MATEMÁTICA FINANCEIRA I

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ESCOLA ESTADUAL DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL JOÃO XXIII
TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO
TÉCNICO EM CONTABILIDADE
MATEMÁTICA FINANCEIRA I
PROF. SERGIO OLIVEIRA
RAZÃO E PROPORÇÃO
· Razão: 
Sendo a e b dois números racionais, com b ǂ 0, denomina-se razão entre a e b o quociente a/b ou a:b.
· Proporção:
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
Quatro números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando:
a : b = c : d ou a/b = c/d
Propriedade fundamental das proporções:
Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios e vice-versa.
a = c ↔ a . d = b . c → produto dos meios
b d ↓
 produto dos extremos 
Exemplos: 
Calcule o valor de x nas proporções:
1º) 6 = 5 2º) 1/3 = x 3º) x + 1 = 12
 24 x 3/4 2/5 x + 3 18
 x = 20 x = 8/45 x = 3 
4º) Em uma maquete a altura de um edifício é de 80 cm. Qual a altura real do prédio, considerando-se que a maquete foi construída na escala 1:40.
 1/40 = 80/x → x = 3200cm ou 32m
EXERCÍCIOS:
1) Calcule o valor de x nas proporções:
a) 2 = 14 f) 1/5 = x
 x 21 3/7 2/3 
b) 2x = 15 g) 1 = x - 1
 3 2 3 x + 1
c) 2/3 = 1/3 h) x + 5 = 27
 1/2 x 2x – 3 15
d) 1/2 = 3/4 i) x + 2 = 14
 x 1/3 x - 3 4
 
e) x = 1/6 j) 15 = 2x + 1
 3/5 3/2 19 3x – 2 
Resp.: a) 3 b) 45/4 c)1/4 d) 2/9 e) 1/15 f) 14/45 g) 2 h) 4 i) 5 j) 7
2) Resolva os problemas abaixo:
a) Numa escala de 1:25, qual o comprimento real, em metros, correspondente ao comprimento de 12 cm. Resp.: 3 cm
b) A razão entre a altura de um prédio e a sua sombra em determinada hora do dia é de 5 para 3. Se a sombra mede 7,2m, qual é a altura do prédio? Resp.: 12m
c) A razão entre o comprimento de uma piscina e a sua largura é de 4 para 3. Qual é a largura de uma piscina que tem 6,8 m de comprimento? Resp.: 5,1m
d) Em uma empresa, para cada 4 funcionárias do sexo feminino, trabalham 5 funcionários do sexo masculino. Se há na empresa 580 homens, qual o número total de funcionários? Resp.: 1044 funcionários 
e) A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos anos tem Pedro e Paulo, sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos? Resp.: Pedro: 25 e Paulo: 30
f) Uma empresa possui atualmente 2.100 funcionários. Se a relação entre o número de efetivos e contratados é de 5 por 2, quantos são os efetivos? Resp.: 1.500
g) Dois capitais estão entre si na razão de 8 para 3 e o maior deles excede o menor em R$ 25.000,00, então a soma desses capitais é de? Resp.: R$55.000,00
h) Dois números somados totalizam 510. Sabe-se que um deles está para 8, assim como o outro está para 9. Quais são os dois números? Resp.: 240 e 270
 
i)  Um número a somado a um número b totaliza 216. O número a está para 12, assim como b está para 15. Qual o valor de a e de b? Resp.: 96 e 120
j)  Um número a subtraído de um número b resulta em 54. O número a está para 13, assim como b está para 7. Qual o valor de a e de b? Resp.: 117 e 63
k)  A diferença entre dois números é igual a 52. O maior deles está para 23, assim como o menor está para 19. Quais são os números? Resp.: 299 e 247
 
l) O peso de uma sacola em kg está para o peso de uma outra sacola também em kg, assim como 32 está para 28. Quanto pesa cada uma das sacolas, sabendo-se que juntas elas pesam 15kg? Resp.: 8kg e 7kg
 
m) A soma de dois números é igual a 46. O primeiro está para o segundo, assim como 87 está para 51. Quais são os números? Resp.: 29 e 17
 
n) Dois números a e b diferem entre si em 18 unidades. O número a está para b, assim como 825 está para 627. Qual o valor de a e de b? Resp.:75 e 57
 
o) Quatro números, 72, 56, 90 e x, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor da quarta proporcional x? Resp.: 70
 
p) Quatro números, x, 15, 15 e 9, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor da terceira proporcional x? Resp.: 25
 
 NÚMEROS DIRETA E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
· Números diretamente proporcionais
Os números racionais x, y e z são diretamente proporcionais aos números racionais a, b e c quando se tem x = y = z
 a b c
Exemplos: 
1º) Verificar se os números 4, 10 e 30 são diretamente proporcionais aos números 12, 30 e 90.
2º) Os números 6, x e y são diretamente proporcionais aos números 4, 8 e 20. Nessas condições determinar os valores de x e y. Resp.: 12 e 30 
3º) Um prêmio de 200 mil reais será dividido para 3 ganhadores de um bolão em partes diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 2 que correspondem as cotas com que cada um participou. Qual valor caberá a cada um?
Somamos os números → 3 + 5 + 2 = 10 
Dividimos o total pela soma → 200/10 = 20
Para achar as parcelas multiplicamos o resultado da divisão por cada número dado: 20 . 3 = 60.000,00 20 . 5 = 100.000,00 20 . 2 = 40.000,00
 
· Números inversamente proporcionais
Os números racionais x, y e z são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c quando se tem x . a = y . b = z . c 
 
Exemplos: 
4º) Verificar se os números 120, 30 e 16 são inversamente proporcionais aos números 2, 8 e 15.
5º) Os números x, y, 2 e z são inversamente proporcionais aos números 6, 10, 15 e 60. Quais são os números x, y e z? 
6º) Vamos repartir o número 620 em três parcelas que são inversamente proporcionais aos números 5, 2 e 3. Quais são as parcelas?
EXERCÍCIOS:
1) Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72 e 128. Determine x e y? Resp.: 10 e 18
2) Os números x, 5/2 e ¾ são inversamente proporcionais aos números 3, 3/5 e y. Calcule os números x e y. Resp.: 1/2 e 2
3) Repartir 420 em três parcelas que são diretamente proporcionais aos números 3, 7 e 4. Quais são as parcelas? Resp.: 90, 210 e 120
4) Repartir o número 380 em três parcelas que são inversamente proporcionais aos números 2, 5 e 4. Quais são as parcelas? Resp.: 200, 80 e 100
5) As massas de cobre e zinco que se fundem para formar o latão são diretamente proporcionais aos números 7 e 3. Quantos quilogramas de cobre e quantos quilogramas de zincosão necessários para obter 40 kg de latão? Resp.: 28 e 12
 
6) Ao iniciar uma viagem, uma pessoa separou seu dinheiro em partes diretamente proporcionais aos números 5, 3 e 2. A primeira parte foi destinada a transportes, a segunda a compras e a terceira a hospedagem. Tendo essa pessoa levado R$ 3.000,00 para essa viagem, quanto foi reservado para cada item? 
 Resp.: R$ 1.500,00 , R$ 900,00 e R$ 600,00
7) Um prêmio de R$ 4.600,00 foi repartido entre 3 funcionários de uma firma em partes inversamente proporcionais aos seus salários. O funcionário A recebe 5 salários mínimos, o funcionário B, 8 salários mínimos, e o funcionário C, 4 salários mínimos. Qual a parte do premio que coube a cada funcionário?
 Resp.: A = R$ 1.600,00 B = R$ 1.000,00 C = R$ 2.000
 
8) Um pai deixou como herança aos seus quatro filhos, 260 cabeças de gado. Sabendo que essa herança foi distribuída de forma inversamente proporcional a idade de cada um, calcule quantas cabeças de gado eles receberam. Dados: 1° filho – 30 anos; 2° filho – 20 anos; 3° e 4° filhos – 15 anos. Resp.: 40, 60, 80 e 80
REGRA DE SOCIEDADE
Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um resultado (lucro ou prejuízo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintos e também em tempos distintos.
Os capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivos tempos de participação destes capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn. 
Definiremos o peso pk (k = 1, 2, ..., n) de cada participante como o produto: pk = Ck . tk 
A regra de sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamente proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn.
EXEMPLO:
Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou com um capital de R$ 50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de R$ 60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e C entrou com um capital de R$ 30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que pode ser um lucro ou um prejuízo) da empresa após um certo período foi de R$ 25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?
Resolução:
Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas expressões dos pesos. Desse modo:
P1 = 50 . 40 = 2000; p2 = 60 . 30 = 1800; p3 = 30 . 40 = 1200
A participação dos sócios A, B e C será indicada respectivamente por X1, X2 e X3. A montagem do problema estabelece que X1 + X2 + X3 = 25.000 e além disso:
 X1 X2 X3 
------ = ------ = ------ 
2000 1800 1200
A solução segue das propriedades das proporções:
 X1 X2 X3 X1 + X2 + X3 25.000
------ = ------ = ------ = ------------------------ = --------- = 5
2000 1800 1200 2000 + 1800 + 1200 5000 
A participação de cada sócio é:
X1 = 5.(2000) = R$10.000,00 X2 = 5.(1800) = R$9.000,00 X3 = 5.(1200) = R$6.000,00
EXERCICIOS: 
Os exercícios abaixo representam a formação de uma sociedade onde os sócios participaram com capitais distintos e tempos distintos. Calcule em cada caso a participação de cada sócio.
1) Sócio 1) C = R$20.000,00; t = 15 meses Resp.: R$ 3.600,00
Sócio 2) C = R$30.000,00; t = 1 ano	 Resp.: R$ 4.320,00
Sócio 3) C = R$35.000,00; t = 8 meses	 Resp.: R$ 3.360,00
Lucro: R$ 11.280,00 
 
2) Sócio 1) C = R$15.000,00; t = 40 meses Resp.: R$ 6.000,00
Sócio 2) C = R$10.000,00; t = 36 meses	 Resp.: R$ 3.600,00
Sócio 3) C = R$25.000,00; t = 25 meses	 Resp.: R$ 6.250,00
 Prejuízo: R$ 15.850,00 
 
3) Sócio 1) C = R$30.000,00; t = 25 meses Resp.: R$ 15.000,00
Sócio 2) C = R$10.000,00; t = 3 anos	Resp.: R$ 7.200,00
Sócio 3) C = R$35.000,00; t = 20 meses	Resp.: R$ 14.000,00
 Lucro: R$ 36.200,00 
4) Sócio 1) C = R$ 30.000,00; t = 1 ano Resp.: R$ 2.520,00
Sócio 2) C = R$ 40.000,00; t = 8 meses Resp.: R$ 2.240,00
Sócio 3) C = R$ 50.000,00; t = 10 meses Resp.: R$ 3.500,00
 Prejuízo: R$ 8.260,00
5) Sócio 1) C = R$ 14.000,00; t = 25 meses Resp.: R$ 3.850,00
Sócio 2) C = R$ 20.000,00; t = 25 meses	Resp.: R$ 5.500,00
Sócio 3) C = R$ 24.000,00; t = 40 meses 	Resp.: R$ 10.560,00
Sócio 4) C = R$ 22.500,00; t = 2 anos	Resp.: R$ 5.940,00
 Lucro: R$ 25.850,00 
6) Sócio 1) C = R$ 25.000,00; t = 20 meses Resp.: R$ 5.000,00
Sócio 2) C = R$ 20.000,00; t = 2 anos	 Resp.: R$ 4.800,00
Sócio 3) C = R$ 30.000,00; t = 1 ano e meio	 Resp.: R$ 5.400,00
Sócio 4) C = R$ 25.000,00; t = 24 meses	 Resp.: R$ 6.000,00
 Prejuízo: R$ 21.200,00 
REGRA DE TRÊS SIMPLES
EXEMPLOS:
1º) Na extremidade de uma mola suspensa, é colocada uma peça com 10 kg, verificando-se então, que o comprimento da mola é de 42 cm. Se colocarmos uma peça com 15 kg na extremidade dessa mola, qual passará a ser o comprimento dela? 
 Peso (kg) Comprimento (cm)
 ↑ 10 ____________________ 42 ↑
aumentou │ 15 ____________________ X │ aumentou X = 63 cm.
	diretamente proporcional
2º) Ao participar de um treino de fórmula 1, um competidor com velocidade média de 200 km/h. faz o percurso em 18 segundos. Se a velocidade média fosse de 240 km/h, qual o tempo que ele teria gasto no percurso?
 Velocidade (km/h) Tempo (seg.)
 ↑ 200 ____________________ 18 │
aumentou │ 240 ____________________ X ↓ diminuiu X = 15 seg.
	 inversamente proporcional
EXERCÍCIOS:
1) Em um banco, constatou-se que um caixa leva em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes? 
 Resp.: 60 min
2) Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz um percurso em 40 min. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 min. Qual é a velocidade média desse ônibus no percurso de volta? Resp.: 60 km/h
3) Uma tábua de 2m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12m? Resp.: 30 m 
 
4) Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada página são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro? Resp.: 420 páginas
 
5) Uma rua tem 600m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180m da rua. Supondo que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado? Resp.: 14 dias
6) Quero ampliar uma foto 3x4 (3cm de largura e 4cm de comprimento), de forma que a nova foto tenha 10,5cm de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?
 Resp.: 14 cm
7) Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5m³ cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4m³, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço?Resp.: 20
8) Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta? Resp.: 40 dias
9) Um pequeno avião, voando a 700 km/h, leva 3 horas para ir da cidade A até a cidade B. Quanto tempo gastaria outro avião para percorrer o mesmo trajeto, sabendo que a sua velocidade média é de 600 km/h. Resp.: 3,6h
10) Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5m de comprimento por 3m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15m² de área? Resp.: 300
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
EXEMPLO:
Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva ao todo 240 caixas, quantas leva o outro?
Caixas por vez Tempo (min) Total caixas
4 ____________________ 3 ___________________ 240
6 ____________________ 5 ___________________ X 
 
240 4 5
----- = -- . -- → X = 216 caixas. 
 X 6 3
EXERCÍCIOS:
1) Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 100.000 litros de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria 240.000 litros de combustível? Resp.: 50 dias
2) Um folheto enviado por uma empresa abastecedora de água informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 litros de água. Em uma residência, esteve pingando 30 gotas por minuto em 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados? Resp.: 250 litros
3) Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários são necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário? Resp.: 32
4) Para erguer um muro com 2,5m de altura e 30m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 metros de altura e 25 metros de comprimento? Resp.: 16
5) Seis digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias oito digitadores, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas? Resp.: 15 dias
6) Um automóvel com velocidade média de 60 km/h, roda 8 horas por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso? Resp.: 4
7) No parque de diversões, os alunos de uma escola formaram fila para subir a montanha russa. Em cada carrinho iam 5 alunos e as partidas ocorriam de 40 em 40 segundos. A fila acabou em 12 minutos. Calcule em quanto tempo a fila acabaria se em cada carrinho fossem 6 alunos e as partidas ocorressem de 36 em 36 segundos. Resp.: 9 min.
8) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5.400 m de tecido com 90 cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 cm de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resp.: 2025 min 
9) Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. Qual o número de horas por dia, que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazerem 10 barracões em 20 dias? Resp.: 12h/dia
EXERCÍCIOS DE REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
1) Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1.200 kg de milho? Resp.: 14 
2) Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4m³ de volume? Resp.: 33h 20 min
3) Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos este relógio adiantará em 54 dias? Resp.: 6 min
4) Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque? Resp.: 7840 L 
5) Com uma certa quantidade de arame pode-se fazer uma tela de 50m de comprimento por 1,20m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior? Resp.: 20m
6) Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias. Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias? Resp.: 16
7) Uma certa quantidade de azeite foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de azeite? Resp.: 40
8) Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto? Resp.: 4h
9) Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B em 16 minutos. Se a volta foi feita em 12 minutos, quanto foi a velocidade média? Resp.: 80 km/h.
10) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a maior, enquanto a menor dá 100 voltas? Resp.: 75
11) Uma certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por dia essa máquina deveria funcionar para fabricar 20.000 pregos em 20 dias? Resp.: 2h
12) Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14m de fazenda de 0,8m de largura. Quantos quilogramas serão necessários para produzir 350m de fazenda com 1,2m de largura? Resp.: 150 kg
13) O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia? Resp.: 7 kw
14) Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 30 galinhas em 30 dias? Resp.: 150
15) Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos? Resp.: 5 min.
16) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3kg de pão. Quantos quilos de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausente duas pessoas? Resp.: 5 kg
17) Quinze operários trabalhando 8 horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros de comprimento, damesma altura e espessura do anterior, em 24 dias? Resp.: 9h
18) Uma frota de caminhões percorreu 3.000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4.500 km com uma velocidade média de 50 km/h? Resp.: 18 
19) Se 12 recenseadores visitam 1.440 famílias em 5 dias, trabalhando 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia? Resp.: 360 
20) Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de ração. Em quantos dias 3/8 deles comeriam 75 kg de ração? Resp.: 14
21) Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em duas dúzias de dias trabalhando 10 horas por dia. Em quantos dias 8/3 dessas máquinas imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando 8 horas por dia? Resp.: 15 dias
PORCENTAGEM
Toda razão a/b, na qual b = 100, chama-se taxa de porcentagem. Assim: 40 por cento é o mesmo que 40/100. No lugar da expressão por cento, podemos usar o símbolo %. Assim: 40 por cento ou 40/100 é igual a 40%. 
Observação 1: Uma razão a/b, com b ǂ 100, também pode ser escrita na forma de porcentagem.
EXEMPLOS:
Escrever as frações abaixo na forma de porcentagem:
a) 1/2 = 0,5 = (0,5 . 100)/100 = 50/100 = 50% ou (1 . 100)/2 = 50%
b) 7/25 = 0,28 = (0,28 . 100)/100 = 28/100 = 28%
c) 3/8 = 0,375 = (0,375 . 100)/100 = 37,5/100 = 37,5%
Se o denominador da fração for um divisor de 100, também podemos resolver da seguinte forma:
a) (1 . 50)/(2 .50) = 50/100 = 50% b) (7 . 4)/(25 . 4) = 28/100 = 28%
Observação 2: Uma quantidade expressa em porcentagem também pode ser escrita na forma fracionária e decimal.
 EXEMPLOS:
a) 51% = 51/100 = 0,51 b) 165% = 165/100 = 1,65 c) 7,2% = 7,2/100 = 0,072
EXERCíCIOS:
1) Escreva na forma de porcentagem:
a) 3/5 = c) 17/20 = e) 9/4 =
b) 3/10 = d) 5/8 = f) 5/2 =
 Resp.: a) 60% , b) 30% , c) 85% , d) 62,5% , e) 225% , f) 250%
2) Escreva na forma de razão irredutível:
a) 60% = d) 15% = 
b) 150% = e) 75% = 
c) 55% = f) 45% = 
 Resp.: a) 3/5 , b) 3/2 , c) 11/20 , d) 3/20 , e) 3/4 , f) 9/20
3) Escreva na forma decimal:
a) 1% = d) 260% = 
b) 9% = e) 2,4% =
c) 64% = f) 30,3% = 
4) Escreva na forma de porcentagem:
a) 0,06% = d) 2,14% = 
b) 0,27% = e) 0,013% =
c) 0,5% = f) 0,215% = 
PORCENTAGEM – PROBLEMAS - (Exemplos)
1º) Em um campeonato de futsal, um jogador cobrou 20 faltas, das quais 65% foram convertidas em gol. Quantos gols de falta ele marcou nesse campeonato? Resp.: 13
2º) Um colecionador comprou 60 selos e aproveitou apenas 45. Os restantes eram repetidos. Qual foi a porcentagem de selos repetidos? Resp.: 25%
3º) Em uma gincana de reciclagem, uma turma recolheu 1.400 latinhas de alumínio. Isso representou 56% do total de latinhas recolhidas. Quantas latinhas de alumínio foram recolhidas nessa gincana? Resp.: 2.500
4º) Na compra de uma mercadoria, obtive um desconto de 15%. Paguei R$ 76,50 por ela. Qual era o preço original dessa mercadoria? Resp.: R$ 90,00 
 
EXERCÍCIOS: 
1) Sabe-se que 30% de uma distância correspondem 600m. Qual é a distância? Resp.: 2.000 m
2) Num treino de basquete, Paula fez 400 arremessos e acertou 55% deles. Qual foi o número de cestas que Paula fez neste treino? Resp.: 220
3) Descubra o preço de um CD de música, sabendo que um aumento de R$3,60 representa 18% do seu preço. Resp.: R$20,00 
4) O preço de uma mercadoria teve um aumento de R$630,00. Calcule de quanto por cento foi esse aumento se o preço antigo da mercadoria era R$1.400,00. Resp.: 45%
5) Numa cidade a população é de 42.000 habitantes. Destes, 10.500 foram vacinados contra a gripe. Calcule a porcentagem de habitantes que ainda não fizeram a vacina. Resp.: 75%
6) Sobre o preço de um armário há um imposto chamado IPI, que corresponde a 17% do preço do armário. Quanto pagará de imposto se o preço do armário for de R$1.650,00? Resp.: R$280,50
7) Numa cidade, a população é de 55.000 habitantes. Desses, 18% têm mais de 50 anos. Nessas condições, quantos habitantes dessa cidade têm:
a) Mais de 50 anos. b) 50 anos ou menos. Resp.: 9.900 ; 45.100 
8) Na compra de um aparelho de som obtive um desconto de 15% por ter feito o pagamento a vista. Se, paguei R$ 1020,00 pelo aparelho, qual era o preço original? Resp.: R$120,00
9) Uma mesma mercadoria é vendida em duas lojas da seguinte forma:
Loja 1 – R$120,00 à prazo. Desconto de 20% se o pagamento for feito à vista;
Loja 2 – R$140,00 à prazo. Desconto de 30% se o pagamento for feito à vista;
Em qual das lojas a mercadoria pode ser comprada à vista pelo menor preço? 	 Resp.: loja A: R$96,00 
10) Com uma lata de tinta é possível pintar 50m² de parede. Para pintar uma parede de 72m², gasta-se uma lata e mais parte de uma segunda lata. Qual a porcentagem que corresponde à parte gasta na segunda lata? Resp.: 44%
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
1) Um automóvel q foi comprado por R$ 15.000,00, sofreu uma desvalorização de 12% um ano depois. Determine:
a) O valor da desvalorização do automóvel em um ano. Resp.: R$1.800,00
b) Seu valor atual. Resp.: R$13.200,00 
2) Num terreno de 1.200 m² de área, há uma plantação de abacate, pêra e laranja. Sabendo que a plantação de abacate ocupa 25% do terreno e a plantação de pêra ocupa 30%, responda:
a) Quantos metros quadrados foram destinados a plantação de pêra? E de abacate?
 Resp.: 360m² , 300m²
b) Que porcentagem corresponde a plantação de laranja e qual a área correspondente? Resp.: 45% , 540m² 
3) Para adquirir um produto cujo preço de tabela é R$ 480,00, pode-se optar entre duas propostas:
1º) pagamento á vista, com 25% de desconto sobre o preço de tabela.
2º) pagamento em 30 dias, com acréscimo de 15% sobre o preço de tabela.
Qual a diferença, em reais entre as duas opções de pagamento? Resp.: R$192,00
4) Em uma gaveta, estão espalhados 3 CD´s de MPB, 4 CD´s de rock e 3 CD´s de jazz. Retirando-se, sem olhar, um CD dessa gaveta, qual a probabilidade de ser um Cd de MPB?Resp.: 30%
5) Em um lote de roupas, há 50 camisas, das quais 4 tem defeito de confecção. Se uma camisa é retirada ao acaso, qual a probabilidade dela ser:
a) Defeituosa Resp.: 8% 
b) Não defeituosa Resp.: 92%
6) Uma família é formada por 5 homens maiores de 21 anos, 6 mulheres maiores de 21 anos, 7 homens menores de 21 anos e quatro mulheres menores de 21 anos. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa dessa família, qual a probabilidade dela ser:
a) Maior de 21 anos Resp.: 50% 
b) Homem Resp.: ≅ 54,5%
c) Mulher menor de 21 anos Resp.: ≅ 18% 
 
7) No outono de certo ano, 1 litro de leite tipo B custava R$ 0,85. No período de entressafra, o litro desse leite sofreu acréscimo de 18% no mês de junho e de 40% no mês de julho.
a) Qual foi o preço final do litro no mês de agosto? Resp.: ≅ R$1,40
b) Qual taxa percentual equivale as duas taxas juntas? Resp.: 64,7%
8) Determinado produto sofreu três aumentos sucessivos de 10%. Sabendo que seu preço inicial era R$ 100,00, determine:
a) Seu preço final Resp.: R$133,10
b) A taxa de aumento Resp.: 33,1%
9) Uma empresa deu um reajuste salarial de 23% para os seus funcionários. Um operador de máquinas passou a receber R$ 1.107,00. Qual era seu salário antes do reajuste? Resp.: R$900,00
10) O salário de Antônio é 90% do de Pedro. A diferença entre os salários é de R$ 500,00. Qual é o salário de Antônio? Resp.: R$4.500,00 
11) Em um clube, 2/3 dos associados são mulheres e 3/5 das mulheres são casadas. Sabe-se que também que 80% das mulheres casadas têm filhos e que há 360 mães casadas. Qual é o número de associados do clube? Resp.: 1.125
12) Uma roupeiro foi comprado à prazo, pagando-se R$2.205,00 pelo mesmo. As compras à prazo tem um acréscimo de 5% sobre o valor da etiqueta. Se a compra tivesse sido a vista, o roupeiro teria saído por R$ 1.890,00. Nesse caso, qual teria sido o desconto obtido? Resp.: 10%
13) Um comerciante que não possuía conhecimentos de matemática, comprou uma mercadoria por R$ 200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor? Resp.: Prejuízo de R$20,00
14) Tempos atrás o rolo de papel higiênico que possuiu por décadas 40m de comprimento, passou a possuir apenas 30m. Como o preço do rolo não sofreu alteração, tal artimanha provocou de fato um aumento de quantos por cento no preço do metro de papel? Resp.: ≅ 33%
15) Uma fábrica de sapatos produz certo tipo por R$ 18,00 o par, vendendo por R$ 25,00 o par. Com este preço, tem havido uma demanda de 2000 pares mensais. O fabricante pensa em elevar o preço em R$ 2,10. Com isto as vendas sofrerão uma queda de 200 pares. Com esse aumento no preço de venda seu lucro mensal será maior ou menor? Quanto por cento? Resp.: Maior, 17% 
Operações com Mercadorias
São operações que envolvem compras e vendas de mercadorias.
Preço de Custo (C) → é o preço em que não ocorre nem ganho nem perda na operação.
Preço de Venda (V) → é o preço pela qual se vende. Pode se ganhar ou perder.
Resultado de uma operação (R) → R = V – C 
Lucro (L) → R > 0 → V > C
Prejuízo (P) → R < 0 → V < C Obs.: Se R = 0 → V = C
Lucratividade → mede o % da operação em relação ao preço de venda e custo.
rV → lucratividade sobre o preço de venda 
rC → lucratividade sobre o preço de custo
Fórmulas:
	
	C
	V
	R
	Lucrat. sobre o preço de custo
	C = V__
 (1 + rC)
	V = C (1 + rC)
	rC = (V – C) 
 C 
	Lucrat. sobre o preço de venda
	
C = V (1 – rV)
	V = C___ 
 (1 – rV) 
	rV = (V – C) 
 V 
Exemplos:
1) C = R$80,00 rC = 12% V = C (1 + rC) R = V – C 
V = ? R = ? V = 80 (1 + 0,12) R = 89,60 – 80,00
 V = R$89,60 R = R$9,60
2) V = R$95,00 rC = – 8% C = V / (1 + rC) R = V – C 
C = ? R = ? C = 95 / (1 – 0,08) R = - R$8,26
 C = R$103,26 
3) V = R$31,50 rV = 15% C = V (1 – rV) R = V – C 
 C = ? R = ? C = 31,50 . (1 – 0,15) R = R$4,72
 C = R$26,78
 
4) C = R$40,00 rV = – 7% V = C / (1 – rV) R = V – C 
V = ? R = ? V = R$37,38 R = – R$2,62
5) C = R$75,00 V = R$93,00 rC = (V – C) / C rV = (V – C) / V 
rC = ? rV = ? rC = 24% rV = 19,35%
Exercícios:
1) Uma caneta possui preço de custo de R$23,00 e deverá ser vendida com uma lucratividade de 15% sobre o preço de custo. Determinar o preço de venda. 
 Resp.: V = R$26,45
2) Uma camisa foi vendida por R$87,50, deixando um lucro equivalente a 22% sobre o preço de custo. Calcular o seu preço de custo e o lucro.
 Resp.: C = R$71,72 e L = R$15,78
 
3) Um relógio possui preço de custo de R$104,70 e foi vendido por R$165,00. Calcular o lucro e as lucratividades sobre o preço de custo e sobre o preço de venda.
 Resp.: L = 60,30 ; rC = 57,59% e rV = 36,55% 
4) A venda de um telefone por R$91,00 resultou em prejuízo equivalente a 3,8% sobre o preço de custo. Achar o preço de custo e o prejuízo.
 Resp.: C = R$94,59 e P = R$3,59
5) Determinar o preço de venda de uma mercadoria que possui preço de custo de R$52,40 e que apresentou lucratividade de -11,4% sobre o preço de custo. 
 Resp.: V = R$46,43 
6) Um livro foi vendido por R$76,15. Considerando-se que seu preço de custo é de R$97,70 determinar as lucratividades sobre o preço de custo e sobre o preço de venda. Resp.: rC = -22,06% e rV = -28,30%
7) Um pneu foi vendido por R$265,00, gerando lucro equivalente a 32% sobre o preço de venda. Calcular o preço de custo e o lucro. Resp.: C = R$180,20 e L = R$84,80 
8) Um saco de 60 kg de ração possui preço de custo de R$164,70. Se for desejada lucratividade de 17% sobre o preço de venda, qual deverá ser o preço de venda?
 Resp.: V = R$ 198,43
9) Na venda de uma jaqueta por R$184,00 foi constatada lucratividade de -2,5% sobre o preço de venda.Achar o preço de custo. Resp.: C = R$188,60 
 
10) Calcular o preço de venda de um tapete que tem preço de custo igual a R$282,37 e foi vendido com prejuízo equivalente a 7,5% sobre o preço de venda. 
 Resp.: V = R$262,67 
ACRÉSCIMOS E DECRÉSCIMOS
· Acréscimos Sucessivos
Vários são os fatores que determinam o preço de um produto. A lei da oferta e da procura é um desses fatores que obriga, ás vezes, mais de um reajuste de preços, para valores maiores (acréscimos sucessivos). 
	Pn = P0 . (1 + i1) . (1 + i2) . ... . (1 + in)
Se um produto com preço inicial Po sofrer acréscimos sucessivos, cujas taxas percentuais são i1, i2 ,..., in, então o preço desse produto após n reajustes é Pn , dado por:
	in = (1 + i1) . (1 + i2) . ... . (1 + in) – 1 
 
Particularmente, esses acréscimos podem apresentar taxas percentuais iguais, i1 = i2 =... = in = i. Neste caso, temos:
	Pn = P0 . (1 + i)n
 
	in = (1 + i)n – 1 
Exemplos:
1º) Durante a entressafra o preço do café, que era de R$ 30,00 a saca, sofreu aumento sucessivos de 10%, 5% e 15% nos três primeiros meses.
O preço atual é dado por:
Pn = P0 . (1 + i1) . (1 + i2) . (1 + i3)
P3 = 30 . (1 + 10/100) . (1 + 5/100) . (1 + 15/100)
P3 = 30 . (1,10) . (1,05) . (1,15)
P3 = 39,8475 = R$39,85
2º) O governo autorizou 3 aumentos sucessivos sobre o valor do litro da gasolina de 3,2% cada. Calcule o valor atual do litro que era de R$3,02.
n = 3 Pn = P0 . (1 + i)n
i = 3,2% Pn = 3,02 . (1 + 0,032)3
P0 = 3,02 Pn = R$3,32
· Decréscimos Sucessivos
Já vimos que uma transação comercial o preço de um produto pode sofrer acréscimo sucessivo. Da mesma forma, os preços de um produto podem ter descontos sucessivos.
Se um produto com preço inicial PO sofrer descontos sucessivos, cujas taxas percentuais são i1, i2, ..., in, então o preço desse produto após n descontos será Pn.
 
	Pn = P0 . (1 – i1) . (1 – i2) . ... . (1 – in)
	in = 1 – (1 – i1) . (1 – i2) . ... . (1 – in)
Particularmente, esses descontos podem apresentar taxas percentuais iguais, i1 = i2 = ... = in = i. Neste caso, teremos:
	Pn = P0 . (1 – i)n
 
	in = 1 – (1 – i)n
Exemplo:
1º) Ao sair de linha de produção um modelo de automóvel teve 3 desvalorizações sucessivas de 4% cada. Se o valor anterior ao desconto era de R$45.000,00, qual o valor atual? 
n = 3 Pn = P0 . (1 – i)n
i = 4% Pn = 45.000 . (1 – 0,04)3
P0 = 45.000 Pn = R$39.813,12
2º) Alguns artigos importados fizeram com que o preço de um eletrodoméstico, que era de R$ 170,00, sofresse três descontos sucessivos de 3%, 5% e 2%. O preço atual é dado por: 
Pn = P0 . (1 – i1) . (1 – i2) . (1 – i3)
Pn = 170 . (1 – 3/100) . (1 – 5/100) . (1 – 2/100)
Pn = 170 . 0,97 . 0,95 . 0,98
Pn = R$ 153,52
Exercícios:
1) Uma mercadoria custa R$5.000,00 e foi vendida com aumento sucessivo de 15%, 12% e 10%. Qual foi o preço final? Resp.: R$7.084,00
2) Certo comerciante verifica que um dos produtos em sua loja vem apresentando um volume de vendas muito baixo e decide fazer uma promoção oferecendo um desconto de 20% sobre o preço original de venda. As vendas, entretanto continuam baixas e o comerciante decide oferecer novo desconto de 20%, aplicando o valor praticado desde o começo da promoção. Por quanto à mercadoria foi vendida?
 Resp.: 36%
3) Um trabalhador recebeu dois aumentos sucessivos de 20% e 30% sobre o seu salário. Desse modo o percentual de aumento inicial desse trabalhador foi de quanto? Resp.: 56%
4) Sabendo-se que março é o mês do dissídio dos funcionários públicos de uma cidade, o prefeito concedeu aos fiscais dois reajustes sucessivos de 10% em fevereiro e 15% em março. Considerando que um fiscal após os dois aumentos, passou a receber R$12.397,00, qual era o salário desse mesmo funcionário anterior ao reajuste?
 Resp.: R$9.800,00
5) Um produto sofreu dois aumentos sucessivos de 10% e 20%. Qual a percentagem correspondente destes dois acréscimos? Resp.: 32%
6) Um aparelho eletrônico estava em promoção com 5% de desconto sobre o preço à vista. Considerando que o número de vendas desse aparelho foi baixo, foi lançada uma liquidação para venda do estoque, com mais 10% de desconto sobre o preço de promoção inicial. Sabendo que esse aparelho foi vendido após a liquidação por R$547,20, qual era o preço inicial desse aparelho sem os descontos?
Resp.: R$640,00
7) Imagine que um gerador de grande porte comprado por R$80.000,00 de desvalorize a taxa de 5% ao ano. Nesse caso, 10 anos após a aquisição quanto o gerador valerá aproximadamente? Resp.: R$47.898,00
8) Durante o período de 3 meses, o preço de um determinado produto sofreu 3 aumentos sucessivos de 8%. Qual foi o aumento total do produto? Resp.: 25,97%
9) Na compra de uma mercadoria foi obtido abatimentos sucessivos de 20%, 10% e 5%. Se o total pago foi de R$273,60, pergunta-se:
a) Qual o valor da mercadoria antes do abatimento? Resp.: R$400,00
 
b) Qual o percentual total do abatimento? Resp.: 31,60%
10) Um produto cujo preço era de R$712,00 sofreu aumento sucessivos de 6% e 3%. Pergunta-se:
a) A que preço esta sendo vendido? Resp.: R$777,36
b) Qual o percentual total do abatimento? Resp.: 9,18%
11) Dois aumentos sucessivos de 20% corresponde a um único aumento de quanto por cento? Resp.: 44%
12) Os cartões de crédito cobram taxa de 15% ao mês. O que acontece com esta dívida após um ano. Suponha que uma pessoa tenha uma divida de R$1.000,00 (não vamos considerar aqui mora sobre o valor que deixou de ser pago).
 Resp.:R$ 5.350,25
13) Uma duplicata sofreu descontos sucessivos de 20% e 10% e ficou reduzida a R$720,00. Encontre o valor nominal da duplicata. Resp.:R$1.000,00