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03/04/2020
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MMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA EEEEMPRESARIALMPRESARIALMPRESARIALMPRESARIAL
GST2059 – 2020.1
Prof. Marcelo Pereira
MATEMÁTICA EMPRESARIAL
FRAÇÕES, POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
MATEMÁTICA EMPRESARIAL – GST2059 - Graduação – 1º Semestre de 2020
INTERVALOS NUMÉRICOS
Intervalos Numéricos
Números Reais (R)
• Pode-se representar o conjunto dos números reais 
associando cada número x ∈∈∈∈ R a um ponto de uma reta r.
N
Z
Q
R
I∞ ∞
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Representação de Intervalos
Intervalos Fechados
• Intervalo fechado pelos números reais a e b: 
• [ a, b ]
• { x ∈ R | a ≤ x ≤ b }
• Estão definidos todos os números reais que são maiores 
ou iguais que a e menores ou iguais que b.
Representação de Intervalos
Intervalos Abertos
• Intervalo aberto pelos números reais a e b: 
• ] a, b [
• { x ∈ R | a < x < b }
• Estão definidos todos os números reais que são maiores 
que a e menores que b.
Intervalo Misto
• Intervalo semiaberto à esquerda (ou semifechado à direita) 
definido pelos números reais a e b:
• ] a, b ]
• { x ∈ R | a < x ≤ b }
• Estão definidos todos os números reais que são maiores que a e 
menores ou iguais a b.
Representação de Intervalos
Intervalo Misto
• Intervalo semiaberto à direita (ou semifechado à 
esquerda) definido pelos números reais a e b:
• [ a, b [
• { x ∈ R | a ≤ x < b }
• Estão definidos todos os números reais que são maiores 
ou iguais a a e menores que b.
Representação de IntervalosRepresentação de IntervalosRepresentação de IntervalosRepresentação de Intervalos
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Intervalo envolvendo o infinito
• Intervalo fechado à esquerda, definido pelo número real 
a:
• [ a, ∞ [
• { x ∈ R | x ≥ a }
• Estão definidos todos os números reais que são maiores 
ou iguais a a.
Representação de IntervalosRepresentação de IntervalosRepresentação de IntervalosRepresentação de Intervalos
∞ ∞
Representação de IntervalosRepresentação de IntervalosRepresentação de IntervalosRepresentação de Intervalos
Intervalo envolvendo o infinito
• Intervalo fechado à direita, definido pelo número real b:
• ]∞ , a ]
• { x ∈ R | x ≤ b }
• Estão definidos todos os números reais que são menores ou 
iguais a b.
Resumo:Representação de IntervalosRepresentação de IntervalosRepresentação de IntervalosRepresentação de Intervalos
• Represente os seguintes subconjuntos de R na reta numérica:
a) A = {x∈R | x>–3/2}
 
a) B = {x∈R | 2<x<5} 
Exemplos de Intervalos Numéricos
A = ] -3/2, ∞ [
B = ] 2, 5 [
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-3 -2 -1 0 1 2 3
A
B
A ꓴ B
A ꓵ B
Exercício de Intervalos Numéricos
Considere os conjuntos de números reais A={x∈R|0<x<2} e 
B={x∈R|−3<x<1}.
Usando a reta dos R, determine os conjuntos: AUB e A∩B.
A ꓴ B = ] -3, 2 [
A ꓵ B = ] 0, 1 [
-3 -2 -1 0 1 2 3
A
B
C
A ꓴ B ꓴ B
A ꓵ B ꓵ B
Exercício de Intervalos Numéricos
Considere os conjuntos A={x∈R|-1<x≤3}, B={x∈R|−3≤x<1} e C={x∈R|−2≤x<0} . 
Usando a reta dos R, deter≤≥mine os conjuntos: AUBUC e A∩B∩C.
A ꓴ B = [ -3, 3 ]
A ꓵ B = ] -1, 0 [
MATEMÁTICA EMPRESARIAL
Proporcionalidade
Regra de Três Simples e Composta
Quociente do primeiro pelo segundo.
Numerador: antecedente.
Denominador: consequente
Razão de Dois Números
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Quociente dos números que medem essa grandezas em
uma mesma unidade.
Exemplo: razão entre a construção de uma área 100m2 e
toda a área 400m2.
Razão de duas grandezas
Observação: A razão de duas grandezas é um número fixo, independe das unidades 
com as quais essas grandezas foram mensuradas. 
Proporção
Sentença matemática que indica a igualdade entre duas razões.
Os termos a e d são ditos extremos, enquanto que os termos d e c
são ditos meios.
Propriedade Fundamental das Proporções:
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Média Aritmética: soma dos números dividido pela 
quantidade de números.
Média aritmética ponderada: soma dos produtos de 
cada número pelo seu peso, dividido pela soma dos 
pesos. 
Médias
Variam na mesma razão.
Quando uma delas aumenta, a outra aumenta na 
mesma razão. 
Grandezas Diretamente Proporcionais
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Variam segundo razões inversas.
Quando aumentamos uma delas, a outra diminui na 
mesma razão. 
Grandezas Inversamente Proporcionais
Resolução de problemas que envolvem duas grandezas 
proporcionais.
Regra de Três Simples 
Direta
Envolve duas grandezas diretamente 
proporcionais.
Regra de Três Simples 
Inversa
Envolve duas grandezas inversamente 
proporcionais.
Regra de Três Simples
Ao resolver os problemas observamos se as grandezas 
são diretamente ou inversamente proporcionais.
Se a grandeza for diretamente proporcional, mantemos 
a proporção;
Se a grandeza for inversamente proporcional, 
invertemos a proporção. 
Um atleta percorre um trecho de 20km em 2h, mantendo o mesmo ritmo, 
em quanto tempo ele percorrerá 30km?
Problema do Atleta
Percurso (km) Tempo (h)
20 2
30 x
Grandezas diretamente proporcionais
Portanto, o atleta percorrerá 30 km em 3horas
20 x = 60 X = 3
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Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias.
Em quanto tempo, dois trabalhadores constroem uma casa?
Problema da Casa
Nº de trabalhadores Tempo (dias)
4 8
2 x
Se 4 trabalhadores constroem uma casa em 8 dias, 2 trabalhadores demorarão mais tempo para construir
2 x = 32 X = 16
Portanto, os trabalhadores construirão a casa em 16 dias
Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas 
idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio ?
Problema do Túnel
Nº de maquinas Tempo (dias)
6 2
x 1,5
Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha.
Quantos quilogramas de trigo são necessários para 
fabricar 28 kg de farinha?
Problema da Farinha
Trigo Farinha
10 7
x 28
Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz 
um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse 
mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Velocidade (km/h) Tempo (h)
400 3
480 x
Problema do Trem
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Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas 
caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ?
Caixas Bombons
32 160
x 385
Problema dos Bombons
Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra 
em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que 
prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Num. Horas por Dia Dias
8 20
5 x
Problema da Obra
Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga.
Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ?
Problema da Manteiga
Litros de Leite Kg de manteiga
6 1,5
x 9
Sabe-se que 5 operários fazem uma obra em 30 dias. Em 
quantos dias 15 operários farão a mesma obra?
Problema dos Operários
Operários Dias
5 30
15 x
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Paguei R$ 6,00 por 1,250 kg de uma substância. Quanto pagaria 
por 0,750 kg dessa mesma substância ?
Problema do Preço da Substância
Preço Kg
6,00 1,250
X 0,750
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Quando mais de duas variáveis são consideradas 
simultaneamente.
As variáveis se relacionam sendo diretamente ou 
inversamente proporcionais.
Problema dos Caminhões
Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos 
caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
inversa direta
Problema da Fabrica de Brinquedos
Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 
dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Homens Carrinhos Dias
8 20 5
4 x 16
direta direta
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Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. 
Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o 
tempo necessário para completar esse muro?
Problema o Muro
Pedreiros Dias Altura
2 9 2
3 x 4
inversa direta
Seis torneiras despejam 10.000 litros de água em uma
caixa em 10 horas.
Em quanto tempo 12 torneiras despejarão 12.000 litros de água?
Problema das Torneiras
Torneiras Tempo (h) Litros de Água
6 10 10.000
12 x 12.000
inversa direta
Usandoum ferro elétrico 1 hora por dia, durante 20 dias, o consumo de 
energia será de 10 kw/h. 
Se o mesmo ferro elétrico for usado 110 minutos por dia durante 30 dias, 
qual será o consumo?
Problema do Ferro Elétrico
Horas por Dia (min) Consumo (kw/h) Num. Dias
60 10 20
110 x 30
direta direta MATEMÁTICA EMPRESARIAL
PORCENTAGEM
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PORCENTAGEM
É uma relação de proporcionalidade.
Sempre haverá uma razão entre os valores tratados
Uma loja lança uma promoção de 10% no preço de um 
certo produto.
Se este produto custava R$120,00, qual foi o preço 
promocional?
Problema da Promoção
Uma loja lança uma promoção de 10% no preço de um certo produto. Se este produto custava R$120,00, qual 
foi o preço promocional?
Problema da Promoção
Tendo obtido um desconto de 5% sobre o preço de venda de um objeto, 
paguei por ele R$1.900,00.
Qual era o preço de venda deste objeto? 
Problema do Desconto
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Tendo obtido um desconto de 5% sobre o preço de venda de um objeto, paguei por ele R$1.900,00.
Qual era o preço de venda deste objeto?
Problema do Desconto
O preço de um quilo de arroz em um supermercado, na segunda feira de 
determinada semana, era de R$7,50.
Uma senhora vai a este supermercado, na quarta feira, e descobre que o arroz 
está custando então R$8,15.
Qual a porcentagem deste aumento?
Problema do Quilo de Arroz
O preço de um quilo de arroz em um supermercado, na segunda feira de 
determinada semana, era de R$7,50. Uma senhora vai a este supermercado, na 
quarta feira, e descobre que o arroz está custando então R$8,15. Qual a 
porcentagem deste aumento?
Problema do Quilo de Arroz
Uma mercadoria custava R$24,00, sofrendo um aumento e passando a 
custar R$28,80.
Qual foi a taxa deste aumento?
Problema do Aumento
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Uma mercadoria custava R$24,00, sofrendo um aumento e passando a custar 
R$28,80. Qual foi a taxa deste aumento?
Problema do Aumento
José ganhava R$1.400,00 e teve um aumento de 25%.
De quanto foi esse aumento?
Qual o novo salário de José? 
Problema do Aumento de Salário
José ganhava R$1.400,00 e teve um aumento de 25%. De quanto foi esse 
aumento? Qual o novo salário de José? 
Problema do Aumento de Salário Porcentagem
1-Na compra de um sapato no valor de $ 40,00, obtive um desconto de 5%. Quanto 
economizei?
2-Certa mercadoria foi vendida por um comer-ciante por $ 3.000,00 obtendo assim um 
lucro de 25% sobre o preço de custo. Calcular o custo da mercadoria para o comerciante.
3-Um produto é vendido com um lucro bruto de 20%. Sobre o preço total da nota, 10% 
correspondem a despesas. O lucro líquido do comerciante é de:
a) 5% b) 8% c) 11% d) 2% e) 12%
4-Um terreno foi vendido por $ 16 500,00 com lucro de 10%; em seguida, foi revendido por 
$ 20 700,00. O lucro total das duas transações representa, sobre o custo inicial do terreno, 
um percentual de
a) 38,00 % b) 40,00% c) 28,00% d) 51,80% e) 25,45%
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Porcentagem
5-Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preço da mercadoria. Sa-bendo-
se que o preço da venda, sem desconto, é superior em 20% ao do custo, pode-se afirmar 
que houve, por parte do comerciante, um:
a)lucro de 5% b) prejuízo de 4% c) lucro de 4% d) prejuízo de 2% e) lucro de 2%
6-Mário teve um reajuste salarial de 41%, pas-sando a ganhar R$ 8.460,00. O seu salário 
antes do reajuste era de:
a) R$4 991 b) R$5 000 c) R$5 890 d) R$6 834 e) R$6 000
7-No cálculo do imposto de renda, uma empre-sa deve pagar de imposto 25% sobre o seu 
lucro bruto. Sabendo que o seu lucro bruto foi de 40% sobre o seu faturamento, o 
percentual do faturamento correspondente ao lucro líquido (descontado o imposto será 
de):
a) 10% b) 15% c) 20% d) 30% e) 50%
Porcentagem
8-Num grupo de 400 pessoas, 70% são de sexo masculino. Se, nesse grupo, 10% dos 
homens são casados e 20% das mulheres são casadas, o número de pessoas casadas é igual 
a:
a) 68 b) 52 c) 120 d) 100 e) 96
9-A empresa "Vestebem" comprou o produto A pagando 10% de imposto sobre o preço de 
aquisição e 30% de despesa com transporte sobre o preço da mercadoria com imposto. 
Sabendo-se que na venda de A obteve um lucro de $ 143,00, correspondente a 20% sobre o 
preço de aquisição mais despesas (imposto e transporte), o preço de aquisição da 
mercadoria com imposto foi de (em $):
a) 550 b) 500 c) 480 d) 259 e) 489
10-A soma de dois números X e Y é 28 e a razão entre eles é 75%. O maior desses números 
é:
a) 12 b) 15 c) 19 d) 14 e) 16
Porcentagem
Respostas: 
1.$ 2,00
2.$ 2.400,00
3.B
4.A
5.B
6.E
7.D
8.B
9.A
10.E
O produtor rural, Zé das Couves, vende o molho de couve por $0,30 ao atravessador que transporta a 
mercadoria do campo para o centro urbano e acrescenta 90% sobre o preço que vende ao comerciante 
atacadista do CEASA que, por sua vez, adiciona 50% sobre o preço pago ao vender para o feirante que ao 
vender para o consumidor final, remarca o molho de couve em 30%.
Responda:
a. Quanto o consumidor pagará por este molho de couve?
b. Qual o aumento percentual entre o Zé das Couves e o consumidor final?
c. Qual o percentual que deveríamos aplicar sobre o preço da CEASA para que o molho de couve seja 
vendido ao consumidor por $1,10?
d. Qual a remarcação (markup) do atravessador sobre o preço do Zé das Couves?
e. Qual a margem de lucro do atravessador sobre o preço do Zé das Couves?
f. Quanto (em $) o consumidor final paga de impostos sobre o preço de venda, sabendo-se que são 18% 
de ICMS, 0,65% de PIS e 3% de COFINS?
g. Como consumidor final, além de comprar um molho de couve na feira, também comprei mais $2,00 em 
alface, $5,00 em brócolis e $2,00 em rúcula. Qual a participação percentual do molho de couve no total 
dessas minhas compras na feira?
Porcentagem
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FIM DO ARQUIVO
ATÉ A PRÓXIMA AULA !