AV2 Volume e Área

Prévia do material em texto

Volume: Podemos encontrar o volume de todos os sólidos geométricos. O volume corresponde à “capacidade” desse sólido. Tente imaginar alguns sólidos geométricos, é possível preenchê-lo com algum material, como a água? Se existe essa possibilidade, podemos realizar o cálculo do volume para cada objeto pensado. Se por acaso é impossível preencher a figura que você imaginou, é porque, provavelmente, ela é uma figura plana bidimensional, como um quadrado, um triângulo ou um círculo. Vejamos então algumas fórmulas para o cálculo de volume de sólidos:
1. Volume de um prisma qualquer
O volume de um prisma qualquer pode ser calculado multiplicando-se a área da base pela altura
Um prima é um poliedro que possui uma base inferior e uma base superior. Essas bases são paralelas e congruentes, isto é, possuem as mesmas formas e dimensões, e não se interceptam. Para determinarmos o volume de um prisma qualquer, nós calculamos a área de sua base para, em seguida, multiplicá-la pela sua altura. Sendo assim:
V = (área da base) . altura
Na imagem acima, a área do prisma de base retangular pode ser calculada por:
V = a . b . c
Já a área do prisma de base triangular é dada por:
V = a . b . c
 2
0. Volume de um cilindro
O volume de um cilindro é calculado multiplicando-se a área da base pela altura
Assim como ocorre com os prismas, para calcular o volume do cilindro, multiplicamos a área da base pela altura. Podemos definir novamente:
V = (área da base) . altura
Para o cilindro da figura acima, podemos calcular seu volume como:
V = π . r2 . a
0. Volume de um cone
O volume de um cone é calculado multiplicando-se a área da base por um terço da altura
O cone tem uma diferenciação das outras formas vistas até aqui. Ao calcularmos o volume do cone, nós multiplicamos a área da base por um terço da sua altura. Podemos definir:
V = (área da base) . 1/3 altura
Para o cilindro da figura acima, podemos calcular seu volume como:
V = π . r2 . a
                  3
0. Volume de uma pirâmide
O volume de uma pirâmide é calculado através do produto da área da base por um terço da altura
A pirâmide assemelha-se ao cone em relação ao cálculo do volume. Para calcular o volume da pirâmide, multiplicamos a área da base por um terço da sua altura. Definimos novamente:
V = (área da base) . 1/3 altura
Para a pirâmide da figura acima, podemos calcular seu volume como:
V = b. c . a
        2     3
V = b . c . a
      6
ATIVIDADES
1) Calcule os volumes dos seguintes cubos:
a) com profundidade de 10 m
b) com largura de 15 cm
c) com comprimento de 1,5 m
2) Um aquário possui o formato de um paralelepípedo com as seguintes dimensões:
Determine quantos litros de água são necessários para encher o aquário.
3) O degrau de uma escada lembra a forma de um paralelepípedo com as seguintes dimensões: 1 m de comprimento, 0,5 m de largura e 0,4 m de altura. Determine o volume total de concreto gasto na construção dessa escada sabendo que ela é constituída de 20 degraus.
4) Determine o volume de um cubo cuja aresta mede 2 m.
5) Uma caixa de água com capacidade de 1000 l de água. Determine a comprimento, largura e altura desta caixa.
6) Um cubo mágico possui volume de 1728 cm³, determine a medida de sua aresta.
7) Sabendo que um cubo mágico possui 64 cubinhos e cada cubinho possui aresta de 1,55 cm. Calcule o volume desse cubo.
Área 
Área e Perímetro são conceitos utilizados na Geometria. A área é usada para calcular a medida de uma superfície plana e o perímetro é usada para calcular a soma das medidas dos lados de uma figura ou objeto.
A área de uma figura é a medida equivalente a sua superfície. Para calcularmos a área de uma superfície, geralmente, multiplicamos a base (b) pela altura (h) do objeto.
As unidades de medida utilizadas no cálculo da área são:
· km²: quilômetro quadrado;
· hm²: hectômetro quadrado;
· dam²: decâmetro quadrado;
· m²: metro quadrado;
· dm²: decímetro quadrado;
· cm²: centímetro quadrado;
· mm²: milímetro quadrado.
As unidades de medidas acima estão elevadas ao quadrado, ou seja, a potência de 2, pelo fato da área de uma superfície ser equivalente a divisão em “pedaços” de 1 m². Cada metro quadrado de uma área é equivalente a uma unidade de área.
Exemplo:
Para calcularmos a área de uma praça quadrada, utilizaremos o metro (m) como unidade de medida. Dessa forma, a unidade de medida é 1 m². Então, calcular a área de uma praça é o mesmo que dividi-la em vários pedaços de 1 m² e somar todos eles.
Para evitar esse desconforto, esse processo é equivalente a pegar a medida de um lado (comprimento ou base) e multiplicar por outro (largura ou altura, dependendo da posição do objeto). 
Área = 6 m² . 6 m² = 36 m²
Perímetro
O perímetro é a soma das medidas de comprimentos das bordas de uma figura.
No caso de figuras quadradas e retangulares, basta somarmos as medidas das bordas dos seus lados.
Exemplo:
Perímetro do quadrado = 6 + 6 + 6 + 6 = 24 m
Perímetro do retângulo = 4 + 16 + 4 + 16 = 40 m
Em figuras onde não é possível determinar as medidas dos lados, podemos utilizar o auxílio de um barbante.
Exemplo:
Para calcular o perímetro neste caso, basta medir o tamanho do barbante ou corda.
Em figuras onde é possível medir seus lados, mas que não são retangulares e nem quadradas, o perímetro é a soma das medidas de todos os seus lados.
Exemplo:
Perímetro = 2 + 2 + 3 + 3 + 10 + 10 = 30 cm
No cálculo do perímetro, utilizamos a unidade de medida de comprimento. Diferentemente da área, no perímetro a unidade de medida não é elevada ao quadrado.
As unidades de medida de comprimentos são:
· km: quilômetro;
· hm: hectômetro;
· dam: decâmetro;
· m: metro;
· dm: decímetro;
· cm: centímetro;
· mm: milímetro.
Área e Perímetro de Figuras Planas
Na geometria plana existem diversas figuras planas, vamos mostrar como calcular a área e o perímetro de algumas delas.
Triângulo
O triângulo é uma figura plana formada por três lados, fechada, com três ângulos internos que sua soma é igual 180°.
Retângulo
O retângulo é uma figura plana formada por quatro lados e fechada. As medidas de dois lados são iguais, da mesma forma que os outros dois lados também são iguais.
Para evitar somar todos os lados no cálculo do perímetro, neste caso multiplicamos a altura e a base por 2, pois as medidas dos lados correspondentes as estas medidas são iguais.
Quadrado
O quadrado é uma figura plana formada por quatro lados com as mesmas medidas. É fechado em todas as extremidades e possuem quatro ângulos retos (medem 90°).
No caso do perímetro do quadrado é a soma dos 4 lados que é equivalente a multiplicar um lado por 4.
Círculo
O círculo ou circunferência é uma figura plana fechada por uma linha em curva. O cálculo da área do círculo não é trivial. Devemos fazer o produto da medida do raio (uma reta do centro até a borda do círculo) ao quadrado por uma constante chamada de Pi ( π = 3,1415…).
As medidas acima são aproximadas, pois em figuras circulares é difícil encontrar o valor de uma área ou perímetro exatos.
O perímetro da circunferência é equivalente a calcular o perímetro do círculo.
Trapézio
O trapézio é uma figura plana fechada com dois lados e bases paralelas, uma dessas bases é chamada de base maior (maior medida) e a outra de base menor (menor medida).
Losango
O losango é uma figura plana fechada com quatro lados. Os lados de um losango tem as mesmas medidas. No entanto, o losango não é equivalente a um quadrado, porque a medida dos seus ângulos não são retos. Além disso, os ângulos opostos tem medidas iguais.
Onde:
· D: medida da diagonal maior;
· d: medida da digonal menor.
Propriedades do Losango
· Os ângulos opostos são congruentes;
· As diagonais são bissetrizes;
· As diagonais são retas perpendiculares;
· Qualquer losango tem um círculo inscrito.
ATIVIDADES
1) Calcule a área de uma quadra de basquete com 40 m de largura e 70 m de comprimento.
2) Se o perímetro de um campo de futebol é 250 m e este campo possui comprimento de 100 m, qual a largura deste campo?
3)  Uma piscina deraio igual a 3 m, possui área igual a:
4) Calcule o perímetro da questão anterior.
5) Um triângulo isósceles possui dois lados com medidas iguais a 10 cm, e a base com medida igual 6 cm. Qual a área e o perímetro deste triângulo?
 6) Qual é a área de um triângulo isósceles cuja altura relativa à base é igual a 12 cm e cujos lados congruentes medem 15 centímetros?
a) 108 cm2
b) 9 cm2
c) 18 cm2
d) 24 cm2
e) 32 cm2
7) Um terreno com formato de triângulo equilátero será concretado. Sabendo que esse terreno possui perímetro de 450 metros, calcule quantos metros quadrados de concreto serão gastos nessa obra.
a) 2000,00 m2
b) 129,9 m2
c) 9742,5 m2
d) 1000 m2
e) 9800 m2
8) O triângulo a seguir representa um terreno que será impermeabilizado para receber futuras obras. O metro quadrado do material impermeabilizante custa R$ 9,23. Calcule o valor que será gasto nesse procedimento.
a) R$ 1200,00
b) R$ 1384,50
c) R$ 1390,50
d) R$ 1400,00
e) R$ 1421,50
9) Qual é a medida da base de um triângulo cuja área é 240 m2 e cuja altura mede 120 m?
a) 120 m
b) 80 m
c) 140 m
d) 4 m
e) 8 m