00 Matrizes e determinantes

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Prof. Jorge Helton 
01. MATRIZ (A): é todo conjunto de elementos de 
números complexos dispostos em n linhas e m colu-
nas, cuja representação é m nA e cada elemento é 
representado por i ja , em que i representa a linha e j 
a coluna em que o elemento está localizado. 
 
02. TIPOS DE MATRIZES: 
 
a) Matriz linha: apresenta apenas uma linha. 
b) Matriz coluna: apresenta apenas uma coluna. 
c) Matriz nula: apresenta todos os elementos nulos. 
d) Matriz Quadrada: apresenta número de linhas 
igual ao número de colunas. O número n de linhas e 
colunas representa a ordem da matriz quadrada. Nas 
matrizes quadradas, temos os seguintes elementos: 
 
 
 
O traço de uma matriz quadrada é a soma dos ele-
mentos da diagonal principal da mesma. 
e) Matriz Diagonal: é toda matriz quadrada que 
apresenta todos os elementos que não pertencem à 
diagonal principal nulos. 
f) Matriz Identidade: é toda matriz quadrada em que 
os elementos da diagonal principal é 1 e os demais 
elementos são zero. Representa-se por nI , em que n 
é a ordem da matriz. 
 
03. IGUALDADE: Duas matrizes m nA  e m nB  são 
iguais quando os elementos correspondentes das 
mesmas são iguais. 
 
04. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: A adição entre duas 
matrizes m nA  e m nB  é uma matriz cujos elementos 
são as somas dos elementos correspondentes das 
duas matrizes. Esse mesmo raciocínio é válido para a 
subtração. Como exemplos, temos: 
 
1 3 5 7 1 5 7 3 6 10
a)
2 4 6 8 2 6 4 8 8 12
1 3 5 7 1 5 3 7 4 4
b)
2 4 6 8 2 6 4 8 4 4
        
         
        
          
         
          
 
 
05. PRODUTO DE UM NÚMERO K POR UMA MA-
TRIZ A: é a matriz formada pelos elementos da ma-
triz A multiplicados pelo número K. Como exemplo, 
temos: 
1 2 0 5 10 0
5 0 8 5 0 40 25
4 1 2 20 5 10
    
   
 
   
      
 
 
06. PRODUTO DE MATRIZES: para que exista o pro-
duto entre duas raízes, deve ser satisfeita a relação 
M N N P M PA B C    , ou seja, num produto o número 
de colunas do 1° termo deve ser igual ao número de 
linhas do seguindo, e o produto terá o número de 
linhas do 1° termo e o número de colunas do 2° ter-
mo. O processo de obtenção do produto será dado 
em sala de aula. 
 
Propriedades: 
a) Pode-se ter AB BA . Geralmente o produto de 
duas matrizes não é comutativo. 
b) Pode-se ter A B 0  mesmo com A 0 e B 0 . 
Portanto, não vale a propriedade do anulamento do 
produto. 
c) pode-se ter A C B C   mesmo com A B e 
C 0 . Portanto, não vale a propriedade do cance-
lamento. 
d)  A B C AB AC   e  B C A BA CA   
 
07. MATRIZES INVERSÍVEIS: Uma matriz A de ordem 
n é inversível quando existe uma matriz B tal que 
nAB BA I  . Se A é uma matriz inversível então sua 
inversa é representada por 1A , logo temos: 
1
nA A I
  . 
 
08. MATRIZ TRANSPOSTA DE A: é uma matriz At em 
que as linhas da matriz A viram colunas e as colunas 
viram linhas, ordenadamente. Veja um exemplo: 
 
 
 2 
 
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t
2 10 16 2 4 8
A 4 12 18 A 10 12 14
8 14 20 16 18 20
   
   
  
   
      
 
 
Uma matriz é dita simétrica quando tA A . 
 
Propriedades: 
a)  
ttA A 
b)  
t t tA B A B   
c)  
t tk A k A   
d)  
t t tA B B A   
 
09. DETERMINANTES: o determinante de matrizes 
quadradas de ordens 1, 2 e 3, é definido dos seguin-
tes modos: 
 
1º Determinante de uma matriz de ordem 1: é o seu 
único elemento. 
   A 2 det A 2   
2º Determinante de uma matriz de ordem 2: para 
cálculos de determinantes, associa-se à diagonal 
principal ao sinal de (+) e à diagonal principal de ao 
sinal de (-). O determinante será calculado pela so-
ma dos produtos dos elementos das diagonais obe-
decendo os sinais ditos anteriormente. Veja um 
exemplo: 
 
 
 
3º Determinante de uma matriz de ordem 3 (Regra 
de Sarrus): é calculado repetindo-se as duas primei-
ras colunas da matriz, e fazendo a soma dos produ-
tos das diagonais principais e secundárias que apa-
recem obedecendo os sinais ligado a cada diagonal. 
Veja um exemplo. 
 
 
 
10. COFATOR: Considere uma matriz m nA  . O cofator 
de um elemento i ja , representado por i jA  , é dado 
por  
i j
i j ijA 1 D

   , em que i jD  é o determinante 
da matriz que se obtém ao eliminar a linha e a colu-
na em que o elemento i ja se encontra. Veja um 
exemplo: 
 
 
 
10. TEOREMA DE LAPLACE: o determinante de uma 
matriz qualquer de ordem n 2 é dado pela soma 
dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou 
coluna) qualquer pelos seus respectivos cofatores. 
Dica: para aplicação do teorema de Laplace procura-
se escolher a fila que possuir o maior número de 
zeros. 
 
11. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 
 
a) DETERMINANTE NULO: é nulo o determinante de 
todas as matrizes quadradas que possuem uma das 
características: tem uma fila nula, tem duas filas 
paralelas iguais ou tem duas filas paralelas proporci-
onais. 
b) O determinante de uma matriz é igual ao deter-
minante de sua transposta:    tdet A det A . 
c) Teorema de Jacobi: pode-se somar à uma fila uma 
outra fila paralela multiplicada por uma constante 
sem alterar seu determinante. 
d) Mudando de posição duas filas paralelas, o de-
terminante muda de sinal. 
 
 3 
 
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e)    ndet k A k det A   , em que n é a ordem da 
matriz. 
f) Teorema de Binet:      det A B det A det B   . 
g)  
 1
1
det A
det A
 
h) Ao multiplicarmos uma fila qualquer de uma ma-
triz por um número K, seu determinante fica multi-
plicado por K também. 
 
i) Matriz Triangular: uma matriz é triangular quando 
todos os elementos acima e/ou abaixo da diagonal 
principal são nulos. O determinante de uma matriz 
triangular é dado pelo produto dos elementos da 
diagonal principal. 
 
12. REGRA DE CHIÓ: é utilizado para reduzir a ordem 
de um determinante sem alterar o seu determinan-
te. A regra será explicada em sala de aula. 
 
13. MATRIZ DE VANDERMONDE (OU DAS POTÊN-
CIAS): São matrizes em que as colunas são formadas 
por potências de mesma base, a começar com 1. O 
determinante da matriz de Vandermonde é dado 
pelo produto das possíveis diferenças dos elementos 
da segunda linha, da direita para a esquerda. 
 
14. MATRIZ ADJUNTA ( A ): é a transposta da matriz 
formada pelos respectivos cofatores dos elementos. 
 
15. CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA: 
 
1 1A A
det A
   . Em consequência disso, temos 
que uma matriz A só é inversível se  det A 0 . 
 
QUESTÕES DO PROCESSO SELETIVO DA ESCOLA DE 
FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE 
01. (EFOMM) O valor do determinante 
     
2 2 2
1 1 1
loga log(10a) log(100a)
loga log(10a) log(100a)
 é: 
A) a 
B) 0 
C) 4 
D) loga 
E) 2 
 
02. (EFOMM) O produto das raízes da equação 
x 2 x 1
4 5x
3 x 1 2x
4 x
3 0 1

 


 é: 
A) – 1 
B) 9/4 
C) – 9/4 
D) 3/2 
E) – 3/2 
 
03. (EFOMM) O conjunto solução da equação 
abaixo, tem como soma dos quadrados de seus 
elemento o valor: 
 
 
A) 1 
B) 2 
C) 0 
D) 5 
E) 4 
 
04. (EFOMM) Resolva a equação 
x 3 x 1 x 4
4 5 3 7
9 10 7
  
  : 
A) x = - 2 
B) x = - 1 
C) x = 0 
D) x = 1 
E) x = 2 
 
05. (EFOMM) Que valores de k tornam positivo 
o determinante da matriz 
k 2 2
0 1 k 1
1 3 0
 
 

 
  
? 
A) k 1 
B) 
1
0 k
3
  
C) 0 k 1  
 
 
2
2
2
1 x x
1 x 1 x 1 0
1 2x 1 2x 1
  
 
 
 4 
 
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D) k 1  
E) k 1  
 
 
06. (EFOMM) Seja A a matriz inversa da matriz 
1
0
3
1
1
7
 
 
 
 
  
. Determine a soma dos elementos da 
diagonal principal da matiz A. 
A) 9/4 
B) 4 
C) 4/9 
D) 5/9 
E) – 1/9 
 
07. (EFOMM) Matrizes 
1 0
A 1 1
1 1
 
 
  
 
  
 e 
0 1 2
B
3 4 5
 
  
 
 e considerando  n det AB , 
determine 
n7 . 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
E) 4 
 
08. (EFOMM) Se 
1 2
M
0 1
 
  
 
 e 
2 0
N
1 1
 
  
 
 
então MN – NM é: 
A)2 2
0 2
 
 
 
 B) 
0 0
0 0
 
 
 
 C) 
1 0
0 1
 
 
 
 
D) 
4 2
1 1
 
 
 
 E) 
1 2
1 0
 
 
 
 
 
09. (EFOMM) Seja 
2 1 0
A
1 0 3
 
  
 
 e 
1 4 0 1
B 2 1 3 1
4 0 2 0
 
 
  
 
  
 e C = AB, o resultado de 
23 14 21c c c  : 
A) um número natural menor que 2 
B) um número cujo sua raiz quadrada resulta 
em um número complexo conhecido como ima-
ginário 
C) o mesmo resultado que a soma das raízes 
da equação 
2x 2x 1 0   
D) o mesmo resultado que o conjunto verdade 
da equação exponencial 
x 2 x 12 2 18   
E) o mesmo resultado do produto dos 6 primei-
ros termos da  1 2 3PG 2 ,2 ,2 ,   
 
10. (EFOMM) Se o determinante da matriz 
a b c
A d e f
g h i
 
 

 
  
 é 5, então 
a a b 3c
d d e 3f
g g h 3i



 é 
igual a: 
A) zero 
B) cinco 
C) quinze 
D) trinta 
E) quarenta e cinco 
 
11. (EFOMM) Sejam as matrizes 
1 2 1 0
0 2 2 4
A
0 0 1 1
0 0 0 3
 
 

 
 
 
 
, 
1 2 3 7
0 1 2 3
B
0 0 1 1
0 0 0 1
  
 
 
 
 
 
 
 e 
X = A.B. O determinante da matriz 
12 X é 
igual a: 
A) 1/6 
B) 1/3 
C) 1 
D) 8/3 
E) 6 
 
12. (EFOMM) Considere a matriz 
x 2 x 1
A 2 3x 1 1
4x 1 2 0
 
 
  
 
   
,então o valor de f 
no ponto de abscissa 1, onde    f x det A , é: 
A) 18 
B) 21 
C) 36 
D) 81 
E) 270