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Aula 02
Raciocínio Lógico-Matemático p/ Banco
do Brasil (Escriturário) Com Videoaulas -
2020
Autores:
Brunno Lima, Guilherme Neves
Aula 02
4 de Fevereiro de 2020
Matemática para BNB (Analista Bancário 1)
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1. Conjuntos Numéricos e Operações .................................................................................................................. 3
1.1. Conjunto dos Números Naturais ..................................................................................................................... 3
1.1.1. Adição ......................................................................................................................................................... 5
1.1.1.1. Propriedade comutativa .......................................................................................................................... 5
1.1.1.2. Propriedade Associativa .......................................................................................................................... 5
1.1.1.3. Existência do elemento neutro da adição ................................................................................................ 6
1.1.1.4. Propriedade do fechamento .................................................................................................................... 6
1.1.2. Multiplicação ............................................................................................................................................... 6
1.1.2.1. Propriedade Comutativa .......................................................................................................................... 7
1.1.2.2. Propriedade Associativa .......................................................................................................................... 7
1.1.2.3. Existência do elemento neutro da multiplicação ..................................................................................... 7
1.1.2.4. Propriedade do fechamento .................................................................................................................... 8
1.1.2.5. Propriedade Distributiva .......................................................................................................................... 8
1.1.3. Fatoração .................................................................................................................................................. 12
1.1.4. Quadrado Perfeito ..................................................................................................................................... 13
1.1.5. Cubo Perfeito ............................................................................................................................................. 13
1.1.6. Quantidade de Divisores de um Número Natural ..................................................................................... 14
1.1.7. Mínimo Múltiplo Comum .......................................................................................................................... 15
1.1.8. Máximo Divisor Comum ............................................................................................................................ 18
1.1.8.1. Método da Fatoração Simultânea ......................................................................................................... 18
1.1.8.2. Algoritmo de Euclides ............................................................................................................................ 19
1.1.8.3. Relação entre MMC e MDC ................................................................................................................... 23
1.2. Conjunto dos Números Inteiros ..................................................................................................................... 23
1.2.1. Quantidade de números em uma sequência de inteiros consecutivos ...................................................... 25
1.2.2. Quantidade de algarismos em uma sequência de naturais consecutivos ................................................. 26
1.2.3. Regras dos Sinais com Números Inteiros ................................................................................................... 28
1.3. Conjunto dos Números Racionais ................................................................................................................. 29
1.3.1. Dízimas Periódicas ..................................................................................................................................... 30
1.3.2. Divisão ....................................................................................................................................................... 35
1.3.3. Multiplicação envolvendo números decimais ........................................................................................... 35
1.3.4. Divisão envolvendo números decimais ...................................................................................................... 36
1.3.5. Subconjuntos Notáveis dos Racionais ....................................................................................................... 38
1.3.6. Simplificação de Frações ........................................................................................................................... 39
1.3.7. Adição e Subtração de Frações ................................................................................................................. 40
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1.3.8. Multiplicação de Frações ........................................................................................................................... 42
1.3.9. Divisão de Frações ..................................................................................................................................... 43
1.4. Conjunto dos Números Irracionais ................................................................................................................ 44
1.4.1. Aproximação de Raiz Quadrada ................................................................................................................ 44
1.5. Conjunto dos Números Reais ........................................................................................................................ 46
1.5.1. Reta Real ................................................................................................................................................... 46
1.5.2. Intervalos Reais ......................................................................................................................................... 47
1.5.3. Potenciação ............................................................................................................................................... 50
1.5.3.1. Propriedades Operatórias das Potências ............................................................................................... 52
1.5.4. Radiciação ................................................................................................................................................. 56
1.5.4.1. Raízes de Índice Par ............................................................................................................................... 56
1.5.4.2. Raízes de Índice Ímpar ........................................................................................................................... 57
1.5.4.3. Propriedades dos Radicais ..................................................................................................................... 57
1.5.4.4. Potência de Expoente Racional ..............................................................................................................58
1.5.4.5. Racionalização de Denominadores ........................................................................................................ 58
1.5.4.6. Comparação de Radicais ....................................................................................................................... 60
2. Lista de Questões de Concursos Anteriores .................................................................................................... 61
3. Gabaritos ....................................................................................................................................................... 86
4. Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ....................................................................... 89
5. Considerações Finais .................................................................................................................................... 164
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Oi, pessoal.
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!!
Hoje vamos estudar conjuntos numéricos e operações.
Lembre-se que vocês podem me acompanhar com dicas diárias no meu instagram
@profguilhermeneves.
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS E OPERAÇÕES
Não é possível escrever uma aula de Matemática sem falar sobre números. O engraçado é que
definir o que é um número está fora do escopo desta aula. Para falar a verdade, é bem complicado
definir o que são números.
O professor Giuseppe Peano (1858-1932) era um matemático notável.
Na introdução de seu trabalho intitulado Sul concetto de numero (1891), escreveu: “Uma criança,
desde tenra idade, usa as palavras um, dois, três, etc., posteriormente usa a palavra número;
somente muito mais tarde a palavra agregado aparece em seu vocabulário. E como a filologia nos
ensina, o desenvolvimento dessas palavras ocorre na mesma ordem nas línguas indo-européias.
Portanto, do ponto de vista prático, a questão me parece resolvida; ou seja, não há vantagem, no
ensino, definir número. Esta ideia é muito clara para os alunos e qualquer definição iria somente
confundi-los”.
Por outro lado, mesmo sem definir os “números”, todos nós temos uma noção bem definida sobre
esses objetos matemáticos. E não precisamos falar que os números estão ao nosso redor como
bem disse Pitágoras:
“Os números governam o mundo”.
Nesta capítulo, apresentaremos os chamados conjuntos numéricos e suas propriedades.
1.1. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
A noção de um número natural surge com a pura contagem de objetos. Ao contar, por exemplo, os
livros de uma estante, temos como resultado um número do tipo:
ℕ = {0,1,2,3… }
Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não poderíamos imaginar
alguém falando: “Tenho 3,4231 livros na minha estante”.
A este conjunto ℕ denominamos conjunto dos números naturais.
Caso haja necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos com um asterisco sobrescrito à
letra N.
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ℕ∗ = {1,2,3,4… }
Este conjunto é chamado conjunto dos números naturais não-nulos.
No conjunto dos números naturais, podemos definir apenas duas operações básicas: adição e
multiplicação.
Você deve estar se perguntando: “E por que não subtração e divisão?”
A questão é a seguinte: dizemos que uma operação está bem definida quando sempre podemos
operar naquele conjunto. Por exemplo: será que é sempre possível somar dois números naturais?
É claro que sim.
Podemos efetuar 2+3=5, 3+0=3 e assim por diante.
Ou seja, a soma de dois números naturais também é um número natural. Por isso, dizemos que o
conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à adição.
Será que é sempre possível multiplicar dois números naturais? É claro que sim.
Podemos efetuar 3 x 5 = 15, 4 x 1 = 4, 8 x 0 = 0.
Podemos então concluir que o produto de dois números naturais é também um número natural.
Ou seja, o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à multiplicação.
Será que é sempre possível subtrair dois números naturais? Não.
Podemos efetuar 5 – 3 = 2. Por outro lado, não podemos efetuar (no conjunto dos números
naturais) 3 – 5. Isto porque o resultado desta operação é um número negativo. Podemos então
dizer que o conjunto dos números naturais NÂO É FECHADO em relação à subtração.
Da mesma maneira, sabemos que o conjunto dos números naturais NÃO É FECHADO em relação à
divisão. Podemos efetuar 8 : 2 = 4, mas não podemos efetuar 2 : 8 (o resultado desta operação,
como iremos ver adiante, é uma fração que não é um número natural).
Observe que falamos algumas expressões tipicamente matemáticas como soma, adição,
multiplicação, produto, etc.
Qual é a diferença entre soma e adição? É a mesma coisa? Vejamos.
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1.1.1. ADIÇÃO
Como bem já dissemos, podemos definir apenas duas operações no conjunto dos números
naturais: adição e multiplicação.
Vamos aprender detalhadamente cada uma dessas operações.
Considere o seguinte cálculo: 3 + 5 = 8.
O símbolo “+” representa a operação de adição. O resultado da adição é chamado de soma.
Portanto “adição” e “soma” não têm o mesmo significado. Adição é o nome da operação. Soma é o
resultado da adição.
Definimos então a operação de adição:
𝑎 + 𝑏 = 𝑐 2𝑎, 𝑏 → 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠𝑐 → 𝑠𝑜𝑚𝑎
No nosso exemplo, os números 3 e 5 são as parcelas e 8 é a soma.
Vejamos algumas propriedades importantes da adição.
1.1.1.1. PROPRIEDADE COMUTATIVA
Esta propriedade afirma que a ordem das parcelas não altera a soma. Em símbolos:
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℕ
∀ significa “para todo”.
Obviamente sabemos que 3 + 5 = 8 e 5 +3 = 8, portanto 3 + 5 = 5 + 3.
1.1.1.2. PROPRIEDADE ASSOCIATIVA
A adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas primeiras ou as duas
últimas parcelas. Aqui, devemos obedecer à regra de que devemos primeiro efetuar as operações
que se encontram dentro dos parênteses.
(2+3) + 5 = 5 + 5 = 10
2 + (3+5) = 2 + 8 = 10
Assim, (2+3)+5 = 2+(3+5).
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1.1.1.3. EXISTÊNCIA DO ELEMENTO NEUTRO DA ADIÇÃO
Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade.
𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎
Desta forma, 5 + 0 = 0 + 5 = 5. Por esta razão, o número zero é chamado de elemento neutro da
adição.
1.1.1.4. PROPRIEDADE DO FECHAMENTO
A soma de dois números naturais é um número natural.
Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a adição é uma operação bem
definida no conjunto dos números naturais. Pretende adicionar dois números naturais? Com
certeza o resultado (a soma) será um número natural. Não tem como a soma ser um número
negativo, um número irracional, etc.
1.1.2. MULTIPLICAÇÃO
Vamos falar um pouquinho agora sobre a multiplicação. Observe o seguinte cálculo:
3 × 4 = 12
Podemos representar a operação da multiplicação por dois símbolos (ou nenhum como veremos
adiante). Usualmente, utilizamos o × 𝑜𝑢 ∙. Às vezes também é conveniente utilizar um asterisco
para representar a multiplicação.
Assim, 3 × 4 = 3 ∙ 4 = 3 ∗ 4 = 12.
Quando estamos trabalhandocom letras ou com expressões dentro de parênteses é muito comum
não utilizamos símbolo algum para representar a multiplicação. Assim,
3𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 3 ∙ 𝑎
Ou seja, 3𝑎 = 3 ∙ 𝑎 = 3 × 𝑎.
Vamos nos deparar muitas vezes com expressões do tipo (𝑥 + 2)(𝑥 − 1).
Observe que não há símbolo algum entre os parênteses do meio. Esta expressão significa que
devemos multiplicar as expressões que estão nos parênteses.
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 1) = (𝑥 + 2) × (𝑥 − 1)
Daqui por diante usaremos indistintamente os símbolos × 𝑒 ∙. Normalmente utilizaremos ×
quando estivermos trabalhando exclusivamente com números e utilizaremos ∙ quando houver
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letras na expressão. Mas não se preocupe, pois você pode utilizar qualquer um dos dois símbolos.
Veja o que fica melhor esteticamente e utilize.
Podemos agora definir a operação da multiplicação, suas propriedades e nomenclaturas.
𝑎 × 𝑏 = 𝑐 I𝑎, 𝑏 → 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠𝑐 → 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜
Da mesma maneira que foi comentado na operação de adição, convém observar a diferença entre
“multiplicação” e “produto”. Multiplicação é o nome da operação e produto é o resultado da
multiplicação.
1.1.2.1. PROPRIEDADE COMUTATIVA
A ordem dos fatores não altera o produto.
É-me indiferente efetuar 3 x 4 ou efetuar 4 x 3. O resultado (produto) será o mesmo 12.
Desta forma, podemos afirmar que 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℕ.
Lembre-se que 𝑎𝑏 significa a vezes b. Ou seja,
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 = 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎
2 × 7 = 14
7 × 2 = 14M 2 × 7 = 7 × 2
1.1.2.2. PROPRIEDADE ASSOCIATIVA
A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois primeiros ou os dois
últimos fatores.
(3 ∙ 4) ∙ 5 = 12 ∙ 5 = 60
3 ∙ (4 ∙ 5) = 3 ∙ 20 = 60P (3 ∙ 4) ∙ 5 = 3 ∙ (4 ∙ 5)
1.1.2.3. EXISTÊNCIA DO ELEMENTO NEUTRO DA MULTIPLICAÇÃO
Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade:
𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎
Ou seja, tanto faz efetuar 4 vezes 1 ou 1 vezes 4: o resultado é igual a 4.
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Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação.
1.1.2.4. PROPRIEDADE DO FECHAMENTO
O produto de dois números naturais é um número natural.
Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a multiplicação é uma operação
bem definida no conjunto dos números naturais.
Pretende multiplicar dois números naturais? Com certeza o resultado (o produto) será um número
natural. Não tem como o produto ser um número negativo, um número irracional, etc.
Temos ainda uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição. É a chamada propriedade
distributiva da multiplicação em relação à adição ou simplesmente propriedade distributiva.
1.1.2.5. PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA
Antes de enunciar a propriedade seja com palavras seja com símbolos, vejamos um exemplo.
Efetue 2 ∙ (3 + 5).
Existe uma hierarquia entre as operações matemáticas. Se não estivessem escritos os parênteses,
no caso, 2 ∙ 3 + 5, deveríamos efetuar primeiramente 2 ∙ 3 = 6 e em seguida adicionar o 5. No
caso, 2 ∙ 3 + 5 = 6 + 5 = 11.
Mas no nosso caso há os parênteses. Devemos, portanto, ignorar a hierarquia das operações, pois
devemos efetuar obrigatoriamente as operações que estão dentro dos parênteses.
2 ∙ (3 + 5) = 2 ∙ 8 = 16
A propriedade distributiva nos diz que na multiplicação de uma soma por um número natural,
multiplicam-se cada um dos termos por esse número e em seguida somamos os resultados. No
caso, para efetuar 2 ∙ (3 + 5) podemos multiplicar 2 por 3, multiplicar 2 por 5 e finalmente somar
os dois resultados.
2 ∙ (3 + 5) = 2 ∙ 3 + 2 ∙ 5 = 6 + 10 = 16
Utilizaremos bastante este fato ao trabalhar com “letras”. Por exemplo, a expressão 2 ∙ (𝑥 + 3)
pode ser desenvolvida da seguinte maneira:
2 ∙ (𝑥 + 3) = 2 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 3 = 2 ∙ 𝑥 + 6
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Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma biblioteca do Tribunal de Contas
do Estado da Paraíba, o funcionário responsável pelo setor, que era aficionado em
matemática, deu a seguinte resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de
dois números naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos
substituídos por letras.”
M A R R A
+ M A R R A
T O R T A
Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, ao ser
decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros do acervo dessa
biblioteca é um número
a) menor que 70000.
b) compreendido entre 70000 e 75000.
c) compreendido entre 75000 e 80000.
d) compreendido entre 80000 e 85000.
e) maior que 85000.
Resolução
Vamos entender o enunciado. Ele simplesmente efetuou uma adição e trocou os algarismos
por letras. Letras iguais correspondem a números iguais e letras distintas correspondem a
algarismos distintos.
Olhemos inicialmente para os algarismos das unidades. Devemos descobrir um número tal
que A+A=A. Ou seja, qual é o número que somado com ele mesmo, é igual a ele mesmo? Só
pode ser o número zero. Tem-se, então, que A=0. Observe que 0 + 0 = 0 (lembre-se que o
número zero é o elemento neutro da adição). Já podemos substituir as letras A por 0.
Observe os algarismos das dezenas e das centenas. Aparentemente realizamos a mesma
operação R+R e obtemos dois resultados distintos. Isso se deve ao fato de a soma ser maior
do que 10 e somos obrigados a acrescentar uma unidade na casa das centenas. Devemos
testar R para o seguinte conjunto de valores: {5,6,7,8,9} (pois a soma deve ser maior do que
10).
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Será que R = 5? Rapidamente concluímos que R não pode ser 5, pois ao efetuar R + R = 10,
temos que T = 0. Mas lembre-se que letras distintas correspondem a algarismos distintos. E
como A = 0, T não pode ser 0 e consequentemente R não pode ser 5.
Será que R = 6? Vejamos o que acontece. Lembre-se que 6 + 6 =12.
Observe o absurdo. Ao efetuarmos 6 + 6 obtemos 12. Escrevemos o algarismo das unidades 2
no resultado e “subimos 1”. Na coluna do meio devemos efetuar R + R + 1 (este 1 é aquele
que “subiu”). Temos que 6 + 6 + 1 = 13, então escrevemos o algarismo das unidades 3 e
subimos 1. Temos agora que R = 3. Absurdo, já que estávamos supondo que R = 6.
Da mesma maneira, testando R = 7 e R = 8 chegamos a absurdos parecidos com o caso R = 6.
Chega-se a conclusão de que R=9.
Desse modo, sabemos que T=8. Logo, a soma será escrita da seguinte forma:
Logo, MARRA=81980.
Gabarito: D
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Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo
O valor de A+B+C é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
Resolução
Foquemos na tabuada do 3.
3 x 1 = 3, 3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9
3 x 4 = 12, 3 x 5 = 15, 3 x 6 =18
3 x 7 = 21, 3 x 8 = 24, 3 x 9 = 27
Ao multiplicarmos o algarismo C pelo número 3, obtemos um número cujo algarismo das
unidades é igual a 4. Logo, C =8. Como 3 x 8 = 24, ao efetuarmos o produto do número 3 pelo
algarismo B, devemos adicionar 2 ao resultado.
O produto 3.B deverá ser um número cujo algarismo das unidades seja igual a 6, pois ao
adicionarmos 2 teremos como resultado um número cujo algarismo das unidades é igual a 8.
Logo, B=2, pois 3 x 2 = 6.
Finalmente, o número A deve ser tal que 3.A termine em 2. Portanto, A = 4.
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Como A = 4, B = 2, e C = 8, temos que A + B + C = 14.
Gabarito: E.
1.1.3. FATORAÇÃO
Fatorar um número natural significa transformá-lo em um produto de números primos.
Número primo é aquele que possui apenas dois divisores naturais. Os números primos naturais são
{2,3,5,7,11,13,...}.
É muito importante saber fatorar números naturais. Qual é o procedimento?
Imagine que queremos fatorar o número 360. Fique na mente com os primeiros números primos.
Tem algum número primo naquela lista que divide 360? Sim!
O número 2 divide 360 e o quociente é 180. Repita o procedimento até encontrar o quociente 1.
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
Observe a coluna da direita: o produto destes números é exatamente 360.
Portanto, a fatoração prima de 360 é 23 x 32 x 51.
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Vamos fazer novamente. Fatore 784.
784 2
392 2
196 2
98 2
49 7
7 7
1
Assim, a fatoração prima de 784 é 24 x 72.
Observação: Um número é par quando 2 faz parte de sua fatoração prima. Caso 2 não figure na
fatoração prima, o número será ímpar. Por exemplo: 34 x 53 é um número ímpar, enquanto 27x32 é
um número par. Verifique na calculadora!
1.1.4. QUADRADO PERFEITO
Um número é quadrado perfeito quando ele é igual ao quadrado de um número natural. É
igualmente verdade dizer que um número é quadrado perfeito quando todos os expoentes de sua
fatoração prima forem números pares.
9 é um quadrado perfeito porque 32 = 9. Neste caso, dizemos que a raiz quadrada de 9 é igual a 3,
ou seja, √9 = 3.
121 é um quadrado perfeito porque 112 = 121. Neste caso, √121 = 11.
26 x 38 x 54 é um quadrado perfeito porque todos os expoentes da fatoração prima são números
pares. Para calcular sua raiz quadrada, basta dividir todos os expoentes por 2. Assim,
√2T ∙ 3U ∙ 5V = 2W ∙ 3V ∙ 5X.
1.1.5. CUBO PERFEITO
Um número é cubo perfeito quando ele é igual ao cubo de um número natural. É igualmente
verdade dizer que um número é cubo perfeito quando todos os expoentes de sua fatoração prima
forem múltiplos de 3.
8 é um cubo perfeito porque 23 = 8. Neste caso, dizemos que a raiz cúbica de 8 é igual a 2, ou seja,
√8Y = 2.
64 é um cubo perfeito porque 43 = 64. Neste caso, √64Y = 4.
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26 x 312 x 59 é um cubo perfeito porque todos os expoentes da fatoração prima são múltiplos de 3.
Para calcular sua raiz cúbica, basta dividir todos os expoentes por 3. Assim, √2T ∙ 3ZX ∙ 5[Y = 2X ∙
3V ∙ 5W.
1.1.6. QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL
Depois que temos a fatoração prima de um número, é muito fácil calcular a sua quantidade de
divisores.
Vejamos um exemplo com um número pequeno.
Os divisores naturais de 12 são {1,2,3,4,6,12}. São 6 divisores naturais.
Observe a fatoração prima de 12.
12 2
6 2
3 3
1
12 = 22 x 31.
A regra é a seguinte. Para calcular a quantidade de divisores, adicione 1 a cada expoente e
multiplique os resultados.
Neste exemplo, temos que a quantidade de divisores de 12 é (2+1)*(1+1) =3*2 = 6.
Esta regra é facilmente explicada pelo princípio fundamental da contagem (assunto de Análise
Combinatória).
E em casos como 16 = 24, que só tem um fator primo?
Basta adicionar 1 ao expoente. Portanto, 16 tem 4 + 1 = 5 divisores. São eles {1,2,4,8,16}.
Vejamos mais um exemplo: vamos calcular a quantidade de divisores de 60.
60 2
30 2
15 3
5 5
1
Portanto, 60 = 22 . 31 . 51
A quantidade de divisores naturais é (2+1)(1+1)(1+1) = 12.
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Mais um exemplo: vamos calcular a quantidade de divisores de 125.
125 5
25 5
5 5
1
Como 125 = 53, então 125 possui 3+1 = 4 divisores.
(FCC 2016/Técnico Judiciário – TRF 3ª Região 2016) A diferença entre o menor número
natural ímpar com cinco divisores positivos distintos e o menor número natural par, também
com cinco divisores positivos distintos, é igual a
(A) 39.
(B) 27.
(C) 83.
(D) 65.
(E) 41.
Para que um número seja ímpar, 2 não pode aparecer em sua fatoração prima.
Portanto, o menor número ímpar com 5 divisores naturais é 34 = 81 (observe que devemos
adicionar 1 ao expoente para calcular a quantidade de divisores).
O menor número par com 5 divisores é 24 = 16.
A diferença entre eles é 81 – 16 = 65.
Gabarito: D
1.1.7. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Para obtermos os múltiplos do número 4, multiplicamos cada elemento do conjunto dos números
naturais pelo número 4.
4 × 0 = 0
4 × 1 = 4
4 × 2 = 8
4 × 3 = 12
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4 × 4 = 16
⋮
Os múltiplos de 4 são {0,4,8,12,16,20,24, … }.
Percebe-se facilmente que esse conjunto tem infinitos elementos.
Devemos nos lembrar dos seguintes fatos:
è O zero é múltiplo de qualquer número.
è Todo número é múltiplo de 1 e de si mesmo.
è O único múltiplo de zero é o próprio zero.
O menor dos múltiplos comuns (excluído o zero) de dois ou mais números chama-se mínimo
múltiplo comum (m.m.c.).
Qual o m.m.c. entre 8 e 12?
𝑀ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 8 = {0,8,16, 𝟐𝟒, 32,40, 𝟒𝟖, 56,64, 𝟕𝟐, 80, … }
𝑀ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 12 = {0,12, 𝟐𝟒, 36, 𝟒𝟖, 60, 𝟕𝟐, 84, … }
Observe que existem infinitos múltiplos comuns não-nulos. Dentre todos os múltiplos comuns não-
nulos, o menor é 24. Portanto, 𝑚𝑚𝑐(8,12) = 24.
Normalmente os problemas envolvendo mmc são aqueles que surgem periodicidades. Por
exemplo:
Imagine que Guilherme tenha folga no trabalho a cada 8 dias. Sua esposa Manuella folga no seu
trabalho a cada 12 dias. Se os dois folgaram juntos hoje, quando folgarão juntos novamente?
A resposta é dada pelo mmc. Os dois folgarão juntos novamente daqui a 24 dias.
Obviamente eles não folgarão juntos APENAS daqui a 24 dias. Esta é apenas a PRÓXIMA vez em
que folgarão juntos. Pelo conjunto dos múltiplos que escrevi anteriormente, percebemos que eles
também daqui a 48 dias, daqui a 72 dias, etc.
Normalmente, utilizamos o método da fatoração simultânea para calcular o mmc.
Vejamos: mmc(8,12) = ?
Devemos pensar em um número que divida algum deles. Que tal 2?
8, 12
8, 12 2
4, 6
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Continuando...
Agora não temos mais como dividir 2 e 3 pelo mesmo número. Vamos continuar a fatoração.
Dividindo por 2 (repetimos o 3).
E agora dividimos por 3.
Desta forma, 𝑚𝑚𝑐(8,12) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24
Caso você tenha a fatoração prima dos números, o MMC é o produto dos fatores comuns elevados
aos maiores expoentes e dos fatores não-comuns.
Vejamos um exemplo. Qual o MMC entre 24x35x112 e 23x37x51?
Quais são os fatores comuns? 2 e 3. Coloquei até em vermelho para que você perceba.
Observe que no número da esquerda o expoente de 2 é 4 e no número da direita o expoente de 2
é 3. Pois bem, escolha o MAIOR expoente, beleza? Assim, no MMC o expoente de 2 será 4. Da
mesma maneira, o expoente de 3 no MMC será 7.
Os fatores que não são comuns também vão entrar na resposta.
Portanto, o MMC entre os números dados é 24x37x51x112.
8, 12 2
4, 6 2
2, 3
8, 12 2
4, 6 2
2, 3 2
1, 3
8, 12 2
4, 6 2
2, 3 2
1, 3 3
1, 1
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1.1.8. MÁXIMO DIVISOR COMUM
Se a divisão de um número natural por outro (não nulo) é exata, dizemos que o primeiro é divisível
pelo segundo, ou que o segundo número é divisor do primeiro. Desta forma temos que:
15 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟 3
3 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 15
O conjunto dos divisores de um número é aquele que comporta todos os divisores do número em
questão. Por exemplo, o conjunto dos divisores de 6 é:
𝐷T = {1,2,3,6}
O maior dos divisores comuns de dois ou mais números chama-se máximo divisor comum (m.d.c.).
Qual é o m.d.c. entre 8 e 12?
Vamos listar os divisores de cada número.
𝐷U = {𝟏, 𝟐, 𝟒, 8}
𝐷ZX = {𝟏, 𝟐, 3, 𝟒, 6,12}
Os números em vermelho são os divisores comuns de 8 e 12. Dentre os divisores comuns, qual é o
maior? A resposta é 4. Portanto, 𝑚𝑑𝑐(8,12) = 4.
Se mdc(x,y) = 1, dizemos que x e y são primos entre si (ou co-primos). Isto significa dizer que
apenas o número 1 divide x e y simultaneamente.
Observe que é possível que x e y sejam primos entre si, mesmo que x e y não sejam primos. Por
exemplo, mdc(8,9) = 1, ou seja, 8 e 9 são primos entre si, mas 8 não é primo e 9 não é primo.
Observe, por exemplo, que a fração 8/9 é irredutível, pois o único divisor comum entre 8 e 9 é o
número 1.
Assim, sempre que mdc(x,y) = 1, a fração x/y é irredutível.
Vamos aprender dois métodos para calcular MDC.
1.1.8.1. MÉTODO DA FATORAÇÃO SIMULTÂNEA
Vamos calcular o 𝑚𝑑𝑐(84,144,60). Utilizaremos o método da fatoração simultânea. Como bem diz
o nome do método, devemos fatorar os três números simultaneamente, ou seja, de uma só vez.
Para isto, devemos procurar números que dividam simultaneamente os três números.
Pense em um número que divida 84, 144 e 60. Pensou? Que tal 2?
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84 dividido por 2 é igual a 42, 144 dividido por 2 é igual a 72 e 60 dividido por 2 é igual a 30.
Vamos pensar em um número que divida 42, 72 e 30. Que tal 2 novamente?
42 dividido por 2 é igual a 21, 72 dividido por 2 é igual a 36 e 30 dividido por 2 é igual a 15.
Pense em um número que divida 21, 36 e 15.
21 divido por 3 é igual a 7, 36 dividido por 3 é igual a 12 e 15 dividido por 3 é igual a 5.
Há algum número natural (diferente de 1) que divida 7, 12 e 5 simultaneamente? Não! Então
devemos parar. Para calcular o MDC, devemos multiplicar 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.
Vamos agora aprender o chamado Algoritmo de Euclides.
1.1.8.2. ALGORITMO DE EUCLIDES
Vamos começar com um exemplo bem fácil. Calculemos o MDC(20,25). Estes números são
“simpáticos”. Poderíamos utilizar o método da fatoração simultânea, mas vou utilizá-los para
ensinar o algoritmo de Euclides.
O Algoritmo de Euclides pode requisitar muitas divisões sucessivas (ele também é chamado de
Método das Divisões Sucessivas) até que se chegue ao resto zero (sempre se chegará!). Por conta
disso, é melhor usar uma chave que aproveita melhor os resultados anteriores e deixa espaço para
os próximos, caso sejam necessários.
Para começar, monte uma grade com, pelo menos, 3 colunas e exatamente 3 linhas (deixe espaço
à direita):
84, 144 , 60 2
42, 72 , 30
84, 144 , 60 2
42, 72 , 30 2
21, 36, 15
84, 144 , 60 2
42, 72 , 30 2
21, 36, 15 3
7, 12, 5
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Na grade, insira os números envolvidos na linha do meio (vou manter os números do nosso
exemplo inicial). Assim,
25 20
Sempre na primeira linha, sobre o último divisor usado, escreva o quociente da divisão atual. Na
divisão de 25 por 20, o quociente é 1. Ficamos com:
1
25 20
O resto da divisão atual é registrado abaixo do dividendo da divisão atual. Na divisão de 25 por 20
o resto é 5.
1
25 20
5
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Como o resto não foi igual a 0, copiamos o resto (5) ao lado do 20, na próxima casa. Repete-se
todo o processo anterior, lembrando que agora devemos dividir 20 por 5.
1
25 20 5
5
Na divisão de 20 por 5, o quociente é 4 e o resto é 0. Registre assim:
1 4
25 20 5
5 0
Como o resto é 0, você para! O MDC será o último divisor utilizado. No nosso caso, o MDC é 5.
Vamos fazer mais um exemplo: Calcule MDC(117,81).
Resolução
Comece construindo a grade para efetuar a divisão de 117 por 81.
117 81
Na divisão de 117 por 81, o quociente é 1 e o resto é 36. Registre assim:
1
117 81
36
Como o resto foi diferente de 0, copiamos o resto (36) ao lado do 81.
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1
117 81 36
36
Devemos agora dividir 81 por 36. Nesta divisão, o quociente é 2 e o resto é 9. Registre assim na
tabela:
1 2
117 81 36
36 9
Como o resto é diferente de 0, devemos copiá-lo ao lado de 36.
1 2
117 81 36 9
36 9
Devemos agora dividir 36 por 9. Nesta divisão, o quociente é 4 e o resto é 0. Pode parar!
1 2 4
117 81 36 9
36 9 0
Como o resto é 0, então o MDC é o último divisor utilizado. Portanto, MDC(117,81) = 9.
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1.1.8.3. RELAÇÃO ENTRE MMC E MDC
Qual é a relação entre o MMC e o MDC de DOIS números naturais?
A propriedade seguinte é válida para apenas dois números.
Se temos dois números naturaisx e y, é válida a seguinte relação:
𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑚𝑚𝑐(𝑥, 𝑦) ⋅ 𝑚𝑑𝑐(𝑥, 𝑦)
Ou seja, o produto entre o MMC e o MDC é igual ao produto entre os próprios números!
Por exemplo: mmc(6,8) = 24 e mdc(6,8) = 2.
6 x 8 = 48
mmc(6,8) x mdc(6,8) = 24 x 2 = 48
1.2. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Vimos anteriormente que o conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e à
multiplicação. Com o intuito de definir a operação “subtração” ampliaremos o conjunto dos
números naturais.
Criamos, portanto, o conjunto dos números inteiros que é representado pela letra Z (inicial de zahl
- número em alemão).
Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto
ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Dizemos que o número – 𝑥 é o simétrico ou oposto do número 𝑥.
Por exemplo, o número −5 é o simétrico de 5 e reciprocamente: 5 é o simétrico de −5.
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Neste conjunto 𝑍 destacam-se os seguintes subconjuntos:
(1) Conjunto 𝑍∗ dos inteiros não nulos (diferentes de zero):
𝑍∗ = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥 ≠ 0} = {…− 3,−2,−1,1,2,3, … }
(2) Conjunto 𝑍o dos inteiros não positivos (menores ou iguais a zero):
𝑍o = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥 ≤ 0} = {…− 3,−2,−1,0}
(3) Conjunto 𝑍q dos inteiros não negativos (maiores ou iguais a zero):
𝑍q = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥 ≥ 0} = {0,1,2,3,4… }
(4) Conjunto 𝑍o∗ dos inteiros negativos (menores que zero):
𝑍o∗ = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥 < 0} = {…− 3,−2,−1}
(5) Conjunto 𝑍q∗ dos inteiros positivos (maiores que zero):
𝑍q∗ = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥 > 0} = {1,2,3,4… }
Observe que o número 0 não pertence ao conjunto dos inteiros positivos e não pertence ao
conjunto dos inteiros negativos. Portanto, o número 0 (zero) não é positivo e não é negativo.
Dizemos que zero é neutro.
Observe que sempre que efetuarmos a adição de um número com o seu oposto (simétrico) o
resultado será igual a 0. Desta forma:
5 + (−5) = 0
2 + (−2) = 0
−3 + 3 = 0
Podemos então definir a operação “subtração” da seguinte maneira:
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)
𝑎 − 𝑏 = 𝑐 u
𝑎 → 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑒𝑛𝑑𝑜
𝑏 → 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑒𝑛𝑑𝑜
𝑐 → 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎
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Rapidamente percebemos que a subtração não é uma operação comutativa. Basta olhar, por
exemplo, que 5 – 3 = 2 e 3 – 5 = - 2. A subtração também não goza da propriedade associativa e
não possui elemento neutro.
Podemos afirmar que o conjunto dos números inteiros é FECHADO em relação à subtração. Ou
seja, se você vai calcular a diferença entre dois números inteiros, com certeza o resultado será um
número inteiro.
Observe ainda que todos os números naturais são números inteiros, mas nem todos os números
inteiros são naturais. Dizemos que o conjunto dos números naturais é subconjunto dos números
inteiros, ou seja, ℕ ⊂ ℤ.
1.2.1. QUANTIDADE DE NÚMEROS EM UMA SEQUÊNCIA DE INTEIROS
CONSECUTIVOS
Imagine que você precisa ler da página 354 até a página 678 de um livro. Quantas páginas você
lerá? Fazendo uma pergunta mais técnica: quantos números há no conjunto {354, 355, 356, 357,
..., 678}?
A maneira mais rápida de responder esta pergunta é assim: subtraia o maior número do menor e
adicione 1.
No nosso exemplo, 678 - 354 + 1 = 325. Portanto, você lerá 325 páginas.
Por que devemos adicionar 1?
Ora, quando subtraímos 678 - 354, estamos excluindo o número 354. Devemos adicionar 1 para
que ele volte à nossa contagem.
(BIORIO 2014/NUCLEP) O capítulo III de um livro começa na página 187 e vai até a página
235. João resolveu ler o capítulo todo num único dia. João gasta em média 4 minutos e meio
para ler uma página. Para cumprir a resolução ele gastará:
(A) 3h 36min.
(B) 3h 40min 30s.
(C) 3h 45min.
(D) 3h 49min 30s.
(E) 3h 54min.
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Resolução
O primeiro passo é saber o número de páginas. O capítulo III de um livro começa na página
187 e vai até a página 235.
Desta maneira, o capítulo III possui 235 – 187 + 1 = 49 páginas.
Ele gasta 4,5 minutos para ler uma página. Portanto, para ler as 49 páginas ele levará 49 x 4,5
= 220,5 minutos = 220 min 30 s = 3 horas 40 min 30s
Gabarito: B
1.2.2. QUANTIDADE DE ALGARISMOS EM UMA SEQUÊNCIA DE NATURAIS
CONSECUTIVOS
Vamos resolver o seguinte problema.
Quantos algarismos são usados para numerar de 1 a 150 todas as páginas de um livro?
a) 327
b) 339
c) 342
d) 345
e) 350
Resolução
Da página 1 até a página 9 há 9 – 1 + 1 = 9 páginas. Como cada página neste intervalo possui 1
algarismo, são usados 9 x 1 = 9 algarismos.
Da página 10 até a página 99 são 99 – 10 + 1 = 90 páginas. Como cada página neste intervalo possui
2 algarismos, são usados 90 x 2 = 180 algarismos.
Da página 100 até a página 150 são 150 – 100 + 1 = 51 páginas. Como cada página neste intervalo
possui 3 algarismos, são usados 51 x 3 = 153 algarismos.
Total: 9 + 180 + 153 = 342 algarismos.
Gabarito: C
Vamos produzir um resultado geral para problemas neste estilo. Suponha que o número de
páginas de um livro é P tal que 100 ≤ P ≤ 999.
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Quantos algarismos são utilizados na numeração das páginas deste livro?
Da página 1 até a página 9 são utilizados 9 x 1 = 9 algarismos.
Da página 10 até a página 99 são utilizados 90 x 2 = 180 algarismos.
Da página 100 até a página de número P, temos P – 100 + 1 = P – 99 páginas. Como cada página
tem 3 algarismos, são utilizados 3(P – 99) algarismos.
O total de algarismos A é igual a 9 + 180 + 3(P – 99).
𝐴 = 9 + 180 + 3(𝑃 − 99)
𝐴 = 189 + 3𝑃 − 297
𝐴 = 3𝑃 − 108
Assim, se o problema fornecer a quantidade de páginas, basta multiplicar esta quantidade por 3 e
subtrair 108 para calcular a quantidade de algarismos utilizados na numeração do livro.
No exemplo anterior, temos:
𝐴 = 3 × 150 − 108 = 342
Podemos também isolar P na expressão acima.
𝐴 + 108 = 3𝑃
𝑃 =
𝐴 + 108
3
Com esta expressão, podemos calcular a quantidade de páginas de um livro, sendo dada a
quantidade de algarismos utilizados em sua numeração, sendo o número de páginas 100≤P≤999.
No caso, a fórmula acima é válida se a quantidade de algarismos A for tal que 192≤A≤2889.
Se o número de páginas for superior a 999 (1.000≤P≤9.999), as fórmulas acima tomam as seguintes
formas:
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𝐴 = 4𝑃 − 1.107
𝑃 =
𝐴 + 1.107
4
A demonstração é análoga.
Um livro tem N páginas numeradas de 1 a N. Se na numeração das páginas desse livro foram
usados 657 algarismos, então N é igual a
(A) 235
(B) 244
(C) 245
(D) 254
(E) 255
Resolução
Basta utilizar a relação que que desenvolvemos.
𝑁 =
𝐴 + 108
3
𝑁 =
657 + 108
3 = 255 𝑝á𝑔𝑖𝑛𝑎𝑠
Gabarito: E
1.2.3. REGRAS DOS SINAIS COM NÚMEROS INTEIROS
i) – (– a) = a
ii) a. (–b) = (–a).b = –(a.b) = –a.b
iii) (–a)( –b) = ab
As observações acima são conhecidas como “Regra dossinais” para a multiplicação (e divisão) de
inteiros.
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164
Sinais dos números Resultado
iguais positivo
diferentes negativo
Exemplos:
Vejamos como operar a adição e a subtração com números inteiros.
Se os números possuírem sinais iguais, devemos adicionar os números e repetir o sinal.
+2 + 3 = +5
−2 − 3 = −5
Se os números possuírem sinais opostos, devemos subtrair os números e repetir o sinal do maior.
+5 − 2 = +3
−5 + 2 = −3
1.3. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Até o presente momento, conseguimos definir 3 operações básicas: adição, multiplicação e
subtração. Com os números expostos não temos condições de definir a divisão. Isto porque com
números inteiros podemos dividir 8 por 2, mas não podemos dividir 2 por 8. Para resolver este
impasse, vamos definir o conjunto dos números racionais que é representado pela letra Q.
ℚ = 2𝑝𝑞 ~𝑝 ∈ ℤ 𝑒 𝑞 ∈ ℤ
∗M
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O número p é chamado numerador da fração e o número q é chamado denominador da fração.
O conjunto dos racionais é formado por todas as frações em que o numerador é inteiro e o
denominador é um inteiro não-nulo e também por todos os números que podem ser
representados desta forma. Todo número na forma de decimal finito ou de dízima periódica pode
ser convertido à forma de fração.
Todos os números naturais são números racionais (ℕ ⊂ ℚ), pois todos podem ser escritos na
forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1.
2 =
2
1
Todos os números naturais e todos os números inteiros são números racionais (ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ), pois
todos podem ser escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1.
−2 =
−2
1
Observe que o sinal – pode ser colocado em qualquer lugar da fração. Desta forma:
−2
1 =
2
−1 = −
2
1 = −2
Além dos números naturais e números inteiros, todos os números decimais finitos e as dízimas
periódicas também são números racionais.
Números decimais finitos são números como 1,47 ; 2, 513 ; −3,0154.
Para transformar números decimais finitos na forma de fração devemos seguir os seguintes passos:
i) Colocar no numerador todo o número sem a vírgula.
ii) Colocar no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais.
1,47 =
147
100
2,513 =
2.513
1.000
−3,0154 =
−30.154
10.000
Observação: O conjunto dos números racionais goza da propriedade da densidade. Isso significa
que entre dois números racionais quaisquer existem infinitos outros números racionais.
1.3.1. DÍZIMAS PERIÓDICAS
Finalmente as dízimas periódicas. O que são dízimas periódicas? São números decimais com
infinitas casas decimais periódicas.
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Em outra palavras, é preciso que exista certo conjunto de números que se repitam periodicamente
infinitas vezes. Vejamos alguns exemplos:
0,14141414141414141414141414141414141414141414….
Observe que o conjunto de dígitos 14 se repete infinitas vezes.
32,021𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔…
Observe que o conjunto de dígitos 546 se repete infinitas vezes.
Os Matemáticos adoram inventar abreviações, notações e símbolos.
A notação é a seguinte: utiliza-se uma barra em cima dos dígitos que se repetem, ou seja, do
período. Portanto,
32,021546546546546546… = 32,021546�����
Muito mais simples, não?
A pergunta que surge é a seguinte: se afirmamos que as dízimas periódicas são números racionais
e os números racionais são representados por frações, como transformamos as dízimas periódicas
em frações?
Existem diversos métodos para fazer esta transformação. Há livros que costumam separar as
dízimas periódicas em simples e compostas. Há livros que fazem esta transformação utilizando
sistemas de equações. Há outros que utilizam P.G. (progressão geométrica). Pela experiência que
temos, julgamos o método abaixo como o mais simples e eficiente por vários razões:
i) Qual a utilidade de separar as dízimas periódicas em simples e compostas?
ii) Você gosta armar sistemas de equações e resolvê-los? Um pouco trabalhoso para resolver uma
simples questão de dízima periódica, não?
iii) É realmente necessário aprender Progressão Geométrica para resolver uma simples questão de
dízima periódica?
Vejamos um exemplo: transformar em fração o número 3,12851851851…
O primeiro passo é colocar naquela notação da barra que falamos anteriormente.
3,12851851851… = 3,12851�����
Denominaremos “Número Completo” e abreviaremos por NC o número da dízima periódica sem a
vírgula e sem a barra. No nosso exemplo, 𝑁𝐶 = 312.851.
Denominaremos “Número fora da barra” e abreviaremos por NFB os números que estão fora da
barra (não coloque a vírgula). No nosso exemplo, 𝑁𝐹𝐵 = 312.
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Meio caminho já foi andado. O numerador da fração é o número 𝑁𝐶 − 𝑁𝐹𝐵.
Por enquanto, nossa fração está assim:
3,12851����� =
312.851 − 312
E como fica o denominador?
Você deve contar quantos algarismos estão embaixo da barra. No nosso caso, há 3 algarismos
embaixo da barra. A regra nos diz que devemos colocar no denominador tantos 9’s (noves)
quantos forem os algarismos embaixo da barra. Como são 3 algarismos embaixo da barra,
devemos colocar 3 noves no denominador.
3,12𝟖𝟓𝟏������ =
312.851 − 312
𝟗𝟗𝟗
Pronto? Ainda não.
Vamos olhar agora para os algarismos que estão “entre a vírgula e a barra”. Quantos são eles? Dois
algarismos.
A regra nos diz que devemos colocar tantos zeros quantos forem os algarismos entre a vírgula e a
barra.
3, 𝟏𝟐𝟖𝟓𝟏������ =
312.851 − 312
𝟗𝟗𝟗𝟎𝟎
Agora é só simplificar o numerador.
3,12851����� =
312.851 − 312
99.900 =
312.539
99.900
Exemplo: Calcule a fração geratriz do número 0,666666…
Vamos colocar na notação da barra.
0,666… = 0, 6�
𝑁𝐶 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 = 6
𝑁𝐹𝐵 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 0
Quantos algarismos há na barra? Apenas um. Portanto, colocamos apenas um 9 no denominador.
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum. Portanto, não colocamos zeros no
denominador.
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0,666… =
6 − 0
9 =
6
9 =
2
3
Exemplo: Transforme em fração o número 0,13434343434…
Vamos colocar na notação da barra.
0,1343434… = 0,134����
𝑁𝐶 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 = 134
𝑁𝐹𝐵 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 1
Quantos algarismos há na barra? Dois. Portanto, colocamos dois 9’s no denominador.
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Apenas um. Portanto, colocamos um zero no
denominador..
0,1343434… =
134 − 1
990 =
133
990
Exemplo: Transforme em fração o número 0,999…
Vamos colocar na notação da barra.
0,999… = 0, 9�
𝑁𝐶 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 = 9
𝑁𝐹𝐵 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 0
Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto,colocamos apenas um 9 no denominador.
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não colocamos zeros no
denominador.
0,999… =
9 − 0
9 =
9
9 = 1
Portanto, 0,999… = 1
Observe que 0,99999999999... não é aproximadamente 1. Este número é igual a 1.
A bem da verdade, 0,999… e 1 representam o mesmo número. Apenas estão escritos de maneiras
diferentes.
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A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um
número racional x. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível
m/n, então m + n é igual a:
A) 88
B) 89
C) 90
D) 91
E) 92
Resolução
Para transformar a expressão decimal 0,011363636... em uma fração o primeiro passo é
escrever na notação da barra.
0,011363636… = 0,01136����
𝑁𝐶 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 = 1.136
𝑁𝐹𝐵 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 11
Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no denominador.
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Três!! Portanto, colocamos três zeros no
denominador.
0,01136���� =
1.136 − 11
99.000 =
1.125
99.000
A questão pede que coloquemos a resposta na forma de fração irredutível. Fração irredutível
é aquela que não pode mais ser simplificada. Claramente podemos simplificar o numerador e
o denominador por 5.
1.125
99.000 =
225
19.800
Na realidade, podemos simplificar o numerador e o denominador por 5 várias vezes.
225
19.800 =
45
3.960 =
9
792
Agora podemos simplificar o numerador e o denominador por 9.
9
792 =
1
88
Agora não dá para simplificar mais. Temos, portanto, uma fração irredutível.
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0,011363636… =
1
88
A questão pede para efetuar 𝑚 + 𝑛 onde 𝑚 = 1 𝑒 𝑛 = 88.
𝑚 + 𝑛 = 1 + 88 = 89
Gabarito: B
1.3.2. DIVISÃO
Exemplo:
38 | ___9__
2 4
Ou seja, 38 dividido por 9 é igual a 4 e resto 2. Isto porque 9 ∙ 4 + 2 = 38.
Quando o resto de uma divisão é zero, dizemos que a divisão é exata.
É importante frisar que é impossível dividir por 0. Ou seja, o divisor nunca pode ser 0.
Assim, não há sentido na fração 5/0.
1.3.3. MULTIPLICAÇÃO ENVOLVENDO NÚMEROS DECIMAIS
Basta multiplicar os números como se não houvesse casas decimais. Depois você conta todas as
casas decimais e coloca a mesma quantidade na resposta.
Exemplo: 23,1 x 1,234
Primeiro, vamos multiplicar os números sem levar em consideração as casas decimais.
231 x 1.234 = 285.054
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
®
®
®
®
+×=
resto r
quociente q
divisor d
dividendo D
r q d D ou d | D
q r
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E as casas decimais? 23,1 tem UMA casa decimal; 1,234 tem TRÊS casas decimais. A resposta terá 1
+ 3 = 4 casas decimais. Portanto, 23,1 x 1,234 = 28,5054.
1.3.4. DIVISÃO ENVOLVENDO NÚMEROS DECIMAIS
O primeiro passo é igualar a quantidade de casas decimais do dividendo e do divisor. Depois é só
apagar as vírgulas.
Exemplo: 80,4 / 0,00025
O número 80,4 tem apenas uma casa decimal.
O número 0,00025 tem cinco casas decimais.
O que fazer?
Vamos acrescentar zeros no número que tem menos casas decimais até que os dois números
possuam a mesma quantidade de casas decimais.
No caso, para que 80,4 também tenha cinco casas decimais, devemos acrescentar 4 zeros.
80,4 = 80,40000
A nossa divisão fica assim: 80,4 / 0,00025 = 80,40000 / 0,00025
Agora é só apagar as vírgulas.
8.040.000 / 25 = 321.600
Outra dica importante: nem sempre você precisa efetuar a conta completamente…
Vejamos um exemplo.
Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas mensalmente em uma conta durante doze
meses com o objetivo de atingir o montante de R$ 100.000,00 ao fim deste prazo. Quanto deve ser
aplicado ao fim de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao mês?
a) R$ 7.455,96
b) R$ 7.600,00
c) R$ 7.982,12
d) R$ 8.270,45
e) R$ 9.000,00
Não vamos entrar nos méritos da Matemática Financeira aqui. Ao resolver esta questão, nos
deparamos com a seguinte divisão no final dos cálculos:
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100.000 / 13,412090
Observe que as alternativas são bem diferentes!
Vamos truncar as casas decimais. Farei a seguinte divisão:
100.000/ 13,4
Como 13,4 tem uma casa decimal, então acrescentaremos uma casa decimal em 100.000 e depois
apagamos as vírgulas.
100.000,0 / 13,4 = 1.000.000 / 134
Vamos efetuar a divisão. Como 7 x 134 = 938, então o primeiro algarismo do quociente é 7. O
resto, por enquanto, é igual a 1.000 – 938 = 62.
Já podemos descartar as alternativas D e E.
1.000’.000 / 134 .
62 7
Agora baixamos um zero.
1.000’.0’00 / 134 .
620 7
620 dividido por 134 dá 4 e algum resto.
1.000’.0’00 / 134 .
620 74
Olhe para as alternativas e adivinhe a resposta
a) R$ 7.455,96
b) R$ 7.600,00
c) R$ 7.982,12
d) R$ 8.270,45
e) R$ 9.000,00
Letra A. Isto mesmo! Está vendo como foi fácil?
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Considere 𝑎 = 0,00003 e 𝑏 = 3.600.000. Desse modo, b/a vale
a) cento e vinte trilhões.
b) cento e vinte bilhões.
c) um bilhão e duzentos milhões.
d) cento e vinte milhões.
e) um milhão, cento e vinte mil.
Resolução
Para efetuar a divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e em seguida “apagar
as vírgulas”.
𝑏
𝑎 =
3.600.000,00000
0,00003 =
360.000.000.000
3 = 120.000.000.000
Gabarito: B
1.3.5. SUBCONJUNTOS NOTÁVEIS DOS RACIONAIS
Analogamente ao conjunto dos números inteiros, há certos subconjuntos do conjunto dos
números racionais que merecem destaque. Ei-los:
(1) Conjunto ℚ∗ dos racionais não nulos (diferentes de zero):
ℚ∗ = {𝑥 ∈ ℚ|𝑥 ≠ 0}
(2) Conjunto ℚo dos racionais não positivos (menores ou iguais a zero):
ℚo = {𝑥 ∈ ℚ|𝑥 ≤ 0}
(3) Conjunto ℚq dos racionais não negativos (maiores ou iguais a zero):
ℚq = {𝑥 ∈ ℚ|𝑥 ≥ 0}
(4) Conjunto ℚo∗ dos racionais negativos (menores que zero):
ℚo∗ = {𝑥 ∈ ℚ|𝑥 < 0}
(5) Conjunto ℚq∗ dos racionais positivos (maiores que zero):
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ℚq∗ = {𝑥 ∈ ℚ|𝑥 > 0}
1.3.6. SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
Para simplificar uma fração, devemos dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número.
Por exemplo, a fração 6/8 pode ser simplificada por 2.
6:2 = 3 e 8:2 = 4. Portanto, 6/8 = 3/4.
Às vezes, não conseguimos pensar em bons números para simplificar de uma vez só. Por exemplo,
vamos simplificar 48/60.
Se você consegue perceber que 48 e 60 são divisíveis por 12, ótimo!
48:12 = 4 e 60:12 =5. Portanto,48/60 = 4/5.
Caso você não perceba, vá simplificando aos poucos:
48
60 =
24
30 =
12
15 =
4
5
No caso, simplifiquei por 2, por 2 e depois por 3.
O ideal é simplificar pelo MDC. Veja o próximo exemplo.
Exemplo: Simplifique a fração 851/1.147.
Para simplificar esta fração, devemos pensar em um número que divida 851 e 1.147. Para ter
menos trabalho e simplificar a fração de uma só vez, devemos calcular o MDC.
A grade do algoritmo de Euclides ficará assim:
1 2 1 7
1.147 851 296 259 37
296 259 37 0
Portanto, MDC(1.147,851) = 37.
A fração 851/1.147 deve ser simplificada por 37.
851 dividido por 37 é igual a 23.
1.147 dividido por 37 é igual a 31.
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Resposta
𝟖𝟓𝟏
𝟏. 𝟏𝟒𝟕 =
𝟐𝟑
𝟑𝟏
1.3.7. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES
Para somar (ou subtrair) duas ou mais frações de mesmo denominador, devemos repetir os
denominadores e operar com os numeradores.
Exemplos:
4
5 +
3
5 −
1
5 =
4 + 3 − 1
5 =
6
5
2
7 −
6
7 +
5
7 =
2 − 6 + 5
7 =
1
7
1
9 +
4
9 −
8
9 =
1 + 4 − 8
9 =
−3
9 =
−1
3
Observe que a fração do último exemplo foi simplificada. É importante notar que o resultado do
último exemplo pode ser escrito de três maneiras.
−1
3 = −
1
3 =
1
−3
Sendo as duas primeiras formas as mais comuns. Em outras palavras: em uma fração negativa, o
sinal de “menos” pode ser colocado no numerador, no denominador, ou à esquerda da fração.
Se os denominadores forem diferentes, vamos seguir os seguintes passos:
i) Calcular o MMC dos denominadores. Substituiremos todos os denominadores por este
MMC.
ii) Dividiremos o MMC por cada denominador e multiplicaremos o resultado pelo
numerador. O resultado desta multiplicação será o novo numerador de cada fração.
Exemplo:
5
6 −
2
9 +
7
12
O primeiro passo é calcular o MMC entre 6,9 e 12.
6,9,12 2
3,9, 6 2
3,9, 3 3
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1,3, 1 3
1,1, 1
Desta maneira, MMC(6,9,12) = 2x2x3x3 = 36.
Vamos substituir todos os denominadores por 36.
5
6 −
2
9 +
7
12 = 36 − 36 + 36
Também é correto escrever uma única fração com denominador 36.
5
6 −
2
9 +
7
12 =
36
Em cada fração, vamos dividir o MMC, que é 36, pelo denominador e multiplicar o resultado pelo
numerador.
Primeira fração: dividimos 36 por 6 e multiplicamos o resultado por 5. 36/6 = 6 e 6x5 = 30. Este
será o novo denominador da primeira fração.
Segunda fração: dividimos 36 por 9 e multiplicamos o resultado por 2. 36/9 = 4 e 4x2 = 8. Este será
o novo numerador da segunda fração.
Terceira fração: dividimos 36 por 12 e multiplicamos o resultado por 7. 36/12 = 3 e 3x7 = 21. Este
será o novo numerador da terceira fração.
5
6 −
2
9 +
7
12 =
30
36 −
8
36 +
21
36
Agora estamos no caso anterior: adição e subtração de frações com mesmo denominador.
Repetiremos os denominadores e operaremos com os numeradores.
5
6 −
2
9 +
7
12 =
30
36 −
8
36 +
21
36 =
30 − 8 + 21
36 =
43
36
Exemplo:
3
8 +
5
12 −
7
16
Primeiro passo: calcular MMC(8,12,16).
8,12,16 2
4, 6, 8 2
2, 3, 4 2
1, 3, 2 2
1, 3, 1 3
1,1, 1
Portanto, MMC(8,12,16) = 2x2x2x2x3 = 48.
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Este será o novo denominador. Vamos agora dividir 48 por cada denominador e multiplicar o
resultado pelos respectivos numeradores.
3
8 +
5
12 −
7
16 =
18
48 +
20
48 −
21
48 =
17
48
1.3.8. MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
Para multiplicar frações, não precisamos ter denominadores iguais. Basta multiplicar os
numeradores e multiplicar os denominadores.
2
3 ×
4
7 =
8
21
Se a multiplicação for entre um número inteiro e uma fração, o número inteiro multiplicará o
numerador da fração.
2 ×
5
7 =
10
7
Isso porque 2 = 2/1.
Sempre que for possível, simplifique as frações antes de multiplicar. Desta forma, você terá bem
menos trabalho. O detalhe é que qualquer numerador pode ser simplificado com qualquer
denominador, se possível.
9
14 ∙
21
6 ∙
5
8
Observe que 14 e 21 podem ser simplificador por 7. Ademais, 9 e 6 podem ser simplificados por 3.
9
14 ∙
21
6 ∙
5
8 =
3
2 ∙
3
2 ∙
5
8 =
45
32
(FCC 2016/TRF 3ª Região/Analista)
Seja A o quociente da divisão de 8 por 3. Seja B o quociente da divisão de 15 por 7. Seja C o
quociente da divisão de 14 por 22. O produto A . B . C é igual a
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164
(A) 3,072072072 ...
(B) 3,636363 ...
(C) 3,121212 ...
(D) 3,252525 ...
(E) 3,111...
Resolução
A = 8/3
B = 15/7
C = 14/22
Queremos o produto ABC.
8
3 ⋅
15
7 ⋅
14
22
Vamos simplificar. 15/3 = 5, 14/7 = 2 e podemos simplificar 8 e 22 por 2.
4
1 ⋅
5
1 ⋅
2
11 =
40
11
Agora é só dividir 40 por 11.
40/11 = 3,636363636363...
Gabarito: B
1.3.9. DIVISÃO DE FRAÇÕES
Para dividir frações, devemos repetir a primeira fração e multiplicar pelo recíproco (fração
invertida) da segunda.
Exemplo:
2
3 ÷
5
9 =
2
3 ×
9
5
Observe que agora podemos simplificar 9 e 3 por 3.
2
3 ÷
5
9 =
2
3 ×
9
5 =
2
1 ×
3
5 =
6
5
Exemplo:
8 ÷
3
16 = 8 ×
16
3 =
128
3
Exemplo:
16
3 ÷ 8 =
16
3 ×
1
8
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Observe que 16 e 8 podem ser simplificados por 8.
16
3 ÷ 8 =
16
3 ×
1
8 =
2
3 ×
1
1 =
2
3
1.4. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS
Não há unanimidade quanto ao símbolo para representar o conjunto dos irracionais.
Existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é periódica. Tais
números não são racionais e são denominados irracionais. Alguns exemplos famosos:
√2 = 1,4142135…
𝜋 = 3,1415926535…
𝑒 = 2,718281…
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟𝑛𝑜𝑤𝑛𝑒 = 0,12345678910111213141516…
A constante de Champernowne é a concatenação dos números naturais nas casas decimais.
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑝𝑒𝑟𝑙𝑎𝑛𝑑 − 𝐸𝑟𝑑ö𝑠 = 0,235711131719…
A constante de Coperland-Erdös é a concatenação dos números primos nas casas decimais.
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 − 𝑀𝑎𝑠𝑐ℎ𝑒𝑟𝑜𝑛𝑖 = 𝛾 = 0,5772156649…
Tais números não podem ser expressos como uma fração com numerador e denominador inteiros.
De uma maneira geral, a raiz quadrada de um número natural que não é quadrado perfeito é um
número irracional. Vamos agora aprender um método para aproximar raízes quadradas de tais
números.
1.4.1. APROXIMAÇÃO DE RAIZ QUADRADA
Certamente em algum momento da sua vida você deve ter se deparado com o cálculo de alguma
raiz quadrada. Seja em equações do segundo grau, seja para calcular o desvio-padrão em
Estatística ou em outros inúmeros casos.
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O método que julgamosmais simples e eficaz para a obtenção de uma boa aproximação no cálculo
de raízes quadradas chama-se Método de Newton-Raphson. O método de complicado só tem o
nome.
Isaac Newton não precisa de apresentações. Para ilustrar um pouco da sua importância na história
da ciência, suas realizações foram expressas poeticamente por Alexandre Pope nos versos
A Natureza e as Leis da Natureza jaziam ocultas na noite;
Deus disse, “Faça-se Newton”; e a luz se fez.
Em 1690, Joseph Raphson, um membro da Royal Society de Londres, publicou um opúsculo,
Analysis aequationum universalis, que, essencialmente, descreve o método de Newton. Por essa
razão. Esse método é hoje muitas vezes conhecido como Método de Newton-Raphson.
Na realidade, o que vamos ensinar neste tópico é apenas um caso particular do método.
Ensinaremos como calcular uma BOA APROXIMAÇÃO de raízes quadradas.
Em geral, a raiz quadrada será “transformada” em uma fração. Para começar o método, você deve
procurar o quadrado perfeito mais próximo do número em questão.
Por exemplo, se estamos querendo calcular a raiz quadrada de 87, então o quadrado perfeito mais
próximo é 81 (92).
O método é descrito da seguinte maneira:
√𝑎 ≈
𝑎 + 𝑥X
2𝑥
Em que x2 é o quadrado perfeito mais próximo de a.
Vamos interpretar cada termo dessa fração. O numerador é formado por uma soma de dois
números: o próprio número e o quadrado perfeito mais próximo. Já no denominador, você vai
multiplicar a raiz quadrada do quadrado perfeito por 2.
Por exemplo, se o quadrado perfeito mais próximo for 81 (9x9), então 81 que é o quadrado
perfeito vai para o numerador e 9 vai para o denominador.
Por exemplo, vamos calcular um valor aproximado para a raiz quadrada de 67.
Qual o quadrado perfeito mais próximo de 67? Lembre-se que 8x8=64; o quadrado perfeito mais
próximo de 67 é 64.
Some esses dois números e coloque no numerador.
A raiz quadrada de 64 é 8.
Multiplique esse número por 2 e coloque no denominador. A aproximação ficará assim:
√67 ≈
67 + 64
2 ∙ 8 ≈ 8,18
Na calculadora encontramos 8,1853...
Obtivemos uma excelente aproximação.
Vejamos outro exemplo: Calcule um valor aproximado para a raiz de 129,4.
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Qual o quadrado perfeito mais próximo de 129,4? A resposta é 121 (11x11). Portanto, somamos
129,4 com 121 e colocamos no numerador. Depois multiplicamos 11 por 2 e colocamos no
denominador.
�129,4 ≈
129,4 + 121
2 ∙ 11 ≈ 11,38
Enquanto que o valor encontrado na calculadora é 11,375.
1.5. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Chama-se conjunto dos números reais - ℝ - aquele formado por todos os números com
representação decimal (finita, ou infinita periódica ou infinita não periódica).
Podemos dizer que o conjunto dos números reais é a reunião do conjunto dos números racionais
com o conjunto dos números irracionais.
Assim, adotando o conjunto dos números reais como universo, o conjunto dos números irracionais
é o complementar do conjunto dos números racionais em relação ao conjunto dos números reais.
ℚ ∪ ℚ ���� = ℝ
ℚ ∩ ℚ ���� = ∅
Onde ℚ ���� é o conjunto dos números irracionais.
1.5.1. RETA REAL
Os números reais podem ser representados por pontos em uma reta orientada
denominada Reta Real.
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1.5.2. INTERVALOS REAIS
Vamos considerar a e b números reais tais que 𝑎 ≤ 𝑏. Os seguintes subconjuntos definidos a seguir
são chamados intervalos reais.
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Quando a = b, o intervalor fechado [a,b] reduz-se a um único elemento e chama-se intervalo
degenerado. Neste caso, os intervalos (a,b], [a,b) e (a,b) são conjuntos vazios.
Observações:
- É comum escrever ℝ = (−∞,+∞).
- Os símbolos +∞ e −∞ não representam números reais. São apenas parte da notação de
intervalos ilimitados.
- A bola fechada indica que o número na extremidade pertence ao intervalo. A bola aberta indica
que o número na extremidade não pertence ao intervalo.
Considere os conjuntos:
N, dos números naturais.
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Z, dos números inteiros.
Q, dos números racionais.
R, dos números reais.
Assinale a alternativa correta.
(A) a, b ∈ N temos a − b ∈ N.
(B) Existe um elemento em Z que é menor que qualquer número inteiro.
(C) N ⊂Z ⊂ Q ⊂ R.
(D) a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠0 ⇒ a/b ∈ Z.
(E) A equação 3x −1 = 0 não tem solução em Q.
Resolução
a) Falsa. A subtração não é uma operação nos Naturais, isto porque nem sempre a – b ∈ N. A
subtração só é definida quando o minuendo (a) for maior ou igual ao subtraendo (b). Por
exemplo, 3 – 5 = -2 e −2 ∉ N.
b) Falsa. O conjunto Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} não possui um menor elemento nem um
maior elemento.
c) Verdadeiro. Todo número natural é um número inteiro, todo número inteiro é um número
racional e todo número racional é um número real.
d) Falsa. Se a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠0, nem sempre a/b ∈ Z. Por exemplo, 8 ∈ Z, 5∈ Z e 8/5 = 1,6 ∉ 𝑍.
e) Vamos resolver a equação 3x −1 = 0.
3𝑥 = 1
𝑥 =
1
3 ∈ 𝑄
Portanto, a alternativa E é falsa.
Gabarito: C
Considere os conjuntos:
N dos números naturais,
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Q dos números racionais,
Q+ números racionais não-negativos,
R dos números reais.
O número que expressa
a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não de N.
b) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+.
c) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de N.
d) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+.
e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q.
Resolução
a) Falso, pois a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de N.
b) Verdadeiro, pois o valor pago por um sorvete é um racional não-negativo. Por exemplo,
2,37 reais.
c) Falso, pois a medida da altura de uma pessoa não necessariamente é um elemento de N,
pode ser um racional não-natural. Por exemplo, 1,72m.
d) Falsa, pois, teoricamente, a velocidade média de um veículo pode ser um número
irracional.
e) Falsa, pois a medida do lado de um triângulo pode ser irracional.
Gabarito: B
1.5.3. POTENCIAÇÃO
A multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na forma de potência. Observe:
4� = 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 1.024
Na potência 4� → 4 é a base (fator que se repete) e 5 é o expoente (número de vezes que o fator
se repete).
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Sendo 𝑎 um número real e 𝑛 um número inteiro maior que 1, define-se:
𝑎� = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎 (𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠)
Exemplos:
5W = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125
(−8)X = (−8)
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