revisao 3 simplificação mapa karnaugh

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Autor: Prof. Dr. Leonardo Mesquita 
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1. OBJETIVO 
 
 Usar o método de simplificação booleana baseado no mapa de Karnaugh. 
 Apresentar todas as etapas necessárias para o desenvolvimento do projeto 
de rede de chaveamento combinacional. 
 
2. CONCEITO 
 
2.1. Mapa de Karnaugh 
O filósofo John Venn desenvolveu uma teoria que relaciona os conjuntos com 
expressões lógicas. Considere como conjunto universo, U, um retângulo. Os círculos 
serão as variáveis booleanas, se o interior do círculo representar 1, o exterior será 0. 
Observe a Figura 1. 
 
Figura 1: Correlação entre conjuntos e variável booleana. 
Quando mais de uma variável booleana for representada no conjunto universo é 
possível representarmos as operações de interseção e união, ou seja, pode-se mostrar 
a operação AND e a operação OR (Figura 2). 
 
Figura 2: Operação AND e OR. 
Karnaugh, usando a ideia de Venn, montou um método geométrico conhecido como 
mapa de Karnaugh para ser usado como método de simplificação de expressões 
Autor: Prof. Dr. Leonardo Mesquita 
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booleanas. O mapa de Karnaugh é uma carta que relaciona as variáveis de entrada e 
saída de um circuito lógico. O mapa de Karnaugh é composto por 2N células, onde N é 
número de variáveis de entrada do sistema. Somente uma variável pode alterar seu 
valor quando se desloca entre células adjacentes no mapa. 
Na Figura 3 é apresentado o mapa de 2 variáveis. Todas as combinações de entrada 
devem ser fornecidas e consequentemente todas os valores da saída também são 
apresentados no mapa. 
 
 
 
 
 
Figura 3: Mapa de Karnaugh de 2 variáveis de entrada. 
 
A equação simplificada é obtida do diagrama de Karnaugh, sendo que o método consiste 
em agrupar as células cujo valor são 1 (quando se deseja obter a expressão no formato 
soma de produtos) no menor número possíveis de agrupamentos. Os 
conjuntos/agrupamentos são montados considerando-se todos os conjuntos de 1´s 
adjacentes, que podem resultar em duplas, quadras e octetos (quando analisamos 
mapas de Karnaugh de 2, 3 e 4 variáveis de entrada). Quando o termo não puder ser 
agrupado, este deverá ser considerado isolado para fins de composição da equação 
booleana resultante. 
 
A Figura 4 mostra um mapa de Karnaugh sendo usado para simplificar uma função 
booleana com 4 variáveis de entrada. Para este exemplo também é indicado o 
procedimento necessário para obtenção da equação booleana simplificada. 
 
Etapas de simplificação de funções booleanas representadas em sua forma canônica soma de produtos: 
 marcar todo 1 isolado; 
 agrupar todas as duplas; 
 agrupar todos os octetos; 
 agrupar todas as quadras; 
 unir todas as parcelas obtidas pela operação OR. 
 
Figura 4: Procedimento de simplificação quando é usado o método do mapa de Karnaugh. 
 
Autor: Prof. Dr. Leonardo Mesquita 
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A Figura 5 mostra um mapa de Karnaugh sendo usado para simplificar uma função 
booleana com 4 variáveis de entrada, sendo que a equação resultante será fornecida 
no formato produto das somas. 
 
 
Etapas de simplificação de funções booleanas representadas em sua forma canônica produto das somas: 
 marcar todo 0 isolado; 
 agrupar todas as duplas; 
 agrupar todos os octetos; 
 agrupar todas as quadras; 
 unir todas as parcelas obtidas pela operação AND. 
 
Figura 5: Procedimento de simplificação quando é usado o método do mapa de Karnaugh (produto das 
somas). 
 
2.2. Condições de dont´care 
Condições de não existência, representadas por X, ocorrem quando a função de saída 
pode assumir qualquer valor em digital para uma dada combinação de entrada. Ou seja, 
tal condição é aplicada quando não existe uma situação de entrada que representa o 
comportamento do sistema digital em análise. Essas condições podem ser usadas para 
simplificar a função, sendo utilizadas para gerar agrupamentos maiores, quando 
usamos o método de mapa de Karnaugh, e consequentemente reduzindo o hardware 
necessário para implementar o circuito lógico resultante. 
 
A Figura 6 apresenta uma tabela de operação de um sistema digital que possui 
condições de não existência (don´t care) e o seu correspondente mapa de Karnaugh 
usado para obter a função simplificada do mesmo. É importante frisar que a condição 
de não existência poderá assumir o valor de 0 ou 1 visando sempre obtermos o 
agrupamento de células com o maior número possíveis de termos e consequentemente 
uma função com o menor número de termos. Essa condição sempre é usada para o 
projetista obter uma redução do hardware. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6: Simplificação de função considerando os termos de don´t care. 
Autor: Prof. Dr. Leonardo Mesquita 
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2.3. Procedimento para realização de projeto de rede combinacional 
Nesta seção são apresentadas as etapas necessárias para a execução de um projeto 
de rede de chaveamento combinacional. O sistema digital combinacional pode ser 
classificado em função do número de entradas e saídas do mesmo. O sistema mais 
comum é aquele que possui múltiplas entradas e múltiplas saídas. As etapas mais 
importantes do desenvolvimento de um projeto combinacional são fornecidas a seguir: 
 
I. Analise do problema e definição das variáveis de entrada e saída do mesmo; 
II. Codificação dos estados das variáveis de entrada e saída; 
III. Montagem da tabela de operação (verdade) que representa a operação do sistema; 
IV. Determinação das expressões booleanas, em sua forma canônica (∑ ou ∏), que 
representam o comportamento do sistema proposto; 
V. Simplificação das funções obtidas no item IV (opcional); 
VI. Definição dos componentes integrados a serem usados na implementação/montagem 
do protótipo do sistema digital e desenho do circuito esquemático; 
VII. Simulação lógica do sistema proposto; 
VIII. Realização da montagem e caracterização do protótipo do projeto combinacional. 
 
Exemplo: 
Projete um sistema digital para realizar o controle de determinadas operações em um 
automóvel “inteligente”. O automóvel possui um sensor de temperatura para indicar 
quando a temperatura interna do mesmo atinge 20oC. Neste mesmo veículo existem 
sensores indicando quando qualquer uma das portas se encontra abertas, e um sensor 
que indica que o cinto de segurança do motorista se encontra recolhido. O sistema de ar-
condicionado do automóvel deve ser ativado quando a temperatura interna do mesmo 
ultrapassar 20oC estando nesta situação o mesmo com as portas fechadas, com o motor 
ligado e o cinto de segurança do motorista não pode estar recolhido. Neste automóvel 
todos os sistemas de segurança são do tipo sonoro ou luminoso. Um sistema de alarme 
sonoro é ativado quando os faróis do automóvel se encontram acesos com as portas do 
mesmo travadas e o motor desligado. Os sistemas de alerta luminosos são ativados nas 
seguintes condições: alarme_1 é ativado quando o motor está desligado, com as portas 
abertas e os faróis apagados; o alarme_2 é ativado quando o motor do automóvel se 
encontra ligado com o cinto de segurança do motorista destravado e as portas fechadas; 
e finalmente o alarme_3 é ativado quando o automóvel está com as portas abertas e com 
o motor ligado. 
 
Autor: Prof. Dr. Leonardo Mesquita 
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Etapa I: Definição das variáveis de entrada e saída do sistema. 
Variáveis de entrada Variáveis de saída 
Temperatura 
(T) 
Portas 
(P) 
Motor 
(M) 
Cinto 
(C) 
Faróis
(F) 
Ar-condicionado
(AR) 
Alarme Sonoro
(AS) 
Alarme 1
(A1) 
Alarme 2 
(A2) 
Alarme 3
(A3_ 
 
Etapa II: Codificação dos estados das variáveis do sistemacombinacional. 
Variáveis de entrada 
Temperatura 
0 �→ quando ≤ 20o 
C 
1 → quando > 20o C 
Portas 
0 �→ quando porta 
aberta 
1 → quando porta 
fechada 
Motor 
0 �→ quando motor 
desligado 
1 → quando motor 
ligado 
Cinto 
0 �→ quando cinto 
recolhido 
1 → quando cinto 
sendo usado 
Faróis 
0 �→ quando farol 
apagado 
1 → quando farol 
aceso 
 
Variáveis de saída 
Ar-condicionado 
0 �→ quando ar-
condicionado não 
acionado 
1 → quando ar-
condicionado 
acionado 
Alarme Sonoro 
0 �→ quando 
Alarme Sonoro 
não acionado 
1 → quando 
Alarme Sonoro 
acionado 
Alarme 1 
0 �→ quando Alarme 
1 não acionado 
1 → quando Alarme 1 
acionado 
Alarme 2 
0 �→ quando Alarme 
2 não acionado 
1 → quando Alarme 2 
acionado 
Alarme 3 
0 �→ quando Alarme 
3 não acionado 
1 → quando Alarme 3 
acionado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Prof. Dr. Leonardo Mesquita 
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Etapa III: Tabela de operação representando o comportamento do sistema digital. 
M P C F T AR AS A1 A2 A3 decimal 
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 3 
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 4 
0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 5 
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 6 
0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 7 
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 8 
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 9 
0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 10 
0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 11 
0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 12 
0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 13 
0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 14 
0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 15 
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 16 
1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 17 
1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 18 
1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 19 
1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 20 
1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 21 
1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 22 
1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 23 
1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 24 
1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 25 
1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 26 
1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 27 
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 28 
1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 29 
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 30 
1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 31 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Prof. Dr. Leonardo Mesquita 
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Etapa IV: Determinação das expressões booleanas canônicas. 
 FAR = (29,31) (eq. 1) 
 FAS = (10,11,14,15) (eq. 2) 
 FA1 = (0,1,4,5) (eq. 3) 
 FA2 = (24,25,26,27) (eq. 4) 
 FA3 = (16,17,18,19,20,21,22,23) (eq. 5) 
 
Etapa V: Simplificação das funções (método Mapa de Karnaugh). 
 FAR = MPCT (eq. 6) 
 FAS = M´PF (eq. 7) 
 FA1 = M´P´F´ (eq. 8) 
 FA2 = MPC´ (eq. 9) 
 FA3 = MP´ (eq. 10) 
 
Etapa VI: Circuito esquemático do sistema digital proposto. 
Os sinais de entrada do projeto combinacional serão inseridos no circuito utilizando-se 
uma chave tipo DIP. Os sinais de saída serão visualizados através de LEDs. Os circuitos 
integrados necessários para implementar o sistema são: 7404 (NOT), 7408 (AND2) e 
7411 (AND3). O circuito esquemático proposto para o sistema é mostrado na Figura 7. 
Figura 7: 
Circuito esquemático do sistema proposto para implementar controlador. 
 
 
Etapa VII: Caracterização do protótipo proposto para a aplicação. 
Nesta etapa é realizada a montagem e caracterização do protótipo de acordo com o 
circuito esquemático desenvolvido para a aplicação.