4. conservação do momento angular

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Rolamentos
Prof: Mucio Costa
INSTITUTO FEDERAL DE 
EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E 
TECNOLOGIA DO CEARÁ
Campus Fortaleza
- Conservação do momento angular
No sistema homem - halteres só há forças internas e, portanto, 
ffii
z IIconstIL  === .)(
i
I fi fI
Momento angular inicial do sistema 
roda de bicicleta – menino (+ banco)
ibicbici
ILL ==
Menino inverte o eixo de rotação 
da roda de bicicleta
ibic
LL −→
Conservação do momento angular
- Exemplo 1 
srotemkgImkgI
itotbic
/9,3.8,6;.2,1 22 === Dados
Queremos calcular a velocidade 
angular final do sistema após o 
menino inverter o eixo de rotação da 
roda de bicicleta (ver figura)
Conservação do momento angular 
pois só há forças internas no sistema
itot
II  2=
imen
iimenif
LL
LLLLL
2=
=−=
Momento angular final do sistema 
imenmenbicf
LLLLL −=+=
- Exemplo 1 
srot
I
I
tot
i /4,1
2
==


)(ext
i
ii
Fr
dt
Ld



 ==
- Conservação do momento angular
No caso da mergulhadora da figura ao 
lado o momento angular total não se 
conserva pois
Mas, no referencial do CM (acelerado 
neste caso)
0===

 grmFr
dt
Ld
i
ii
i
ii




0
.0 constL
dt
Ld
==




gM

R
 L


e o CM segue o movimento 
parabólico !
- Rolamento
Este é o caso em que a distância percorrida 
pelo CM do objeto é dada por
Rs =
onde é o deslocamento angular do 
objeto em torno de um eixo que passa 
pelo CM do sistema.

A velocidade do CM é dada por 


R
dt
d
R
dt
ds
v
CM
===
Note que o ponto de contato P está sempre em repouso!
0=v
Rs =

s
- Rolamento


R
dt
d
R
dt
ds
v
CM
===
R
CM
v
CM
v
+ =


R
dt
d
R
dt
ds
v
CM
===
CM
v
CM
v
CM
v
CM
v−
CM
v2
0=v
Decomposição do rolamento em rotação + translação
- Rolamento
- Rolamento
Velocidade de um ponto em qualquer posição do corpo rígido


+=
CM
vv
Q

v

CM
v
 Q



Energia cinética do corpo rígido
Exemplo
222
222
2
1
)(
2
1
2
1
2
1


IMRIK
MRIK
CM
CM
=+=
+=

I
gM

gM
aF

a
F

- Rolamento
Atrito no rolamento






Transforma 
energia cinética 
de rotação em 
translação
Transforma 
energia cinética 
de translação em 
rotação




- Exemplo 2
O iô-iô

Z
Mg
T
Torque externo relativo ao CM 
quando o iô-iô desce

CM
IT =
Dinâmica linear
TMgMa −=
Condição de rolamento
=a
T
I
ae
I
M
Mg
T
CM
CM
2
2
1


=
+
=

Z
Mg
T
- Exemplo 2
Note que se o iô-iô sobe, a velocidade 
angular é a mesma, mas o torque muda 
de sinal

CM
IT =−
Por outro lado, o fio se enrola e a 
condição de rolamento também muda 
de sinal
−=a
Como a equação da translação não 
muda temos novamente
T
I
ae
I
M
Mg
T
CM
CM
2
2
1


=
+
=
- Exemplo 2

Z
Mg
T
Podemos ainda resolver o mesmo 
problema usando a conservação de 
energia
0
2
1
2
1 22 =−+ MgZIMv
CMCM

A condição de rolamento é
=
CM
v
( )22 /2  MIgZMv
CMCM
+=
Sinal (+) para a subida e (–) para a descida. Equação que 
relaciona posição com velocidade no movimento 
uniformemente acelerado.
- Exemplo 3
Rolamento sobre um plano inclinado
gM

a
F

N
 ŷ
x̂
h
0cos =− MgN

Na direção y
Na direção x
MaFMg
a
=−sin
Torque relativo ao CM

CMa
IRF =
R
Condição de rolamento sem deslizamento Ra =
Momento de inércia
2MkI
CM
= k é o raio de giração
gM

a
F

N
 ŷ
x̂
h

R
- Exemplo 3
2
2
1
sin
R
k
g
a
+
=

e





=
+ 7/5
3/2
2/1
1
1
2
2
R
k
anel
cilindro
esfera
22
2
sin
Rk
k
MgF
a
+
= 
Temos ainda
como  cosMgFF
eea
=
re
k
Rk
 tantan
2
22

+

Ângulo máximo para que haja 
rolamento sem deslizamento
- Colisões com rolamento
O atrito entre as bolas de sinuca é desprezível, mas o atrito entre 
a bola de sinuca e a mesa é muito grande 
Transmissão parcial do momento 
linear da bola incidente
Transmissão total do momento 
linear da bola incidente
(análise qualitativa)
- Colisões com rolamento
Diferentes momentos 
angulares transmitidos à 
bola
Possíveis resultados da 
colisão com uma bola 
que incide com 
momento angular não 
nulo
(análise qualitativa)