Slide da Aula de Inversão de Matriz

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Disciplina de Álgebra Linear
Aula de Inversão de Matrizes
Paulo Ricardo Pinheiro Sampaio
Universidade de Fortaleza - UNIFOR
ppinheirosampaio@unifor.br
2020
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Definição de Operações Elementares com Linhas de uma Matriz
Seja A ∈ Mm × n (R). Chama - se operação elementar com linhas de A,
qualquer uma das seguintes operações descritas a seguir:
Permutação de duas linhas de A.
Li ←→ Lj, i 6= j
Multiplicação de uma linha de A por um número λ ∈ R, com λ 6= 0.
Li → λLi, i 6= j
Substituir uma linha de A por ela adicionada a um múltiplo escalar de outra
linha de A.
Li → Li + λLj, i 6= j e λ ∈ R qualquer
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Definição de Operações Elementares com Linhas de uma Matriz
Seja A ∈ Mm × n (R). Chama - se operação elementar com linhas de A,
qualquer uma das seguintes operações descritas a seguir:
Permutação de duas linhas de A.
Li ←→ Lj, i 6= j
Multiplicação de uma linha de A por um número λ ∈ R, com λ 6= 0.
Li → λLi, i 6= j
Substituir uma linha de A por ela adicionada a um múltiplo escalar de outra
linha de A.
Li → Li + λLj, i 6= j e λ ∈ R qualquer
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Definição de Operações Elementares com Linhas de uma Matriz
Seja A ∈ Mm × n (R). Chama - se operação elementar com linhas de A,
qualquer uma das seguintes operações descritas a seguir:
Permutação de duas linhas de A.
Li ←→ Lj, i 6= j
Multiplicação de uma linha de A por um número λ ∈ R, com λ 6= 0.
Li → λLi, i 6= j
Substituir uma linha de A por ela adicionada a um múltiplo escalar de outra
linha de A.
Li → Li + λLj, i 6= j e λ ∈ R qualquer
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Definição de Operações Elementares com Linhas de uma Matriz
Seja A ∈ Mm × n (R). Chama - se operação elementar com linhas de A,
qualquer uma das seguintes operações descritas a seguir:
Permutação de duas linhas de A.
Li ←→ Lj, i 6= j
Multiplicação de uma linha de A por um número λ ∈ R, com λ 6= 0.
Li → λLi, i 6= j
Substituir uma linha de A por ela adicionada a um múltiplo escalar de outra
linha de A.
Li → Li + λLj, i 6= j e λ ∈ R qualquer
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Definição de Operações Elementares com Linhas de uma Matriz
Seja A ∈ Mm × n (R). Chama - se operação elementar com linhas de A,
qualquer uma das seguintes operações descritas a seguir:
Permutação de duas linhas de A.
Li ←→ Lj, i 6= j
Multiplicação de uma linha de A por um número λ ∈ R, com λ 6= 0.
Li → λLi, i 6= j
Substituir uma linha de A por ela adicionada a um múltiplo escalar de outra
linha de A.
Li → Li + λLj, i 6= j e λ ∈ R qualquer
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Definição de Operações Elementares com Linhas de uma Matriz
Seja A ∈ Mm × n (R). Chama - se operação elementar com linhas de A,
qualquer uma das seguintes operações descritas a seguir:
Permutação de duas linhas de A.
Li ←→ Lj , i 6= j
Multiplicação de uma linha de A por um número λ ∈ R, com λ 6= 0.
Li → λLi
Substituir uma linha de A por ela adicionada a um múltiplo escalar de outra 
linha de A.
Li → Li + λLj, i 6= j e λ ∈ R qualquer
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Definição de Operações Elementares com Linhas de uma Matriz
Seja A ∈ Mm × n (R). Chama - se operação elementar com linhas de A,
qualquer uma das seguintes operações descritas a seguir:
Permutação de duas linhas de A.
Li ←→ Lj , i 6= j
Multiplicação de uma linha de A por um número λ ∈ R, com λ 6= 0.
Li → λLi, 
Substituir uma linha de A por ela adicionada a um múltiplo escalar de outra 
linha de A.
Li → Li + λLj , i 6= j e λ ∈ R qualquer
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Matriz linha equivalentes
Sejam A,B ∈ Mm × n (R). Dizemos que A é linha equivalente a B, se B pode
ser obtida a partir de A através de uma sequência finita de operações
elementares com linhas.
Notação
A v B ou A ≡ B.
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Matriz linha equivalentes
Sejam A,B ∈ Mm × n (R). Dizemos que A é linha equivalente a B, se B pode
ser obtida a partir de A através de uma sequência finita de operações
elementares com linhas.
Notação
A v B ou A ≡ B.
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Exemplo
A matrizes A =
 1 1 12 3 1
5 2 4
 e B =
 1 1 15 2 4
2 3 1
 são linha equivalente, pois
B foi obtida de A através da operação L2 ←→ L3.
Exemplo
A matrizes A =
 1 1 12 3 1
5 2 4
 e C =
 1 1 10 1 −1
2 3 1
 são linha equivalente, pois
C foi obtida de B através da operação L2 → L2 − 2L1.
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Exemplo
A matrizes A =
 1 1 12 3 1
5 2 4
 e B =
 1 1 15 2 4
2 3 1
 são linha equivalente, pois
B foi obtida de A através da operação L2 ←→ L3.
Exemplo
A matrizes A =
 1 1 12 3 1
5 2 4
 e C =
 1 1 10 1 −1
2 3 1
 são linha equivalente, pois
C foi obtida de B através da operação L2 → L2 − 2L1.
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Teorema
Se uma matriz A pode ser reduzida à matriz identidade (”transformada na
matriz identidade”) por uma sequência finita de aplicação das operações
elementares sobre as linhas de A, então A é invert́ıvel e a inversa de A é obtida a
partir da matriz identidade aplicando-se a mesma sequência de operações
elementares com linhas.(
A
... I
) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
operações elementares
(
I
...A−1
)
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Exemplo
Determine a inversa da matriz A =
(
1 2
3 4
)
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Solução
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ = 4− 6 = −2
A−1 =
1
det (A)
adj (A) =
1
−2
(
4 −2
−3 1
)
=
(
−2 1
3
2
−1
2
)
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Solução ∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣
= 4− 6 = −2
A−1 =
1
det (A)
adj (A) =
1
−2
(
4 −2
−3 1
)
=
(
−2 1
3
2
−1
2
)
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Solução ∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ = 4− 6
= −2
A−1 =
1
det (A)
adj (A) =
1
−2
(
4 −2
−3 1
)
=
(
−2 1
3
2
−1
2
)
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Solução ∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ = 4− 6 = −2
A−1 =
1
det (A)
adj (A) =
1
−2
(
4 −2
−3 1
)
=
(
−2 1
3
2
−1
2
)
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Solução ∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ = 4− 6 = −2
A−1 =
1
det (A)
adj (A)
=
1
−2
(
4 −2
−3 1
)
=
(
−2 1
3
2
−1
2
)
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Solução ∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ = 4− 6 = −2
A−1 =
1
det (A)
adj (A) =
1
−2
(
4 −2
−3 1
)
=
(
−2 1
3
2
−1
2
)
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Solução ∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ = 4− 6 = −2
A−1 =
1
det (A)
adj (A) =
1
−2
(
4 −2
−3 1
)
=
(
−2 1
3
2
−1
2
)
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Solução
(
1 2
... 1 0
3 4
... 0 1
)
−−−−−−−−−−−−→
L2 → L2 − 3 · L1
(
1 2
... 1 0
0 −2 ... −3 1
)
(
1 2
... 1 0
0 −2 ... −3 1
)
−−−−−−−−−−−→
L2 →
(
−1
2
)
· L2
(
1 2
... 1 0
0 1
... 3
2
−1
2
)
(
1 2
... 1 0
0 1
... 3
2
−1
2
)
−−−−−−−−−−−−→
L1 → L1 − 2 · L2
(
1 0
... −2 1
0 1
... 3
2
−1
2
)
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Solução
(
1 2
... 1 0
3 4
... 0 1
)
−−−−−−−−−−−−→
L2 → L2 − 3 · L1
(
1 2
... 1 0
0 −2 ... −3 1
)
(
1 2
... 1 0
0 −2 ... −3 1
)
−−−−−−−−−−−→
L2 →
(
−1
2
)
· L2
(
1 2
... 1 0
0 1
... 3
2
−1
2
)
(
1 2
... 1 0
0 1
... 3
2
−1
2
)
−−−−−−−−−−−−→
L1 → L1 − 2 · L2
(
1 0
... −2 1
0 1
... 3
2
−1
2
)
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Solução
(
1 2
... 1 0
3 4
... 0 1
)
−−−−−−−−−−−−→
L2 → L2 − 3 · L1
(
1 2
... 1 0
0 −2 ... −3 1
)
(
1 2
... 1 0
0 −2 ... −3 1
)
−−−−−−−−−−−→
L2 →
(
−1
2
)
· L2
(
1 2
... 1 0
0 1
... 3
2
−1
2
)
(
1 2
... 1 0
0 1
... 3
2
−1
2
)
−−−−−−−−−−−−→
L1 → L1 − 2 · L2
(
1 0
... −2 1
0 1
...3
2
−1
2
)
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Solução
(
1 2
... 1 0
3 4
... 0 1
)
−−−−−−−−−−−−→
L2 → L2 − 3 · L1
(
1 2
... 1 0
0 −2 ... −3 1
)
(
1 2
... 1 0
0 −2 ... −3 1
)
−−−−−−−−−−−→
L2 →
(
−1
2
)
· L2
(
1 2
... 1 0
0 1
... 3
2
−1
2
)
(
1 2
... 1 0
0 1
... 3
2
−1
2
)
−−−−−−−−−−−−→
L1 → L1 − 2 · L2
(
1 0
... −2 1
0 1
... 3
2
−1
2
)
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Solução
(
1 2
... 1 0
3 4
... 0 1
)
−−−−−−−−−−−−→
L2 → L2 − 3 · L1
(
1 2
... 1 0
0 −2 ... −3 1
)
(
1 2
... 1 0
0 −2 ... −3 1
)
−−−−−−−−−−−→
L2 →
(
−1
2
)
· L2
(
1 2
... 1 0
0 1
... 3
2
−1
2
)
(
1 2
... 1 0
0 1
... 3
2
−1
2
)
−−−−−−−−−−−−→
L1 → L1 − 2 · L2
(
1 0
... −2 1
0 1
... 3
2
−1
2
)
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Solução
(
1 2
... 1 0
3 4
... 0 1
)
−−−−−−−−−−−−→
L2 → L2 − 3 · L1
(
1 2
... 1 0
0 −2 ... −3 1
)
(
1 2
... 1 0
0 −2 ... −3 1
)
−−−−−−−−−−−→
L2 →
(
−1
2
)
· L2
(
1 2
... 1 0
0 1
... 3
2
−1
2
)
(
1 2
... 1 0
0 1
... 3
2
−1
2
)
−−−−−−−−−−−−→
L1 → L1 − 2 · L2
(
1 0
... −2 1
0 1
... 3
2
−1
2
)
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Solução
(
1 2
... 1 0
3 4
... 0 1
)
−−−−−−−−−−−−→
L2 → L2 − 3 · L1
(
1 2
... 1 0
0 −2 ... −3 1
)
(
1 2
... 1 0
0 −2 ... −3 1
)
−−−−−−−−−−−→
L2 →
(
−1
2
)
· L2
(
1 2
... 1 0
0 1
... 3
2
−1
2
)
(
1 2
... 1 0
0 1
... 3
2
−1
2
)
−−−−−−−−−−−−→
L1 → L1 − 2 · L2
(
1 0
... −2 1
0 1
... 3
2
−1
2
)
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Solução
(
1 2
... 1 0
3 4
... 0 1
)
−−−−−−−−−−−−→
L2 → L2 − 3 · L1
(
1 2
... 1 0
0 −2 ... −3 1
)
(
1 2
... 1 0
0 −2 ... −3 1
)
−−−−−−−−−−−→
L2 →
(
−1
2
)
· L2
(
1 2
... 1 0
0 1
... 3
2
−1
2
)
(
1 2
... 1 0
0 1
... 3
2
−1
2
)
−−−−−−−−−−−−→
L1 → L1 − 2 · L2
(
1 0
... −2 1
0 1
... 3
2
−1
2
)
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Solução
(
1 2
... 1 0
3 4
... 0 1
)
−−−−−−−−−−−−→
L2 → L2 − 3 · L1
(
1 2
... 1 0
0 −2 ... −3 1
)
(
1 2
... 1 0
0 −2 ... −3 1
)
−−−−−−−−−−−→
L2 →
(
−1
2
)
· L2
(
1 2
... 1 0
0 1
... 3
2
−1
2
)
(
1 2
... 1 0
0 1
... 3
2
−1
2
)
−−−−−−−−−−−−→
L1 → L1 − 2 · L2
(
1 0
... −2 1
0 1
... 3
2
−1
2
)
Paulo Ricardo Álgebra Linear
Inversão de Matrizes
Exerćıcio
Calcule a inversa da matriz A =

1 1 2 1
0 −2 0 0
1 2 1 −2
0 3 2 1
, usando as operações
elementares sobre as linhas da matriz A
Paulo Ricardo Álgebra Linear