Estatística aula 2

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Separatrizes Mediana - Quartis - Decis - Percentis
Moda
Médias Aritmética (Simples e Ponderada)
MEDIDAS DE POSIÇÃO: (ou de tendência central)
MEDIDAS DE DISPERSÃO: 
Amplitude
Intervalo interquartil
Variância
Desvio Padrão
Coeficiente de Variação
MEDIDAS DESCRITIVAS
variável quantitativa
discreta
contínua
Média
Amplitude
Interv. interquartil
Variância
Desvio Padrão
Coef. de Variação
Separatrizes
variável quantitativa
discreta
contínua
variável qualitativa ordinal
Moda variável qualitativa e quantitativa
MEDIDAS DESCRITIVAS
PARÂMETRO 
medida descritiva de uma característica da população
ESTATÍSTICA 
medida descritiva de uma característica da amostra
inferência
 2
Amostra
n
amostragem
População
N
ssx 2
N
k
n
kp ˆ
Média Aritmética simples





amostrazywx
população
 

N
X
N
i
i
 1
Kg 4,39...3806,39
36
0,47...7,342,36


y
n
X
X
n
i
i
 1
n
Y
Y
n
i
i
 1
Medida mais utilizada para descrever resumidamente um conjunto de dados
Muito influenciada por valores discrepantes
Peso YPeso (Kg) de RSU recicláveis (amostra) 
Kg 1,51...1306,51
36
470...7,342,36


y
31,0 34,7 35,7 37,8 39,1 39,7 40,3 43,7 46,9
31,6 34,9 35,7 38,1 39,1 40,0 41,4 43,9 47,0
32,3 35,4 36,2 38,3 39,4 40,1 41,9 44,8 48,2
32,7 35,7 36,3 39,0 39,5 40,1 42,2 45,8 49,2
Peso (Y) de resíduos sólidos urbanos (RSU) 
recicláveis, em quilos, recolhidos em uma amostra de 
36 pontos de coleta
36,2 41,4 32,3 35,7 32,7 40,1 36,3 34,9 39,5
34,7 42,2 41,9 31,6 43,9 45,8 39,1 39,7 37,8
39,4 46,9 35,7 38,1 48,2 49,2 40,3 35,4 31,0
43,7 44,8 40,0 39,0 40,1 39,1 35,7 38,3 47,0
Média Aritmética ponderada
Distribuição por ponto




k
i
i
k
i
ii
f
fx
x
1
1
em que: xi é o i-ésimo valor da variável
fi é a frequência absoluta do
i-ésimo valor da variável
sdefeituosa peças675,5
2...31
)28(...)34()13(




x
Dados agrupados
Xi fi fr fr%
3 1 2,500,0250
4 3 7,500,0750
5 9 22,500,2250
6 21 52,500,5250
7 4 10,000,1000
8 2
1,0000Total 40 100,00
5,000,0500
Tabela de frequência Nº de peças defeituosas encontradas em 40 lotes de 50 peças
Distribuição por classe




k
i
i
k
i
ii
f
fx
x
1
1
em que: xi é o ponto médio da classe i
fi é a frequência absoluta da classe i
Kg 5,39
1...84
)15,50(...)45,32(




y
Média Aritmética ponderada
Tabela de frequência para dados
agrupados em classes
(distribuição de frequências)
Y f Ponto médio 
 
31,0  34,0 4 32,5 
34,0  37,0 8 35,5 
37,0  40,0 9 38,5 
40,0  43,0 7 41,5 
43,0  46,0 4 44,5 
46,0  49,0 3 47,5 
49,0  52,0 1 50,5 
 
Total 36 - 
 
Peso (Kg) de RSU recicláveis 
Dados agrupados
Separatrizes Mediana - Quartis - Decis - Percentis
Dividem os dados ordenados (rol) em partes iguais
0% 25% 50% 75% 100%
|--------------------|--------------------|--------------------|--------------------| 
Q1= P25 Q2 = Md = D5 = P50 Q3 = P75
O percentil de ordem p 100 (0 < p < 1), em um conjunto de dados 
com n elementos, é o valor da variável na posição p  (n + 1) do rol
mediana (Md ) ou segundo quartil (Q2) = percentil 50 
primeiro quartil (Q1) = percentil 25
terceiro quartil (Q3) = percentil 75
primeiro decil (D1) = percentil 10
Y (m): 3,4 2,1 3,7 2,5 3,0 1,9 3,3 6,3 1,9 7,7  n = 10
Posição de Md: 0,50(n+1)= 0,511= 5,5º
Posição de Q1: 0,25 (11) = 2,75º
Posição de Q3: 0,75 (11) = 8,25º
 Md = 3,0 + 0,5(3,3 - 3,0) = 3,15  3,2 m
 Q1= 1,9 + 0,75 (2,1- 1,9) = 1,9 + 0,15 = 2,05 m
 Q3= 3,7 + 0,25 (6,3- 3,7) = 3,7 + 0,65 = 4,35  4,4 m
Posição de P87: 0,87 (11) = 9,57º
 P87 = 6,3 + 0,57 (7,7 - 6,3) = 6,3 + 0,798 = 7,098 
7,1 m
 n = 11W (mg): 5,5 0,9 1,7 3,1 33,6 5,3 5,2 5,9 1,0 2,9 3,5
Posição: p  (n + 1) do rol
Obter: Md Q1 Q3 P87
Md  3,2 m Q1 = 2,05 m Q3  4,4 m
Exercício:
P87  7,1 m
Dados ordenados:
1,9 1,9 2,1 2,5 3,0 3,3 3,4 3,7 6,3 7,7
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 
Obter: Média, Q1, Md e Q3
W (rol): 0,9 1,0 1,7 2,9 3,1 3,5 5,2 5,3 5,5 5,9 33,6
O percentil de ordem p 100 (0 < p < 1), em um conjunto de dados com n 
elementos, é o valor da variável na posição p  (n + 1) do rol
W (mg): 5,5 0,9 1,7 3,1 33,6 5,3 5,2 5,9 1,0 2,9 3,5
 n = 11Obter: Média, Q1, Md e Q3
w
Posição de Q1: 0,25 (12) = 3º
Posição de Q3 : 0,75 (12) = 9º
 Q1= 1,7 mg
Posição de Md: 0,50 (12) = 6º  Md = 3,5 mg
 Q3= 5,5 mg
3,6
mgw ,53
W (rol): 0,9 1,0 1,7 2,9 3,1 3,5 3,6 5,2 5,3 5,5 5,9
Q3 = 5,3 mg
mg 2,6w
Md = 3,5 mg
Q1 = 1,7 mg
Ramos Folhas
1
3
0
2
4
5
33
. . .
7, 0
1, 5
9
9
-
5, 3, 2, 9
6
mg 2,6...23636,6
11
5,3...9,05,5


Média
Q1, Md e Q3
(amostra)
mg ,509...3w
Obter Q1, Md e Q3 da amostra do peso de RSU recicláveis 
Posição de Md: 0,5(36 +1) = 0,5  37= 18,5°
 Md = 39,1 + 0,5 (39,4 – 39,1) = 39,25  39,3 Kg
Posição de Q1: 0,25 (37) = 9,25°
Posição de Q3: 0,75 (37) = 27,75°
 Q1 = 35,7 + 0,25 (35,7 - 35,7) = 35,7 Kg
 Q3 = 41,9 + 0,75 (42,2 - 41,9) = 41,9 + 0,225
 Q3 = 42,125  42,1 Kg
- 
6 0 
3 7 
- 
 9 
7 7 7 4 
 3 
8 
1 3 
 0 1 1 7 5 
0 1 1 3 
4 9 
2 
7 9 
8 
8 
9 
0 
2 
2 
 
Ramos 
 
Folhas 
 30 
31 
32 
33 
34 
35 
36 
37 
38 
39 
40 
41 
42 
43 
44 
45 
46 
47 
48 
49 
 
7
2
4
31,0 34,7 35,7 37,8 39,1 39,7 40,3 43,7 46,9
31,6 34,9 35,7 38,1 39,1 40,0 41,4 43,9 47,0
32,3 35,4 36,2 38,3 39,4 40,1 41,9 44,8 48,2
32,7 35,7 36,3 39,0 39,5 40,1 42,2 45,8 49,2
Peso (Y) de resíduos sólidos urbanos (RSU) 
recicláveis, em quilos, recolhidos em uma amostra de 
36 pontos de coleta
36,2 41,4 32,3 35,7 32,7 40,1 36,3 34,9 39,5
34,7 42,2 41,9 31,6 43,9 45,8 39,1 39,7 37,8
39,4 46,9 35,7 38,1 48,2 49,2 40,3 35,4 31,0
43,7 44,8 40,0 39,0 40,1 39,1 35,7 38,3 47,0
 
 
5 3 6 6 4 5 5 7 6 5 6 6 8 6 5 4 6 6 6 5 
6 8 6 5 6 6 6 6 5 6 7 5 6 6 7 4 6 6 7 6 
 
 
3 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 
 
Xi fi fr fr%
3 1 2,500,0250
4 3 7,500,0750
5 9 22,500,2250
6 21 52,500,5250
7 4 10,000,1000
8 2
1,0000Total 40 100,00
5,000,0500
Número de peças defeituosas (X) encontradas em uma amostra de 40 lotes de 50 peças
Posição de Md:
 Md = 6 + 0,5(6 - 6) = 6 peças
0,50(40+1)= 0,541= 20,5º
Separatrizes (Sp) Mediana - Quartis - Decis - Percentis
Dados agrupados
Sp
Sp
ant
Spp a
f
fnp
lS







 

)(
fSp é a frequência da classe 
separatriz 
aSp é a amplitude da classe 
separatriz 
em que: 
lSp é o limite inferior da 
classe separatriz
Classe separatriz:
classe com valor da variável na 
posição p.n (0 < p < 1)
 antf
é a soma das frequências anteriores 
a classe separatriz
(distribuição de frequências)
Y f Fd 
 
31,0  34,0 4 4 
34,0  37,0 8 12 
37,0  40,0 9 21 
40,0  43,0 7 28 
43,0  46,0 4 32 
46,0  49,0 3 35 
49,0  52,0 1 36 
 
Total 36 - 
 
Sp
Sp
ant
Spp a
f
fnp
lS







 

)(
Classe separatriz: Md  p = 0,50
classe com valor da variável na 
posição (0,50 . 36) = 18º
Obter: Md
Classe Mediana: 3ª classe
KgMd 0,390,3
9
1218
0,37 




 

Y: Peso (Kg) de RSU recicláveis (amostra) 
p.n = 18 12 antf0,37Mdl 9Mdf 0,3Mda
Y f Fd 
 
31,0  34,0 4 4 
34,0  37,0 8 12 
37,0  40,0 9 21 
40,0  43,0 7 28 
43,0  46,0 4 32 
46,0  49,0 3 35 
49,0  52,0 1 36 
 
Total 36 - 
 
Sp
Sp
ant
Spp a
f
fnp
lS







 

)(
Classe separatriz: Q3  p = 0,75
classe com valor da variável na 
posição (0,75 . 36) = 27º
Obter: Q3 Q1 P40
Classe 3º Quartil: 4ª classe
KgQ 6,42...571,420,3
7
2127
0,403 




 

Y: Peso (Kg) de RSU recicláveis (amostra) 
Q1 = 35,875  35,9 Kg P40 = 37,8 Kg
p.n = 27 21 antf0,40
3
Ql 73 Qf 0,33 Qa
Moda
Valor (ou atributo) com maior ocorrênciaY (m): 3,4 2,1 3,7 2,5 3,0 1,9 3,3 6,3 1,9 7,7
)(Mo
Mo = 1,9 m unimodal
W (mg): 5,5 0,9 1,7 3,1 33,6 5,3 5,2 5,9 1,0 2,9 3,5 amodal
Z (mg): 5,5 0,9 1,7 3,1 33,6 5,3 5,2 5,9 1,7 0,9 3,5
bimodal
Mais de duas modas multimodal
Mo = 0,9 mg Mo = 1,7 mge
T (pontos): 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 amodal
X (mg): 5,5 0,9 1,7 3,1 33,6 5,3 5,2 5,9 1,7 0,9 1,7
unimodalMo = 1,7 mg
Satisfação dos usuários quanto aos serviços prestados por um laboratório
Mo = Bom unimodal
Número de peças defeituosas encontradas em 40 lotes de 50 peças
Mo = 6 peças defeituosas unimodal
Moda )(Mo
Classe modal = classe maior frequência
lMo é o limite inferior da classe modal
aMo é a amplitude da classe modal
antMo ff 1
 2 postMo ff 
 
21
1


 MoMo
a
lMo
em que: 
Dados agrupados
Mo = 35,7 Kg unimodalPeso (Kg) de RSU recicláveis (amostra)
31,0 34,7 35,7 37,8 39,1 39,7 40,3 43,7 46,9
31,6 34,9 35,7 38,1 39,1 40,0 41,4 43,9 47,0
32,3 35,4 36,2 38,3 39,4 40,1 41,9 44,8 48,2
32,7 35,7 36,3 39,0 39,5 40,1 42,2 45,8 49,2
Peso (Kg) de RSU recicláveis (amostra)
Xi fi fr fr%
3 1 2,500,0250
4 3 7,500,0750
5 9 22,500,2250
6 21 52,500,5250
7 4 10,000,1000
8 2
1,0000Total 40 100,00
5,000,0500
Nº de peças defeituosas encontradas em 40 lotes de 50 peças
Satisfação Frequência 
absoluta (f) 
Freq. Relativa 
(fr) 
Freq. Relativa Porcentual (%) 
(fr %) 
 
Péssimo 2 0,0416 4,16 
Regular 5 0,1042 10,42 
Bom 26 0,5417 54,17 
Ótimo 15 0,3125 31,25 
 
Total 48 1,0000 100,00 
 
Satisfação dos usuários quanto aos serviços prestados por um laboratório de análise de água
Y f 
 
31,0  34,0 4 
34,0  37,0 8 
37,0  40,0 9 
40,0  43,0 7 
43,0  46,0 4 
46,0  49,0 3 
49,0  52,0 1 
 
Total 36 
 
Y: Peso (Kg) de RSU recicláveis (amostra)  
21
1


 MoMo
a
lMo
lMo = 37,0
aMo = 3,0
1891  antMo ff
279 2  postMo ff
 
Kg
a
lMo MoMo 0,38
21
)0,31(
0,37
21
1 






Classe modal = 3ª classe
MEDIDAS DE DISPERSÃO: 
Amplitude
Intervalo interquartil
Variância
Desvio Padrão
Coeficiente de Variação
Finalidade: resumir a variabilidade de um conjunto de 
dados por meio de um determinado valor
(várias observações de um fenômeno não produzem o mesmo resultado)
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
Amplitude (A) A = maior - menor
Considera somente os valores extremos do conjunto
Peso (Kg) de RSU recicláveis (amostra) 
A = 49,2 – 31,0 = 18,2 Kg
Iq = 42,1 – 35,7 = 6,4 Kg
Intervalo interquartil (Iq ) Iq = Q3 - Q1
Posição de Md: 0,5(36 +1) = 0,5  37= 18,5°
 Md = 39,1 + 0,5 (39,4 – 39,1) = 39,25 Kg
Posição de Q1: 0,25 (37) = 9,25°
Posição de Q3: 0,75 (37) = 27,75°
 Q1 = 35,7 + 0,25 (35,7 - 35,7) = 35,70 Kg
 Q3 = 41,9 + 0,75 (42,2 - 41,9) = 41,9 + 0,225
 Q3 = 42,125 Kg
Peso de RSU (Kg) de uma amostra de 36 pontos de coleta
Folhas 
 - 
6 0 
3 7 
- 
 9 
7 7 7 4 
 3 
8 
1 3 
 0 1 1 7 5 
0 1 1 3 
4 9 
2 
7 9 
8 
8 
9 
0 
2 
2 
 
Ramos 
 30 
31 
32 
33 
34 
35 
36 
37 
38 
39 
40 
41 
42 
43 
44 
45 
46 
47 
48 
49 
 
7
2
4
31,0 34,7 35,7 37,8 39,1 39,7 40,3 43,7 46,9
31,6 34,9 35,7 38,1 39,1 40,0 41,4 43,9 47,0
32,3 35,4 36,2 38,3 39,4 40,1 41,9 44,8 48,2
32,7 35,7 36,3 39,0 39,5 40,1 42,2 45,8 49,2
Q3
Q1
1,5 Iq
1,5 Iq
Variável
GRÁFICO DE CAIXA (BOX-PLOT) - Observações Discrepantes
LI LI = Q1 - 1,5(Q3 - Q1)
LS LS = Q3 + 1,5(Q3 - Q1)
Iq Iq = (Q3 - Q1)
*
*
*
* = Observações discrepantes (outliers)
Md
Mín
Máx
V
a
lo
re
s
 d
a
 v
a
ri
á
v
e
l
Iq Iq= Q3 - Q1 = (42,125 – 35,7) = 6,425
Observações Discrepantes
Q1 = 35,7 Q3 = 42,125
0
20
40
60
Q3
Q1
Peso (Kg)
Não possui observações discrepantes (outliers)
49,2
Md = 39,25
Mín = 31,0 Kg Máx = 49,2 Kg
LS = Q3 + 1,5(Q3 - Q1) = 42,125 + 9,6375 = 51,7625
1,5 Iq 51,8 
LI = Q1 - 1,5(Q3 - Q1) = 35,7 – 9,6375 = 26,0625 
1,5 Iq
 26,1 
31,0
Fonte: Dados da pesquisa (2020).
Gráfico 12 - Peso (Kg) de resíduos sólidos urbanos (RSU) recicláveis
3
0
3
5
4
0
4
5
5
0
Peso(Kg)
—
mediana = 39,3
25%-75% = (35,7 ; 42,1)
Mín-Máx = (31,0 ; 49,2)
0,9
W (mg): 5,5 0,9 1,7 3,1 33,6 5,3 5,2 5,9 1,0 2,9 3,5
Posição de Q1: 0,25 (12) = 3°  Q1= 1,7 mg
Posição de Md: 0,50 (12) = 6°  Md = 3,5 mg
Posição de Q3 : 0,75 (12) = 9°  Q3= 5,5 mg
Rol W (mg): 0,9 1,0 1,7 2,9 3,1 3,5 5,2 5,3 5,5 5,9 33,6
1,5 Iq
LS = Q3 + 1,5(Q3 - Q1) = 5,5 + 5,7 = 11,2
LI = Q1 - 1,5(Q3 - Q1) = 1,7 – 5,7 = -4,0 
*
33,6 observação discrepante
n= 11
5,9
Iq
Iq= Q3 - Q1 = (5,5 – 1,7) = 3,8
Peso (mg)
0
10
20
30
Q1
Q3
*
Mediana = 3,5
25%-75% = (1,7 ; 5,5)
Mín-Máx = (0,9 ; 5,9)
* = 33,6
Gráfico 13 - Peso (mg) de .........
Fonte: Dados da pesquisa (2020).
0
10
20
30
Peso (mg)
Discrepante 
Variância Populacional população2
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
 
 
 
N
N
x
x
N
x
xxxx
N
x
N
i
i
N
i
ii
N
i




 






 
2
2
2
2
2
1
2
1
22
1
2
2
 
...)2(
 




Variância populacional (2): soma dos quadrados dos desvios em 
relação à média dividida pelo número de observações N
Variância Amostral amostras 2
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
Variância amostral (s2): soma dos quadrados dos desvios em relação à 
média dividida pelo número de observações 
menos um (n-1)
O denominador (n - 1) fornece uma estimativa imparcial para a variância populacional, 
calculada a partir de uma amostra
 
 
 
 
1
 
...)2(
1
 
2
2
2
2
2
1
2
1
22
1
2
2











 

 

n
n
x
x
s
n
x
xxxxxxx
n
xx
s
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
Desvio padrão
MEDIDAS DE DISPERSÃO 





amostras
população
VariânciaPadrãoDesvio  
Desvio padrão
Populacional
   
N
N
x
x
N
x
N
i
i 
 


 
2
2
1
2


Desvio padrão
Amostral
   
11
2
2
1
2









n
n
x
x
n
xx
s
n
i
i
O desvio padrão possui a mesma unidade dos dados
A = (33,6 – 0,9) = 32,7 mg Q3 - Q1 = (5,5 – 1,7) = 3,8 mg
g 3,9...2536,9 ms    222 g 6,85...6305,85...2563,9 ms 
A = (5,9 – 0,9) = 5,0 mg Q3 - Q1 = (5,3 – 1,7) = 3,6 mg
g 8,1...807,1 ms   
222 g 3,3...2669,3...807,1 ms 
Obter: Desvio padrão, Variância, Amplitude e o Intervalo interquartil
(amostra)
W1 (mg): 5,5 0,9 1,7 3,1 33,6 5,3 5,2 5,9 1,0 2,9 3,5
W2 (mg): 5,5 0,9 1,7 3,1 3,6 5,3 5,2 5,9 1,0 2,9 3,5
(amostra)
Peso de uma amostra de 36 pontos (n=36) de coleta de RSU (Kg) 
Kgs 7,4...6856,4 Desvio padrão
Variância   2
22 0,22...9553,21...6856,4 Kgs 
Peso de todos (população N=36) os pontos de coleta de RSU (Kg)
Kg 6,4...6201,4 Desvio padrão
Variância   2
22 3,21...3454,21...6201,4 Kg
g 3,9...2536,9 ms    222 g 6,85...6305,85...2563,9 ms 
g 8,8...8230,8 m   222 g 8,77...8459,77...8230,8 m
(amostra)
(população)
W1 (mg): 5,5 0,9 1,7 3,1 33,6 5,3 5,2 5,9 1,0 2,9 3,5
W1 (mg): 5,5 0,9 1,7 3,1 33,6 5,3 5,2 5,9 1,0 2,9 3,5
- medida de dispersão relativa
- exprime a variabilidade em relação à média
- elimina o efeito da magnitude dos dados
(%) 
. x 100
Média
padrãoD
CV 
Coeficiente de variação
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
CV
Média 100,00 %
D. padrão CV %
W1 (mg): 5,5 0,9 1,7 3,1 33,6 5,3 5,2 5,9 1,0 2,9 3,5
g 3,9...2536,91 ms 
W2 (mg): 5,5 0,9 1,7 3,1 3,6 5,3 5,2 5,9 1,0 2,9 3,5
g 8,1...807,1 ms 
mg,...,w 262363661 
%38,148...382,148
...23,6
...25,9 x 100

mg,w 53 ,509...32 
%51,51...507,51
...509,3
...807,1 x 100


1W
CV

2W
CV
1 - Obter a média, 1º quartil, mediana, 3º quartil, o percentil 82 e a 
moda.
2 - Obter o intervalo interquartil, desvio padrão, variância e o 
coeficiente de variação.
3 - Obter o gráfico de caixa (box-plot).
95 108 108 102 105104 115
96 100 97 107 102 87 114
90 96 104 102 116 116 101
106 105 104 99 118 99 106
109 105 111
Os dados abaixo representam o peso (W), em gramas, de uma amostra 
de peças produzidas por uma máquina.
Desvio padrão Dados agrupados
Distribuição por ponto
em que: xi é o i-ésimo valor da variável e fi é a frequência absoluta 
do i-ésimo valor da variável
   
 
 
defeituosa peça 1...006,1
2
12...31
2...31
)28(...)13(
)228(...)123(





s
Desvio padrão
Populacional
Desvio padrão
Amostral
N
xf
f
f
fx
fx
k
i
ii
k
i
i
k
i
k
i
i
k
i
ii
ii



















 1
2
1
1
1
2
12
)( 

1
)(
1
1
2
1
1
1
2
12






















n
xxf
f
f
fx
fx
s
k
i
ii
k
i
i
k
i
k
i
i
k
i
ii
ii
Distribuição por classe
em que: xi é o ponto médio da classe i e fi é a frequência absoluta 
da classe i
   
 
 
 Kg7,4...7025,4
11...84
2
1...84
)15,50(...)45,32(
)125,50(...)425,32(





s
Desvio padrão
N
xf
f
f
fx
fx
k
i
ii
k
i
i
k
i
k
i
i
k
i
ii
ii



















 1
2
1
1
1
2
12
)( 

Desvio padrão
Populacional
Desvio padrão
Amostral
Dados agrupados
1
)(
1
1
2
1
1
1
2
12






















n
xxf
f
f
fx
fx
s
k
i
ii
k
i
i
k
i
k
i
i
k
i
ii
ii
Xi fi fr fr%
3 1 2,500,0250
4 3 7,500,0750
5 9 22,500,2250
6 21 52,500,5250
7 4 10,000,1000
8 2
1,0000Total 40 100,00
5,000,0500
Nº de peças defeituosas encontradas em 40 amostras de lotes de 50 peças 
Tabela de frequência para dados
agrupados em classes
(distribuição de frequências)
Y f Ponto médio 
 
31,0  34,0 4 32,5 
34,0  37,0 8 35,5 
37,0  40,0 9 38,5 
40,0  43,0 7 41,5 
43,0  46,0 4 44,5 
46,0  49,0 3 47,5 
49,0  52,0 1 50,5 
 
Total 36 - 
 
Peso (Kg) de RSU recicláveis (amostra)
Quando a média, 
mediana 
e 
moda 
são iguais
Distribuição
Simetria
oM
dM

simétrica
oMdM  
assimétrica à direita
ou
assimétrica positiva
oM dM 
oMdM  
assimétrica à esquerda
ou
assimétrica negativa
oMdM
oMdM  
3 - Comparando a média, mediana e moda, comentar sobre a simetria 
ou assimetria dos dados.
1 - Obter: média, 1º quartil, mediana, 3º quartil e a moda.
2 - Obter: desvio padrão, variância e o coeficiente de variação.
W f 
 
87  92 2 
92  97 3 
97  102 5 
102  107 11 
107  112 5 
112  117 4 
117  122 1 
 
Total 31 
 
Os dados abaixo representam o peso (W), em gramas, de uma amostra 
de peças produzidas por uma máquina.