Geometria Analitica Atividade Pratica

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1.20 - Considere os vetores u=(3,5,1,4) e V=(4,0,2,6).Calcule 4u+3v
4u + 3v é (24,20,10,34).
Explicação:
Primeiramente vamos encontrar os termos separadamente:
4u:
Este seria a multiplicação de um escalar pelo vetor u
4.u
4 . (3,5,1,4)
4u = (12,20,4,16)
3v:
Da mesma forma vamos fazer a multiplicação do escalar 3 pelo vetor v:
3 . v
3 . (4,0,2,6)
3v = (12,0,6,18)
Agora que temos ambos os termos vetores, podemos fazer suas somas:
4u + 3v
(12,20,4,16) + (12,0,6,18)
(24,20,10,34)
Neste caso, é somente uma soma direta dos termos de mesma posição relativa.
Sendo assim 4u + 3v é (24,20,10,34).
2.20 -Considere o vetor com origem no ponto A= (0,1,1) e extremidade no ponto B= (3,7,3)
Assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor do modulo desse vetor
O módulo do vetor AB é 7.
Um vetor entre os pontos A e B, é um vetor que "começa" no ponto A e "termina" no ponto B.
O módulo de um vetor, dado seu ponto inicial (x0,y0,z0) e seu ponto final (x1,y1,z1), é dado por:
Substituindo os valores dados no enunciado:
3.20 - Determine a inclinação de uma viga que devera estar apoiada em uma estrutura que tem 20 metros de comprimento e 10 metros de altura conforme a figura abaixo
4.20 - Qual e a equação reduzida da reta que tem inclinação igual a 45° e passa pelo ponto P(0,1500)?
5.20 - Considere os vetores = (-3,11) e v=(4,7).Calcule 3+4v.
O vetor 3u+4v é (7,61).
Explicação passo-a-passo:
Primeiramente vamos encontrar quanto vale 3u e 4v.
Para 3u:
Essa é basicamente a multiplicação de um valor escalar por um vetor, então basta usarmos o método convencional:
3u = 3.(-3,11) = (3.-3,3.11) = (-9,33)
Para 4v:
Outra multiplicação de escalar por vetor:
4v = 4.(4,7) = (4.4,4.7) = (16,28)
Agora que temos os dois vetores, basta que somemos seus resultados:
Basta somarmos os vetores diretamente, x com x e y com y:
3u + 4v = (-9,33) + (16,28) = (-9+16 , 33+28) = (7,61)
Então o vetor 3u+4v é (7,61).
6.20 -O produto externo entre dois vetores u e v gera um terceiro vetor uxv ortogonal a u e v
Dados u=|(4,5,1|) e v=(2,3,7), obtenha as componentes do vetor uxv
As componentes do vetor u x v são 32, -26 e 2.
O produto externo, ou produto vetorial, pode ser calculado através do determinante de uma matriz da seguinte forma:
onde i, j e k são os três vetores ortogonais do espaço euclidiano. Substituindo os valores das componentes de u e v, temos:
Calculando o determinante, temos:
det = 35i + 2j + 12k - 10k - 3i - 28j
det = 32i - 26j + 2k
7.20 - Dados os vetores u=(4,0,-2) e v=(1,2,1).Calcule o produto escalar u.v
Usando a formula de produto escalar
u · v = u1xv1 + u2xv2 + u3xv3
u.v = 4 x 1 + 0 x 2 + (-2) x 1
u.v= 4 + 0 - 2
u.v = 4 - 2
u.v = 2
8.20 - Considere o vetor com origem no ponto A(0,1,1) e extremidade no ponto B(3,7,3)
o vetor  é igual a  seu módulo pode ser calculado por:
lembrando que:
então:
o módulo do vetor é igual a 7
9.20 - Qual a inclinação do vetor v=(3,6)?
10.20 – Seja a reta dada por r:y=2x+14. Qual é o ângulo a que a reta r forma com a horizontal?
O ângulo formado entre a reta e o o eixo horizontal é, aproximadamente, 63,4º.
Esta questão está relacionada com equação do primeiro grau. A equação do primeiro grau, conhecida também como função afim, é a lei de formação de retas. Para determinar a equação de uma reta, precisamos de apenas dois pontos pertencentes a ela. A lei de formação segue a seguinte fórmula geral:
Onde "a" é o coeficiente angular e "b" é o coeficiente linear.
A partir do coeficiente angular, é possível calcular a inclinação da reta, ou seja, o ângulo existente entre a reta e o eixo horizontal. Para isso, devemos saber que o coeficiente angular é equivalente a tangente do ângulo. Portanto, o ângulo que a reta forma com o eixo será:
11.20 - A equação cartesiana reduzida da reta corresponde a y=ax +b onde `a´ é o coeficiente angular e ´b´ é o coeficiente linear. Podemos utilizar a equação de uma reta para realizarmos estudos em relação a um conjunto de dados que possuem um comportamento linear.
Uma indústria de copos descartáveis tem lucro mensal y associado ao volume de vendas x. Para uma produção de 5 mil unidades o lucro correspondente é de 10 mil reais ,e, consequentemente ,temos ponto A(5,10).Para uma produção de 8 mil unidades o lucro é 12 mil reais, gerando o ponto B(8,12).
Sendo assim, qual é a equação da reta que relaciona o lucro mensal y com as vendas x?
A equação da reta que relaciona o lucro mensal y com as vendas x é y = 2x/3 + 20/3.
Como diz o enunciado, a equação cartesiana da reta é da forma y = ax + b. Para definirmos a lei de formação da reta, precisamos de dois pontos.
A reta da questão passa pelos pontos A = (5,10) e B = (8,12). Então, vamos substituir esses dois pontos na equação cartesiana. Assim, obteremos o seguinte sistema:
{5a + b = 10
{8a + b = 12.
Da primeira equação, podemos dizer que b = 10 - 5a. Substituindo o valor de b na segunda equação:
8a + 10 - 5a = 12
3a = 12 - 10
3a = 2
a = 2/3.
Logo,
b = 10 - 5.2/3
b = 10 - 10/3
b = 20/3.
Portanto, a equação da reta é y = 2x/3 + 20/3.
12.20 - O produto externo entre dois vetores u e v gera um terceiro vetor w = u x v ortogonal a u e v
Dados u = (4,5,1) e v = (2,3,7), obtenha componentes do vetor w
As componentes do vetor u x v são 32, -26 e 2.
O produto externo, ou produto vetorial, pode ser calculado através do determinante de uma matriz da seguinte forma:
onde i, j e k são os três vetores ortogonais do espaço euclidiano. Substituindo os valores das componentes de u e v, temos:
Calculando o determinante, temos:
det = 35i + 2j + 12k - 10k - 3i - 28j
det = 32i - 26j + 2k
Portanto, o vetor u x v é (32, -26, 2).
13.20 - Seja o ponto A (4,3,1) e o vetor v = (1,5,-3). Qual é a equação vetorial da reta r que passa por A e tem vetor diretor v?
(x, y, z) = (4, 3, 1) + t(1, 5, -3)
14.20 - Uma reta r passa pelos pontos A(0,2) e B(4,5).Qual é a respectiva equação vetorial da reta?
 r=(0,2)+t(4, 3)
15.20 - Uma aeronave se desloca em linha reta a uma velocidade de 160 km por hora em direção a oeste. Sua trajetória tem influência de um vento sul de 40 km por hora, A figura abaixo apresenta os respectivos vetores.
Qual a velocidade resultante da aeronave?
Repare que os dois vetores formam um angulo de 90° entre si, logo podemos usar o Teorema de Pitágoras, imaginando que o vetor resultante forma um triangulo retângulo com os demais. Portanto basta que elevemos os catetos deste triangulo ao quadrado e somamos posteriormente, e por fiz calculamos a raiz quadrada de x. 
Vamos aos cálculos:
A) 164,92 km/h
16.20 – Qual a inclinação de uma rampa que tem 4 metros de comprimento e 1 metro de altura?
 
Temos que a Hipotenusa será 4 metros e o cateto oposto será  1  logo  temos 
Sen=cat opost/Hipo
SenX=1/4,123
SenX=0,242541838
x= 14,04
17.20 -Uma embarcação atravessa, a uma velocidade de 45 km/h,um rio que tem 230 metros de largura.Essa embarcação está submetida a uma correnteza de 10 km/h a sua trajetória nessas circunstâncias, qual é a velocidade escalar V da embarcação?
A velocidade escalar resultante, do barco, será de 46,1 km/h.
O barco possui uma velocidade perpendicular à velocidade da correnteza.
Nesse caso, pela teoria da Soma de Vetores, por eles serem perpendiculares entre si, a velocidade resultante terá módulo dado por:
Substituindo os valores dados:
Portanto, a velocidade escalar resultante será aproximadamente 46,1 km/h.
18.20 - Dados os vetores u = (7,-2,3) e v = (-1,-2,3), calcule o produto escalar u.v
19.20 - Qual é o módulo do vetor v=(12,13)?
v = √12² + 13²
v = √144 + 169
v = √313
v = 17,69
20.20 – A imagem a seguir apresenta uma reta de equação cartesiana na forma reduzida: onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear.
Sabendo que A=1,73205 e que b=3,qual é a inclinação dessa reta?
A inclinação da reta vale 60º.
O ângulo de inclinação da reta é dado por:
θ = arc tg (a)
Substituindo os valores dados:
θ = arc tg (1,73205) = 60º
Vale ressaltar que em alguns casos, quando se diz inclinação da reta, a questão na verdade está pedindo o coeficiente angular da reta. Ainda
existe uma certa confusão em algumas (minoria) das questões.
Outra coisa, a inclinação da reta é sempre medida em relação ao eixo das abscissas, a não ser que a questão especifique de outra forma.