SISTEMA DE 2ª ORDEM

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MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS
Análise de sistemas de 2ª Ordem
Muitos sistemas podem ser representados por um
modelo de 2ª ordem, como por exemplo a determinação da
posição angular de um motor CC em relação a tensão
aplicada na entrada. A análise desse tipo de sistema
permite obter conhecimento sobre seu desempenho em
determinadas situações.
Análise de Sistemas de 2ª Ordem
Análise de Sistemas de 2ª Ordem
• Definição de um sistema de 2ª ordem
𝐻 𝑠 =
𝐾𝜔𝑁
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑁𝑠 + 𝜔𝑁
2
Onde:
K → Ganho do sistema
 → Fator de amortecimento ( ≥ 0)
wN → Frequência natural não amortecida (wN ≥ 0)
Análise de Sistemas de 2ª Ordem
• Classificação de sistemas de 2ª ordem e determinação de polos
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑁𝑠 + 𝜔𝑁
2 = 0
𝑠 =
−2𝜉𝜔𝑁 ± 2𝜉𝜔𝑁
2 − 4𝜔𝑁
2
2
𝑠 =
−2𝜉𝜔𝑁 ± 2𝜔𝑁 𝜉
2 − 1
2
s= −𝜉𝜔𝑁 ±𝜔𝑁 𝜉
2 − 1
Análise de Sistemas de 2ª Ordem
• Classificação de sistemas de 2ª ordem e determinação de polos
s= −𝜉𝜔𝑁 ±𝜔𝑁 𝜉
2 − 1
1º caso: 𝜉 > 1՜∆> 0՜ duas raízes reais e diferentes
x
Re
Im
x
s1 s2
𝑠1 = −𝜉𝜔𝑁 − 𝜔𝑁 𝜉
2 − 1
𝑠2 = −𝜉𝜔𝑁 +𝜔𝑁 𝜉
2 − 1
Sistema superamortecido
Análise de Sistemas de 2ª Ordem
• Classificação de sistemas de 2ª ordem e determinação de polos
s= −𝜉𝜔𝑁 ±𝜔𝑁 𝜉
2 − 1
2º caso: 𝜉 = 1 ՜∆= 0՜ duas raízes reais e iguais
𝑠1 = −𝜔𝑁 = 𝑠2
Sistema criticamente amortecido
x
Re
Im
+
s1=s2
"duas raízes complexas e conjugadas"
Análise de Sistemas de 2ª Ordem
• Classificação de sistemas de 2ª ordem e determinação de polos
s= −𝜉𝜔𝑁 ±𝜔𝑁 𝜉
2 − 1
𝑠1 = −𝜉𝜔𝑁 + 𝑗𝜔𝑁 1 − 𝜉
2
Sistema subamortecido
3º caso: 0 < 𝜉 < 1 ՜∆ < 0՜
duas raízes 
complexas e conjugadas
𝑠2 = −𝜉𝜔𝑁 − 𝑗𝜔𝑁 1 − 𝜉
2
x
Re
Im
x
−𝜉𝜔𝑁
- 𝑗𝜔𝐷
𝑗𝜔𝐷
Análise de Sistemas de 2ª Ordem
• Classificação de sistemas de 2ª ordem e determinação de polos
s= −𝜉𝜔𝑁 ±𝜔𝑁 𝜉
2 − 1
𝑠1 = +𝑗𝜔𝑁
Sistema criticamente estável
4º caso: 𝜉 = 0 ՜∆ = −1՜
duas raízes 
imaginárias e conjugadas
𝑠2 = −𝑗𝜔𝑁
x
Re
Im
x
- 𝑗𝜔𝑁
𝑗𝜔𝑁
"duas raízes complexas e conjugadas"
Análise de Sistemas de 2ª Ordem
• Resposta ao Degrau Unitário (para K=1)
"duas raízes complexas e conjugadas"
Análise de Sistemas de 2ª Ordem
• Resposta ao Degrau Unitário (para K=1)
(1) Sistema subamortecido
(2) Sistema crit. amortecido
(3) Sistema superamortecido
"duas raízes complexas e conjugadas"
Resposta ao Degrau Unitário (sistema superamortecido K=1)
Regime PermanenteRegime transitório
Resposta ao Degrau Unitário (sistema superamortecido)
tR = Tempo de subida (rise time)
tp = Tempo de pico (peak time)
tS = Tempo de acomodação (settling time)
MP = Sobressinal (valor percentual que excede o valor final)
𝑀𝑝 = 𝑒
−𝜋𝜉
1−𝜉2 𝑡𝑠 2% ≅
4
𝜉𝜔𝑁
Análise de Sistemas de 2ª Ordem – Circuito RLC
• Considere o circuito RLC abaixo
+
–
vout (t)
Análise de Sistemas de 2ª Ordem – Circuito RLC
Já vimos que ...
Modelo genérico
ou
Análise de Sistemas de 2ª Ordem – Circuito RLC
Exemplo 1: R = 10L e LC = 1/9
Sistema superamortecido
Análise de Sistemas de 2ª Ordem – Circuito RLC
Exemplo 1: R = 10L e LC = 1/9
Sistema superamortecido
x
Re
Im
x
-9 -1
Análise de Sistemas de 2ª Ordem – Circuito RLC
Resposta ao 
Degrau Unitário
Exemplo 1: R = 10L e LC = 1/9
Análise de Sistemas de 2ª Ordem – Circuito RLC
Exemplo 2: R = 10L e LC = 1/25
Sistema criticamente amortecido
25
Análise de Sistemas de 2ª Ordem – Circuito RLC
Exemplo 2: R = 10L e LC = 1/25
Sistema criticamente amortecido
x
Re
Im
x
-5
25
Análise de Sistemas de 2ª Ordem – Circuito RLC
Exemplo 2: R = 10L e LC = 1/25
Resposta ao 
Degrau Unitário
25
Análise de Sistemas de 2ª Ordem – Circuito RLC
Exemplo 3: R = 10L e LC = 1/50
Sistema subamortecido
Análise de Sistemas de 2ª Ordem – Circuito RLC
Exemplo 3: R = 10L e LC = 1/50 Sistema subamortecido
x
Re
Im
x
-5
-5
5
Análise de Sistemas de 2ª Ordem – Circuito RLC
Exemplo 3: R = 10L e LC = 1/50
Resposta ao 
Degrau Unitário
Análise de Sistemas de 2ª Ordem – Circuito RLC
Exemplo 3: Resposta ao Degrau Unitário
Análise de Sistemas de 2ª Ordem – Circuito RLC
Exemplo 3: Resposta ao Degrau Unitário
Análise de Sistemas de 2ª Ordem – Circuito RLC
t
Análise de Sistemas de 2ª Ordem – Circuito RLC
Em resumo ...
TIPO DE SISTEMA
FATOR DE 
AMORTECIMENTO
LOCALIZAÇÃO DOS POLOS
Superamortecido
DOIS POLOS REAIS E 
DISTINTOS
Criticamente amortecido
DOIS POLOS REAIS E 
IGUAIS
Subamortecido
DOIS POLOS COMPLEXO-
CONJUGADOS
Um engenheiro necessitou encontrar, para fins de controle, a função de transferência para um sistema o qual não possui modelagem, em uma parte antiga da 
indústria onde trabalha. Ele conseguiu inserir na planta uma entrada de referência em degrau unitário e analisar a resposta graficamente por meio de um 
instrumento eletrônico. O engenheiro percebeu algumas coisas com o gráfico: a curva se parece com a resposta de sistemas de segunda ordem sob a mesma 
entrada de referência; conseguiu medir o máximo de sobressinal, e encontrou um acréscimo de 17% acima da entrada de referência; e notou que a curva 
começou a entrar em regime permanente, visualmente próximo de 98% do valor final, em 30 segundos. De posse desses dados técnicos da planta, qual foi a 
função de transferência em forma genérica que ele encontrou?
Gabarito comentado: 
Mp = 𝑒
−𝜋
𝜉
1−𝜉2
; Tss=
4
𝜁𝜔𝑛
Como o máximo de sobressinal informado foi de 17%, substituindo na fórmula, temos:
0,17 = 𝑒
−𝜋
𝜁
1−𝜁2; 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 "ln" dos dois lados da equação temos:
− 1,772 = −𝜋
𝜁
1 − 𝜁2
; 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑎 𝑟𝑎í𝑧: 1,772 . 1 − 𝜁2
2
= 𝜋𝜁 2
3,14 − 3,14𝜁2 = 𝜋2𝜁2; 9,86𝜁2 + 3,14𝜁2 = 3,14; 13𝜁2 = 3,14; 𝜁 =
3,14
13
≅ 0,5
Como o valor do tempo de acomodação para o critério de 2% é igual a 30 segundos, temos:
30 =
4
𝜁𝜔𝑛
; 𝜔𝑛 =
4
15
= 0,26ത6
Com os dois parâmetros obtidos, podemos escrever a função de transferência de malha fechada de segunda ordem em sua forma 
padrão como segue:
𝐶 𝑠
𝑅 𝑠
=
ωn
2
𝑠2 + 2ζ𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
Substituindo os valores do coeficiente de amortecimento e da frequência natural não amortecida, temos a resposta da atividade:
𝐶 𝑠
𝑅 𝑠
=
0,07
𝑠2 + 0,26𝑠 + 0,07