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Probabilidades e Estatística
Regente: Prof. Doutor Miranda Muaualo
Engenharias: E11, E12, F11, M12 e M13 - 1o Ano - II Semestre
Métodos tabulares e gráficos da estatística descritiva
24 - 28 de Agosto de 2020
Regente: Prof. Doutor Miranda Muaualo (ISUTC) Probabilidades e Estatística 24 - 28 de Agosto de 2020 1 / 36
Sumário
� Tabelas
� Elaboração de uma tabela de frequências com dados agrupados
� Tabelas de dupla entrada
� Gráficos
� Classificação dos gráficos
� Tipos de gráficos
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Estatística Descritiva
Tabelas de frequências
A tabela resume a informação. Os elementos de uma tabela são:
� Número, título, fonte
Tabela: Vendas por província da Indústria de componentes electrónicos
Província Vendas
Maputo 4.000
Niassa 2.230
Nampula 6.470
Zambézia 8.300
Manica 10.090
Inhambane 420
Outros 10
Total 31.520
Fonte: Autor, 2019.
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Estatística Descritiva
Tabelas de frequências
Tabela: Tempo médio de descarregamento de um veículo
Camião Tempo (minutos)
1 920
2 710
3 680
4 1000
5 1010
6 850
7 880
8 990
9 1030
10 995
11 775
12 670
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Estatística Descritiva
Elaboração de uma tabela de frequências com dados agrupados
� Encontrar a amplitude total dos dados
At = Xmax − Xmin
� Escolher o número de classes. A escolha pode ser feita através das seguintes
regras:
Regra de Sturges:
K = 1 + 3, 3log10n
Regra de Truman L. Kelley:
Tabela: Tabela de Kelley
N 5 10 25 50 100 200 500 1000
K 2 4 6 8 10 12 15 15
Regra da raíz:
K =
√
n
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Estatística Descritiva
Elaboração de uma tabela de frequências com dados agrupados
� Determinar a amplitude do Intervalo de Classe
Amplitude do Intervalo de Classe=AtK
� Determinar os limites das classes
� Construir a tabela de frequências
Notação das frequências
� f-frequência simples absoluta
� fr(%)-frequência relativa percentual simples
� F ↓ - frequência absoluta acumulada abaixo de
� F ↑ - frequência absoluta acumulada acima de
� Fr(%) ↓ - frequência relativa percentual e acumulada abaixo de
� Fr(%) ↑ - frequência relativa percentual e acumulada acima de
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Estatística Descritiva
Distribuição de frequências
Tabela: Frequências dos 50 empregados de uma companhia, segundo o grupo salarial
Classe de Salários f fr(%) F ↓ F ↑ Fr(%) ↓ Fr(%) ↑
7,50 |− 10,50 15 30 15 50 30 100
10,50 |−13,50 30 60 45 35 90 70
13,50 |−16,50 5 10 50 5 100 10
Total 50 100 . . . . . . . . . . . .
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Estatística Descritiva
Distribuição de frequências
Tabela: Frequências dos 50 empregados de uma companhia, segundo o grau de
instrução
Grau de instrução f fr(%) F ↓ F ↑ Fr(%) ↓ Fr(%) ↑
Fundamental 15 30 15 50 30 100
Médio 30 60 45 35 90 70
Superior 5 10 50 5 100 10
Total 50 100 . . . . . . . . . . . .
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Estatística Descritiva
Tabela de dupla entrada, Tabela de contingência ou Cross Table
Analisemos o comportamento dos seguintes conjuntos:
� X - Grau de instrução
� Y - Região de proveniência
Y/X Ensino Fundamental Ensino Médio Ensino Superior Total
Sul 4 5 2 11
Centro 3 7 2 12
Norte 5 6 2 13
Total 12 18 6 36
Observação: As Tabelas de dupla entrada são úteis para analisar a associação
entre duas variáveis qualitativas.
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Estatística Descritiva
Tabela de dupla entrada
� Construir tabelas de frequências relativas
� Existem várias possibilidades de construção e depende do objectivo do problema
Y/X Ensino Fundamental Ensino Médio Ensino Superior Total
Sul 11% 14% 6% 31%
Centro 8% 19% 6% 33%
Norte 14% 17% 6% 36%
Total 33% 50% 17% 100%
� 11% dos indivíduos vêm do Sul e têm ensino fundamental.
� 31% dos indivíduos vêm do Sul, 33% do Centro e 36% do Norte.
� 33% têm ensino fundamental, 50% ensino médio e 17% ensino superior.
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Estatística Descritiva
Tabela de dupla entrada
� Pode-se comparar a distribuição da proveniência conforme o grau de instrução.
Y/X Ensino Fundamental Ensino Médio Ensino Superior Total
Sul 33% 28% 33% 31%
Centro 25% 39% 33% 33%
Norte 42% 33% 33% 36%
Total 100% 100% 100% 100%
� Entre os indivíduos com instrução até o ensino fundamental, 33% vêm do Sul.
� Entre os indivíduos com ensino médio, 28% vêm do Sul.
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Estatística Descritiva
Tabela de dupla entrada
� Pode-se comparar a distribuição do grau de instrução conforme a proveniência.
Y/X Ensino Fundamental Ensino Médio Ensino Superior Total
Sul 36% 46% 18% 100%
Centro 25% 58% 17% 100%
Norte 39% 46% 15% 100%
Total 33% 50% 17% 100%
� Independente da região de proveniência, 33% dos indivíduos têm o ensino
fundamental, 50% têm o ensino médio e 17% têm o ensino superior.
� Deve-se observar em cada região como essas proporções são distribuidas.
Caso haja maior disparidade com as marginais, haverá forte indício de
dependência (associação). Caso contrário, haverá forte indício de
independência (não associação).
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Estatística Descritiva
Tabela de dupla entrada
� Qui-quadrado de independência, uma estatística de teste sugerida por Pearson,
em 1904.
χ2 =
r∑
i=1
c∑
j=1
(Oij − Eij)2
Eij
� onde Oij são os valores observados, Eij são os valores esperados, r é o número
de linhas e c é o número de colunas.
� Assim, com valores pequenos da estatística de teste, χ2, pode-se afirmar que
há evidências que existe independência entre as duas variáveis. Ao passo que,
valores grandes denotam discrepâncias entre alguns valores observados e os
respectivos valores esperados e, assim, pode-se afirmar que existe dependência
entre as duas variáveis.
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Estatística Descritiva
Exemplo: Pretende-se verificar se a criação de determinado tipo de cooperativa
está associada com algum factor regional.
Tabela: Cooperativas autorizadas a funcionar por Tipo e Província
Província Consumidor Produtor Escola Outros Total
Maputo 214(33%) 237(37%) 78(12%) 119(18%) 648(100%)
Zambézia 51(17%) 102(34%) 126(42%) 22(7%) 301(100%)
Niassa 111(18%) 304(51%) 139(23%) 48(8%) 602(100%)
Total 376(24%) 643(42%) 343(22%) 189(12%) 1551(100%)
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Estatística Descritiva
Tabela: Cooperativas autorizadas a funcionar por Tipo e Província
Província Consumidor Produtor Escola Outros Total
Maputo 214(33%) 237(37%) 78(12%) 119(18%) 648(100%)
Zambézia 51(17%) 102(34%) 126(42%) 22(7%) 301(100%)
Niassa 111(18%) 304(51%) 139(23%) 48(8%) 602(100%)
Total 376(24%) 643(42%) 343(22%) 189(12%) 1551(100%)
� Se não houvesse associação, esperaríamos que em cada estado tivéssemos 24%
de Consumidor, 12% de outros tipos.
� Dessa forma, o número esperado de cooperativas de consumidores no estado
de Maputo seria 648x0.24 = 156, na Zambézia 301x0.24 = 72 e em Niassa
602x0.24 = 144 e, assim sucessivamente para outros tipos.
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Estatística Descritiva
Tabela: Cooperativasautorizadas a funcionar por Tipo e Província
Província Consumidor Produtor Escola Outros Total
Maputo 214(156) 237(272) 78(143) 119(78) 648(100%)
Zambézia 51(72) 102(126) 126(66) 22(36) 301(100%)
Niassa 111(144) 304(253) 139(132) 48(72) 602(100%)
Total 376(24%) 643(42%) 343(22%) 189(12%) 1551(100%)
� Observam-se fortes discrepâncias entre os valores observados (Oij) e esperados
(Eij) assumindo que as variáveis não fossem associadas.
� Uma medida de afastamento global pode ser dada pela soma de todas essas
medidas (Qui-quadrado de Pearson).
χ2 =
r∑
i=1
c∑
j=1
(Oij − Eij)2
Eij
=
(214− 156)2
156
+ · · · +
(48− 72)2
72
= 173, 24
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Gráficos e sua classificação
Gráfico
� Tentativa de expressar visualmente os dados de maneiras diferentes,
a fim de facilitar a compreensão dos mesmos.
Principais elementos:
� Número, título, fonte
Classificação dos gráficos segundo a forma:
� Diagramas: Gráficos geométricos dispostos em duas dimensões.
� Cartogramas: São ilustrações relativas a cartas geométricas.
� Estereogramas: Representam volumes e são apresentados em três
dimensões.
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Tipos de Gráficos
Gráfico de linhas
� É um tipo de gráfico que exibe informações com uma nuvem de
pontos de marcadores ligados por segmentos de linha reta.
� Semelhante a um diagrama de dispersão, com a diferença de que
os pontos de medição são ordenado e ligados com os segmentos de
reta.
� Frequentemente usados para representação de séries de tempo.
� Representa a evolução dos valores.
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Tipos de Gráficos
Construção de gráfico de linhas:
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Tipos de Gráficos
Gráfico de linhas
Exemplo: Construa o gráfico de linhas dos dados da tabela seguinte.
Tabela: Tempo de permanência(em horas) de pedidos de um sistema de abastecimento
Tempo No de pedidos fr(%) Fr(%)
4 1 5 5
5 5 25 30
6 5 25 55
7 6 30 85
8 3 15 100
Total 20 100 · · ·
Fonte: Empresa Y (2017)
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Tipos de Gráficos
Exemplo: Gráfico de linhas
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Tipos de Gráficos
Gráfico de Setores ou gráfico circular
� Tradicionalmente é denominado gráfico de pizza.
� É um diagrama circular em que os valores de cada categoria
estatística representada são proporcionais às respectivas medidas
dos ângulos.
� Variável qualitativa (nominal com categorias)
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Tipos de Gráficos
Gráfico de Setores ou gráfico circular
Exemplo:
Tabela: Produção agrícola do estado Z.
Produtos Quantidade (t)
Café 400.000
Açucar 200.000
Milho 100.000
Feijão 20.000
Total 720.000
Fonte: X (dados fictícios).
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Tipos de Gráficos
Exemplo:
Tabela: Produção agrícola do estado Z.
Produtos Quantidade (t) Ângulos correspondentes (Graus) %
Café 400.000 200 55,5
Açucar 200.000 100 27,8
Milho 100.000 50 13,9
Feijão 20.000 10 2,8
Total 720.000 360o 100
Fonte: X (dados fictícios).
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Tipos de Gráficos
Gráfico circular
Exemplo:
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Tipos de Gráficos
Gráfico de barras
Exemplo:
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Tipos de Gráficos
Gráfico de barras
Exemplo:
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Tipos de Gráficos
Histograma
� Forma
� Tipo de dados ou variável
� Estimador não paramétrico
� Dá uma ideia da forma da distribuição da variável de interesse.
Além do histograma, o gráfico de barras também desempenha a
mesma função.
� O procedimento alternativo é o diagrama ramo-e-folhas.
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Tipos de Gráficos
Histograma
Exemplo: Os dados apresentados na tabela seguinte de frequências são
referentes aos salários de empregados da empresa K. Resuma a informação num
histograma.
Classes fj frj frj(%) F Frj(%)
[143, 151) 1 0.020 2.0 1 2.0
[151, 159) 2 0.039 3.9 3 5.9
[159, 167) 11 0.216 21.6 14 27.5
[167, 175) 18 0.353 35.3 32 62.8
[175, 183) 10 0.196 19.6 42 82.4
[183, 191) 9 0.176 17.6 51 100
Total 51 1 100 · · · · · ·
Fonte: Empresa K (Dados fectícios).
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Tipos de Gráficos
Histograma
Exemplo:
Regente: Prof. Doutor Miranda Muaualo (ISUTC) Probabilidades e Estatística 24 - 28 de Agosto de 2020 30 / 36
Tipos de Gráficos
Poligono de frequências
Exemplo:
Regente: Prof. Doutor Miranda Muaualo (ISUTC) Probabilidades e Estatística 24 - 28 de Agosto de 2020 31 / 36
Tipos de Gráficos
Poligono de frequências
Exemplo:
Regente: Prof. Doutor Miranda Muaualo (ISUTC) Probabilidades e Estatística 24 - 28 de Agosto de 2020 32 / 36
Tipos de Gráficos
Poligono de frequências acumuladas-Ogiva de Galton
Construção de uma ogiva:
Regente: Prof. Doutor Miranda Muaualo (ISUTC) Probabilidades e Estatística 24 - 28 de Agosto de 2020 33 / 36
Tipos de Gráficos
Ogiva
Exemplo:
Regente: Prof. Doutor Miranda Muaualo (ISUTC) Probabilidades e Estatística 24 - 28 de Agosto de 2020 34 / 36
Referências bibliográficas
� Geraldo L. Toledo and Ivo I. Ovalle, Estatística Básica, 2a edição,
Atlas, São Paulo, 2015; e
� Wilton De O. Bussab and Pedro A. Morettin, Estatística Básica, 8a
edição, Saraiva, São paulo, 2013.
Regente: Prof. Doutor Miranda Muaualo (ISUTC) Probabilidades e Estatística 24 - 28 de Agosto de 2020 35 / 36
OBRIGADO
Regente: Prof. Doutor Miranda Muaualo (ISUTC) Probabilidades e Estatística 24 - 28 de Agosto de 2020 36 / 36