 6= k, de�nem um plano coordenado que contém O. Denota-
mos este plano por Oejek. Todo vetor v neste espaço é uma combinação linear
dos vetores da base
x = x1e1 + x2e2 + x3e3.
Quando os vetores e1, e2, e3 forem ortogonais entre si e unitários, o sistema
de coordenadas Oe1e2e3 é chamado retangular.
O vetor
r = r(P ) =
−→
OP
é chamado vetor posição do ponto P em relação ao ponto O.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
20 Álgebra vetorial
Identi�cação do espaço geométrico com o R3
Seja { e1, e2, e3} a base ortonormal do sistema de coordenadas retangulares
Oe1e2e3. Se o vetor posição de um ponto P em relação a O for dado por
r(P ) = x1e1 + x2e2 + x3e3, (1.8)
diremos que P possui coordenadas retangulares x1, x2, x3 neste sistema.
Tais coordenadas podem ser obtidas projetanto P ortogonalmente sobre os
eixos coordenados Oe1, Oe2 e Oe3 e anotando em cada um deles o número
real que corresponde à projeção.
A cada ponto P do espaço corresponde um único terno ordenado (x1, x2, x3)
de números reais dados por suas coordenadas retangulares e, vice-versa. A cada
terno ordenado (x1, x2, x3) de números reais há um único ponto P no espaço
cujo vetor posição é (1.8). Esta correspondência biunívoca entre pontos do
espaço e ternos ordenados de números reais nos permite identi�car o espaço
geométrico ao R3 e escrever
P = (x1, x2, x3).
Assim, ora falaremos no ponto P, ora no ponto (x1, x2, x3) do R3, sem fazer
uma distinção entre uma coisa e outra.
Distância do ponto à origem
Seja { e1, e2, e3} a base ortonormal do sistema de coordenadas retangulares
Oe1e2e3 e
r = r(P ) = x1e1 + x2e2 + x3e3
o vetor posição do ponto P em relação à origem O do sistema de coordenadas.
A distância do ponto P ao ponto O é igual ao comprimento |r| do vetor posição
r. De acordo com o Teorema de Pitágoras,
d(O,P )2 = |r|2 = x21 + x22 + x23.
Adição de um vetor a um ponto
Seja {e1, e2, e3} a base ortonormal do sistema de coordenadas retangulares
Oe1e2e3. Consideremos um vetor v =
−→
AB o vetor que possui um representante
com ponto inicial em A e ponto �nal em B. Então
B = A+ v.
Se A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3) neste sistema de coordenadas e
v = v1e1 + v2e2 + v3e3,
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
1.7 Sistema de coordenadas 21
então
(b1, b2, b3) = (a1 + v1, a2 + v2, a3 + v3),
e
(v1, v2, v3) = (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3).
Conclusão: Dados A = (x1, x2, x3) e B = (y1, y2, y3) num sistema de coor-
denadas Oe1e2e3,
v = B − A = (b1 − a1)e1 + (b2 − a2)e2 + (b3 − a3)e3.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
22 Álgebra vetorial
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
Capítulo 2
Produto escalar e vetorial
2.1 O produto escalar
O ângulo entre dois vetores não nulos e colineares é 0 quando possuem o
mesmo sentido e π quando possuem sentidos contrários. Se os vetores u =−→
AB e v =
−→
AC forem não nulos e não colineares, o ângulo entre eles é o menor
ângulo entre as semi retas A + r
−→
AB e A + s
−→
AC, parametrizadas por r > 0 e
s > 0.
O produto escalar entre dois vetores u e v, denotado por u·v, é a quantidade
u · v = |u| |v| cos θ, (2.1)
onde θ é o ângulo entre u e v.
Considere os vetores u =
−→
OA e v =
−−→
OB, onde O = (0, 0, 0) é a origem de
um sistema de coordenadas retangulares Oe1e2e3. Decompondo os vetores u e
v na base ortonormal {e1, e2, e3},
u = x1e1 + x2e2 + x3e3
v = y1e1 + y2e2 + y3e3
u− v = (x1 − y1)e1 + (x2 − y2)e2 + (x3 − y3)e3
obtemos
|u− v|2 = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2,
|u|2 = x21 + x22 + x23 ,
|v|2 = y21 + y22 + y23 ,
Usando a lei dos cossenos para um triângulo qualquer,
|u− v|2 = |u|2 + |v|2 − 2 |u| |v| cos θ
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
24 Produto escalar e vetorial
onde θ é o ângulo entre u e v, chegamos à igualdade
|u| |v| cos θ = x1y1 + x2y2 + x3y3
que nos fornece
u · v = x1y1 + x2y2 + x3y3. (2.2)
Esta é a expressão do produto escalar u · v quando se desenvolve u e v numa
base ortonormal.
Vamos fazer uso frequente do símbolo de somatório
u · v =
3∑
i=1
xiyi (2.3)
e da convenção da soma: sempre que houver a repetição de um índice nas
parcelas de um somatório, podemos omitir esse símbolo. Podemos escrever
u · v = xiyi.
Mantendo a base ortonormal {e1, e2, e3} e o vetor
u = x1e1 + x2e2 + x3e3,
observe que
u · u = x21 + x22 + x23 = |u|
2 .
Concluímos que
|u| =
√
u · u.
2.1.1 A convenção da soma
A partir de agora, faremos uso convenção da soma, encontrada na literatura
de física e matemática: Nos somatórios
n∑
i=1
aii,
n∑
i=1
aib
i,
n∑
i=1
aibkc
i, (2.4)
observe que o índice que soma se repete em cada parcela. Sempre que isto
ocorrer, vamos omitir o símbolo de somatório e escrever apenas
aii, aib
i, aibkc
i.
O índice que soma é chamado índice mudo pois ele pode ser substituídopor
qualquer outra letra. Assim, por exemplo,
aii = ajj = akk = arr,
aib
i = ajb
j = akb
k = arb
r,
aibkc
i = ajbkc
j = arbkc
r.
Neste último só não podemos usar a letra k para substituir o i pois não há
soma sobre k.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
2.1 O produto escalar 25
2.1.2 Delta de Kronecker
O delta de Kronecker, é o símbolo abaixo de�nido
δij = δ
j
i = δ
ij =
{
1 se i = j,
0 se i 6= j.
Observe que, sem usar a convenção da soma,
n∑
i=1
aiδij = a1δ1j + · · ·+ ajδjj + · · ·+ anδnj = ajδjj = aj,
n∑
i=1
bikδij = b1kδ1j + · · ·+ bjkδjj + · · ·+ bnkδnj = bjkδjj = bjk.
Usando agora a convenção da soma,
aiδij = aj e bikδij = bjk.
Propriedades semelhantes se aplicam a δji e δ
ij.
Propriedades do produto escalar
A fórmula (2.2) nos permite provar sem di�culdade as propriedades do produto
escalar. O produto escalar é:
1. Comutativo
u · v = v · u
2. Distributivo
u · (v + w) = u · v + u ·w
(u + v) ·w = u ·w + v ·w
3. Associativo
u · (λv) = (λu) · v = λ(u · v)
4.
u · u ≥ 0
e
u · u = 0 se, e só se, u = 0.
A condição necessária e su�ciente para que dois vetores u e v sejam per-
pendiculares é que
u · v = 0.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
26 Produto escalar e vetorial
Quando u = 0, por exemplo, podemos considerar que u possui qualquer dire-
ção, em particular, a direção perpendicular a v.
Podemos decompor um vetor u numa base ortonormal {e1, e2, e3}
u = x1e1 + x2e2 + x3e3 =
3∑
k=1
xkek (2.5)
Sendo a base ortonormal,
ej · ek = δjk,
onde δjk é o delta de Kronecker. Multiplicando u escalarmente por ej, obtemos
u · ej = (x1e1 + x2e2 + x3e3) · ej = xjej · ij = xj
de onde obtemos
u = (u · e1)e1 + (u · e2)e2 + (u · e3)e3.
2.2 O produto vetorial
Quando a ordem em que os vetores forem escritos num conjunto for relevante,
vamos delimitar o conjunto ordenado por parêntesis em lugar de chaves. No
conjunto ordenado
(u1,u2, . . . ,un)
u1 é o primeiro vetor, u2 é o segundo e assim por diante. Dois conjuntos
ordenados (u1, . . . ,un) e (v1, . . . ,vn) com o mesmo número de vetores são
iguais quando
u1 = v1, . . . , un = vn.
Enquanto os conjuntos {v1,v2} e {v2,v1} são iguais, os conjuntos ordena-
dos (v1,v2) e (v2,v1) são diferentes.
O produto vetorial dos vetores u e v é o vetor u× v tal que:
1. Se {u,v} for linearmente dependente, u× v é o vetor nulo.
2. Se os vetores u e v forem linearmente independentes:
(a) O módulo de u× v é
|u× v| = |u| |v| sen(u,v).
(b) A direção de u× v é perpendicular ao plano de u e v.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
2.2 O produto vetorial 27
(c) O sentido de u × v é assim de�nido: Posicione os dedos da mão
direita como se estivésse fazendo o sinal de positivo e segurando o
eixo perpendicular ao plano dos vetores u e v. Acompanhar com a
palma da mão fechada a rotação do vetor u para o vetor v através
do menor dos dois ângulos possíveis. O polegar aponta no sentido
do vetor u× v.
O sentido de u × v também é dado pela regra do saca-rolhas. Apoie o
saca-rolhas perpendicularmente no plano dos vetores u e v. Gire-o de u para
v pelo menor ângulo. O saca-rolhas avança ou recua no sentido de u× v.
Se {u,v} for linearmente independente, o conjunto ordenado (u,v,u× v)
é uma base positiva do espaço de vetores. Podemos decompor os vetores de
outro conjunto ordenado (e1, e2, e3) como combinações lineares dos vetores da
base ordenada (u,v,u× v)
e1 = c11u + c21v + c31u× v
e2 = c12u + c22v + c32u× v
e3 = c13u + c23v + c33u× v
Considere a matriz
M =
 c11 c12 c13c21 c22 c23
c31 c32 c33
 .
Quando detM 6= 0, o conjunto ordenado (e1, e2, e3) é uma base eM é a matriz
de mudança desta base para a base (u,v,u×v). No caso de detM > 0, diremos
que a base ordenada (e1, e2, e3) é positiva.
O módulo
|u× v|
do produto vetorial é a área do paralelogramo cujas arestas são u e v.
Uma condição necessária e su�ciente para que dois vetores u e v sejam
paralelos é que
u× v = 0.
Teorema 2.1 Sendo (e1, e2, e3) uma base ortonormal positiva e
u = a1e1 + a2e2 + a3e3,
v = b1e1 + b2e2 + b3e3,
então
u× v = det
 e1 e2 e3a1 a2 a3
b1 b2 b3
 (2.6)
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
28 Produto escalar e vetorial
onde o determinante acima deve ser entendido como
u× v =
∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣ e1 − ∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣ e2 + ∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣ e3
= (a2b3 − a3b2) e1 + (a3b1 − a1b3) e2 + (a1b2 + a2b1) e3
Prova. Seja w o vetor de�nido pelo determinante do lado direito de (2.6).
1. Quando {u,v} for linearmente dependente, tanto u×v quanto o deter-
minante são iguais a zero pois uma linha é proporcional à outra, uma vez que
um dos vetores é múltiplo um do outro.
2. Quando {u,v} for linearmente independente,
|u× v|2 = |u|2 |v|2 sen2 θ
= |u|2 |v|2 (1− cos2 θ)
= |u|2 |v|2 − |u|2 |v|2 cos2 θ
= |u|2 |v|2 − (u · v)2.
O desenvolvimento desta expressão mostra que
|u× v|2 = |w|2 ou |u× v| = |w| .
Ainda
w · u = det
 a1 a2 a3a1 a2 a3
b1 b2 b3
 = 0
e, analogamente, w·v = 0. Comow é ortogonal a u e a v, ele é paralelo a u×v.
Como ambos possuem o mesmo módulo, temos apenas duas posibilidades
w = u× v ou w = −u× v.
Como (u,v,w) é positivo, concluímos que w = u× v. �
Propriedades do produto vetorial
O produto vetorial é
1. Anti-comutativo
u× v = −v × u
2. Não associativo
(u× v)×w 6= u× (v ×w)
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
2.2 O produto vetorial 29
3. Distributivo
u× (v + w) = u× v + u×w
(u + v)×w = u×w + v ×w
3.
u× (λv) = (λu)× v = λ(u× v).
Quando uma base ordenada ortonormal (e1, e2, e3) for positiva,
e1 × e2 = e3, e2 × e3 = e1, e3 × e1 = e2.
Diremos que um sistema de coordenadas retangulares Oe1e2e3 é positivo
quando a base ordenada ortonormal (e1, e2, e3) for positiva. De agora em
diante, todos os sistemas de coordenadas e bases serão positivos, a menos que
se especi�que explicitamente o contrário.
2.2.1 Símbolos de Levi-Civita
Um modo conveniente de escrever o produto vetorial de dois vetores consiste
no uso do símbolo de Levi-Civita (Tullio Levi-Civita, italiano, 1873 � 1941)
que fornece o sinal de uma permutação
�ijk =

1 se (i, j, k) for permutação par de (1, 2, 3)
−1 se (i, j, k) for permutação ímpar de (1, 2, 3)
0 se nos demais casos
Em particular,
�123 = �231 = �312 = 1
�213 = �321 = �132 = −1
os demais são iguais a zero. Sempre que dois ou três índices forem iguais, �ijk
= 0. Por exemplo,
�111 = �222 = �333 = 0,
�112 = �121 = �211 = 0,
�113 = �131 = �311 = 0.
que possui as propriedades
�ijk = �jki = �kij
�ijk = −�jik = −�ikj = −�kji
�iik = �iki = �kii = �iii = 0.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
30 Produto escalar e vetorial
Nas igualdades da última linha, mesmo havendo índice repetido, não há soma.
Este símbolo se relaciona com o delta de Kronecker mediante a igualdade
3∑
k=1
�ijk�rsk = δirδjs − δisδjr.
Usando a convenção da soma, podemos omitir o símbolo de somatório
�ijk�rsk = δirδjs − δisδjr.
Sendo (e1, e2, e3) uma base ortonormal positiva,
u = a1e1 + a2e2 + a3e3
v = b1e1 + b2e2 + b3e3
veri�que que
u× v =
3∑
i=1
3∑
j=1
3∑
k=1
�ijkaibjek
ou, usando a convenção da soma,
u× v = �ijkaibjek.
Em particular,
ei × ej = �ijkek.
2.3 Produto misto
O produto misto de três vetores u, v, w é o escalar de�nido por
V = (u× v) ·w
cujo módulo é o volume do paralelepípedo cujas arestas são u, v e w.
Teorema 2.2 Se (e1, e2, e3) for uma base ortonormal positiva e
u = a1e1 + a2e2 + a3e3
v = b1e1 + b2e2 + b3e3
w = c1e1 + c2e2 + c3e3
então
(u× v) ·w =
∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ . (2.7)
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
2.4 O duplo produto vetorial 31
Não é necessário usar o parêntesis em (u × v) · w uma vez que não teria
sentido pensarmos no produto misto associado como u × (v ·w) pois v ·w é
um escalar. Daí, podemos escrever apenas
u× v ·w.
Há uma outra notação consagrada para o produto misto
[u,v,w] = (u× v) ·w = u · (v ×w).
Propriedades do produto misto
1. Propriedade cíclica
(u× v) ·w = (w × u) · v = (v ×w) · u. (2.8)
2. Três vetores u, v e w são linearmente dependentes se, e só se,
(u× v) ·w= 0. (2.9)
Em particular,
(u× v) · u = (u× v) · v = (u× u) · v = 0.
Da propriedade 2 segue que três vetores u, v e w formam uma base se, e
só se,
(u× v) ·w 6= 0
e a base ordenada (u,v,w) é positiva quando (u × v) · w > 0 e negativa
quando (u× v) ·w < 0.
2.4 O duplo produto vetorial
Falemos sobre o duplo produto vetorial de três vetores u, v e w
u× (v ×w).
Quando {v,w} for linearmente independente e u × (v ×w) não for nulo, ele
é perpendicular a u e a v ×w e está no plano de v e w. Logo,
u× (v ×w) = (u ·w)v − (u · v)w (2.10)
e
(u× v)×w = (u ·w)v − (v ·w)u (2.11)
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
32 Produto escalar e vetorial
Para provar (2.11) tomamos uma base ortonormal positiva (e1, e2, e3) e
escrevemos u, v, w nesta base
u =
3∑
i=1
aiei, v =
3∑
i=1
biei, w =
3∑
i=1
ciei
então
u× v =
3∑
i=1
3∑
j=1
3∑
k=1
�ijkaibjek.
Para simpli�car a notação, podemos usar a convenção da soma que consiste
em omitir o símbolo de somatório sempre que houver um índice repetido. Com
esta convenção,
u× v = �ijkaibjek
e, em particular,
ei × ej = �ijkek.
Multiplicando vetorialmente por w,
(u× v)×w = (aiei × bjej)× ckek
= aibjck(ei × ej)× ek
= �ijraibjcker × ek
= �ijr�rksaibjckes
= �ijr�ksraibjckes.
Continuando,
(u× v)×w = (δikδjs − δisδjk)aibjckes
= (aici)bjej − (bjcj)aiei
= (u ·w)v − (v ·w)u
2.5 Bases recíprocas
Quando uma base B = {e1, e2, e3} for ortonormal, podemos decompor um
vetor u nesta base
u = x1e1 + x2e2 + x3e3.
Da ortonormalidade da base, obtemos xj = u · ej e
u = (u · e1) e1 + (u · e2) e2 + (u · e3) e3.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
2.5 Bases recíprocas 33
Quando a base B = {e1, e2, e3} não for ortonormal, vamos de�nir três
vetores e′1, e
′
2, e
′
3 por
e′i · ej = δij.
O conjunto B′ = {e′1, e′2, e′3} também é uma base do espaço. As bases B =
{e1, e2, e3} e B′ = {e′1, e′2, e′3} são denominadas recíprocas. Para decompor
um vetor u na base B, escrevemos
u = a1e1 + a2e2 + a3e3.
Observe que
u · e′i = (a1e1 + a2e2 + a3e3) · e′i = ai
e assim
u = (u · e1) e1 + (u · e2) e2 + (u · e3) e3.
Exemplo. Seja (i1, i2, i3) uma base ortonormal. Sendo
e1 = i1, e2 = i1 + i2, e3 = i1 + i2 + i3,
mostre que sua base recíproca é
e1 = i1 − i2, e2 = i2 − i3, e3 = i3.
Se escrevermos
e1 = a11i1 + a21i2 + a31i3
e2 = a12i1 + a22i2 + a32i3
e3 = a13i1 + a23i2 + a33i3
Pela de�nição de base recíproca,
ei · ej = δij, para i, j = 1, 2, 3.
Essas 9 condições, aplicadas para j = 1, depois para j = 2 e depois para j = 3,
nos fornecem os seguintes sistemas de equações para determinar os coe�cientes
aij. Para j = 1,
a11 = 1
a11 + a21 = 0
a11 + a21 + a31 = 0
para j = 2
a12 = 0
a12 + a22 = 1
a12 + a22 + a32 = 0
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
34 Produto escalar e vetorial
para j = 3
a13 = 0
a11 + a23 = 0
a11 + a21 + a33 = 1
que podem ser colocados na forma matricial 1 0 01 1 0
1 1 1
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =
 1 0 00 1 0
0 0 1

o que resulta em a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =
 1 0 01 1 0
1 1 1
−1 =
 1 0 0−1 1 0
0 −1 1
 .
�
Prova-se que
ei =
ej × ek
V
(2.12)
onde (i, j, k) é uma permutação par de (1, 2, 3) e
V = e1 · (e2 × e3).
Explicitando cada uma delas,
e1 =
e2 × e3
V
, e2 =
e3 × e1
V
, e3 =
e1 × e2
V
.
Também se pode mostrar que
e1 =
e2 × e3
V ′
, e2 =
e3 × e1
V ′
, e3 =
e1 × e2
V ′
,
onde
V ′ = e1 · (e2 × e3).
De forma mais concisa se pode escrever
ei =
ej × ek
V ′
onde (i, j, k) é uma permutação par de (1, 2, 3).
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
2.5 Bases recíprocas 35
Duas propriedades das bases recíprocas que merecem destaque:
1) Se (e1, e2, e3) for ortonormal, sua base recíproca é ela mesma. De fato,
e1 =
e2 × e3
V
= e1
e, do mesmo modo,
e2 = e2, e
3 = e3.
2) Duas bases recíprocas são ambas positivas ou ambas negativas. Esta
propriedade segue da fórmula
V V ′ = 1,
cuja prova é deixada como exercício.
Seja (e1, e2, e3) uma base ordenada qualquer e
u = a1e1 + a
2e2 + a
3e3, (2.13)
então, sem usar a convenção da soma,
u · ei =
2∑
k=1
akek · ei = aiei · ei = ai.
Por exemplo,
a1 = u · e1 = u · (e2 × e3)
e1 · (e2 × e3)
.
Então (2.13) se torna
u = (u · e1)e1 + (u · e2)e2 + (u · e3)e3.
Usando base recíproca, podemos encontrar facilmente o vetor u satisfa-
zendo o sistema de equações
u · e1 = m1, u · e2 = m2, u · e3 = m3.
Este vetor é
u = m1e
1 +m2e
2 +m3e
3.
Esta solução é única. De fato, se u′ fosse outra solução do sistema,
(u− u′) · e1 = (u− u′) · e2 = (u− u′) · e3 = 0,
o que implica em u− u′ = 0 ou u = u′.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
36 Produto escalar e vetorial
2.6 Exercícios propostos
1. Demonstrar que a projeção de uma soma de vetores em qualquer eixo é
igual à soma das projeções dos vetores no mesmo eixo.
2. Dados os vetores
A = i1 + 2i2 + 3i3, B = 4i1 + 5i2 + 6i3,
C = 3i1 + 2i2 + i3, D = 6i1 + 5i2 + 4i3,
onde i1, i2, i3 formam uma base ortonormal, encontre:
a) As somas e diferenças
A +B + C + D, A + B−C−D,
A−B + C−D, −A + B−C + D;
b) Os ângulos entre A, B, C, D e os vetores de base;
c) As magnitudes dos vetores A, B, C, D.
3. Encontre a soma de três vetores de comprimento a desenhados
a) De um vértice comum de um cubo ao longo de três de seus lados;
b) De um vértice comum de um tetraedro regular ao longo de três de seus
lados.
4. Dado um sistema de n partículas de massas m1, m2, . . . , mn, seja rk o
vetor posição da partícula k (k = 1, 2, . . . , n) em relação a alguma origem O.
Então o centro de massa do sistema possui o vetor posição
R =
∑n
k=1 mkrk∑n
k=1mk
.
Encontre o centro de massa de cada um dos seguintes sistemas:
a) Massas iguais a 1, 2, 3 nos vértices de um triângulo equilátero cuja aresta
possui comprimento a;
b) Massas iguais a 1, 2, 3, 4 nos vértices de um quadrado de aresta lateral
a;
c) Massas iguais a 1, 2, 3, 4 nos vértices inferiores de um cubo de compri-
mento lateral a, e massas iguais a 5, 6, 7, 8 nos vértices superiores.
5. Um paralelogramo tem ângulo agudo π/3 e lados de comprimentos a =
3, b = 5. Pensando nos lados correspondentes como vetores u e v, encontre:
a) Os vetores u + v e u − v (qual é o seu signi�cado geométrico?);
b) A área do paralelogramo;
c) A projeção de cada lado na direção do outro.
6. Sejam A, B, C e D os mesmos que os do Exercício 2. Encontre:
a) (A + B) · (C + D);
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
2.6 Exercícios propostos 37
b) Os ângulos feitos por A e B, C e D;
c) A projeção de A nas direções de B, C e D;
d) Os produtos vetoriais A×B, B×C, C×D, e os ângulos que eles fazem
com D;
e) As áreas dos paralelogramos gerados pelos vetores A e B e pelos vetores
C e D e também os comprimentos das diagonais desses paralelogramos.
7. Mostre que os vetores A, B, C e D do Exercício 2 são coplanares.
8. O vetores i1, i2, i3 formam uma base ortonormal dextra. Veri�que se os
vetores
A = i1 + 2i2 + 3i3, B = 4i1 + 5i2, C = 3i1 + 2i2 + i3
formam uma base. Esta base é positiva? Encontre:
a) O volume do paralelepípedo gerado por A, B e C;
b) Os vetores formando duas diagonais do paralelepípedo (iniciadas no
ponto �nal de A) e os comprimentos desses vetores;
c) A área da seção diagonal do paralelepípedo que passando pelo vetor A.
9. Suponha que os pontos médios dos lados de um quadrilátero arbitrá-
rio sejam unidos (por ordem) por segmentos de reta. Mostre que a �gura
resultante é um paralelogramo.
Dica. Se os lados do quadrilátero são representados pelos vetores u, v, c
e d, então u + v + c + d = 0.
10. Dados quatro pontos com os vetores posição u, v, c e d, suponha que
[(d− u)× (c− u)] · (v − u) = 0.
Prove que os pontos são coplanares.
11. Sejam i1, i2, i3 vetores de uma base ortonormal. Porventura
u1 = 2i1 + i2 − 3i3, u2 = i1 − 4i3, u3 = 4i1 + 3i2 − i3
é uma base? E os vetores
v1 = i− 3i2 + 2i3, v2 = 2i1 − 4i2 − i3, v3 = 3i1 + 2i2 − i3?
12. Sejam v1, v2, v3 os mesmos que no Exercício 11. Os vetores
v1 = 2v1 − 3v2 + v3,
v2 = 3v1 − 5v2 + 2v3,
v3 = 4v1 − 5v2 + v3
formam uma base?
13. Prove a fórmula (2.11), sem introduzir umsistema de coordenadas.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
38 Produto escalar e vetorial
14. Demonstrar que
d
dt
[u · (v ×w)] = du
dt
· (v ×w) + u ·
(
dv
dt
×w
)
+ u ·
(
v × dw
dt
)
.
15. Prove que: (a)
d
dt
[
u ·
(
du
dt
× d
2u
dt2
)]
= u ·
(
du
dt
× d
3u
dt3
)
;
(b) ∫
u× d
2u
dt2
dt = u× du
dt
+ C (C = constante);
(c)
r× dr
dt
= C if
d2r
dt2
= f(t)r.
16. Usando a fórmula v = ω× r (ver Problema 11), encontre a velocidade
linear v do centro de um retângulo cujas arestas medem a = 2 cm e b = 4
cm girando sobre um dos seus vértices se a velocidade angular instantânea ω
é igual a 5 radianos por segundo e aponta ao longo de:
(a) O lado curto; (b) O lado longo.
17. O momento M0 de uma força F em relação a um ponto O é dado
pela expressão
M0 = r× F,
onde r é o vetor posição do ponto inicial de F em relação a O. A projeção de
M0 sobre um eixo u que passa por O, isto é, a quantidade
Mu = M0 · u0 = (r× F) · u0
onde u0 é um vetor unitário direcionado ao longo de u, é chamado demomento
de F em relação ao eixo u. Prove que Mu é independente da posição de O
em u.
18. Encontre o momento de uma força de 5 dinas dirigida ao longo de um
lado de um cubo de comprimento do lado 2 cm em relação a:
a) Todos os vértices do cubo;
b) Todos os eixos que atravessam o lado dado.
19. Dado um sistema de n partículas de massas m1, m2, . . . , mn, seja rk
o vetor posição e vk a velocidade da k�ésima partícula (k = 1, 2, . . . , n) em
relação a alguma origem O. Então o vetor
L0 =
n∑
k=1
rk ×mkvk
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
2.6 Exercícios propostos 39
é chamado de momento angular do sistema em relação a O. Dado um cubo
cuja aresta mede u cm, encontre o momento angular em relação a cada vértice
do cubo de duas partículas de massa m1 = 1 g e m2 = 2 g movendo-se em
direções opostas com velocidade de 3 cm/seg ao longo de dois lados opostos
do cubo.
20. Seja P o paralelogramo gerado pelos vetores u e v. Então, P tem
diagonais u + v e u − v. Prove que
a) A soma dos quadrados das diagonais de P é igual à soma dos quadrados
dos lados de P ;
b) As diagonais de P são perpendiculares se e somente se P é um losango;
c) A área do paralelogramo P gerada pelas diagonais de P é duas vezes
maior que a área de P.
21. Suponha que n molas com rigidez C1 C2, . . . , Cn são �xados em n
pontos M1, M2, . . . , Mn e unidos em um ponto comum M (ver Fig. 1.31).
Encontre a posição de equilíbrio de M.
Resposta. Se rM é o vetor posição de M e rk o de Mk, então
rM =
∑n
k=1 Ckrk∑n
k=1 Ck
.
22. Veri�que as seguintes identidades: (a)
u× (v × c) + v × (c× u) + c× (u× v) = 0;
(b)
(u× v) · (c× d) =
∣∣∣∣ u · c u · dv · c v · d
∣∣∣∣ ;
(c)
(u× v)× (c× d) = v[u · (c× d)]− u[v · (c× d)]
= c[u · (v × d)]− d[u · (v × c)];
(d)
(u× v) · (c× d) + (v × c) · (u× d) + (c× u) · (v × d) = 0.
23. Dada a base
e1 = −4i1 + 2i2, e2 = 3i1 + 3i2, e3 = 2i3,
onde i1, i2, i3 é uma base ortonormal, encontre as componentes covariantes e
contravariantes do vetor que une a origem ao ponto (1, 1, 1).
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
40 Produto escalar e vetorial
24. Expresse o produto misto (u × v) · w em termos de componentes
covariantes e contravariantes dos vetores u, v e w.
25. Uma função escalar f(u) de argumento vetorial u é linear se
f(cu) = cf(u), f(u + v) = f(u) + f(v),
onde u e v são vetores arbitrários e c é um escalar arbitrário. Mostre que a
função mais geral deste tipo é da forma
f(u) = αu1 + βu2 + γu3,
onde u1, u2, u3 são os componentes de u e α, β, γ são escalares.
26. Dado um tetraedro T, seja Si o vetor perpendicular à i�ésima face de
T (i = 1, 2, 3, 4), de magnitude igual à área da face. Prove que
S1 + S2 + S3 + S4 = 0.
Dica. Represente os vetores Si como produtos vetoriais.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
Capítulo 3
Curvas e campos
3.1 Conjuntos ordenados �nitos
Começaremos falando no conjunto das n−uplas (leia-se ênuplas) ordenadas.
Seja n > 1 um número inteiro. O Rn é o conjunto das n− uplas ordenadas de
números reais, isto é,
(x1, . . . , xn)
onde x1, . . . , xn são números reais. Vamos considerar no Rn duas operações,
adição de n− uplas e multiplicação de n− uplas por números reais. Se x =
(x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) forem duas n− uplas e c for um número real,
de�nimos a adição de n− uplas e a multiplicação de uma n− upla por um
número real por
x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn),
cx = (cx1, . . . , cxn).
Aqui, x + y é chamada soma de x e y e cx é denominado múltiplo c de x
ou, simplesmente, múltiplo de x. O Rn com essas duas operações é um espaço
vetorial, uma vez que as operações possuem as propriedades:
1. Comutativa: x + y = y + x.
2. Associativa: (x + y) + z = x + (y + z).
3. Elemento neutro: A n− upla 0 = (0, . . . , 0) é o elemento neutro da
adição, x + 0 = 0 + x = x.
4. Elemento oposto: Dada a n− upla x = (x1, . . . , xn), existe a n− upla
−x = (−x1, . . . , −xn), denominada oposto de x para a qual x + (−x)
= (−x) + x = 0.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
42 Curvas e campos
5. Associativa: (ab)x = a(bx).
6. Distributiva 1: (a+ b)x = ax + bx.
7. Distributiva 2: a(x + y) = ax + ay.
8. Elemento unidade: 1x = x.
Sendo o Rn um espaço vetorial, podemos chamar seus elementos, as n−
uplas ordenadas de números reais de pontos do Rn ou vetores do Rn. Observe
que podemos escrever
(x1, . . . , xn) = x1i1 + · · ·+ xnin,
onde i1 = (1, 0, 0, . . . , 0), i2 = (0, 1, 0, . . . , 0) e assim por diante, in = (0, 0,
. . . , 0, 1).
Quando tomamos um sistema de coordenadas retangulares Oi1i2i3 no es-
paço geométrico tridimensional, onde O é a origem e a base (i1, i2, i3) é orto-
normal, dado um ponto P com coordenadas (x1, x2, x3), o vetor posição r de
P em relação a O é tal que
r = x1i1 + x2i2 + x3i3.
Quando identi�camos o ponto P às suas coordenadas, escrevemos P =
(x1, x2, x3). Se denotarmos
i1 = (1, 0, 0), i2 = (0, 1, 0), i3 = (0, 0, 1)
obtemos
P = (x1, x2, x3) = x1i1 + x2i2 + x3i3 = r.
Ou seja, identi�camos P ao seu vetor posição r. De fato, �xada a origem,
O = (0, 0, 0), dado o ponto P determinamos seu vetor posição r e, dado o vetor
posição r determinamos o ponto P. Escrever
(x1, x2, x3) ou x1i1 + x2i2 + x3i3
é uma questão de ênfase. Usa-se a primeira notação quando se pretende dar
destaque ao ponto e a segunda notação quando se pretende dar destaque ao
seu vetor posição. Podemos tratar o vetor posição r ora como um ponto do
R3,
r = (x1, x2, x3),
ora como um vetor do espaço
r = x1i1 + x2i2 + x3i3,
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
3.2 Função vetorial com variável real 43
Use a notação que for mais conveniente para a ocasião.
Quando estivermos trabalhando no R3 e for conveniente, indicaremos (1, 0, 0),
(0, 1, 0), (0, 0, 1) respectivamente por i1, i2, i3 ou por i, j, k
i = i1 = (1, 0, 0), j = i2 = (0, 1, 0), k = i3 = (0, 0, 1).
A base (i, j,k) ou (i1, i2, i3) é ortonormal positiva.
No R2 podemos usar as notações i, j ou i1, i2 para indicar (1, 0) e (0, 1)
i = i1 = (1, 0), j = i2 = (0, 1).
A base (i, j) ou (i1, i2) é ortonormal.
3.2 Função vetorial com variável real
Começaremos tratando de função vetorial com variável real, do tipo
r(t) = (x1(t), . . . , xn(t)),
onde t é uma variável real e cuja imagem é uma n−upla de números reais. Em
geral, possuem domínio em um intervalo I de números reais e imagem no Rn,
com n > 1. As funções x1(t), . . . , xn(t) são reais de variável real.
Exemplo. A função r(t) que leva cada t no intervalo [0, 2π] em
r(t) = (2 cos t, 2 sen t)
O domínio de r(t) é o intervalo fechado [0, 2π] e sua imagem é uma circunfe-
rência de raio 2 e centro em (0, 0) e está contida no R2. �
Exemplo. A função r(t) que leva cada t real em
r(t) = (3 cos t, 3 sen t, 5t)
O domínio de r(t) é o R e sua imagem está contida no R3. A imagem de r(t)
é uma hélice de raio 3 e eixo na reta que passa por (0, 0, 0) e tem a direção
(0, 0, 1). �
Desejando enfatizar o caráter vetorial da função r(t) como vetor posição
de um ponto P (t) do R3, podemos escrever
r(t) = x1(t)i1+ · · ·+ xn(t)in
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
44 Curvas e campos
onde
i1 = (1, 0, . . . , 0), i2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , in = (0, 0, . . . , 1).
Se as n funções x1(t), . . . , xn(t) tiverem limite no ponto t = a, diremos que
r(t) tem limite em t = a e de�nimos
lim
t→a
r(t) = (lim
t→a
x1(t), . . . , lim
t→a
xn(t)).
Como notação alternativa podemos escrever
lim
t→a
r(t) = lim
t→a
x1(t)i1 + · · ·+ lim
t→a
xn(t)in
Se desejarmos usar o símbolo de somatório,
lim
t→a
r(t) =
n∑
j=1
(
lim
t→a
xj(t)
)
ij
e quando se pretende usar a convenção da soma se escreve apenas
lim
t→a
r(t) =
(
lim
t→a
xj(t)
)
ij,
onde a repetição do índice j indica que há uma soma sobre ele.
Se todas as n funções x1(t), . . . , xn(t) forem contínuas em a, então
lim
t→a
xj(t) = xj(a).
Neste caso diremos que r(t) é contínua em t = a e
lim
t→a
r(t) = x1(a)i1 + · · ·+ xn(a)in = r(a).
Se todas as funções x1(t), . . . , xn(t) forem deriváveis em t = a, de�nimos
a derivada de r = r(t) no ponto t = a por
dr
dt
(a) =
(
dx1
dt
(a), . . . ,
dxn
dt
(a)
)
.
Como notações alternativas, podemos escrever
dx
dt
(a) =
dx1
dt
(a)i1 + · · ·+
dxn
dt
(a)in
que se simpli�ca com o símbolo de somatório,
dx
dt
(a) =
n∑
j=1
dxj
dt
(a)ij.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
3.2 Função vetorial com variável real 45
e se torna mais simples usando a convenção da soma
dx
dt
(a) =
dxj
dt
(a)ij.
Novamente, a repetição do índice j indica uma soma sobre ele.
Sabemos que
dxi
dt
(a) = lim
h→0
xi(a+ h)− xi(a)
h
e, da de�nição de limite,
dr
dt
(a) = lim
h→0
r(a+ h)− r(a)
h
.
Num ponto t genérico,
dr
dt
(t) = lim
h→0
r(t+ h)− r(t)
h
.
A derivada (dr/dt)(t) é chamada de derivada primeira de r(t) no ponto
t. Quando a função (dr/dt)(t) for derivável num ponto t, o que nos permite
calcular a sua derivada. A derivada da derivada é chamada de derivada
segunda de r(t) no ponto t
d2r
dt2
(t) =
(
d2x1
dt2
(t), . . . ,
d2xn
dt2
(t)
)
.
Quando se quer calcular a derivada segunda de uma função x(t) num ponto
t = a, calculamos a derivada primeira num ponto t qualquer e, em seguida,
temos duas opções possíveis: ou calculamos a derivada segunda num ponto t
genérico e fazemos t = a, ou usamos a de�nição de derivada para calcular a
derivada segunda diretamente em t = a. A derivada de ordem k é a derivada
da derivada de ordem k − 1
dkr
dtk
(t) =
d
dt
(
dk−1r
dtk−1
(t)
)
.
Teorema 3.1 Se r(t) tiver norma constante, ele será ortogonal à sua derivada
dr/dt.
Prova. Se r(t) tiver norma constante, |r(t)|2 = r(t) · r(t) = c, onde c é
uma constante real. Derivando em t os dois lados da igualdade, obtemos
d
dt
(r(t) · r(t)) = r(t) · dr
dt
(t) +
dr
dt
(t) · r(t) = 0.
Como o produto escalar é comutativo,
2
dr
dt
(t) · r(t) = 0
mostando que r é ortogonal à sua derivada dr/dt. �
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
46 Curvas e campos
3.2.1 Fórmulas de derivação
Sejam A(t), B(t), C(t) funções vetoriais de variável real e φ(t) função real de
variável real, todas deriváveis num intervalo I. Sob essas hipóteses, as funções
A + B, A ·B, A×B, φA são deriváveis neste intervalo. As derivadas dessas
funções no ponto t satisfazem às igualdades abaixo:
d
dt
(A + B) =
dA
dt
+
dB
dt
d
dt
(φA) = φ
dA
dt
+
dφ
dt
A
d
dt
(A ·B) = A · dB
dt
+
dA
dt
·B
d
dt
(A×B) = A× dB
dt
+
dA
dt
×B
Aplicando as fórmulas acima obtemos
d
dt
(A ·B×C) = dA
dt
· (B×C) + A · d
dt
(B×C)
=
dA
dt
·B×C + A · dB
dt
×C + A ·B× dC
dt
d
dt
(A× (B×C)) = dA
dt
× (B×C) + A× d
dt
(B×C)
=
dA
dt
× (B×C) + A×
(
dB
dt
×C
)
+ A×
(
B× dC
dt
)
3.3 Curva
A imagem de uma função vetorial de variável real r(t), contínua num intervalo
I de números reais, é uma curva. A função r(t) é chamada de parametri-
zação da curva e t é o parâmetro. Uma curva C é lisa quando possuir uma
parametrização r(t) com derivada contínua no intervalo I e com r′(t) 6= 0 no
interior do intervalo I. Uma parametrização com esta característica é chamada
regular. Uma curva C é um caminho, quando for lisa por partes, isto é,
quando for possível dividi-la em um número �nito de pedaços lisos. Sendo C1,
C2, . . . , Ck os pedaços lisos de um caminho C, escrevemos
C = C1 + · · ·+ Ck.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
3.3 Curva 47
A parametrização
r(t) = (x, y, z) = (x(t), y(t), z(t)),
de uma curva C dá origem a três igualdades escalares
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
denominadas equações paramétricas da curva.
Quando for diferente de zero, o limite
r′(t) = lim
∆t→0
r(t+ ∆t)− r(t)
∆t
é um vetor tangente à curva C no ponto r(t). A reta tangente a C em P
é aquela que passa por este ponto e cuja direção é dada por r′(t).
Comprimento da curva
Vamos supor que C é parametrizada por r(t), de�nida no intervalo fechado
[a, b]. Seja n um número inteiro positivo e
∆t =
b− a
n
> 0.
Se de�nirmos
ti = a+ i∆t e ti+1 = ti + ∆t,
a sequência de pontos
a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = b
de�ne uma partição do intervalo [a, b].
Para obter o comprimento da curva, nós a aproximamos pela linha poligonal
com vértices nos pontos
r(t0), r(t1), . . . , r(tn).
O comprimento de cada segmento de segmento de reta da linha poligonal é dado
pela norma do vetor r(ti+1) − r(ti). Se denotarmos por ∇si o comprimento de
cada segmento, podemos escrever a aproximação
∆si = ‖r(ti+1)− r(ti)‖ =
∥∥∥∥r(ti+1)− r(ti)∆t
∥∥∥∥∆t ≈ ∥∥∥∥drdt (ri)
∥∥∥∥∆t
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
48 Curvas e campos
O comprimento da linha poligonal
n∑
i=1
∆si =
n∑
i=1
‖r(ti+1)− r(ti)‖
fornece uma aproximação do comprimento da curva. Esta aproximação é tanto
melhor quanto menor for o ∆t. No limite, quando ∆t tender a zero, o compri-
mento da poligonal fornece o comprimento da curva
L = lim
∆t→0
n∑
i=1
‖r(ti+1)− r(ti)‖ = lim
∆t→0
b∑
i=1
‖r(ti + ∆t)− r(ti)‖
= lim
∆t→0
b∑
i=1
∥∥∥∥r(ti + ∆t)− r(ti)∆t
∥∥∥∥∆t = lim∆t→0
b∑
i=1
‖r′(ti)‖∆t.
Pode-se provar que este limite converge para a∫ b
a
∥∥∥∥drdt (t)
∥∥∥∥ dt.
Como a prova dessa convergência é longa e demanda um bom trabalho, vamos
de�nir o comprimento da curva pela integral
L =
∫ b
a
∥∥∥∥drdt (t)
∥∥∥∥ dt = ∫ b
a
‖r′(t)‖ dt.
Chamamos
ds = ‖r′(t)‖ dt
de elemento de arco. Ele fornece o comprimento de um pequeno segmento
de reta com extremidades em r(t) e r(t + dt), quando dt tende a zero. Este,
por sua vez, aproxima o comprimento do arco de curva entre os ponto r(t) e
r(t+ dt). Agora podemos escrever o comprimento da curva C na forma
L =
∫ b
a
ds.
Este é o comprimento da curva desde o ponto r(a) até o ponto r(b). Se
desejarmos o comprimento da curva do ponto r(a) ao ponto r(t), devemos
calcular a integral entre a e t
s = s(t) =
∫ t
a
‖r′(u)‖ du.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
3.3 Curva 49
Nesta integral, usamos a letra u como variável de integração para não confundi-
la com o limite superior de integração t.
Exemplo. Seja r(t) = (5 cos(2πt), 5 sen(2πt)), com t variando no intervalo
[0, 1]. Esta função parametriza uma circunferência de raio 5 e centro no ponto
(0, 0), uma vez que a distância de r(t) à origem é
‖r(t)‖2 = 25 cos2(2πt) + 25 sen2(2πt) = 25 = 52.
Podemos calcular
r′(t) = (−10π sen(2πt), 10π cos(2πt))
e obter
‖r′(t)‖2 = 100π2 sen2(2πt) + 100π2 sen2(2πt) = 100π2 = (10π)2,
ou seja,
‖r′(t)‖ = 10π.
O comprimento da curva é
L =
∫ 1
0
‖r′(t)‖ dt =
∫ 1
0
10πdt = 10π.
O comprimento da curva desde r(0) até r(t) é
s = s(t) =
∫ t
0
10πdu = 10πt.
Neste exemplo podemos explicitar t em função de s e obter
t = (10π)−1s
e, com isto, obter a parametrização em termos o comprimento de arco s
R(s) = r(t(s)) = r
( s
10π
)
=
(
5 cos
(s
5
)
, 5 sen
(s
5
))
.
�
Exemplo. Seja
r(t) = (3 cos t, 3 sen t, 4t),
com t variando no intervalo [0, 4π]. Esta função parametriza uma hélice de
raio 3 e eixo na reta que passa por (0, 0, 0) e possui direção (1, 0, 0). Podemos
calcular
r′(t) = (−3 sen t, 3 cos t, 4)
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
50 Curvas e campos
e obter
‖r′(t)‖2 = 9 sen2 t+ 9 sen2 t+ 16 = 9 + 16 = 25 = 52,ou seja,
‖r′(t)‖ = 5.
O comprimento da curva é
L =
∫ 4π
0
‖r′(t)‖ dt =
∫ 4π
0
5 dt = 20π.
O comprimento da curva desde r(0) até r(t) é
s = s(t) =
∫ t
0
5 du = 5t.
Neste exemplo podemos explicitar t em função de s e obter
t = s/5
e, com isto, obter a parametrização em termos o comprimento de arco s
R(s) = r(t(s)) = r
(s
5
)
=
(
3 cos
(s
5
)
, 3 sen
(s
5
)
,
4
5
s
)
.
�
Exemplo. Vamos determinar o comprimento da curva de�nida pela in-
terseção do plano x = 2y com o parabolóide de revolução z = x2 + y2, com y
variando de 0 a 2.
Resolução: Precisamos parametrizar a curva. Podemos usar a equação
do plano para obter z em função de y na equação do parabolóide
z = (2y)2 + y2 = 5y2.
Temos x em função de y na equação do plano e z como função de y na equação
do parabolóide. Assim, podemos usar o y como parâmetro que, pelos dados
do problema, varia no intervalo de 0 a 2. As equações paramétricas da curva
são
x = 2y, z = y, z = 5y2
e uma parametrização é
r(y) = ( 2y, y, 5y2 )
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
3.3 Curva 51
com y no intervalo [0, 2]. Daí,
L =
∫ 2
0
‖r′(y)‖ dy =
∫ 2
0
√
5 + 100y2dy =
√
5
∫ 2
0
√
1 + 20y2dy.
Para calcular esta integral, usamos a substituição
√
20y = sinh θ, quando ob-
temos
√
20dy = cosh θ dθ. Para y = 0, temos θ = 0. Para y = 2, temos sinh θ
= 4
√
5, cosh θ = 9, exp θ = 1/2 cosh θ +1/2 sinh θ = 9 + 4
√
5 e θ = θ1 =
ln
(
9 + 4
√
5
)
. Podemos calcular
L =
√
5
∫ 2
0
√
1 + 20y2dy =
√
5
20
∫ θ1
0
cosh2 θ dθ =
1
4
∫ θ1
0
(cosh 2θ + 1) dθ
=
1
8
sinh 2θ +
1
4
θ
∣∣∣∣θ=θ1
θ=0
=
1
4
[θ + sinh θ cosh θ]θ=θ1θ=0
=
1
4
(
ln
(
9 + 4
√
5
)
+ 9× 4
√
5
)
=
1
9
ln
(
9 + 4
√
5
)
+ 9
√
5
�
3.3.1 Parametrização pelo comprimento de arco
Para uma curva lisa,
s = s(t) =
∫ t
a
‖r′(u)‖ du.
tem derivada
ds
dt
(t) = ‖r′(t)‖ > 0.
A função comprimento de arco s = s(t) é crescente e pode ser invertida para
fornecer t = t(s). Esta função permite parametrizar a curva pelo comprimento
de arco
R(s) = r(t(s)) ou R(s) = r(t)
onde s e t estão conectados por s = s(t). O último exemplo mostra que nem
sempre é fácil calcular s = s(t) e muito menos invertê-la para obter t = t(s).
Felizmente, não precisaremos das expressões de s = s(t) e t = t(s) mas apenas
das derivadas
ds
dt
(t) = ‖r′(t)‖ e dt
ds
(s) =
(
ds
dt
(t)
)−1
=
1
‖r′(t)‖
.
Para derivar R(s) = r(t), onde t e s estão relacionados por t = t(s), usamos a
regra da cadeia
dR
ds
(s) =
dr
dt
(t)
dt
ds
(s) =
dr
dt
(t)
1
‖r′(t)‖
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
52 Curvas e campos
Em geral se omite o ponto no qual se calcula a derivada e se escreve apenas
dR
ds
=
1
‖r′‖
dr
dt
.
Exemplo. Considere a curva C parametrizada por
r(t) = exp(t) sen(t)i + exp(t) cos(t)j.
Reparametrize esta curva pelo comprimento de arco, desde o ponto r(0) até o
ponto r(t), onde t > 0. �
Resolução. Derivando r(t),
r′(t) = exp(t) (sen(t) + cos(t))i + (cos(t)− sen(t))j)
o comprimento da curva desde o ponto r(0) até r(t), é
s(t) =
∫ t
0
exp(u)
√
(sin(u) + cos(u))2 + (cos(u)− sin(u))2du
=
√
2
∫ t
0
exp(u)du =
√
2 (exp(t)− 1) .
Deste modo,
s = s(t) =
√
2 (exp(t)− 1)
que pode ser invertida
t = t(s) = ln
(
s/
√
2 + 1
)
.
Podemos reparametrizar a curva pelo comprimento de arco
R(s) =
(
s/
√
2 + 1
)(
sen ln
(
s/
√
2 + 1
)
i + cos ln
(
s/
√
2 + 1
)
j
)
.
�
3.3.2 Triedro móvel de Frenet-Serret
Seja C uma curva lisa de�nida no espaço geométrico tri-dimensional. Vamos
de�nir em cada um dos seus pontos um triedro (T,N,B) ortonormal positivo.
Seja r(t) uma parametrização regular da curva C, de�nida para todo t de um
intervalo real [a, b]. Vamos precisar das derivadas de ordem superior de r(t)
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
3.3 Curva 53
e, de partida, iremos supor que essas derivadas são contínuas em [a, b]. Como
sabemos, o comprimento da curva lisa desde o ponto r(a) até o ponto r(t) é
dado por
s = s(t) =
∫ t
a
‖r′(u)‖ du (3.1)
e a derivada da função s = s(t) é
ds
dt
(t) = ‖r′(t)‖ > 0.
A função s = s(t), de�nida em [a, b], é crescente e pode ser invertida. Sua
inversa t = t(s) é contínua e derivável
dt
ds
(s) =
(
ds
dt
(t)
)−1
=
1
‖r′(t)‖
. (3.2)
Em (3.2), a relação entre s e t é dada por s = s(t) em (3.1). Ao determinar
t(s) de�nimos
R(s) = r(t(s))
que é a parametrização da curva pelo comprimento de arco. É comum designar
R(s) por r(s), designando-a pela mesma letra usada na função r(t). Escrevemos
r(s) = r(t),
observando que são funções diferentes, como se observa no Exemplo 3.3.1.
Quando escrevemos r′(s) ou dr(s)/ds, estamos querendo dizer que estamos
derivando a função r(s) em relação a s. Quando escrevemos r′(t) ou dr(t)/dt,
estamos querendo dizer que estamos derivando a função r(t) em relação a t.
Esta notação pode trazer confusão? Se não formos atentos, pode. Entretanto,
ela possui suas vantagens e por esse motivo é usada com frequência.
Quando temos r(t) e queremos derivar r(s), precisamos da regra da cadeia.
O vetor
T(s) =
dr
ds
(s) =
dr
dt
(t)
dt
ds
(s) =
r′(t)
|r′(t)|
,
tem norma unitária e é tangente à curva C no ponto r(s) = r(t). De�nimos
a curvatura de C no ponto r(s) = r(t) por
κ(s) =
∥∥∥∥dTds (s)
∥∥∥∥ .
Possuindo norma constante, a derivada de T(s) em relação a s é normal a
T(s). O vetor unitário
N(s) =
1
κ
dT
ds
(s)
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
54 Curvas e campos
é normal à curva C em r(t) e recebe o nome de normal principal da curva
C no ponto r(t). A quantidade
ρ =
1
κ
é chamada de raio de curvatura de C no ponto r(t).
O vetor unitário
B(s) = T(s)×N(s)
é normal a T(s) e a N(s). Nós o chamamos de vetor binormal à curva no
ponto r(s). Para �limpar� a de�nição, omitimos o argumento s das funções
vetoriais envolvidas e escrevemos apenas
B = T×N.
Os vetores T, N, B, nesta ordem, formam uma base ortonormal positiva.
Podemos construir com eles um sistema de coordenadas retangulares positivo
com origem em C e vetores de base (T, N, B).
Vamos mostrar que dB/ds é ortogonal a B e a T. Como B ·B = 1,
B · dB
ds
+
dB
ds
·B = 0 ou B · dB
ds
= 0.
Mostramos que dB/ds é ortogonal a B. Por outro lado,
T · dB
ds
= T · d
ds
(T×N) = T ·
(
T× dN
ds
+
dT
ds
×N
)
= T · dT
ds
×N = T · (κN)×N = 0,
uma vez que o produto misto de três vetores é igual a zero quando dois fatores
forem iguais ou proporcionais. Mostramos que dB/ds é ortogonal a T.
Como (T, N, B) é uma base ortonormal positiva, podemos escrever a
derivada dB/ds como combinação linear desses vetores. Vamos escrever
dB
ds
= aT + bN + cB.
Para calcular os componentes a, b e c, fazemos os produtos escalares dos dois
lados dessa igualdade por T e B
0 = T · dB
ds
= aT ·T + bT ·N + cT ·B = a,
0 = B · dB
ds
= aB ·T + bB ·N + cB ·B = c.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
3.3 Curva 55
Mostramos que a = c = 0 e
dB
ds
= bN onde b =
dB
ds
·N.
Vamos chamar b de −τ
τ = −dB
ds
·N
o que nos permite escrever
dB
ds
= −τN.
O escalar τ é chamado de torção da curva no ponto r(t) e o escalar
σ =
1
τ
é chamado de raio de torção.
Vamos decompor dN/ds na base positiva T,N, B. DerivandoN em relação
a s,
dN
ds
=
d
ds
(B×T) = dB
ds
×T + B× dT
ds
= −τN×T + B× (κN) = τB + κB×N
= τB− κT.
As derivadas dos vetores T, N, B, em relação ao comprimento de arco
formam o que chamamos de fórmulas de Frenet-Serret:
dT
ds
= κN,
dN
ds
= τB− κT, dB
ds
= −τN,
Seja C o ponto da curva cujo vetor posição é r(t). A reta que passa por C
é tem a direção T é chamada reta tangente. A reta que passa por C é tem a
direção N é chamada reta normal. A reta que passa por C é tem a direção
B é chamada de reta normal. O plano que passa por C e é perpendicular a
T é chamado de plano normal. O plano que passa por C e é perpendicular
a N é chamado de plano reti�cador. O plano que passa por C e é normal a
B é chamado de plano osculador.
3.3.3 Mecânica
A cinemática envolve o estudo do movimento de partículas ao longo de curvas
e, neste aspecto, possui conexão com a geometria diferencial.
Seja Oi1i2i3 um sistemade coordenadas retangulares com origem O e base
ortonormal (i1, i2, i3). Seja r(t) o vetor posição em relação a O de um ponto
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
56 Curvas e campos
móvel P (t) onde o parâmetro t é o tempo. Se as coordenadas retangulares de
P (t) forem (x(t), y(t), z(t)), então seu vetor posição é
r(t) = x(t)i1 + y(t)i2 + z(t)i3.
Esta é a equação horária do movimento de P (t) e
v(t) =
dr
dt
(t) = lim
h→0
r(t+ h)− r(t)
h
é a velocidade do ponto. A derivada da velocidade é a aceleração do ponto
P (t)
a(t) =
dv
dt
(t) =
d2r
dt2
(t).
Vamos decompor a velocidade e a aceleração no triedro de Frenet-Serre,
denotando por v(t), sem negrito, o módulo de v(t)
v = ‖v‖ =
∥∥∥∥drdt
∥∥∥∥ = dsdt ,
chamada de velocidade escalar. Como
v =
dr
dt
=
∥∥∥∥drdt
∥∥∥∥T = dsdtT = vT,
nota-se que v possui componente apenas na direção tangente à curva. Deri-
vando a velocidade em t, obtemos a aceleração
a =
dv
dt
=
d
dt
(vT) =
dv
dt
T + v
dT
dt
= aT + v
dT
ds
ds
dt
= aT + v2
dT
ds
= aT + v2κN = aT +
v2
ρ
N
onde ρ é o raio de curvatura da curva e
a =
dv
dt
=
d2s
dt2
é a aceleração escalar. Resumindo,
a = aT +
v2
ρ
N
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
3.4 Campos escalares 57
A aceleração na direção da normal
v2
ρ
é chamada de aceleração centrípeta.
A dinâmica estuda o efeito da ação das forças sobre os objetos que se
movem. A lei fundamental da dinâmica na mecânica clássica é a lei de New-
ton: Se F for a resultante das forças que agem sobre um objeto de massa m
movendo com velocidade v, então
F =
d
dt
(mv)
onde mv é a quantidade de movimento ou momentum do objeto. Se m
é constante,
F = m
dv
dt
= ma.
3.4 Campos escalares
Uma função com domínio no Rn e imagem em R, onde n > 1, é chamada de
campo escalar. São aquelas funções que dependem de duas ou mais variáveis
reais e cujos valores são números reais.
Exemplo. A função g com domínio no R3 e imagem em R de�nida por
g(x, y, z) = x2y2 − 2xyz + z2,
é um campo escalar. �
Vamos assumir que o leitor conhece os conceitos de limite, continuidade e
derivada parcial dos campos escalares. Quando as derivadas parciais de um
campo escalar φ(r) forem contínuas numa vizinhança de um ponto r0 do Rn,
diremos que ela é diferenciável em r0.
Para um campo escalar g(x, y, z) com domínio em R3, a derivada parcial
de g(x, y, z) em relação a x é de�nida por
∂g
∂x
(x, y, z) = lim
h→0
g(x+ h, y, z)− g(x, y, z)
h
.
Apenas o x varia, �cando y e z constantes. Daí, para derivar g(x, y, z) em
relação a x, basta considerá-la uma função de x apenas, considerando y e z
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
58 Curvas e campos
constantes. As derivadas parciais em relação a y e z são de�nidas de modo
semelhante
∂g
∂y
(x, y, z) = lim
h→0
g(x, y + h, z)− g(x, y, z)
h
,
∂g
∂z
(x, y, z) = lim
h→0
g(x, y, z + h)− g(x, y, z)
h
.
Na derivada em y, apenas y varia, �cando x e z constantes. Na derivada em z,
apenas z varia, �cando x e y constantes. Para derivar g(x, y, z) em relação a
y, basta considerá-la uma função de y apenas, considerando x e z constantes.
Observação semelhante se aplica para a derivada parcial em z. Trate apenas z
como variável, x e y como constante.
Exemplo. O campo escalar g(x, y, z) = x2y2 − 2xyz + z2 é uma função
polinomial e, portanto, é contínuo. O valor do limite de g(x, y, z) num ponto
(a, b, c) é igual a g(a, b, c). Veja o exemplo
lim
(x,y,z)→(2,1,3)
g(x, y, z) = g(2, 1, 3) = 22 × 12 − 2× 2× 1× 3 + 33 = 19.
Apenas o x varia, �cando y e z constantes. Daí, para derivá-la, basta considerar
g função de x apenas, considerando y e z constantes
∂g
∂x
(x, y, z) = 2xy2 − 2yz.
O valor da derivada parcial em relação a x no ponto (2, 1, 3) é obtida fazendo
(x, y, z) = (1, 2, 3)
∂g
∂x
(2, 1, 3) = 2× 2× 12 − 2× 1× 3 = −2.
As derivadas parciais em relação a y e z são de�nidas de modo semelhante
∂g
∂y
(x, y, z) = lim
h→0
g(x, y + h, z)− g(x, y, z)
h
,
∂g
∂z
(x, y, z) = lim
h→0
g(x, y, z + h)− g(x, y, z)
h
.
Na derivada em y, apenas ela varia, �cando x e z constantes. Na derivada em
z, apenas ela varia, �cando x e y constantes
∂g
∂y
(x, y, z) = 2x2y − 2xz,
∂g
∂z
(x, y, z) = −2xy + 2z.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
3.4 Campos escalares 59
�
As derivadas de ordem superior são obtidas derivando a derivada de ordem
inferior.
Exemplo. Consideremos novamente o campo escalar g(x, y, z) = x2y2 −
2xyz + z2. Já calculamos
∂g
∂y
(x, y, z) = 2x2y − 2xz.
Assim,
∂2g
∂x∂y
(x, y, z) =
∂
∂x
(
∂g
∂y
(x, y, z)
)
=
∂
∂x
(
2x2y − 2xz
)
= 4xy − 2z.
e
∂2g
∂y2
(x, y, z) =
∂
∂y
(
∂g
∂y
(x, y, z)
)
=
∂
∂y
(
2x2y − 2xz
)
= 2x2.
�
Exemplo. Considere o campo escalar g(x, y, z) = x2 + y2z com domínio
em R3. Sendo r = (x, y, z) e r0 = (8,−3, 2),
(a) calcule
lim
r→r0
g(r),
∂g
∂x
(r),
∂g
∂y
(r),
∂g
∂z
(r).
(b) calcule
∂g
∂x
(r0),
∂g
∂y
(r0),
∂g
∂z
(r0).
Resolução: (a) Como g(r) é contínua,
lim
r→r0
g(r) = g(r0) = g(8,−3, 2) = 82.
As derivadas parciais de g são
∂g
∂x
(r) = 2x,
∂g
∂y
(r) = 2yz,
∂g
∂z
(r) = y2.
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
60 Curvas e campos
(b) Para calcular as derivadas parciais no ponto r0, basta fazer x = 8,
y = 0, z = 2 nas derivadas acima
∂g
∂x
(r0) =
∂g
∂x
(8,−3, 2) = 16,
∂g
∂y
(r0) =
∂g
∂y
(8,−3, 2) = −12,
∂g
∂z
(r0) =
∂g
∂y
(8,−3, 2) = 9.
�
3.5 Campos vetoriais
Uma função que depende de duas ou mais variáveis reais e cuja imagem está
em Rn é chamada de campo vetorial.
Exemplo. A função
F(x, y, z) = (x+ y, x2 − y2, xyz)
é um campo vetorial com domínio em R3 e imagem em R3. Observe que pode-
mos escrever
F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z))
onde as três funções
F1(x, y, z) = x+ y,
F2(x, y, z) = x
2 − y2,
F3(x, y, z) = xyz,
são campos escalares. Note ainda que se pode escrever
F(x, y, z) = F1(x, y, z)i1 + F2(x, y, z)i2 + F3(x, y, z)i3,
onde i1 = (1, 0, 0), i2 = (0, 1, 0), i3 = (0, 0, 1). �
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
3.5 Campos vetoriais 61
3.5.1 Limite e derivada de campos vetoriais
Vamos aqui tratar apenas de campos vetoriais com domínio em R2 e imagem
em R3 como em
F(u, v) = (F1(u, v), F2(u, v), F3(u, v)).
O leitor pode imaginar como se generalizam os conceitos de limite e derivada
para campos de Rn em Rp.
Se as funções F1(u, v), F2(u, v), F3(u, v) tiverem limite num ponto (a, b),
de�nimos o limite de
F(u, v) = (F1(u, v), F2(u, v), F3(u, v)).
no ponto (a, b) por
lim
(u,v)→(a,b)
F(u, v) =
(
lim
(u,v)→(a,b)
F1(u, v), lim
(u,v)→(a,b)
F2(u, v), lim
(u,v)→(a,b)
F3(u, v)
)
.
Se as funções F1(u, v), F2(u, v), F3(u, v) forem contínuas no ponto (a, b),
diremos que F(r) é contínua em (a, b) e, usando a de�nição de limite acima,
lim
(u,v)→(a,b)
F(u, v) = F(a, b).
Se as derivadas parciais em relação a u das funções F1(u, v), F2(u, v),
F3(u, v) existirem num ponto (a, b), de�nimos a derivada parcial de F(u, v)
em relação a u no ponto (a, b) por
∂F
∂u
(a, b) =
(
∂F1
∂u
(a, b),
∂F2
∂u
(a, b),
∂F3
∂u
(a, b)
)
.
Sabemos que
∂F1
∂u
(a, b) = lim
h→0
F1(a+ h, b)− F1(a, b)
h
,
com expressões semelhantes para as derivadas parciais de F2, F3 em relação a
u. Usando a de�nição de limite de um campo vetorial, concluímos que
∂F
∂u
(a, b) = lim
h→0
F(a+ h, b)− F(a, b)
h
.
Analogamente,
∂F
∂v
(a, b) = lim
h→0
F(a, b+ h)− F(a, b)
h
Notas de aula do Professor Antonio Faleiros
62 Curvas e campos
As derivadas de ordem superior são de�nidas como no cálculo. Por exemplo,
∂2F
∂x2
=
∂
∂x
(
∂F
∂x
)
,
∂2F
∂y2
=
∂
∂y
(
∂F
∂y
)
,
∂2F
∂z2
=
∂
∂z
(
∂F
∂z
)
,
∂2F
∂x∂y
=
∂
∂x
(
∂F
∂y
)
,
∂2F
∂y∂x
=
∂
∂y
(
∂F
∂x
)
,
∂3F
∂x∂z2
=
∂
∂x
(
∂2F
∂z2
)
.
Exemplo. Considere o campo vetorial F(r) = (x2 + y, y + z, x3 − 3z),
onde r = (x, y, z). Dado o ponto r0 = (2,−1, 3), calculamos
lim
r→r0
F(r) = ( lim
r→r0
(x2 + y), lim
r→r0
(y + z), lim
r→r0
(x3 − 3z))
= (3, 2,−1).
Para calcular a derivada parcial em relação a x no ponto r0 = (2,−1, 3),
calculamos a derivada parcial num ponto