Gabarito PESQUISA OPERACIONAL-AP2

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Modelo do problema: 
 
Maximizar Z = 0,5 x1 + x2 (Função Objetivo) 
 
Restrições Tdos recursos: 
2 x1 + 4 x2 ≤ 20 
 
2 x1 + 2 x2 ≤ 12 
 
4 x1 ≤ 16 
 
Restrições de não negatividade: 
x1 ≥ 0 
x2 ≥ 0 
 
Solução gráfica 
 
 
 
1 Calcular dos valores máximos 
1.1 2 x1 + 4 x2 = 20 (R1) 
x1 = 0: 
2 * 0 + 4 x2 = 20 
x2 =5. Logo, o ponto (0,5) faz parte da reta R1 
 
x2 = 0: 
(2,5) 
(4,2) 
2 x1 + 4 * 0 = 20 
x1 = 10. Logo, o ponto (10,0) faz parte da reta R1 
 
 
1.2 b) 2 x1 + 2 x2 = 12 (R2) 
 
x1 = 0: 
2 * 0 + 2 x2 = 12 
x2 =6. Logo, o ponto (0,6) faz parte da reta R2 
 
 
x2 = 0: 
2 x1 + 2 * 0 = 12 
x1 = 6. Logo, o ponto (6,0) faz parte da reta R2 
 
 
1.3 4 x1 ≤ 16 (R3) 
 
x1 = 4 
 
Como o ponto (0,0) satisfaz a restrição (0 ≤ 16), os pontos de interesse estão à 
esquerda de R3. 
 
2 Testando os vértices do polígono na Função Objetivo: Z = 
0,5 x1 + x2 
 
2.1 Para x1 = 0 e x2 = 0 
Z = 0,5 * 0 + 0 
Máx(Z) = 0 
 
2.2 Para x1 = 4 e x2 = 0 
Z = 0,5 * 4 + 0 
Máx(Z) = 2 → o ponto (4,0) melhora a solução 
 
2.3 Para x1 = 0 e x2 = 5 
Z = 0,5 * 0 + 5 
Máx(Z) = 5 
 
2.4 Para a interseção entre as retas R1 e R2: 
 
2 x1 + 4 x2 = 20 (I) (Restrição 1) 
2 x1 + 2 x2 = 12 (II) (Restrição 2) 
 De (II): 2 x1 + 2 x2 = 12 
 2 x1 = 12 - 2 x2 
 x1 = 6 - x2 
 
Substituindo em (I): 2 x1 + 4 x2 ≤ 20 
 2 * (6 - x2) + 4 x2 = 20 
 12 - 2 x2 + 4 x2 = 20 
 2 x2 = 8 
 Para x1 = 2 e x2 = 4 
Substituir o ponto (2,4) na Função Objetivo: Z = 0,5 x1 + x2 
 
Z = 0,5 * 2 + 4 
Máx(Z) = 5. 
 
 
2.5 Para a interseção entre as retas R2 e R3: 
 
2 x1 + 2 x2 = 12 (III) (Restrição 2) 
4 x1 = 16 (IV) (Restrição 3) 
De (III): 4 x1 = 16 
 x1 = 4 
 
Substituindo em (III): 2 x1 + 2 x2 = 12 
 2 * 4 + 2 x2 = 12 
 8 + 2 x2 = 12 
 2 x2 = 4 
 x2 = 2 
 
Para x1 = 4 e x2 = 2 
Substituir o ponto (4,2) na Função Objetivo: Z = 0,5 x1 + x2 
 
Z = 0,5 * 4 + 2 
Z = 4 
 
Os conjuntos (0,5) e (2,4) fornecem as melhores soluções. 
 
Nesse caso diz-se que existe uma infinidade de valores de x1 e x2 que 
maximizam a função, mas como não se pode produzir valores reias de produtos, 
somente inteiro ficamos coma as soluóes x1 = 0 e x2 = 5 ou x1 = 2 e x2 = 4. 
Ambas fornecendo um lucro de R$ 5,00. 
 
Observação: A fim de oferecer um mix de produto e, já que ambas as soluções 
acima satisfazem as restrições do problema e atingem o mesmo máximo sugere 
a solução x1 = 2 e x2 = 4.