3 - Empuxo de Terra

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Empuxo de Terra: 
Teorias de Rankine e Coulomb
Mecânica dos Solos II
 
Prof. Petrucio A. Martins, DSc.
Estruturas de contenção de terra
Estruturas de contenção normalmente são
encontradas na engenharia geotécnica, pois suportam
taludes de massas de terra
>> muros de arrimo, paredes de subsolo, cortinas ...
Nesta aula, estudaremos a teoria de pressão de terra
que é usada para analisar a estabilidade dessas
estruturas de contenção
Empuxo de terra é ação horizontal produzida por um
maciço de solo sobre as obras com ele em contato
As teorias clássicas sobre empuxo de terra foram
formuladas por Coulomb (1773) e Rankine (1856).
2
Teorias de Empuxo
3
William John Macquorn RANKINE
Nasceu: 2/07/1820 – Edinburg, Escócia
Morreu: 24/12/1872 – Glasgow, Escócia
Charles Augustin de COULOMB
Nasceu: 14/06/1736 – Angoulême, França
Morreu: 23/08/1806 – Paris, França
Pressão Lateral de Terra
Pressões em repouso, ativa e passiva
4
Pressão Lateral de Terra
Pressões em repouso, ativa e passiva
5
Coeficiente Pressão de Terra em Repouso – K0
>> é a razão das tensões efetiva principais horizontal e vertical
quando o muro de contenção não se move
nenhuma alteração nas tensões horizontais
Coeficiente Pressão de Terra Ativo – Ka
>> é a razão das tensões efetiva principais horizontal e vertical
quando o muro de contenção gira em torno de sua base,
provocando expansão horizontal do solo
redução nas tensões horizontais
Coeficiente Pressão de Terra Passivo – Kp
>> é a razão das tensões efetiva principais horizontal e vertical
quando o muro de contenção é forçado contra a massa de solo
aumento nas tensões horizontais
Pressão Lateral de Terra
Pressões em repouso, ativa e passiva
60,
,
'
'
Kh
h
AH
AV
Ponto A:
aAH
AV
Kh
h
,
,
'
'
Ponto A:
Pressão Lateral de Terra
Pressões em repouso, ativa e passiva
7
Pressão Lateral de Terra
Empuxo ativo x passivo
8
Empuxo de natureza ativa
Pressão Lateral de Terra
Empuxo ativo x passivo
9
Empuxo de natureza passiva
Pressão Lateral de Terra
Empuxo ativo x passivo
10Muro de cais ancorado - Empuxo de natureza ativa e passiva
Pressão Lateral de Terra
Variação dos empuxos em função dos deslocamentos
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Pressão Lateral de Terra
Pressão Lateral de Terra em Repouso
12
Parede
Atrás da 
paredeA frente da parede
Parede após rotação
Considerando a parede ao lado, se
nenhum movimento na parede ocorre, o
solo está em repouso e as tensões
efetivas verticais e horizontais agindo nos
elementos A e B são:
zz 1''
zKKx 0103 '''
1
3
0
'
'
'
'
z
xK Coeficiente de empuxo ao repouso
Pressão Lateral de Terra
Pressão Lateral de Terra em Repouso
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O círculo de Mohr para o estado de
tensão ao repouso é mostrado na figura ao
lado
>> desde que o solo não entre em ruptura, o
círculo de Mohr continua dentro da
superfície de ruptura.
nenhuma alteração nas tensões horizontais
O coeficiente de empuxo ao repouso (K0)
valores obtidos empiricamente:
Solo K0
Argila 0,70 a 0,75
Areia solta 0,45 a 0,50
Areia compacta 0,40 a 0,45
Pressão Lateral de Terra
Pressão Lateral de Terra em Repouso
14
O coeficiente de empuxo ao repouso (K0)
Algumas correlações empíricas:
Autor Equação Observação
Jaky (1944) K0 = (1-sen ’) Areias e Argilas normalmente 
adensadas
Extensão da 
fórmula de Jaky
K0 = (1-sen ’)OCR
sen ’ Argilas pré-adensadas
Teoria da 
Elasticidade
K0 = ’ / (1- ’) 0,25≤ ’ ≤ 0,45 ⇒0,33≤ K0 ≤ 0,82
Massarsch
(1979)
K0 = 0,44+0,42[IP / 100] IP ... Índice de plasticidade
Pressão Lateral de Terra
Pressão Lateral de Terra em Repouso
15
Solo sem pressão de água
H
K0 H
H / 3
- Empuxo total por unidade de 
comprimento do muro:
2
00
2
1
HKE
Pressão Lateral de Terra
Pressão Lateral de Terra em Repouso
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Solo parcialmente submerso
H
H2
H1 z
K0( H1+ subH2) wH2
’h u
- Empuxo total por unidade de 
comprimento do muro:
2
20210
2
100 )(
2
1
2
1
HKHHKHKE wsub
Pressão Lateral de Terra
Exercício:
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A figura abaixo mostra um muro de arrimo de 18 ft de altura. O muro está
impedido de se deslocar. Calcule o empuxo lateral E0 por unidade de
comprimento do muro. Além disso, determine a localização do empuxo
resultante. Assuma que para a areia OCR = 1,5.
18 ft
6 ft
12 ft
c‘ = 0
‘ = 40
 = 115 lb/ft3
c‘ = 0
‘ = 40
sat = 130 lb/ft
3
Pressão Lateral de Terra
Teoria de RANKINE
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Hipóteses:
>> o deslocamento de uma parede irá desenvolver estados
limites plásticos
>> solo isotrópico
>> solo homogêneo
>> superfície do terreno plana
>> a ruptura ocorre em todos os pontos do maciço
simultaneamente
>> a ruptura ocorre sob o estado plano de deformação
>> muro perfeitamente liso (atrito solo-muro: = 0)
>> a parede da estrutura em contato com o solo é vertical
Empuxo Ativo – Rankine: solo não coesivo
19
Considerando que a parede de contenção abaixo se desloca
do elemento A para o elemento B, a tensão efetiva horizontal
em A se reduzirá, mas a tensão efetiva vertical permanece
constante.
Portanto o circulo de Mohr se expande como mostrado >>>
Parede
Atrás da 
parede
A frente da parede
Parede após rotação
Empuxo Ativo - Rankine: solo não coesivo
20
Considerando o triângulo OFC na
figura ao lado:
)''(
)''(
,,
,,
fxfz
fxfz
sen
Rearranjando a equação acima,
podemos encontrar uma expressão para
o empuxo ativo:
fz
fx
aK
,
,
'
'
)'1(
)'1(
sen
sen
Ka )
2
'
45(2tgKaOU:
Empuxo Passivo - Rankine: solo não coesivo
21
Considerando que a parede de contenção abaixo se desloca
do elemento B para o elemento A, a tensão efetiva horizontal
em A se aumentará, mas a tensão efetiva vertical permanece
constante.
Portanto o circulo de Mohr se 1º contrai e 2º se expande
como mostrado >>>
Parede
Atrás da 
parede
A frente da parede
Parede após rotação
Círculo de Mohr de 
ruptura passiva
Empuxo Passivo - Rankine: solo não coesivo
22
Considerando o triângulo
OFC na figura ao lado:
)''(
)''(
,,
,,
fxfz
fzfx
sen
Rearranjando a equação
acima, podemos encontrar
uma expressão para o
empuxo passivo:
fz
fx
pK
,
,
'
'
)'1(
)'1(
sen
sen
K p )
2
'
45(2tgK pOU:
a
p
K
K
1
Empuxo Ativo - Rankine: solo não coesivo
23
Empuxo Ativo - Rankine: solo não coesivo
24
Condições para aplicação da teoria de RANKINE
Empuxo de Rankine: Casos Particulares
25
Solo com superfície inclinada e não-coesivo (c’ 0)
- Empuxo total (ATIVO):
'coscoscos
'coscoscos
cos
2
1
22
22
2hEa
- Empuxo total (PASSIVO):
'coscoscos
'coscoscos
cos
2
1
22
22
2hEa
Ka
Kp
Empuxo de Rankine: Casos Particulares
26
Solo parcialmente submerso, não-coesivo (c’ = 0), suportando 
uma sobrecarga
H
H2
H1 z
Ka( H1+ subH2) wH2
q
Kaq
- Empuxo total (ATIVO):
2
221
2
1 )(
2
1
2
1
HKHHKHKHqKE wsubaaaaa
- Empuxo total (PASSIVO):
2
221
2
1 )(
2
1
2
1
HKHHKHKHqKE wsubppppp
Empuxo de Rankine: Casos Particulares
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Solo coesivo (c’ 0), com aterro horizontal
- Empuxo total (ATIVO):
2
2 '2'2
2
1 c
HKcHKE aaa
- Empuxo total (PASSIVO):
HKcHKE PPP '2
2
1 2
Empuxo de Rankine: Casos Particulares
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Solo coesivo (c’ 0), CASO ATIVO:
- Antes de ocorrer as fendas de tração:
aaa
aah
KHcKHE
KcKz
'2
2
1
'2'
2
- Quando a pressão horizontal se anula: ’h = 0
0'2 aah KcKz
aK
c
z
'2
aK
c
z
'2
0
Empuxo de Rankine: Casos Particulares
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Solo coesivo (c’ 0), CASO ATIVO:
- Quando a empuxo horizontal se anula: Ea = 0
a
a
aa
aaa
K
Kc
H
KHcKH
KHcKHE
'4
'2
2
1
0'2
2
1
2
2
a
cr
K
c
HH
'4
02 zH crou
Hcr ... Altura crítica. Para esta altura, o maciço se mantém estável, sem 
necessidade de contenção.