Aplicação da Programação Linear na Resolução de Problema na Área de Transportes

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1 
 
 
 
 
PESQUISA OPERACIONAL 
APLICAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMA NA 
ÁREA DE TRANSPORTES 
 
ÉRICA DO NASCIMENTO 
GERSON MANOEL DE OLIVEIRA 
JENIFER CERQUEIRA 
NAILSON CONCEIÇÃO DOS SANTOS 
TIAGO CARLOS SILVA DE CARVALHO 
VALDINÉIA RAMOS SANTOS 
 
 
 
 
 
 
SALVADOR 
2014 
 2 
 
PESQUISA OPERACIONAL 
 
 
 
APLICAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
NA ÁREA DE TRANSPORTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado à Faculdade Ruy Barbosa como requisito 
obrigatório para Exame Final da Disciplina de Pesquisa 
Operacional, do curso tecnológico de Logística. 
 
Orientadora: Profª. Rita de Cássia Mota Nascimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SALVADOR 
2014 
 3 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO 
2 SETOR DE TRANSPORTES 
3 PROGRAMAÇÃO LINEAR 
4 PROBLEMÁTICA (Problema de Transportes Simples) 
5 CONCLUSÃO 
6 REFERÊNCIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
RESUMO 
O Problema Geral de Programação Linear (PL) é utilizado para otimizar (maximizar 
ou minimizar) uma função linear de variáveis, chamada de função objetivo, sujeita a 
uma série de equações (ou inequações) lineares, chamadas restrições. Com isso, 
este trabalho procura utilizar a PL para resolução de problema no setor de transporte. 
Palavras-chave: Programação Linear. Função objetivo. 
 
 
ABSTRACT 
The general problem of Linear Programming (LP) is used to optimize (maximize or 
minimize) A linear linear function of variables, called the objective function, subject to 
a number of equations (or inequalities), call restrictions. Thus, this work seeks to use 
PL for problem solving in the transportation sector. 
 
Keywords: Linear Programming. Objective function. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/fun%C3%A7%C3%A3o_linear
 5 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Sendo bastante comum, os problemas no setor de transporte são facilmente 
resolvidos dentro da Pesquisa Operacional com o modelo de Programação Linear. 
Por isso, o objeto de pesquisa deste trabalho é o importante destaque da 
Programação Linear como meio de resolver problemas típicos no setor de transportes. 
Como problema de pesquisa, este trabalho busca responder a seguinte 
pergunta: como utilizar a ideia de utilização da Programação Linear na resolução de 
problemas do setor de transportes? 
Por seguinte, o objetivo geral é apresentar a utilização eficaz da Programação 
Linear como ferramenta de apoio gerencial na tomada de decisão em problemas do 
setor de transportes. 
Já os objetivos específicos procuram responder: a) O que é Programação 
Linear, b) Quais os principais problemas no setor de transportes, c) como utilizar a 
programação Linear nos problemas de transportes. 
Para contextualizar o referido trabalho e aprofundar o conhecimento sobre o 
objeto de pesquisa, o referancial teórico utilizado foi uma pesquisa bibliográficas e 
algumas visitas em sites da internet, incluíndo vasta leitura em artigos científicos. 
Cervo & Bervian (1996) descrevem a pesquisa bibliográfica como aquela que procura 
explicar um problema a partir de referências teóricas publicadas em documentos. Gil 
(2002) escreve que a pesquisa bibliográfica é desenvolvida com base em material já 
eleborado, constituído principalmente de livros e artigos científicos. 
Este trabalho é relevante para toda a sociedade, pois apresenta o uso eficiente 
da Programação Linear como apoio gerencial na tomada de decisão. 
É justifica pelo incapacidade de alguns gestores do setor de transporte de não 
conseguirem resolver eficientimente problemas típicos do seu setor. Sendo a 
programação Linear, dentro da pesquisa Operacional uma ferramenta bastante eficaz 
para isso. 
Além desta introdução e da conclusão, este trabalho está dividido em três 
partes. A primeira e a segunda parte, analisa os aspectos relevântes referente ao setor 
 6 
 
de transportes e Programação Linear, respectivamente. E, por fim, na terceira parte é 
apresentado uma problemática do setor de transporte resolvido com a Programação 
Linear. 
 
2 SETOR DE TRANSPORTES 
O setor de transporte é o responsável pela locomoção dos materiais, acabados 
e semi - acabados, do ponto de origem até o ponto de destino final. Outra função do 
setor, além do seu próprio conceito, é a elaboração de rotas para ação eficiente de 
entrega de produto no local e prazo desejado, como também, e principalmente, 
redução de custos. 
 
De acordo com Alvarenga e Novaes (2000: 93), para se organizar um sistema 
de transporte é preciso ter uma visão sistêmica, que envolve planejamento, mas para 
isso é preciso que se conheça: os fluxos nas diversas ligações da rede; o nível de 
serviço atual; o nível de serviço desejado; as características ou parâmetros sobre a 
carga; os tipos de equipamentos disponíveis e suas características (capacidade, 
fabricante etc.); e os sete princípios ou conhecimentos, referentes à aplicação do 
enfoque sistêmico. 
 
Isso remete a pensar na complexidade do setor, uma vez que ele se conecta 
com os demais setores da empresa. E para atuar com responsividade precisa de uma 
boa gestão, TI (Tecnologia da Informação), funcionários motivados, dentre outros 
fatores. 
 
E para completar, existem cinco modais de transportes: rodoviário (mais 
utilizados no Brasil), Ferroviário (mais econômico), hidroviário (rios, mares etc.), 
dutoviário e aeroviário. Nos cinco meios a programação Linear pode entrar para 
resolução de problemas de forma eficaz e precisa. 
 
O setor de transporte é o mais preocupante para os gestores, pois engloba o 
mais custo logístico, cerca de 1/3 dos custos totais. Com isso, o setor precisa ser bem 
administrado no intuito de redução de custo e satisfação do cliente. As avaliações, 
 7 
 
parâmetros, trade offs precisam ser muito bem analisados, evitando o mínimo possível 
de erros para se chegar ao custo mínimo. E aí entra a Programação Linear, como 
ferramenta disponível para viabilizar os gestores na tomada de decisão. 
 
3 PROGRAMAÇÃO LINEAR 
 
A Pesquisa Operacional, especificamente, oferece aos gerentes a capacidade 
de tomar decisões mais eficazes e de estabelecer sistemas mais produtivos, por meio 
de informações mais completas realizam-se previsões cuidadosas de resultados e 
estimativas de risco com ferramentas atuais e técnicas de decisão. A contribuição 
desta pesquisa no âmbito empresarial seja a evidenciação de que, a prática específica 
da Pesquisa Operacional, por meio da Programação Linear, é uma importante 
ferramenta gerencial para a escolha das melhores decisões. E no âmbito acadêmico, 
destaca-se a importância do caráter multidisciplinar e científico do estudo. 
 
O Problema geral de programação linear é utilizado para aperfeiçoar 
(maximizar ou minimizar) uma função linear de variáveis, chamada de "função 
objetivo", sujeita a uma série de equações ou inequações lineares, chamadas 
restrições. A formulação do problema a ser resolvido por programação linear segue 
alguns passos básicos. 
 
Programação Linear consiste em métodos para resolver problemas de 
Otimização com restrições (injunções) em que a Função Objetivo é LINEAR 
em relação as variáveis de controle x 1, x 2,...,x n , e o domínio destas variáveis é 
injuncionado por um sistema de inequações lineares (Advanced Engineering 
Mathematics). 
 
Deve ser definido o objetivo básico do problema, ou seja, a otimização a ser 
alcançada; para que esta função objetivo seja matematicamente especificada, devem 
ser definidas as variáveis de decisão envolvidas; estas variáveis normalmente estão 
sujeitas a uma série de restrições, normalmente representadas por inequações. 
 
A programação linear é uma das muitas técnicas analíticas recentemente 
desenvolvidas que se tem mostrado úteis na resolução de certos tipos de problemas 
 8 
 
empresariais, no caso deste trabalho, setor de transportes. Esses métodos 
quantitativos de resolução de problemas, como muitos aplicadosna pesquisa 
operacional, são baseados em conceitos matemáticos e estatísticos. Considerando 
que a programação linear seja um “modelo”, um método apropriado de estudo seria 
estruturá-la dentro da estrutura mais extensa do processo de tomada de decisão 
administrativa. 
 
Os Problemas de Programação Linear buscam a distribuição eficiente de 
recursos limitados para atender um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros 
ou minimizar custos. 
 
Objetivos para o estudo da programação linear: a) reconhecer os problemas 
que passíveis de análise pelo modelo; b) auxiliar o analista no estágio inicial da 
investigação; c) avaliar e interpretar inteligentemente os resultados; d) aplicar os 
resultados com a confiança que é adquirida somente com a compreensão dos 
problemas e dos resultados envolvidos. 
Os problemas de programação são modelados tal que o melhor uso de 
recursos escassos possa ser determinado, conhecidos os objetivos e necessidades 
do analista. Problemas de programação linear compõem uma subclasse de problemas 
nos quais a modelagem é inteiramente expressa em termos de equações lineares. 
Parece intuitivo que para ser possível a solução de um dado problema através da 
programação linear, o problema deve ser inicialmente, formulado em termos 
matemáticos. 
Um aspecto importante de problemas envolvendo decisões é o de otimização; 
quando se procura estabelecer quais as maneiras mais eficientes de utilizar os 
recursos disponíveis para atingir certos objetivos. 
 
4 PROBLEMÁTICA (PROBLEMA DE TRANSPORTE SIMPLES) 
 
Os gerentes das organizações, constantemente, se deparam com 
circunstâncias em que devem tomar decisões, que levam em consideração, diversas 
alternativas conflitantes e concorrentes, diante dessas situações os gerentes podem 
 9 
 
utilizar a intuição gerencial ou realizar um processo de modelagem da situação 
(LACHTERMACHER, 2007). 
 
Bueno (2007, p.19) afirma que as representações com modelagem matemática ou 
simbólica, são formadas por variáveis de decisão (parâmetros para tomada de 
decisão) e expressões matemáticas (relações entre as variáveis). Essas 
representações darão suporte à decisão por retratar um problema real. 
 
A Pesquisa Operacional, especificamente, oferece aos gerentes a capacidade 
de tomar decisões mais eficazes e de estabelecer sistemas mais produtivos, por meio 
de informações mais completas realizam-se previsões cuidadosas de resultados e 
estimativas de risco com ferramentas atuais e técnicas de decisão (MOREIRA, 2007). 
 
Diante dessa realidade, as empresas podem utilizar essas técnicas para rever 
suas operações com intuito de auxiliar na boa execução das estratégias, visando 
aumentar a eficiência das suas atividades e minimizar seus custos. Portanto, o 
objetivo desta pesquisa é reduzir os custos de transporte de uma empresa por meio 
do uso da Programação Linear. 
 
 A Transportadora São Luis irá fazer o transporte dos seus produtos eletrônicos 
de 3 (três) fábricas para 4 (quatro) Centros de Distribuição. Os custos unitários do 
transporte são apresentados na tabela a seguir. Sabe-se que as fábricas (1, 2 e 3) 
têm capacidade de produção de 40, 100 e 60 unidades respectivamente. As 
necessidades dos Centros de Distribuição (A, B, C e D) são 20, 70, 50, 90 
respectivamente. Pede-se para determinar: 
 
a) O custo do transporte a partir do “Método de Aproximação de Vogel”. 
b) O(s) destino(s) que não será(ão) plenamente abastecido(s). 
 
Tabela 01 - Custos Unitários dos Transportes (R$/unidade) 
 CD 01 CD 02 CD 03 CD 04 Capacidade 
Fábrica 01 5 3 10 8 40 
 10 
 
Fábrica 02 5 2 4 9 100 
Fábrica 03 8 11 9 10 60 
Demanda 20 70 50 90 
 
Solução: 
a) Capacidade das Fábricas (Pontos de Origem): 40 + 100 + 60 = 200 unidades 
Necessidade das Demandas (Pontos de Destino): 20 + 70 + 50 + 90 = 230 
unidades. 
Logo como as 3 fábricas não são suficientes para atender plenamente as 
necessidades requeridas dos 4 pontos de destino, temos que “criar uma fábrica 
fictícia” para poder resolver o problema. Essa fábrica F4 irá produzir exatamente a 
quantidade que está faltando, ou seja, 30 unidades. Logo o novo quadro ficará 
calculado desta forma: 
 
 CD 01 CD 02 CD 03 CD 04 Capacidade 
Fábrica 01 5 3 10 8 40 
Fábrica 02 5 2 4 9 100 
Fábrica 03 8 11 9 10 60 
Fábrica 04 0 0 0 0 30 
Demanda 20 70 50 90 
 
Observação: Perceba que na matriz de custo foram associados os valores 0(zero) 
para os custos de F4 para D1, D2, D3 e D4, respectivamente, uma vez que de fato 
essa fábrica não existe. 
O procedimento agora será análogo ao exemplo anterior, com o cálculo das 
penalidades, identificação da maior penalidade, menor custo e definição da célula de 
alocação. 
 CD 01 CD 02 CD 03 CD 04 Capacidade Penalidade 
Fábrica 01 5 3 10 8 40 2 
Fábrica 02 5 2 4 9 100 2 
 11 
 
Fábrica 03 8 11 9 10 60 1 
Fábrica 04 0 0 0 0 30 0 
Demanda 20 70 50 90 
Penalidade 5 2 4 8 
 
 
Célula de Alocação: F4D4 
 CD 01 CD 02 CD 03 CD 04 Capacidade 
Fábrica 01 5 3 10 8 40 
Fábrica 02 5 2 4 9 100 
Fábrica 03 8 11 9 10 60 
Fábrica 04 --- 
0 
--- 
0 
--- 
0 
30 
0 
30 
0 
Demanda 
20 
 
70 
 
50 
90 
60 
 
 
Cálculo das Penalidades 
 CD 01 CD 02 CD 03 CD 04 Capacidade Penalidade 
Fábrica 01 (5) (3) (10) (8) 40 2 
Fábrica 02 (5) (2) (4) (9) 100 2 
Fábrica 03 (8) (11) (9) (10) 60 1 
Fábrica 04 --- 
(0) 
--- 
(0) 
--- 
(0) 
30 
(0) 
 
0 
--- 
Demanda 
20 
 
70 
 
50 
 
60 
 
Penalidade 0 1 5 
 12 
 
Célula de Alocação: F2D3 
 CD 01 CD 02 CD 03 CD 04 Capacidade 
Fábrica 01 (5) (3) --- 
(10) 
(8) 40 
Fábrica 02 
(5) 
 
(2) 
 
50 
(4) 
 
(9) 
100 
50 
Fábrica 03 (8) (11) --- 
(9) 
(10) 60 
Fábrica 04 --- 
(0) 
--- 
(0) 
--- 
(0) 
30 
(0) 
 
0 
Demanda 20 70 50 
0 
60 
 
 
Cálculo das Penalidades 
 CD 01 CD 02 CD 03 CD 04 Capacidade Penalidade 
Fábrica 01 (5) (3) --- 
(10) 
(8) 40 2 
Fábrica 02 
(5) 
 
(2) 
50 
(4) 
 
(9) 
50 
 
3 
 13 
 
 
Fábrica 03 (8) (11) --- 
(9) 
(10) 60 2 
Fábrica 04 --- 
(0) 
--- 
(0) 
--- 
(0) 
30 
(0) 
 
0 
--- 
Demanda 20 70 0 
 
60 
Penalidade 0 1 --- 1 
 
 
Célula F2D2 
 CD 01 CD 02 CD 03 CD 04 Capacidade 
Fábrica 01 (5) (3) --- 
(10) 
(8) 40 
Fábrica 02 --- 
(5) 
50 
(2) 
 
50 
(4) 
---- 
(9) 
50 
0 
 
Fábrica 03 (8) (11) --- 
(9) 
(10) 60 
Fábrica 04 --- 
(0) 
--- 
(0) 
--- 
(0) 
30 
(0) 
 
0 
Demanda 20 70 
20 
0 
 
60 
 
 
 
 14 
 
Cálculo das Penalidades 
 CD 01 CD 02 CD 03 CD 04 Capacidade Penalidade 
Fábrica 01 (5) (3) --- 
(10) 
(8) 40 2 
Fábrica 02 --- 
(5) 
50 
(2) 
 
50 
(4) 
---- 
(9) 
0 
 
 
--- 
Fábrica 03 (8) (11) --- 
(9) 
(10) 60 2 
Fábrica 04 --- 
(0) 
--- 
(0) 
--- 
(0) 
30 
(0) 
 
0 
--- 
Demanda 20 20 
 
0 
 
60 
Penalidade 3 8 --- 
 
 
Célula de Alocação: F1D2 
 CD 01 CD 02 CD 03 CD 04 Capacidade 
Fábrica 01 (5) 20 
(3) 
--- 
(10) 
(8) 40 
20 
Fábrica 02 --- 
(5) 
50 
(2) 
 
50 
(4) 
---- 
(9) 
0 
 
 
 15 
 
Fábrica 03 (8) --- 
(11) 
--- 
(9) 
(10) 60 
Fábrica 04 --- 
(0) 
--- 
(0) 
--- 
(0) 
30 
(0) 
 
0 
Demanda 20 20 
0 
 
0 
 
60 
 
 
Cálculo das Penalidades: 
 CD 01 CD 02 CD 03 CD 
04 
Capacidade Penalidade 
Fábrica 01 (5) 20 
(3) 
--- 
(10) 
(8) 20 
 
3 
Fábrica 02 --- 
(5) 
50 
(2) 
 
50 
(4) 
---- 
(9) 
0 
 
 
--- 
Fábrica 03 (8) --- 
(11) 
--- 
(9) 
(10) 60 2 
Fábrica 04 --- 
(0) 
--- 
(0) 
--- 
(0) 
30 
(0) 
 
0 
--- 
Demanda 20 0 
 
 
0 
 
60 
Penalidades 3 --- --- 2 
 
 
 16 
 
Célula de Alocação: F1D1 
 CD 01 CD 02 CD 03 CD 04 Capacidade 
Fábrica 01 20 
(5) 
20 
(3) 
--- 
(10) 
(8) 20 
0 
 
Fábrica 02 --- 
(5) 
50 
(2) 
 
50 
(4) 
---- 
(9) 
0 
 
 
Fábrica 03 --- 
(8) 
--- 
(11) 
--- 
(9) 
60 
(10) 
60 
0 
Fábrica 04 ---(0) 
--- 
(0) 
--- 
(0) 
30 
(0) 
 
0 
Demanda 20 
0 
0 
 
 
0 
 
60 
0 
 
 
 
Quadro Final 
 CD 01 CD 02 CD 03 CD 04 
Fábrica 01 20 
(5) 
20 
(3) 
--- 
(10) 
(8) 
Fábrica 02 --- 
(5) 
50 
(2) 
 
50 
(4) 
---- 
(9) 
Fábrica 03 --- 
(8) 
--- 
(11) 
--- 
(9) 
60 
(10) 
 17 
 
Fábrica 04 --- 
(0) 
--- 
(0) 
--- 
(0) 
30 
(0) 
 
Logo: 
 Custo Mínimo de Transporte: 20*5 + 20*3 + 50*2 + 50*4 + 60*10 + 30*0 
 Custo Mínimo de Transporte: 100 + 60 + 100 + 200 + 600 + 0 = 
Custo Mínimo de Transporte R$ 1.060,00 
 
Como na tabela final a Fábrica Fictícia está enviando 30 unidades para o destino 04, 
este é a demanda que não será plenamente abastecida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
 
5 CONCLUSÃO 
 
O presente trabalho apresentou de forma, sucinta, a Programação Linear (PL) 
como ferramenta de gestão para tomada de decisão empresarial. Abordou conceito 
de PL, os problemas no setor de transporte e mostrou como utilizá-la. 
Ficou evidente que o problema geral de Programação Linear (PL) é utilizado 
para otimizar (maximizar ou minimizar) uma função linear de variáveis, chamada de 
função objetivo, sujeita a uma série de equações (ou inequações) lineares, chamadas 
restrições. 
E utilizando a Programação Linear na problemática de trasportes, constatou-se 
o uso eficiente da PL no setor, onde pretendia-se minimizar o custo total de transporte 
necessário para o abastecimento dos centro de distribuição a partir das fábricas 
fornecedoras. Ficou evidente que a PL é uma ótima ferramenta de gestão para tomada 
de decisão empresarial. 
Como falhas, verificou a pouca consulta bibliográfica do grupo de trabalho. 
Sendo assim, como recomendação é indicado a utilização de no mínimo dez 
exemplares bibliográficos para consulta, a fins de uma pesquisa mais contundente. 
 
 
 
 
 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/fun%C3%A7%C3%A3o_linear
 19 
 
 REFERÊNCIAS 
 
ANDRADE, E. L. Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos para a 
análise de decisão. 3.ed. -. Rio de Janeiro: Livros Tecnicos e cientificos, 2004, 192 
p. 
 
ARENALES, M.; ARMENTANO, V.; MORABITO, R.; YANASSE, H. Pesquisa 
operacional. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007, 523 p. 
 
BALLOU, R. H. Logistica empresarial: transportes, administração de materiais e 
distribuição fisica. São Paulo: Atlas, 1993, 388 p. 
 
RIBEIRO, Priscilla Cristina Cabral; FERREIRA, Carine Araújo. Logística e 
Transportes: uma discussão sobre modais de transportes e o panorama brasileiro. 
Disponível em: <http://tecspace.com.br/paginas/aula/mdt/artigo01-mdl.pdf>. Acesso 
em: 29 abr. 2014. 
 
LISBOA, Erico Fagundes Anicet. .Pesquisa operacional. Disponível em: 
<http://www.ecnsoft.net/wp-content/plugins/downloads-
manager/upload/Apostila%20de%20Pesquisa%20Operacional%20I%20-
%2057pg.pdff>. Acesso em: 29 abr. 2014. 
 
 
Wikipédia. Biblioteca virtual. O que é programação linear? Disponível em: 
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Categoria:Pesquisa_operacional>. Acesso em: 29 abr. 
2014. 
 
 
MARINS, Fernando Augusto Silva. Introdução à pesquisa operacional. Disponível 
em: <http://www.culturaacademica.com.br/catalogo-detalhe.asp?ctl_id=158l>. 
Acesso em: 29 abr. 2014. 
 
Wikipédia. Biblioteca Virtual. Transportes. Disponível em: 
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Transporte >. Acesso em: 29 abr. 2014. 
http://tecspace.com.br/paginas/aula/mdt/artigo01-mdl.pdf
http://www.ecnsoft.net/wp-content/plugins/downloads-manager/upload/Apostila%20de%20Pesquisa%20Operacional%20I%20-%2057pg.pdff
http://www.ecnsoft.net/wp-content/plugins/downloads-manager/upload/Apostila%20de%20Pesquisa%20Operacional%20I%20-%2057pg.pdff
http://www.ecnsoft.net/wp-content/plugins/downloads-manager/upload/Apostila%20de%20Pesquisa%20Operacional%20I%20-%2057pg.pdff
http://pt.wikipedia.org/wiki/Categoria:Pesquisa_operacional
http://www.culturaacademica.com.br/catalogo-detalhe.asp?ctl_id=158
http://pt.wikipedia.org/wiki/Transporte