DINAMICA DE SIST DE VIBRAÇÃO 2

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Dinâmica de Sistemas 
e Vibrações 
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Sergio Turano de Souza
Revisão Textual:
Prof.ª Me. Natalia Conti
Vibração Forçada sem Amortecimento
• Introdução;
• Força Periódica;
• Fator de Amplificação e Ressonância;
• Deslocamento Periódico do Suporte.
• Introdução de uma força aplicada ao movimento vibracional.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Vibração Forçada sem Amortecimento
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas:
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de 
aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Vibração Forçada sem Amortecimento
Introdução
Imagine uma criança balançando em um balanço. Se ela está sozinha sem nin-
guém a empurrando ou ela mesmo fazendo força, dizemos que esta é uma oscila-
ção livre. Quando alguém empurra o balanço com uma periodicidade, ele executa 
uma oscilação forçada. No caso da oscilação forçada há duas frequências angu-
lares características: a frequência angular natural, que é a frequência que o balanço 
oscilaria livremente após o impulso inicial e a frequência angular, da força externa 
que empurra o balanço.
A vibração forçada não amortecida é considerada um dos tipos mais importantes 
de movimento vibratório na engenharia. Essas vibrações ocorrem quando o sistema 
é submetido a uma força periódica ou quando está ligado a um suporte elástico que 
tem seu movimento alterado.
Para uma análise prática de casos de vibração forçada, vejam estes dois casos:
Mesas vibratórias que produzem vibrações forçadas utilizadas na fabricação de blocos de 
concreto. Disponível em: https://youtu.be/jjgpdocfIUE
O compactador de solo opera por meio de vibração forçada gerada por um motor interno. 
É importante que a frequência da força aplicada não seja próxima da frequência natural de 
vibração da mola (com o motor desligado), se isso acontecer ocorrerá a ressonância e a má-
quina se tornará incontrolável. Disponível em: https://youtu.be/ikdik1goOVU
Ex
pl
or
Força Periódica
Para estudar as características vibratórias de um sistema submetido a uma força, 
vamos voltar ao caso de um bloco e uma mola ligados horizontalmente sobre um 
plano sem atrito, mas agora com uma força periódica atuando no bloco, como 
mostra a Figura 1.
Figura 1 – Força periódica atuando no sistema bloco mola
Fonte: Acervo do Conteudista
A força externa que está sendo adicionada ao sistema poderia ser fornecida por 
meio de uma força aplicada ou por uma excitação de deslocamento imposta. O tipo 
da força aplicada ou do deslocamento pode ser definida como periódica, harmôni-
ca, não-harmônica mas periódica, não-periódica ou aleatória. Focaremos na força 
periódica, ou seja, com uma força variando no tempo de forma periódica como a 
função seno ou cosseno.
8
9
Na equação da força periódica externa F = F0 sinωt, identificamos a amplitude 
máxima F0 e a frequência angular ω (obs: não confunda com a frequência angular 
natural ωn). Considere que o bloco foi deslocado de uma distância x do ponto de 
relaxamento da mola. A equação de movimento é dada pela somatória das forças 
na direção x (força periódica menos a força restauradora da mola, pois apontam em 
sentidos opostos) sendo igual à força resultante (massa vezes a aceleração), assim
0 sin
x xF ma
mx F t kxw
å =
= -
Esta equação pode ser escrita na forma:
 
0
0
sin
sin
mx kx F t
Fkx x t
m m
w
w
+ =
+ =


 (1)
Esta equação é uma equação diferencial de segunda ordem não homogênea. 
A solução deste tipo de equação consiste em uma solução particular, que vamos 
chamar de xp, mais uma solução complementar que vamos chamar de xc.
Para saber mais sobre equações homogêneas de segunda ordem, veja em Material Comple-
mentar no final desta Unidade.Ex
pl
or
A solução complementar é a solução geral da equação homogênea, isto é, é 
a equação obtida ao se fazer o segundo membro da equação igual a zero, ou seja,
0kx x
m
+ =
E obtemos a solução igual à vista para o movimento, não forçada, sem vibra-
ção, assim:
( ) ( )sin cosc n nx A t B tw w= +
Lembrando que ωn é a frequência angular natural, /n k mw = também repre-
sentada como ω0 (cuidado para não confundir agora com a frequência angular ω 
da força aplicada).
A solução particular vem do movimento periódico da equação homogênea e 
pode ser determinada propondo-se uma solução da forma:
 ( )sinpx C tw= (2)
9
UNIDADE Vibração Forçada sem Amortecimento
Em que C é uma constante.
Para obtermos a solução específica, calculamos a derivada temporal de segunda 
ordem da solução particular e substituímos o resultado na equação homogênea.
( )
( )
( )2
sin
cos
sin
p
p
p
x C t
x C t
Cx t
w
w w
w w
=
=
=-


Substituindo na equação 1
( ) ( )
0
2 0
sin
sin sin sin
Fkx x t
m m
FkC t C t t
m m
w
w w w w
+ =
- + =

É possível simplificar, como o termo sin(ωt) aparece em todos os termos da 
equação, podemos isolar a constante C, obtendo:
( )
2 0
2 0
0
2
/
/
FkC C
m m
FkC
m m
F mC
k m
w
w
w
- + =
æ ö÷ç- + =÷ç ÷çè ø
=
-
Relacionando com a frequência angular natural /n k mw =
0
2 2
/
n
F mC
w w
=
-
ou ainda
( )
0 0 0
22 2 2
2
/
11n n
nn
F F F kC
m
m
w w ww
w
ww
= = =
é ù æ ö- æ ö ÷ê ú÷ çç ÷-÷- çç ÷ê ú÷ çç ÷ç÷ç è øè øê úë û
Sendo a solução particular xp= C sin(ωt), substituímos na equação 2, e obtemos 
a solução específica:
 
( )0 2
/ sin
1
p
n
F kx tw
w
w
=
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø
 (3)
10
11
Como solução geral temos, portanto, a soma das soluções complementar 
e particular:
( ) ( ) ( )0 2
/sin cos sin
1
c p n n
n
F kx x x A t B t tw w w
w
w
= + = + +
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø 
(4)
Vamos analisar o que esta solução nos descreve: são dois tipos de movimento 
vibratório do bloco. A solução complementar xc define a vibração livre, inde-
pendente da força externa aplicada, que depende da frequência angular natural 
/n k mw = e das constantes A e B. O gráfico é mostrado na Figura 2.
Figura 2 – Solução complementar, xc em função do tempo
Fonte: Acervo do Conteudista
Os valores de A e B podem ser determinados calculando-se a derivada tempo-
ral da equação 4, ou seja, a equação para a velocidade, para um certo instante de 
tempo (normalmente escolhe-se o instante inicial).
A solução particular xp descreve a vibração forçada do bloco causada pela força 
aplicada F = F0 sinωte é mostrada da Figura 3.
Figura 3 – Solução particular, xp em função do tempo
Fonte: Acervo do Conteudista
11
UNIDADE Vibração Forçada sem Amortecimento
A vibração resultante, que é a soma das duas soluções, é mostrada na Figura 4.
Figura 4 – Solução geral, xp + xc em função do tempo
Fonte: Acervo do Conteudista
Como veremos nas próximas unidades desta disciplina, todos os sistemas vibran-
tes reais estão sujeitos a atrito, assim, a vibração livre xc se atenua com o passar do 
tempo e tende a desaparecer. Por esta razão, a vibração livre é denominada transi-
tória. Por sua vez, a vibração forçada se mantém indefinidamente e é chamada de 
vibração em regime estacionário ou permanente.
Fator de Amplificação e Ressonância
Voltemos para a equação
0
2
/
1
n
F kC
w
w
=
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø
Observem que temos a amplitude C da vibração forçada dependente da razão 
de frequências r = ω/ωn, que é um parâmetro de frequência adimensional ou de 
sintonia. Alguns autores utilizam a letra ômega em maiúsculo (Ω) para representar 
esta razão. Dependendo dos valores de ω e ωn o valor da amplitude C pode ser 
positivo ou negativo, assim, o objetivo pode ser determinar o módulo deste valor.
A relação F0/k é denominada de deflexão estática representada por δst., que é a 
deformação sofrida pelo sistema quando a força é aplicada estaticamente.
Vamos definir como fator de amplificação (FA) a razão entre a amplitude de 
vibração no regime permanente, xp(max), e a deflexão estática que seria produzida 
pela amplitude F0 da força periódica, ou seja,
( ) ( )
( )
0 0
2 2
2
0
/ /sin 
1 1
1
/
1
p p max
n n
p max
n
F k F kx t x
x
FA
F k
w
w w
w w
w
w
= Þ =
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷- -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
= =
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø
12
13
( ) ( )
( )
0 0
2 2
2
0
/ /sin 
1 1
1
/
1
p p max
n n
p max
n
F k F kx t x
x
FA
F k
w
w w
w w
w
w
= Þ =
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷- -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
= =
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø
Esta equação é representada graficamente na Figura 5. 
Figura 5 – Fator de Amplifi cação em função da razão de frequências
Fonte: Acervo do Conteudista
Para entender melhor este gráfico, vamos imaginar um motor girando, que está 
apoiado em cima de uma mesa que tem molas em seus pés. As molas são geradoras 
da frequência angular natural ωn e o motor pela frequência angular ω. Primeiro imagi-
namos o motor desligado, ou seja, ω = 0, isto implica no fator de amplificação, FA = 1. 
Se a frequência do motor é próxima à frequência das molas, ou seja, ω/ωn ≈ 1, a 
amplitude da vibração do bloco se torna extremamente grande. Isso ocorre porque 
a força aplicada pelo motor acompanha o movimento da mola. Nesse caso ocorre 
o caso da ressonância. Voltando ao caso inicial da criança no balanço, se a em-
purramos com a mesma frequência angular natural de oscilação, a amplitude do 
deslocamento e da velocidade aumentam rapidamente. As crianças aprendem isso 
muito depressa por tentativa e erro. Na prática, vibrações ressonantes podem causar 
tensões enormes e a rápida quebra de peças. 
Um dos casos mais famosos de ressonância foi o da Ponte de Tacoma.
Disponível em: https://tinyurl.com/yxqavohtEx
pl
or
Agora, se o motor gira em altas frequências (ω > ωn), o valor de FA se torna 
negativo, na medida em que o motor força para um lado e a mola para outro. Para 
frequências extremamente altas (ω >> ωn), o bloco permanece praticamente parado 
e, portanto, FA é aproximadamente zero.
13
UNIDADE Vibração Forçada sem Amortecimento
A resposta da equação geral de posição x em função do tempo para o caso 
quando ω = ωn tem que ser modificada, e é dada por:
( ) ( ) ( )0 sin cos2ressonância n n n
Fx t t t t
k
w w wé ù= -ë û
Ressonância 
É importante notar que todas as estruturas mecânicas possuem uma ou mais frequências 
angulares naturais. Se esta estrutura é submetida a uma força externa que coincide com 
uma dessas suas frequências naturais, pode ocorrer até o rompimento desta estrutura. 
Um exemplo interessantemente trágico foi quando um grande terremoto (8,1 na escala Ri-
chter) atingiu o México em 1985. O epicentro do terremoto ocorreu a 400 km da Cidade do 
México e as ondas sísmicas eram fracas para causar danos à capital, entretanto, o solo úmido 
sobre o qual a cidade foi construída amplificou a onda sísmica que chegou até ele para uma 
frequência de 0,3 rad/s. Muitos edifícios de altura intermediária tinham uma frequência na-
tural de 0,3 rad/s e desabaram. Edifícios maiores e menores, com frequência de ressonância 
menor e maior, respectivamente, permaneceram de pé. 
Outro exemplo é visto em um projeto de uma aeronave, nele é muito importante verificar 
se as frequências angulares que as asas possam ter não coincidam com as frequências dos 
motores. Isso faria as asas vibrarem violentamente.
Ex
pl
or
Deslocamento Periódico do Suporte
As vibrações forçadas também podem aparecer se o suporte (o chão, por exem-
plo, ou uma parede onde uma haste é presa) estiver em vibração periódica. O 
deslocamento do suporte pode ser escrito como δ = δ0 sin(ωt), onde a força é dada 
por F0 = kδ0, ou seja, δ0 = F0⁄k, e as equações para a solução ficam idênticas às da 
vibração forçada sem amortecimento.
Exemplos
Exemplo 1. Um motor de massa 178 
kg está apoiado em quatro molas, cada 
uma tendo constante de mola 150 kN/m. 
O rotor do motor é desbalanceado e a 
força centrífuga devido a esse desloca-
mento é 72 N. O motor move-se apenas 
na vertical. Determine (a) a frequência 
em rpm que ocorrerá a ressonância e 
(b) a amplitude da vibração do motor na 
frequência de 1200 rpm.
Figura 6 – Unidade Vibração Forçada sem 
Amortecimento. Motor desbalanceado
Fonte: Acervo do Conteudista
14
15
Resolução: (a) A frequência de ressonância é igual à frequência angular da vi-
bração livre do motor:
( )34 150 10 /
58,0 /
178 n
N mk rad s
m kg
w
´
= = =
Lembre-se que são 4 molas.
Rotações por Minuto
As frequências angulares também podem ser descritas em rotações por minuto (rpm). Para 
converter de rpm para rad/s:
1 rpm = 2.π rad/min = 2.π rad / (60 s) = 0,105 rad/s
1 rad/s = 9,55 rpm
Ex
pl
or
Escrevendo o resultado em rpm: ωn = 554 rpm.
(b) A velocidade angular ou a frequência angular do motor é: ω = 1200 rpm = 
125,7 rad/s
A força centrífuga devido ao deslocamento do rotor é 72 N. Substituindo para o 
valor máximo da amplitude, obtemos:
( )
( )3 50
max 2 2
72 
4 150 10 // 3, 2 10
125,7 /11 58 /
p
n
N
N mF kx m
rad s
rad s
w
w
-
´ ´
= = = ´
æ ö æ ö÷ ÷ç ç-÷ ÷-ç ç ÷÷ çç è ø÷çè ø
Temos então a amplitude do deslocamento de 32 µm.
Exemplo 2. O instrumento de medida da
figura a seguir está preso rigidamente a uma 
plataforma, que é suportada por quatro mo-
las, cada uma com rigidez k = 800 N/m. A 
massa total do instrumento e da plataforma é 
de 20 kg. A plataforma está inicialmente em 
repouso. Em um dado instante, o piso passa 
a sofrer um deslocamento periódico de δ = 
10 sin(8t) milímetros, onde t é dado em se-
gundos. O instrumento é forçado a se mover 
apenas na vertical. Determine o deslocamen-
to vertical y da plataforma como uma função 
do tempo. Considere y medido a partir da po-
sição de equilíbrio.
Figura 7 – Unidade Vibração Forçada
sem Amortecimento. Instrumento
de medida sob piso oscilante
Fonte: Acervo do Conteudista
15
UNIDADE Vibração Forçada sem Amortecimento
Resolução: A vibração é provocada pelo deslocamento dos suportes, então:
0 0 /F kd =
e 
( ) ( ) ( )0 2
/sin cos sin
1
n n
n
F kx A t B t tw w w
w
w
= + +
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø
Assim,
( ) ( ) ( )0 2sin cos sin
1
n n
n
x A t B t tdw w w
w
w
= + +
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø
Podemos determinar os parâmetros. Temos que δ=δ0 sin(ωt) = 10 sin(8t) mm 
(atenção para a unidade milímetros), assim obtemos que:
0 10 0,010 
8 /
mm m
rad s
d
w
= =
=
E a frequência angular natural (lembre-se que são 4 molas) é:
( )4 800 /
12,6 /
20 n
N mk rad s
m kg
w
´
= = =
Para o deslocamento máximo, temos:
( )
0
max 2 2
0,010 0,0167 16,7 
8 /11
12,6 /
p
n
mx m mm
rad s
rad s
d
w
w
= = = =
æ ö æ ö÷ ÷çç-÷ ÷-ç ç÷ ÷÷çç ÷ç è øè ø
Obs: Para deslocamentos máximos podemos considerar o módulo da equação 
acima, assim:
( )
0
max 2
/
1
p
n
F kx
w
w
=
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø
Substituindo os dados obtidos na equação geral, com deslocamento em y:
16
17
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
2sin cos sin
1
sin 12,6 cos 12,6 16,7sin 8
n n
n
y A t B t t
y A t B t t
d
w w w
w
w
= + +
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø
= + +
Calculamos agora a derivada temporal:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )12,6 cos 12,6 12,6 sin 12,6 133,3cos 8y A t B t t= - +
Para obter os valores de A e B, temos que a plataforma está inicialmente parada 
e y é medido inicialmente na sua posição inicial, ou seja, nas condições iniciais
t = 0, y = 0 e y = 0. Portanto, substituindo na equação de y, temos:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
sin 12,6 cos 12,6 16,7sin 8
0 sin 12,6 0 cos 12,6 0 16,7sin 8 0
0 sin 0 cos 0 16,7sin 0
0 0 1 0
0
y A t B t t
A B
A B
B
B
= + +
= ´ + ´ + ´
= + +
= + ´ +
=
Substituindo agora na equação de y :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
12,6 cos 12,6 12,6 sin 12,6 133,3cos 8
0 12,6 cos 12,6 0 12,6 sin 12,6 0 133,3cos 8 0
0 12,6 1 12,6 0 133,3 1
0 12,6 1 12,6 0 133,3 1
0 12,6 133,3
10,5
y A t B t t
A B
A B
A B
A
A
= - +
= ´ - ´ + ´
= ´ - ´ + ´
= ´ - ´ + ´
= +
=-

Com os valores de A e B podemos escrever o movimento vibratório pela equação:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
sin 12,6 cos 12,6 16,7sin 8
10,5sin 12,6 16,7sin 8
y A t B t t
y t t
= + +
=- +
Exercícios 
EXERCÍCIO 1. O bloco de massa 0,62 kg está preso a uma mola de rigidez 
igual a 20 N/m. Aplica-se ao bloco uma força F = 6.cos (2t) N, onde t é dado em 
segundos. Determine a velocidade máxima do bloco em regime permanente.
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UNIDADE Vibração Forçada sem Amortecimento
Figura 8 – Unidade Vibração Forçada sem Amortecimento
Fonte: Acervo do Conteudista
Resposta: vmax = 0,686 m/s
EXERCÍCIO 2. Uma barra elástica de 0,75 m de comprimento suporta uma 
esfera de 4 kg, despreze a massa da barra. Se aplicarmos uma força vertical de 
18N na esfera, a barra sobre uma deflexão de 14 mm. A parede oscila com uma 
frequência de 2 Hz e tem uma amplitude de 15 mm, determine a amplitude de 
vibração da esfera.
Figura 9 – Unidade Vibração Forçada sem Amortecimento
Fonte: Acervo do Conteudista
Resposta: xp(max) = 0,0295 m 
Dica: ω = 2 Hz = 2 x 2π = 12,57 rad/s.
Importante!
Vibração forçada sem amortecimento
Para um corpo em vibração, submetido a uma força excitadora periódica ou com seu 
suporte em movimento periódico, a solução da equação de movimento é dada pela soma 
de uma solução particular com uma solução complementar. A solução complementar 
corresponde à vibração livre. A solução particular é determinada pela força externa. 
Ocorre ressonância quando a frequência do excitador é igual à frequência natural de vi-
bração do sistema. A ressonância deve ser evitada para que a amplitude do movimento 
não se torne ilimitada.
Em Síntese
18
19
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Fundamentos de Física, Volume 2: Gravitação, Ondas e Termodinâmica
HALLIDAY, D. Fundamentos de Física, Volume 2: Gravitação, Ondas
e Termodinâmica. Halliday, Resnick, Walker. Rio de Janeiro, LTC, 2016. 10ª Edição.
Vibrações Mecânicas
BALACHANDRAN, B.; MAGRAB, E. B. Vibrações Mecânicas. Tradução da 2ª 
edição norte-americana. Cengage Learning 2011.
 Vídeos
Mago da Física – Ressonância em um Pêndulo - Qualitativo
Neste vídeo temos um exemplo claro e simples de ressonância em um pêndulo simples. 
https://youtu.be/00dNfpQksco
 Leitura
Ponte Tacoma Narrows, 1940 – Um Estudo dos Efeitos Não-Lineares
https://tinyurl.com/yy8f7j5z
19
UNIDADE Vibração Forçada sem Amortecimento
Referências
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R; CORNWELL JR., P. J. Mecânica vetorial para 
engenheiros: dinâmica. 9. ed. Porto Alegre. AMCH, 2012 (E-Book).
HIBBELER, R. C. Dinâmica: mecânica para Engenharia. 12. ed. São Paulo: Pear-
son Prentice Hall, 2005. (E-Book).
Meriam, J. L. Mecânica para engenharia: dinâmica 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2016 (E-Book).
20