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Centro Universitário de Maringá - Unicesumar Acadêmico (a): Juniti Okamura Júnior RA: 17318145 Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III Professor: Julio Cesar Coelho Curso: Licenciatura em Matemática MAPA – Material de Avaliação Prática de Aprendizagem 1) Realize uma pesquisa indicando, para cada um dos modelos, os seguintes aspectos: a) Origem e principais características do modelo. Modelo de Malthus Crescimento populacional exponencial, a população cresce a infinito, sem limitações, o modelo de Thomas Malthus explica o crescimento populacional sem agentes externos, tidos como limitadores da população. Malthus deixou evidente seu pessimismo quanto ao desenvolvimento humano. Ele acreditava que a pobreza fazia parte do destino da humanidade, baseado na premissa de que a população possuía potencial de crescimento ilimitado, ao contrário da produção de alimentos. Thomas Malthus descreveu tal crescimento populacional e disse que em algum momento a população entraria em colapso, pois a oferta de alimentos não seria compatível a este crescimento exponencial, uma vez que tal oferta apresentava uma taxa de crescimento em progressão aritmética. Malthus não contava que os avanços tecnológicos fariam com que a oferta de alimentos crescesse a uma taxa além da aritmética, suprindo assim a demanda da população. Em seus cálculos, foi utilizada uma taxa de crescimento populacional per capta constante, o que também não condiz com a realidade, uma vez que populações estão sempre susceptíveis a taxas de controle populacional, como doenças, escassez de alimentos e guerras. Malthus concluiu que, se o crescimento populacional não fosse contido, a população cresceria segundo uma progressão geométrica (2,4,8,16,32), e a produção de alimentos cresceria segundo uma progressão aritmética (2,4,6,8,10,12). Modelo Verhulst Crescimento populacional logístico - O modelo de Pierre Verhulst, explica o crescimento da população com a ação de agentes limitadores, como por exemplo a competição intraespecífica. A princípio, a população cresce de forma exponencial, mas depois se estabiliza quando a população atinge um número de indivíduos e um número máximo de recursos no ambiente. É claro que uma população não pode crescer indefinidamente, ou seja, mais cedo ou mais tarde o esgotamento dos recursos disponíveis imporá limites à expansão. O matemático Pierre Verhulst propôs, em 1838, uma generalização do modelo de Malthus que leva em conta essas restrições “ambientais”. O crescimento logístico, é um modelo de crescimento um pouco mais complexo que o crescimento exponencial, porém é o modelo que melhor reflete a dinâmica populacional, pois nele está inserido o conceito de competição intraespecífica. Inicialmente, a população apresenta um crescimento exponencial, porém a medida que esta população se torna densa, a competição intraespecífica se torna maior e leva a população a um patamar de equilíbrio, conhecido como homeostase, no qual o número de mortes e nascimentos se torna constante. Um termo que complementa esta competição e ajuda no equilíbrio da população, é chamado de capacidade suporte. Na natureza é praticamente impossível que uma população cresça de forma exponencial por tempo indeterminado, todo o ambiente possui uma capacidade suporte, que nada mais é que um limitante de indivíduos, ou seja, o número de indivíduos que o ambiente pode suportar, sem que haja grandes variações na mesma, devido a altas taxas de natalidade ou mortalidade. Esta capacidade suporte normalmente precisa ser estimada. Comparativo entre os dois modelos O modelo Malthus estabelecia que a população cresceria em progressão geométrica e a produção de alimentos cresceria em progressão aritmética. Já o modelo Logístico que foi formulado por Verhurst supõe que uma população tende a crescer até se estabilizar. No modelo de Malthus, parte-se do pressuposto que o meio ambiente tem pouca ou quase não tem influência no crescimento ou decrescimento da população, enquanto o modelo logístico leva os fatores limitadores, gerados pelo próprio meio ambiente da população. Ao final desta análise pudemos constatar qual o modelo mais adequado para esse tipo de dinâmica. Existem alguns estudos que exploram essa temática em lugares específicos, fazendo a mesma comparação entre tais modelos. Vale ressaltar que outros estudos, concluíram que o modelo logístico é o que mais se aproxima da realidade. b) Formulação (partindo da Equação Diferencial até chegar ao modelo (solução) - É necessário realizar e exibir esses cálculos) Modelo de Malthus – Formulação Em 1798, Malthus propôs um modelo que assume que o crescimento de uma população é proporcional à população em cada instante, e desta forma, a população humana deveria crescer sem nenhuma inibição. Ou seja, esse modelo não estabelece nenhuma limitação, o meio ambiente não causa influência sobre a população, e propõe que os indivíduos se reproduzem a todo instante. Partindo da ideia de que o crescimento populacional se refere da variação da população em função do tempo e que a razão entre a variação da população (P) e a variação do tempo (t) é diretamente proporcional à população atual, tem-se que: onde k representa uma constante de proporcionalidade, que será positiva em caso de crescimento e negativa em caso de decrescimento. Esse modelo é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de primeira ordem homogênea e sua resolução pode ser feita a partir da técnica de equações separáveis. Resolvendo a EDO, temos: são constantes arbitrarias, onde Aplicando a exponencial em ambos os lados, temos: Substituindo t = 0, encontramos o valor da constante Com isso, a equação pode ser escrita da seguinte maneira: Este modelo é suficientemente simples e válido, se o crescimento de nossa população está sujeito apenas às taxas de natalidade e mortalidade, sem que sejam consideradas no modelo as taxas de migração, e ainda se pudermos considerar a diferença entre as taxas de natalidade e de mortalidade que é um valor constante k Portanto, conclui-se que: 1) Se k >0, a população cresce. 2) Se k <0, a população se reduz. .Modelo de Verhulst – Formulação Como foi visto anteriormente, não existem fatores limitantes no modelo de Malthus, ou seja, a população cresce sem parar. Mas é importante salientar que no crescimento populacional logístico isso não ocorre, sempre haverá fatores, físicos, biológicos ou ambientais, que interferem nesse crescimento. É um modelo mais realístico, ou seja, o matemático Verhulst supôs que a população é propensa a sofrer inibições naturais e que cresce até um limite máximo sustentável e depois tenderia a se estabilizar, e é por isso que é um modelo de crescimento mais significativo, do ponto de vista biológico e realístico. Verhulst fez a suposição que: · A taxa de variação da população em relação ao tempo deveria ser proporcional à população (o mesmo que Malthus), · Acrescentou uma nova ideia. A taxa de variação da população em relação ao tempo deveria ser proporcional à fração da população ainda não utilizada até o momento da análise. Assim, foi montada a Equação Diferencial Ordinária: Onde, Taxa do aumento da população; Tamanho da população; Capacidade para o aumento populacional; Capacidade de suporte. A solução analítica da equação é obtida por integração após a separação das variáveis: A integral do primeiro membro pode ser resolvida utilizando a técnica das frações parciais: Sendo assim temos: Podemos determinar o valor da constante de integração c na equação supondo que como condição inicial: Portanto: Explicitando temos: Logo, podemos escrever em uma fração de através da expressão 2) Apresentar um exemplo para cada um dos modelos citados. - Utilizar valores (podem ser criados) para estimar o crescimento populacional Exemplo do Modelo de Malthus Utilizaremos o modelo continuo de Malthus para calcular o número de habitantes da população de São José do Norte. Os dados utilizados para este exercício é modo fictício, com o objetivo de fazer uma previsão do número de habitantes do município. Na tabela são apresentados os valores da população de cada ano em São José do Norte. Objetivo do exercício: Estimar o crescimento populacional com o modelo continuo até 2020. Estimativa da população entre 1980 à 2010 ANO ESTIMATIVA DA POPULAÇÃO TOTAL 1980 9204 1991 11620 2000 16197 2007 18687 2010 19825 Aplicando o modelo continuo de Malthus e considerando também as populações de 1980 e 1991 para o cálculo da taxa de crescimento para o modelo contínuo de Malthus, obtemos o valor de k: Portanto, de acordo com o método contínuo de Malthus a taxa de crescimento da população de São José do Norte é de aproximadamente 2,12 % ao ano entre os anos de 1980 e 1991. Com esta taxa é possível estimar o crescimento populacional de São José do Norte de 1980 à 2020. Logo: ANO ESTIMATIVA DA POPULAÇÃO TOTAL MODELO DE MALTHUS CONTINUO 1980 9204 9204 1991 11620 11621 2000 16197 14064 2007 18687 16314 2010 19825 17385 2015 19330 2020 21491 Observando acima verificamos que os valores obtidos pelo método contínuo de Malthus, são valores inferiores aos valores fictícios da estimativa realizada pelo exercício, isto se deve ao fato de se tratar de um modelo exponencial, tendo que a tendência da população de São José do Norte com este modelo, é de crescer sem parar. Além disso, o intervalo entre uma observação e outra da população, foi relativamente grande. Exemplo do Modelo de Verhulst Uma determinada fábrica de uma cidade X, que tem como capacidade suporte estimada de 1000 operários, e tendo um tamanho de população de operários que satisfaz a equação com por mês. Considerando que a população inicial era de 100 operários, pergunta-se? Qual foi o instante que essa população atingiu, 700, 800 e 900 operários respectivamente. Leve em consideração a constante de proporcionalidade . Para a resolução da atividade utilizaremos o modelo continuo que consiste em → → → Número de Operários Número de meses 700 38,06 800 44,83 900 54,97 Mesmo que seja de maneira breve, pudemos constatar que o modelo logístico realmente tem embasamento nas ideias e compreensões analisadas e estudadas até agora, ou seja, o modelo de Verhulst, evidencia que a população cresce até um limite máximo sustentável e depois tenderia a se estabilizar. Os cálculos acima mostra que a cada 100 operários o espaçamento entre os meses ficam maiores, evidenciando justamente isto, provando que a população vai crescendo de maneira mais lenta com o passar do tempo, caracterizando os conceitos do modelo proposto. Av. Guedner, nº 1610, Fone/fax: (0xx44) 3027-6360 CEP 87050-900 – Maringá – Paraná E-mail info@cesumar.br – Home Page: www.ead.cesumar.br
