FRAÇÃO GERATRIZ DE DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES E COMPOSTA, 8º ANO, EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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FRAÇÃO GERATRIZ DE DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES E COMPOSTA. 
Bem, já sabemos que: 
• Toda dízima periódica indica um número racional. 
• Então: toda dízima periódica ϵ Q e, portanto, podemos representá-la em 
forma de fração: 
3
4
 = 0,75 
O que é uma fração geratriz? 
• Fração Geratriz é aquela que gera, ou seja, dá origem a uma dízima 
periódica. 
E as dízimas periódicas: 
• Podem ser dízimas periódicas simples: 0,7777... 
• Podem ser dízimas periódicas compostas: 0,232323... 
 
Obtendo a fração geratriz. 
Agora, vocês vão aprender como podemos determinar a fração que gera uma 
dízima periódica. A fração geratriz. Observe os exemplos: 
Exemplo1: Vamos encontrar a fração geratriz da dízima 0,777... 
1º PASSO: Transformamos a dízima periódica 0,777... em uma equação, ou 
seja, chamamos a dízima periódica 0,777... de x → x = 0,777...I 
2º PASSO: Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 10 para igualar 
a parte periódica: 10x = 7,777... II 
Nós multiplicamos os dois membros por 10, pois o período da dízima tem 
1 algarismo. 
 
 
MATEMÁTICA – 8º ANO 
 
3º PASSO: Subtraímos, membro a membro, I de II , eliminando a parte que se 
repete. 
 10x − x = 7,777... − 0,777... 
 9x = 7 
 x = 
7
9
, 
ou seja, 
7
9
 é a fração geratriz de 0,777... 
 
Exemplo 2: vamos encontrar a fração geratriz da dízima 4,151515... 
1º PASSO: Transformamos a dízima periódica 4,151515... em uma equação, ou 
seja, chamamos a dízima periódica 4,151515 de x... → x = 4,151515... I 
2º PASSO: Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 10 para igualar 
a parte periódica. 10x = 41,5151515... II. 
Não se esqueça: nós multiplicamos os dois membros por 10, pois o período da 
dízima tem 1 algarismo. 
Observe que a parte periódica ainda não está igualada. Então multiplicamos 
novamente por 10 para achar a equação equivalente. 
 (10x = 41,515151...) ⸳ 10 → 100x = 415,151515...III 
3º PASSO: Subtraímos, membro a membro, I de III , eliminando a parte que se 
repete. 
100x − x = 415,151515... − 4,151515... 
 99x = 411 
 X = 
99
411
 
Portanto, 
99
411
 é a fração geratriz de 4,151515... 
Atenção: alguns autores, sites e exemplos apresentam esse processo para 
igualar a parte periódica de forma direta. Esse processo não altera o resultado, 
observe. 
 
1º PASSO: Transformamos a dízima periódica 4,151515... em uma equação, ou 
seja, chamamos de a dízima periódica 4,151515... de x → x = 4,151515... I 
2º PASSO: Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 100 para obter 
outro número na forma decimal com o mesmo período. 100x = 415,151515... II 
Nós multiplicamos os dois membros por 100, pois o período da dízima tem 
2 algarismos. 
3º PASSO: Subtraímos, membro a membro, I de II , eliminando a parte que se 
repete. 
 100x − x = 415,151515... − 4,151515... 
 99x = 411 
 X = 
99
411
 , viram, o resultado é o mesmo. 
 
Exemplo 3: Agora, vamos encontrar a fração geratriz da dízima 0,04777... 
1º PASSO: Transformamos a dízima periódica 0,04777... em uma equação, ou 
seja, chamamos de a dízima periódica 0,04777... de x → x = 0,04777... I 
2º PASSO: Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 100 para obter 
uma dízima periódica simples. 100x = 4,777... II. (processo direto) 
Multiplicamos os dois membros da igualdade II por 10 para obter outro número 
na forma decimal com o mesmo período. 1 000x = 47,777... III 
3º PASSO: Subtraímos, membro a membro, II de III , eliminando a parte que se 
repete. 
Assim: 1 000x − 100x = 47,777... − 4,777... 
 900x = 43 
 X = 
43
900
 
Portanto, X = 
43
900
 é a fração geratriz de 0,04777... 
 
FRAÇÃO GERATRIZ DE DÍZIMAS PERIÓDICAS COMPOSTAS. 
 Assim como é possível determinar a fração geratriz das dízimas periódicas 
simples, também podemos determinar as frações geratrizes de dízimas 
periódicas compostas. Veja o caso a seguir. 
 Dada a dízima periódica composta − 5,6707070..., vamos encontrar sua 
fração geratriz. 
 Para fazermos o que se pede, primeiro escrevemos a equação: 
• x = − 5,6707070..., em que x é a fração que queremos encontrar. 
 Em seguida, multiplicamos os dois membros dessa equação por 10. 
• 10x = − 56,707070... e também por 1 000 → 1000x = − 5670,707070... 
 Em seguida, subtraímos (I) de (II): 
• 1 000x − 10x = − 5670,707070... − 56,707070... 
 990x = − 5 614 
 X = −
5614
990
, 
Observe que os dois termos são pares, então podemos simplificar, dividindo-os 
por 2 . 
 X = −
5614 ÷ 2 
990 ÷ 2
 = − 
2807
495
 
 A fração geratriz que procurávamos é − 
2807
495
 . 
 Nesse exemplo, multiplicamos a dízima por 10, pois havia um algarismo 
que não pertencia ao período (o algarismo 6). Em seguida, multiplicamos a 
dízima por 1 000, pois tínhamos 3 algarismos até a repetição do período (6, 7 e 
0). Em seguida, subtraímos as duas equações, eliminando as casas decimais e 
encontrando a fração procurada. 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
1. (OBM) Sabendo-se que 0,333... − 
1
3
 , qual é a fração irredutível equivalente 
a 0,1333...? 
a) 
1
13
 
b) 
1
15
 
c) 
1
30
 
d) 
2
15
 
 
2. Encontre a fração geratriz das dízimas periódicas compostas a seguir: 
I. 7,15555... 
II. − 0,53333... 
III. 69,0333... 
IV. −1,17474... 
 
a) 
322
45
 , 
24
45
,− 
2071
30
, 
1163
990
 
b) 
322
45
 ,− 
24
45
, 
2071
30
, 
1163
990
 
c) 
322
45
 ,− 
24
45
, 
2071
30
, −
1163
990
 
d) − 
322
45
 ,− 
24
45
, 
2071
30
, 
1163
990
 
 
3. Determine a dízima periódica de cada uma das frações abaixo. 
I.
47
900
 II.
8
9
 III.
13
90
 
a) 0,05222...; 0,888....; 0,1444... 
b) 0, 5222...; 0,0888...; 0,4444... 
c) 0,05222...; 0,00888...; 0,04444... 
d) 0,050222...; 0,80808...; 0,140444... 
 
4. Qual a fração que dá origem à dízima 2,546464… em representação decimal? 
a) 
2.521
990
 , 
b) 
2.546
999
 , 
c) 
2.546
990
 , 
d) 
2.521
999
 , 
 5. Indique qual o número racional geratriz da dízima periódica 8,0333… 
a) 
723
99
 , 
b) 
723
90
 , 
c) 
716
90
 , 
d) 
716
99
 
 
6. Leia as afirmações a seguir: 
I. Os números Naturais são aqueles inteiros não positivos mais o zero. 
II. Os números Irracionais são aqueles que representam dízimas periódicas. 
III. Os números Reais representam a soma dos números Racionais com os 
Irracionais. 
 Assinale a alternativa correta: 
a) Somente a assertiva II está correta. 
b) Somente a assertiva III está correta. 
c) Somente a assertiva I está correta. 
d) Somente as assertivas II e III estão corretas. 
 
7. Sejam x e y dois números reais. Sendo x = 2,333… e y = 0,1212…, dízimas 
periódicas. A soma das frações geratrizes de x e y é: 
a) 
27
11
 
b) 
27
33
 
c) 
23
33
 
d) 
23
11
 
 
8. Classifique as seguintes dízimas periódicas. 
 I. 0,3333… II. 12,13434... III. 1,1408080... 
a) Simples, simples, simples 
b) Simples, composta, simples. 
c) Simples, composta, composta. 
d) Composta, composta, composta. 
 
9. Dada a dízima periódica: 0,44444...diga de qual é a fração: 
a) 
4
99
 
b) 
4
999
 
 
c) 
4
9
 
d) 
4
999
 
 
10. Apresente o resultado da expressão na forma fracionária: 
0,66666... + 0,25252525... – 0,77777... 
a) 
14
999
 
b) 
14
9
 
c) 
14
9999
 
d) 
14
99
 
 
EXERCÍCIOS: 
1. (OBM) Sabendo-se que 0,333... − 
1
3
 , qual é a fração irredutível equivalente 
a 0,1333...? 
X = 0,1333.... ⸳(10) = 10x → 1,333... 
10x → 1,333... temos que multiplicar novamente por 10 para o número 1 ficar na 
parte inteira( ante da vírgula). 
10x = 1,333 ⸳(10) = 100x = 13,333... 
100x - 10x = 13,333... - 1,333... 
90x = 12 
 x = 
𝟏𝟐
𝟗𝟎
 SIMPLIFICANDO 
𝟏𝟐 ÷ 𝟔
𝟗𝟎 ÷ 𝟔
 = 
𝟐
𝟏𝟓
 → Letra D 
 
2. Encontre a fraçãogeratriz das dízimas periódicas compostas a seguir: 
V. 7,15555... 
X = 7,15555...(x10) → 10x = 71,5555...(x10) → 100x = 715,555... 
100x - 10x = 715,555 - 71,555 
 90x = 644 
 X = 
644 ÷ 2 
90 ÷ 2 
 = 
𝟑𝟐𝟐
𝟒𝟓
 
VI. 
VII. − 0,53333... 
X = − 0,53333...(x10) →10x = − 5,3333...(x10) → 100x = − 53,3333... 
100x - 10x = − 53,3333... − (− 5,3333...) 
 90x = − 53,3333... + 5,3333... = 
90x = − 48 
X= − 
48
90
 → − 
48 ÷ 2
90 ÷ 2 
 = − 
𝟐𝟒
𝟒𝟓
 
 
VIII. 69,0333... 
X = 69,0333...(x10) → 10x = 690,333(x10) →100x = 6903,333 
100x - 10x = 6903,333... - 690,333... 
90 x = 6.213 
 X = 
6213 
90
= 
6213 ÷ 3 
90 ÷ 3 
 = 
𝟐.𝟕𝟎𝟏
𝟑𝟎
 
 
IX. −1,17474... 
 X = − 1,17474...(x10) 
 10x = − 11,7474...(x10) 
 100x = − 117,474...(x10) 
 1000x = − 1174,7474...(x10) 
 1000x - 10x = − 1174,7474 −( −11,7474) 
 1000x − 10x = − 1174,7474 + 11,7474 
 990x = − 1.163 
 X = −
1163
990
 
 
Letra C: 
322
45
 ,− 
24
45
, 
2071
30
, −
1163
990
 
 
 
 
 
 
3. Determine a dízima periódica de cada uma das frações abaixo. 
IV.
47
900
 = 47 ÷ 900 = 0,05222.... 
V. 
8
9
 = 8 ÷ 9 = 0,8888... 
VI. 
 13
90
 = 13 ÷ 90 = 0,14444... 
 Letra A
 
4. Qual a fração que dá origem à dízima 2,546464… em representação decimal? 
X = 2,54646...(x10) → 10x = 25,4646 
10x = 25,4646...(x10) → 100x = 254,6464 
100x = 254,6464...(x10) = 1000x = 2546,4646 
1000x − 10x = 2546,4646... − 25,4646 
 990x = 2.521 
 X = 
𝟐.𝟓𝟐𝟏
𝟗𝟗𝟎
. → Letra A 
 
 5. Indique qual o número racional geratriz da dízima periódica 8,0333… 
 X = 8,0333...(x10) → 10x = 80,3333 
 10x = 80,333...(x10) → 100x = 803,333... 
100x − 10x = 803,333... − 80,333... 
90x = 723 
 X = 
𝟕𝟐𝟑
𝟗𝟎
 → Letra B 
 
6. Leia as afirmações a seguir: 
I. Os números Naturais são aqueles inteiros não positivos mais o zero. 
FALSO, pois os não positivos, na verdade são os negativos. 
II. Os números Irracionais são aqueles que representam dízimas periódicas. 
FALSO, os números irracionais são aqueles que possuem representação 
decimal infinita e não periódica. 
III. Os números Reais representam a soma dos números Racionais com os 
Irracionais. 
VERDADEIRO. Todos os elementos dos números racionais com os números 
irracionais formam o conjunto dos números reais 
Letra B 
 
7. Sejam x e y dois números reais. Sendo x = 2,333… e y = 0,1212…, dízimas 
periódicas. A soma das frações geratrizes de x e y é: 
 X = 2,333...(x10) → 10x = 23,333... 
• 10x − x = 23,333... − 2,333... 
• 9x = 21 
• X = 
21
9
, simplificando temos: 
𝟐𝟏 ÷ 𝟑 
𝟗 ÷ 𝟑
 = 
𝟕
𝟑
 
 Y = 0,1212....(x10) → 10y = 1,2121... 
• 10y = 1,2121...(x10) = 100y = 12,1212... 
• 100y − 1y = 12,1212 − 0,1212... 
• 99y = 12 
• Y = 
12
99
, simplificando temos: 
𝟏𝟐÷ 𝟑 
𝟗𝟗 ÷𝟑 
 = 
𝟒
𝟑𝟑
 
 
𝟕
𝟑
 + 
𝟒
𝟑𝟑
 = 
𝟕𝟕 + 𝟒 
𝟑𝟑
 = 
𝟖𝟏
𝟑𝟑
 → 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐: 
𝟖𝟏 ÷𝟑 
𝟑𝟑 ÷𝟑
 = 
𝟐𝟕
𝟏𝟏
 → Letra A 
 
8. Classifique as seguintes dízimas periódicas. 
 I. 0,3333… Simples: a parte decimal possui um período. 
 II. 12,13434... Composta: a parte decimal possui dois períodos diferentes. 
 III. 1,1408080... Composta: a parte decimal possui dois períodos diferentes. 
 Letra C 
9. Dada a dízima periódica: 0,44444...diga de qual é a fração: 
 X = 0,44444...(x10) → 10x = 4,4444... 
10x − x = 4,4444... − 0,4444... 
 9x = 4 
 x = 
𝟒
𝟗
 → Letra C 
 
10. Apresente o resultado da expressão na forma fracionária: 
0,66666... + 0,25252525... – 0,77777... 
 
• X = 0,66666...(x10) → 10x = 6,6666... → 10x − x = 6,6666...− 0,6666... 
 9x = 6 → x = 
6
9
 
• X = 0,252525...(x10) → 10x = 2,52525...(x10) → 100x = 25,2525 
100x − x = 25,2525... − 0,2525... 
 99x = 25 
 X = 
25
99
 
• X = − 0,77777...(x10) → 10x = 7,7777... 
10x − x = 7,7777... − 0,7777 
 9x = 7 
 x = 
7
9
 
 
𝟔
𝟗
 +
𝟐𝟓
𝟗𝟗
 − 
𝟕
𝟗
 = 
𝟔𝟔 +𝟐𝟓 − 𝟕𝟕
𝟗𝟗
 = 
𝟏𝟒
𝟗𝟗
 → Letra D