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Lista complementar de exerćıcios de Introdução à Matemática -3a
Unidade - Primeiro semestre de 2008
DM-CCEN-UFPE
Prof. Antonio C. R. Monteiro
Recife, 20 de maio de 2008
1 Números complexos: a forma algébrica e a resolução de equações
quadráticas com coeficientes complexos
1. Calcular √
1 + a +
√
1− ai√
1 + a−√1− ai −
√
1− a +√1 + ai√
1− a−√1 + ai
com a real e −1 < a ≤ 1.
2. Quais complexos z satisfazem cada uma das condições a seguir?
(a) z2 + |z| = 0
(b) | z−12z−8i | = 53 e | z−4z−8 | = 1
(c) z2 = z
(d) zn−1 = z, com n natural e maior que 1
(e) log1/5 |z|+ log1/5(|z|+ 1) > log1/5(2|z|+ 5)
(f) |z|2 − 2iz + 2a = 0, com a ∈ R.
3. Calcular
√
5 + 12i,
√
21 + 20i,
√−13 + 84i, √15 + 8i, √−77 + 36i, √3, 75 + 2i, 3√i, 6√1,
4
√−1 e 4√5 + 12i.
4. Se z é um complexo com |z| = 1 e z 6= −1 então z se escreve na forma
z =
1 + ti
1− ti
para algum t real. Vale a rećıproca?
5. Mostre que se z e w são complexos então
|z|+ |w| = |z + w
2
+
√
z.w|+ |z + w
2
−√z.w|
6. Decompor x2 + y2, a2 + 9b2, 4m2 + 9n2, a2 + b2/4, p2 + 1 e 16 + 25 como produto de
complexos conjugados.
7. Represente no plano complexo as condições: θ = 5π/4, θ = 2π/5, 3 ≤ |z| < 4 e |z−2| > |z|.
8. Se x e y são números reais, resolva
1
(a) 3 + 2xi + 3yi = 8i + x− 2y
(b) 8ix + iy − 2 = 7i− 10x
9. Mostre que se z e w são complexos conjugados então zn e wn também são.
10. Resolver log1/3 3 < log1/3 |x + 1− i
√
5| < 0
11. Resolver {
z3 + w5 = 0
z2.w4 = 1
12. Resolver
z + a|z + 1|+ i = 0
com a sendo um real ≥ 1.
13. Mostre que as ráızes da equação x2 + x + 1 = 0 também são ráızes de
x3m + x3n+1 + x3p+2 = 0
com m,n e p sendo inteiros.
14. Seja z = a + bi e w = c + di. Escreva z.w = a(c + di) + b(c + di)i e represente geometri-
camente a(c + di) e b(c + di)i = [b(c + di)]i e note que são perpendiculares. Conclua que
o ângulo formado por z.w e a(c + di) é o mesmo que o formado por a + bi e o semi-eixo
positivo das abscissas e que o valor absoluto de z.w é igual a
√
a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2) =√
(a2 + b2)(c2 + d2) = |z||w|.
15. Calcule a tangente do ângulo formado pelos vetores com extremos nos pontos (ad−bc, ac+
bd) e (b, d) mostre que é igual à tangente do ângulo formado pelos vetores com extremos
(a, b) e (1, 0).
16. Se |z| < 1/2 então mostre que |(1 + i)z3 + iz| < 3/4.
17. Calcular
(1− i)2006
(1 + i)2008
e
(1 + i)n
(1− i)n+2
18. Calcule o produto das partes reais das ráızes da equação x2 − x = 5− 5i.
19. Calcular
1 + 2i + 3i2 + 4i3 + ... + 2005i2004 + 2006i2005 + 2007i2006 + 2008i2007
20. Qual condiçaõ deve satisfazer os reais x e y para que (x + iy)(3 + 2i) seja real?
21. Se |z| = 1 e |w| = 2, o que se pode afirmar sobre |z + w|, |z − w|, |z.w| e |z/w|?
22. Calcular (1 + i)n.
23. Dentre os números complexos z satisfazendo
|z − 10i| ≤ 6
determine o que tem o maior argumento.
2
24. Se |z| = 7, qual o maior e o menor valor de | z+iz−i |?
25. Dentre os complexos z satisfazendo |z − 25i| ≤ 15 encontrar o que tem menor argumento.
26. Resolva as equações x2 − 2(1 + i)x + (2i − 1) = 0, 2x2 + 5x + 6 = 0, x4 + x2 + 1 = 0,
x4 + ix2 + 2 = 0, (x2 + x + 1)2 = (x + 1)2
27. Uma função f : C→ C é uma isometria se |f(z)− f(z1)| = |z − z1|, para todo z, z1 ∈ C.
(a) Mostre que translações (dadas por f(z) = z + c, com c ∈ C constante) e a conjugação
(dada por f(z) = z) são isometrias.
(b) Mostre que se |α| = 1 então f(z) = αz é uma isometria e faça uma interpretação
geométrica de f (f é uma rotação anti-horária de argumento de z).
(c) Mostre que se f e g são isometrias então f ◦ g e f−1 são isometrias. Encontre f−1
para as isometrias dos exemplos anteriores.
(d) Seja f : C → C uma isometria tal que f(0) = 0. Mostre que |f(z)| = |z|. Se f
também satisfaz f(r) = r, para algum real não-nulo r, mostre que f é a identidade
ou a conjugação. Sugestão: Escreva z = a + bi e f(z) = c + di, e conclua que
c2 +d2 = a2 + b2 e que (c− r)2 +d2 = (a− r)2 + b2; então deduza que c = a e d = ±b.
Então f(z) = z ou f(z) = z. Mostre que não se pode ter f(z1) = z1 e f(z2) = z2 se
z1 e z2 são complexos não reais. Conclua.
(e) Seja f : C → C uma isometria. Defina g : C → C por g(z) = z + f(0). Então g−1f
é uma isometria e g−1f(0) = 0. Seja α = g−1f(1) e h(z) = αz. Mostre que |α| = 1
e que h−1g−1f é uma isometria satisfazendo h−1g−1f(0) = 0 e h−1g−1f(1) = 1.
Conclua que h−1g−1f é a identidade ou conjugação de C.
(f) Conclua que as isometrias de C são composições de rotação e translação ou com-
posições de rotação, translação e conjugação.
2 A forma trigonométrica dos números complexos e aplicações
1. Encontre a forma trigonométrica de 1 + itgθ com −π < θ < π e π 6= ±π/2.
2. Encontre os inteiros n satisfazendo (1− i)n = 2n.
3. Se n é inteiro, mostre que
(1 + i)n = 2n/2(cos
nπ
4
+ isen
nπ
4
)
e que
(
√
3− i)n = 2n(cos nπ
6
− isennπ
6
)
4. Mostre que
(1 + cosα + isenα)n = 2n cosn
α
2
(cos
nα
2
+ isen
nα
2
)
5. Simplifique
cosα + isenα
cosβ − isenβ
6. Mostre que as ráızes de (x + 1)m − (x− 1)m = 0 são icotg kπm , k = 1, 2, ..., m− 1.
7. Mostre que as soluções de (x + i)m − (x− i)m = 0 são cotg kπm , k = 1, 2, ...,m− 1 .
8. Seja z = cosθ + isenθ com θ ∈ R. Mostre que as afirmações seguintes são equivalentes:
3
(a) z é raiz da unidade.
(b) θ/2π ∈ Q
(c) {zm : m ∈ Z} é finito
9. Mostre que as ráızes quadradas de z = r(cos θ + isenθ) são dadas por
±√r(cos θ
2
+ isen
θ
2
)
Obtenha as fórmulas para a raiz quadrada de z = a+bi nos casos 0 ≤ θ < π e π ≤ θ < 2π..
10. Se u é um complexo de valor absoluto um, mostre que a equação
(
1 + ix
1− ix
)n
= u
admite n ráızes reais distintas.
3 A equação cúbica e a quártica
1. Um oráculo ordenou a um pŕıncipe que fosse erguida uma construção sagrada na forma de
um paraleleṕıpedo reto cujo volume fosse 400, sendo o comprimento 6 mais que a largura
e a largura 3 mais que a altura. Qual a altura do construção?
2. Calcule as ráızes dos seguintes polinômios em C: (a) x3 + 1 = 0 (b)x3− 6x2 + 11x− 6 = 0
(c) x5 +x4 +4x2 +4x = 0 (d) x2 +1 = 0 (e) x4 +x3 +x2 +x+1 = 0 (f) x4− 6x2 +11 = 0
3. Um depósito na forma de um paraleleṕıpedo retângulo está preenchido com certo volume
de ĺıquido. Ao colocarmos no interior do paraleleṕıpedo um cubo sólido de aresta 4cm,
com densidade maior que a do ĺıquido, a altura do ĺıquido fica igual à aresta do cubo. O
paraleleṕıpedo tem base com comprimento 5cm e largura 6cm. Determine a aresta x de
outro cubo sólido, com densidade maior que a do ĺıquido, que, quando colocado no interior
do paraleleṕıpedo, deixa a altura do ĺıquido igual à medida da aresta.
4. É α = 3
√
10 + 6
√
3 + 3
√
10− 6√3 (escolhendo as ráızes cúbicas reais) racional?
5. Resolva as cúbicas seguintes: x3 − 6x + 9 = 0, x3 + 9x2 + 18x + 28 = 0, x3 − 6x + 4 = 0,
x3 + 6x + 2 = 0, x3 − 3x2 − 3x + 11 = 0, x3 + 3x2 − 6x + 4 = 0, x3 − 6x2 + 57x− 196 = 0,
x3 + 3x− 2i = 0, x3 − 6ix + 4(1− i) = 0 e x3 − 3abx2 + a3 + b3 = 0.
6. Resolva as equações de grau quatro seguintes: x4+2x3−2x2+6x−15 = 0, x4−4x3+3x2+
2x−1 = 0, x4−6x3+6x2+27x−56 = 0, x4−x3−3x2+5x−10 = 0, x4+6x3+6x2−8 = 0,
x4 − 2x3 + 4x2 + 2x − 5 = 0, x4 − x3 − 4x2 + 4x + 1 = 0, x4 − 4x3 − 20x2 − 8x + 4 = 0,
x4 − x3 + 2x− 1 = 0 e 4x4 − 4x3 − 6x2 + 2x + 1 = 0.
7. Resolver x4 − x3 − x2 + 10x− 12 = 0.
8. Resolver x3 − 3x2 + 1 = 0.
9. Resolver x4 + 3x− 2 = 0.
10. Resolver x4 + 5x3 + 7x2 + x− 2 = 0.
11. Resolver x4 + 5x3 + 9x2 + 8x + 2 = 0.
4
4 Polinômios com coeficientes complexos
1. Para que complexos p e q temos que x2 + px + q divide x4 − 1?
2. Determine os reais a e b de modo que as equações x3 + ax2 + 18 = 0 e x3 + bx + 12 = 0
admitam duas ráızes em comum.
3. Estude a veracidade das afirmações seguintes:
(a) x8 + x4 + 1 = (x4 + x2 + 1)(x4 − x2 + 1)
(b) 100.010.001 é diviśıvel por 10.101
(c) x4 + x2 + 1 é produto de dois polinômios quadráticos com coeficientes inteiros.
(d) x8 + x4 + 1 não tem ráızes reais.
(e) x4 + x2 + 1 e x4 − x2 + 1 não têm ráızesem comum.
4. Quais das funções a seguir, de R em R, são polinomiais?
(a) x → x8−16
x4+4
(b) x → (2 +√1 + x2)2 + (2−√1 + x2)2
(c) x → (1 +√1 + x2)3 − (2−√1 + x2)3
5. Resolva, em C, as equações x3 + 3x = 5 e x4 = 5x + 6.
6. Mostre que x16 + x12 + x8 + x4 + 1 = (x8 + x6 + x4 + x2 + 1)(x8 − x6 + x4 − x2 + 1). É
10.001.000.100.010.001 primo?
7. Mostre que a = 3 + 5x − 5x2, b = 4 − 4x + 6x2, c = 5 − 5x − 3x2, d = 6 − 4x + 4x2 são
soluções da equação a3 + b3 + c3 = d3.
8. Encontre um polinômio de grau 4 p(x) satisfazendo p(x + 1) − p(x) = x3. Calcule 13 +
23 + 33 + ... + n3 em termos de n.
9. Mostre que 1k + 2k + 3k + ... + nk expressa-se como um polinômio em n de grau k + 1 e
coeficiente ĺıder 1/(k + 1). Calcule estes polinômios para k = 1, 2, 3, 4.
10. Determine p e p tais que
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x2 + px + q)2
11. Escolhendo as ráızes cúbicas reais, é
3
√
45 + 29
√
2 +
3
√
45− 29
√
2
irracional?
12. Mostre que se x é inteiro e x 6= ±1 então x4 + 4 não é um número primo.
13. Determine as ráızes racionais das equações a seguir e, em seguida, determine as demais
ráızes.
(a) x4 + 4x3 + 3x2 − 4x− 4 = 0
(b) x3 − 4x2 − 7x + 10 = 0
(c) 2x3 − x2 − 12x− 9 = 0
5
5 O algoritmo da divisão, ráızes de polinômios, teorema de
d’Alembert, etc.
1. Encontre a e b complexos tais que o polinômio −x5 + 2x4 − 3x3 + 4x2 + ax + b tenha 2 e
−3 como ráızes.
2. Encontre o polinômio de menor grau, com coeficiente ĺıder 1, e que tem 2 + i e 3− i como
ráızes. E se o polinômio também deve ter coeficientes reais?
3. Resolva as equações
(x + 5)(x + 7)(x− 6)(x− 4) = 504
e
(x− 7)(x− 3)(x + 5)(x + 1) = 1680
Sugestão: Para a primeira equação, multiplique o primeiro e o quarto fatores e o segundo
e o terceiro e faça uma mudança de variáveis.
4. Resolva
12x4 + 56x3 + 89x2 + 56x + 12 = 0
e
x4 + x3 − 4x2 + x + 1 = 0
5. O objetivo deste exerćıcio é determinar, novamente, cos 72o.
(a) Lembre que cos(2α) = 2 cos2 α− 1 e que cos(3α) = 4 cos3 α− 3 cos α.
(b) Mostre que cos 72o é raiz de 4x3 − 2x2 − 3x + 1 = 0.
(c) Mostre que cos 72o =
√
5−1
4 .
6. Resolva
3
√
19 + x + 3
√
9− x = 4
7. Se um polinômio p(x) tem coeficientes inteiros e p(x) = 11 para quatro valores valores
inteiros de x, mostre que p(x) 6= 22 para x inteiro.
8. Se um polinômio p(x) tem grau três e satisfaz p(2) = 8, p(3) = 3, p(5) = 5 e p(7) = 7,
calcule p(11).
9. Se as ráızes de x3 + px + q = 0, com p e q reais e q 6= 0, são reais, mostre que p < 0.
10. Ao dividirmos um polinômio p(x) por x− ak obtemos restos rk (k = 1, 2, 3). Qual o resto
da divisão de p(x) por (x− a1)(x− a2)(x− a3)?
11. Resolva as seguintes equações: x3−6x+9 = 0, x3−7x+6 = 0 e x3−15x2−33x+847 = 0.
12. Use substituição trigonométrica para resolver as equações: x3−3a2x = 0 e x3−3x−2 = 0.
13. Resolva as equações x4 + x2 + 4x− 3 = 0 e x4 − 2x2 + 8x− 3 = 0.
14. Resolva a equação x4 − 2x3 − 5x2 + 10x− 3 = 0.
15. Mostre que x3 + y3 + z3 − 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 − xy − xz − yz). Mostre que
x2 +y2 +z2−xy−xz−yz ≥ 0 para todo x, y, z ∈ R. Conclua que (xyz)1/3 ≤ (x+y+z)/3
para x, y, z ≥ 0 e a igualdade só acontece se x = y = z.
16. Racionalize 1
3√a+ 3
√
b+ 3
√
c
.
6
17. O objetivo deste exerćıcio é resolver a equação x5 − 5ax3 + 5a2x − 2b = 0 usando um
método similar ao usado com a equação do terceiro grau.
(a) Substitua x = u + v e reescreva o resultado como
(u5 + v5) + 5(u + v)(u2 + uv + v2 − a)(uv − a)− 2b = 0
(b) Imponha a restrição uv = a e obtenha que u5 + v5 − 2b = 0.
(c) Mostre que
x =
5
√
b +
√
b2 − a5 + 5
√
b−
√
b2 − a5
6 Relações entre os coeficientes e as ráızes de polinômios
1. Se x1, x2 e x3 são as ráızes de x3 − 3x2 + 5 = 0, determine x21 + x22 + x23, x31 + x32 + x33 e
x41 + x
4
2 + x
4
3.
2. Determine as soluções em números complexos do sistema



x + y + z = 3
x2 + y2 + z2 = 3
x3 + y3 + z3 = 3
3. Se x1, x2, ..., x100 são as ráızes da equação x100 − x + 1 = 0, calcule a soma
x1001 + x
100
2 + ... + x
100
100
4. Se a equação x4 − 16x3 + 94x2 + px + q = 0 admite duas ráızes duplas, determine p + q.
5. Se x1, x2 e x3 são as ráızes da equação x3 − x + 1 = 0, determine
1
x31
+
1
x32
+
1
x33
e
x51 + x
5
2 + x
5
3
6. Suponha que
xn + a1xn−1 + a2xn−2 + ... + an−1x + an = (x + r1)(x + r2)...(x + rn)
com r1, r2, ..., rn reais. Mostre que
(n− 1)a21 ≥ 2na2
7. Mostre que a equação x3 + ax2 − b = 0, com a e b reais e b > 0 admite uma única raiz
positiva.
8. Seja f(x) um polinômio com coeficientes reais tal que f(a) ≥ 0 para todo a ∈ R. Mostre
que existem polinômios com coeficientes reais, g(x), h(x) tais que f = g2 + h2.
9. Resolva as equações esquisitas a seguir:
(a) 2|x| = cosx2
(b) xx
x...
= 3 (admitindo que a expressão no lado esquerdo faça sentido).
(c) |x− 2|x
2−8x+15
x−4 = 1
(d) 2
√
x
a + 3
√
a
x =
b
a +
a
b
(e) 2sen
2x + 5.2cos
2 x = 7
(f) senx = loge x
7
7 Terceiro Exame de Introdução à Matemática I
Terceira Etapa do Vestibular para Bacharelados em Matemática
e Qúımica-UFPE
Prof. Antonio C.R. Monteiro
Recife, 9 de agosto de 2005.
A seguir, o terceiro exame de Introdução à Matemática I, aplicado no primeiro semestre de 2005,
para as turmas de Bacharelado em Matemática e Qúımica. Nenhuma semelhança com exames
atuais deve ser esperada.
1. Mostre que todo número complexo z com |z| = 1 e z 6= 1 se escreve na forma
z =
x + i
x− i
para algum real x.
2. Encontre todas as ráızes complexas de
x4 − 4x2 + 8 = 0.
3. Dentre os números complexos z satisfazendo
|z − 10i| ≤ 6
determine o que tem o maior argumento.
4. Determine on inteiros n tais que
(
√
3 + i)n
seja real.
5. Um cilindro reto com raio da base medindo 6cm está parcialmente preenchido com água.
Ao colocarmos no interior do cilindro uma esfera sólida de raio 4cm o ńıvel da água fica
igual ao diâmetro da esfera. Determine o raio de outra esfera sólida, diferente da anterior,
que, quando colocada no interior do mesmo cilindro, também deixa o ńıvel da água igual
ao seu diâmetro.
6. Encontre a, b e c reais tais que
x + 4
x3 + 2x
=
a
x
+
bx + c
x2 + 2
7. Sejam x1, x2 e x3 as ráızes de x3−3x2+2x−5 = 0. Determine um polinm̂io com coeficientes
inteiros cujas ráızes sejam x1.x2, x1.x3 e x2.x3.
8. É α = 3
√
10 + 6
√
3 + 3
√
10− 6√3 (escolhendo as ráızes cúbicas reais) inteiro?
9. Determine as ráızes complexas da equação
x3 − 3x + 1 = 0
(as soluções devem ser expressas em termos de senos e/ou cossenos).
10. Determine as ráızes complexas da equação
x4 − 2x2 + 7x− 12 = 0
8