Aplicações da Pesquisa Operacional

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS
Curso: Engenharia de Produção
Semestre: 6º 
Disciplina: Pesquisa Operacional
Professor: Bárbara Helen Rodrigues Ramires Seribeli
ATIVIDADE 1 - REFERENTE AS AULA 01 A 04
Construção de modelos
1) Pesquise e leia artigos que descrevem aplicações da Pesquisa Operacional, escolha três tipos de aplicações da Pesquisa Operacional e para cada um deles, redija um resumo de no mínimo 15 linhas sobre a aplicação e os benefícios. Colocar no final as Referências Bibliográficas dos artigos. 
A Pesquisa Operacional, também tratada pela sigla PO, faz parte de uma área do conhecimento tratada como Management Science, que envolve o uso de uma série de técnicas com embasamento lógico-científico para tratar questões de gestão que auxiliam no processo de tomada de decisão. 
A Pesquisa Operacional foi desenvolvida como instrumento de planejamento e administração durante a Segunda Guerra Mundial, onde havia a necessidade de se desenvolver métodos para resolver determinados problemas de operações militares, tendo seus esforços concentrados em pesquisas econômicas e econométricas. Rapidamente se tornou uma das ferramentas mais eficazes para estudos de gestão, dentre eles tradicionais problemas de produção e planejamento da produção industrial. Desse modo, a Programação Linear é classificada como uma técnica de otimização, pois busca a solução ótima, a melhor combinação das variáveis, tal como a busca de um melhor resultado possível. Segundo Hillier e Lieberman (2013), como consequência desses estudos, garantiram-se as vitórias nas Batalhas Aéreas na Grã-Bretanha e no Atlântico Norte, igualmente auxiliaram na Campanha Britânica no Pacífico.
Com o fim da guerra e com a expansão econômica de diversos países, as organizações não militares tinham operações cada vez mais complexas. Percebeu-se, assim, que os problemas tratados nas questões militares eram na verdade muito semelhantes aos encontrados nas empresas, cada qual em seu devido contexto. Então, no início da década de 1950, a PO passou a ser aplicada em organizações das mais variadas áreas de atuação. O ponto de alavancagem do uso de diversas técnicas de PO veio com o crescimento do uso de computadores. Muitas de suas técnicas são 
utilizadas por meio de cálculos, por vezes, bastante complexos e com problemas também de alta complexidade. O meio mais prático de solucioná-los, era utilizando-se da grande capacidade de processamento dos computadores, que são capazes de realizar milhões de cálculos em frações de segundo. Depois, na década de 1980, com o surgimento e a popularização de computadores pessoais essas técnicas difundiram-se mais ainda. Então, “(...) a PO é aplicada a problemas que compreendem a condução e a coordenação das operações (isto é, as mais diversas atividades) em uma organização” (HILLIER e LIEBERMAN, 2013). Genericamente pode-se dizer que a solução de problemas em PO compreende a coleta de dados, a formulação e análise meticulosa do problema. 
Abaixo estão relacionadas as Técnicas de Pesquisa Operacional, isto é, as mais difundidas: 
Programação linear: é uma técnica que pressupõe a relação linear entre as características do problema, buscando a solução ótima para o problema estudado. Essas características do problema são representadas e relacionadas por meio de uma série de equações lineares. 
Simulação computacional: é uma técnica que simula as características estudadas em um modelo de computador, considerando a variabilidade dos comportamentos do ambiente e seus participantes. Com base na Simulação Computacional é possível testar mudanças e conhecer com maior probabilidade de sucesso o impacto dessas mudanças no sistema. 
Teoria dos jogos: é uma técnica matemática que busca antecipar as possíveis decisões de participantes de uma situação de competição. Essa teoria tem aplicação em muitas áreas, mas é usada principalmente em Administração e Economia. 
Teoria das filas: é o estudo das esperas existentes nos mais diversos sistemas, tais como filas de banco, do caixa no supermercado e outras não tão corriqueiras a todo o mundo como as ordens de produção aguardando para serem liberadas ou os veículos que aguardam para serem descarregados e assim atrasam outros carregamentos posteriores. Sendo assim, é necessário o balanceamento adequado dos recursos visando um nível de atendimento satisfatório, o melhor custo-benefício entre as esperas e suas implicações, assim como o investimento para possibilitar o melhor atendimento possível. 
PERT/CPM: PERT é a sigla de Program Evaluation and Review Technique (Técnica de Avaliação e Revisão de Projetos) e CPM é a sigla de Critical Path Method (Método do Caminho Crítico), surgindo no final da década de 1950. Ambas as técnicas envolvem modelos de redes visando a gestão de tempo de projetos. CPM é uma técnica utilizada para identificar o caminho crítico de um projeto, caminho esse que não pode sofrer atrasos e precisa ser acompanhado constantemente para não comprometer o prazo de conclusão do projeto. PERT é uma técnica que agrega variabilidade a essa gestão do tempo. Geralmente ambas são utilizadas em conjunto. 
Existem ainda diversas outras técnicas em Pesquisa Operacional, tais como Teoria da Decisão e Teoria dos Estoques com técnicas de previsão de demanda. Pode-se considerar que a escolha da técnica a ser utilizada em um determinado problema pode ser influenciada por dois fatores: o grau de variabilidade dos dados e o grau de complexidade do problema.
No que diz respeito ao seu caráter multidisciplinar, a SOBRAPO (2009) conceituou a Pesquisa Operacional como sendo “uma disciplina científica de características horizontais com suas contribuições estendendo-se por praticamente todos os domínios da atividade humana, da Engenharia à Medicina, passando pela Economia e a Gestão Empresarial. A Programação Linear trata sobre problemas de alocação de recursos em termos da programação linear. Segundo Costa (In Batalha, 1997, p.28) “os problemas de Programação Linear, em geral, estão associados ao uso ou alocação de recursos escassos (mão-de-obra, materiais, equipamentos, capital), buscando minimizar os custos envolvidos ou maximizar o retorno de capital”. Com o mesmo raciocínio, Andrade (2002, p.22) conclui que “em geral os recursos disponíveis não são suficientes para que todas as atividades sejam executadas no nível mais elevado que se possa desejar. Assim sendo, o que se procura, nesses casos, é encontrar a melhor distribuição possível dos recursos entre as diversas tarefas ou atividades, de modo a atingir um valor ótimo do objetivo estabelecido”. Ainda segundo Andrade (2002), a programação linear tornou-se uma importante ferramenta no estudo de gestão, tais como: “organização de transportes, determinação de política de estoques, estudos de fluxo de caixa e investimentos, estudos de sistemas de informação, além dos tradicionais problemas de produção e de mistura de componentes”. Os problemas de alocação de recursos, que se caracterizam pela existência de um objetivo e de restrições à aplicação dos recursos, são geralmente resolvidos com a utilização do Método dos Pontos Interiores ou o Método Simplex, sendo que o último é mais tradicional e conhecido. (ANDRADE, 2002, p. 22; COSTA In BATALHA, 1997, p. 28) Lisboa (2002, p. 15) explica que “o Método Simplex, desenvolvido por Dantzig em 1956, caminha pelos vértices da região viável até encontrar uma solução que não possua soluções vizinhas melhores que ela, tendo assim a solução ótima”. Em alguns casos a solução ótima não pode ser encontrada, devido à falta de solução viável para o problema ou então quando uma ou mais variáveis tendem ao infinito, fazendo com que as restrições continuem sendo satisfeitas, o que fornece um valor sem limites para a função objetivo. 
Análise de Decisão - muitas vezes as decisões são tomadas baseadas em alguma previsão, e definir a probabilidade de ocorrência de eventos futuros é uma tarefa bastante complicada. De acordo com Bronson (1985, p. 212) “processo de decisão é aquele que requer únicoou diversos conjuntos de decisões para sua composição. Cada decisão possível tem um ganho ou perda a ele associado, o qual é determinado por circunstâncias externas ao processo”. Para Andrade (2002, p. 3) “uma decisão apresenta elevada qualidade quando, de modo eficaz e efetivo, garante o alcance dos objetivos preestabelecidos, para os quais os meios e os recursos foram reservados”. Ainda segundo o autor, o processo de tomada decisão é sequencial, abrangendo aspectos quantitativos e qualitativos, exigindo muita criatividade e imaginação, sendo que atualmente o administrador conta com um vasto instrumental para auxiliá-lo.
Aplicações práticas da Pesquisa Operacional
A Programação Linear, está contida na Pesquisa Operacional como uma de suas diversas técnicas, porém não são sinônimos, porém, é uma das técnicas mais usada, com a própria Pesquisa Operacional.
Os domínios de aplicação da Programação Linear são vastíssimos, podendo citar-se fundamentalmente os seguintes:
Economia e especialmente Economia de Empresa, onde se situam as aplicações mais férteis e os estímulos mais fortes para os desenvolvimentos teóricos da Programação Linear;
Matemática, onde a Programação Linear tem impulsionado a obtenção de importantes resultados teóricos e o aperfeiçoamento das técnicas de análise numérica;
Militar, onde as aplicações são numerosas, mas normalmente pouco divulgadas por razões de segurança. 
Como exemplos destas áreas de aplicação podemos referir mais explicitamente:
Gestão de empresas (determinação das quantidades a produzir dos diferentes produtos da empresa de acordo com os recursos disponíveis, as condições tecnológicas existentes e a situação do mercado.);
Problemas de Transportes (conhecido o custo de transporte de uma unidade de produto de cada origem para cada destino, procede-se à determinação do plano de distribuição que torna mínimo o custo total de transporte.);
«Trim-Loss» (determinação do número de unidades a cortar com determinadas dimensões de modo a minimizar os desperdícios envolvidos face às dimensões da produção. Exemplos: indústria do papel e do cartão, siderúrgica, têxtil, confecções, vidreira, …);
Estrutura financeira dos bancos (o banco pretende estabelecer a estrutura do ativo que maximiza o seu lucro global, sabendo que devem ser respeitados os condicionalismos legais e de gestão que asseguram o equilíbrio financeiro.);
Problemas de Mistura (pretende-se obter, com custo mínimo ou lucro máximo, um ou vários produtos, a satisfazer certos requisitos técnicos, através de vários ingredientes possuidores em grau diferente dessas características técnicas. Exemplo: rações para animais, adubos, produtos alimentares e farmacêuticos, ligas metálicas, tintas, gasolinas.); 
Planeamento Agrícola (o problema consiste em afetar recursos escassos, tais como superfície arável, mão-de-obra, água etc., à produção de diversos bens de modo a maximizar o resultado de exploração.).
A Pesquisa Operacional é utilizada por empresas dos mais variados segmentos para solucionar os mais diversos tipos de problemas e a programação linear destina-se, essencialmente, a administradores, engenheiros, técnicos, e tem como o objetivo de, por exemplo, minimizar custos ou maximizar lucros.
O quadro abaixo exibe alguns exemplos de empresas que utilizaram as técnicas de Pesquisa Operacional para melhorar a eficiência de seus resultados.
Aplicações da Pesquisa Operacional Empresa Aplicação Economia anual
	Empresa 
	Aplicação
	Economia Atual
	Continental Airlines
	Otimizar a realocação de tripulações quando ocorrem desajustes nos horários de voo.
	US$ 40 milhões
	Samsung
	Redução de tempos de fabricação e níveis de estoque.
	US$ 200 milhões mais receitas
	Sears
	Programação de rotas de veículos para as frotas de entrega e atendimento
	US$ 42 milhões domiciliar.
	General Motors
	Aumentar a eficiência das linhas de produção.
	US$ 90 milhões
	AT&T 
	Projeto e operação de call centers.
	US$ 750 milhões mais lucros 
 Fonte: Adaptado de Hillier e Lieberman (2013, p. 4).
O uso da Ciência através da Pesquisa Operacional no auxílio às atividades de Planejamento e Controle da Produção
 Ao longo dos anos a função de Planejamento, Programação e Controle da Produção (PCP) tem se tornado cada vez mais importante no setor industrial, levando consigo uma forte dinâmica de renovação, consolidando os conceitos de manufatura enxuta (Lean) e unindo os objetivos de alta produtividade e redução de custos. Da mesma forma a Pesquisa Operacional (PO) vem se tornado ‘popular’ no meio industrial devido a sua enorme aplicabilidade na gestão da produção, como ferramenta de apoio a tomada decisão e suporte ao planejamento, além do seu direcionamento a ações aplicadas com base cientifica.
A tomada de decisão pode parecer uma tarefa básica atribuída a qualquer gestor, porém, na prática, muitas vezes ela se torna uma das tarefas mais complexas dentro de uma organização, principalmente quando envolve várias variáveis que influenciam diretamente no resultado. Isso não é diferente quando se trata da gestão da produção, função diretamente ligada ao PCP, com sua abrangência nos vários níveis hierárquicos dentro de uma empresa.
Considerando que algumas decisões têm influência direta em todos os setores da empresa, bem como podem acarretar consequências ao futuro de uma organização, torna-se de suma importância que o gestor responsável pelo planejamento lance mão de todos os recursos possíveis que o auxilie nessa tarefa. A ótica cientifica da PO e seu repleto leque de opções para tomada de decisão e resolução de problemas, veem auxiliar nessa difícil tarefa, tornando possível uma gestão eficaz de recursos, sejam eles financeiros, humanos ou materiais.
Normalmente, a busca pelo alto índice de produtividade combinado ao baixo custo de produção, é umas das tarefas mais desafiadoras para o gestor responsável pelo planejamento da produção de uma indústria. O uso da ciência aplicada por meio da pesquisa operacional através da modelagem matemática e programação linear, com o objetivo, por exemplo, da otimização do Plano-mestre de Produção, o qual é desejo de todo gestor de PCP, possibilita uma infinidade de adequações ao planejamento industrial em busca do ganho financeiro, seja ele promovido pela redução de custos de produção ou pela aumento na margem de lucratividade gerada pelo mix ou programação ideal de produtos a serem manufaturados em um determinado intervalo de tempo.
As empresas que conseguiram aplicar de forma correta essa ferramenta, entre a década de 1980 e de 2000, conseguiram economizar bilhões de dólares, aplicando a PO em suas operações. Não é à toa que essa ciência denominada Pesquisa Operacional, já é aplicada nas empresas americanas e europeias a uma longa data.
 Infelizmente no Brasil, apesar de estar se popularizando cada vez mais, o número de empresas que já utiliza a Pesquisa Operacional como ferramenta de otimização, ainda é baixo. Começamos em 2013, mas ainda andamos atrasados inclusive em pesquisas mais atuais e abrangentes sobre o assunto, o que podemos notar certa defasagem. 
A boa notícia é que é possível encontrar um bom número de artigos acadêmicos que abordam o assunto no Brasil, e mesmo que tais artigos, de modo geral, não tragam dados tão sólidos quanto apresentados por Hillier e Lieberman (2013), mostra uma postura diferente dos novos engenheiros e administradores de produção no sentido da busca da ciência e a tecnologia para auxiliá-los nas tarefas de PCP.
Apesar de ainda ser pouco disseminada no Brasil, a combinação entre PCP, suas ferramentas de gestão e o uso da PO, têm crescido, e esse senário vem mudando nos últimos anos principalmente devido o avanço da tecnologia que auxilia nessa tarefa, além da facilidade com que se tem acesso ela. Não é difícil encontrar no mercado softwares voltados exclusivamente para simulação e resolução de problemas de PO, alguns inclusive com interfaces de fácil assimilação, manuseio e manipulação, que permitem até mesmo trabalhar-se com um banco de dados do tipo planilha eletrônica.O próprio Excel, por exemplo, traz consigo o add-in (suplemento) chamado Solver, já incluso em seu pacote.
O uso da Pesquisa Operacional na Aplicação de simulação na área de saúde 
A simulação tem sido amplamente utilizada como ferramenta na melhoria de processos e suporte à tomada de decisão na área de saúde apresentando resultados favoráveis. 
Groothuis (2001) demonstrou a utilidade da técnica de simulação computacional a eventos discretos na otimização da capacidade de atendimento em cirurgias de cateterismo. No hospital estudado, metade dos pacientes que necessitavam fazer cateterismo o fazia em caráter emergencial, sendo clara a importância de se aperfeiçoar os atendimentos neste setor e torná-los organizados da maneira mais eficiente possível para atender a demanda. 
De Oliveira e Toscano (2001) utilizaram a simulação para avaliar alternativas de melhoria na qualidade do sistema de admissão de emergência no Hospital Municipal Miguel Couto, no Rio de Janeiro. O sistema de emergência enfrentava problemas de filas de espera na recepção, após o estudo foi verificado uma melhora significativa no tempo de atendimento como também na qualidade da atenção médica. 
WIINAMAKI & DRONZEK (2003) também realizou um estudo de simulação computacional no departamento de emergência do Sarasota Memorial Hospital (Flórida, EUA). O intuito era realizar um planejamento do número de leitos extras que deveriam ser criados na expansão do setor. O projeto, além de prever o número “ideal” de leitos necessários para atender a demanda, identificou outras necessidades que seriam criadas com esta expansão, como por exemplo, a necessidade de aumentar a capacidade do departamento de radiologia com a aquisição de mais dois aparelhos, a necessidade de outro setor de triagem e a necessidade de menos leitos para casos agudos do que o esperado pela diretoria do hospital. Gonçalves (2004) desenvolveu no Instituto Nacional do Câncer, no Rio de Janeiro uma simulação para tratar a gestão da capacidade de atendimento em hospitais especializados em oncologia. Este estudo reduziu o prazo de agendamento de pacientes no departamento de radiologia. 
Sabbadini (2005) aplicou a simulação no Hospital Municipal de Emergência Henrique Sergio Gregori, estado do Rio de Janeiro. O estudo em questão, realizou uma avaliação estratégica dos efeitos da melhoria no processo de triagem, sobre o fluxo de pacientes de urgência. O modelo desenvolvido permitiu verificar uma redução de 34,95% no tempo médio de espera de pacientes de urgência naquela instituição. 
Nas últimas quatro décadas a simulação tem provado ser uma poderosa ferramenta de análise e melhoria para uma grande variedade de aplicações na área de saúde. A utilização de técnicas de simulação para estudar o fluxo de pacientes está bem documentado tanto na literatura médica quanto na área de pesquisa operacional. 
É importante observar a grande vantagem obtida com a utilização da simulação nestes estudos, pois caso a ferramenta não fosse utilizada as alternativas teriam que ser testadas no dia a dia do hospital, o que traria problemas para todo o sistema e desconforto para o paciente. 
À luz dos casos relatados, pode-se concluir que o uso da simulação computacional em ambiente hospitalar já é uma realidade, porém ainda se faz necessária a canalização de esforços para que seja ampliada a sua utilização para os demais setores da organização hospitalar.
Utilização da Pesquisa Operacional para Otimização de Rotas de um motorista autônomo na Grande São Paulo
Foi utilizado os métodos da pesquisa operacional, através da programação linear, modelos matemáticos e o software Lindo, com o foco de melhorar a roteirização realizada por um motorista autônomo pela região de São Paulo, utilizando-se como um problema de transporte e rede de distribuição, com o objetivo de encontrar o menor caminho, para que este motorista possa reduzir seus custos de transportes e melhorar a eficiência do serviço. Com base em cálculos matemáticos, pode-se chegar em uma função objetiva, que demonstra o tempo ou distância percorrida, suas variabilidades e restrições. Após formular a função e suas variáveis, com o auxílio do software Lindo, programa específico para este tipo de trabalho, gera-se relatórios, pelo qual pode-se encontrar as rotas otimizadas, de forma simples e objetiva. Em seguida, comparou-se a solução ótima gerada pelo software com o caminho escolhido pelo motorista, que através de seu conhecimento empírico e auxiliado pelo GPS (Global Positioning System) e Google Maps, encontrou-se uma otimização do percurso de 1.77% km e redução de 6.54% no tempo. Desta forma, utilizando a pesquisa operacional, pode-se reduzir custos de transportes, com uma ferramenta de baixo custo em relação aos softwares específicos do mercado, com a mesma precisão em seus resultados, contribuindo para que o motorista execute seu trabalho de forma eficiente, melhorando seu nível de serviço e atendendo sua demanda.
https://www.aedb.br/seget/arquivos/artigos15/7622273.pdf
Referência Bibliográficas
Joseph F. McCloskey, Florence N. Trefethen, and John M. Coppinger, Operations Research for Management, vols. 1 e 2, The John Hopkins Press, Baltimore, 1954 e 1956; Churchman, Ackoff and Arnoff, Introduction to OR, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1957.
https://www.scielo.br/j/rae/a/yxptfTkGZZRFbgzVk3Cq3zb/#
https://www.questionpro.com/blog/pt-br/pesquisa-operacional
https://www.aedb.br/seget/arquivos/artigos15/7622273.pdf
Hillier, F. e Lieberman, G. (2013) 9ª Edição. Introdução à Pesquisa Operacional.: Grupo A. 
ABEPRO. Áreas e Sub-áreas de Engenharia de Produção: Pesquisa Operacional. Disponível em: http://www.abepro.org.br/interna.asp?p=399&m=424&s=1&c=362 AGOSTI, C. 
CD-ROM. SOBRAPO. Pesquisa Operacional. Disponível em: Acesso em: 12 ago. 2009
COSTA, M. A. B. Pesquisa Operacional Aplicada à Agroindústria. In BATALHA, M.O (Coord.). Gestão Agroindustrial. Volume 2. São Paulo: Atlas, 1997. LISBOA, E. Pesquisa Operacional.
ALBERNAZ, M. A. Pesquisa Operacional II: PERT/CPM. 2009. 
ANDRADE, E. L. Introdução à Pesquisa Operacional 3a. edição. Rio de Janeiro: LTC, 2004. 
ANDRADE, E. L. Introdução à Pesquisa Operacional: Métodos e Modelos para Análise de Decisões. 3a. edição. Rio de Janeiro: LTC, 2002. 
COÊLHO, A.C. Manual de Economia de Água: Conservação de Água. Recife: Comunigraf Editora, 2001.
E. L. de Andrade. Introdução à Pesquisa Operacional: Métodos e Modelos para Análise de Decisão. Terceira Edição. LTC, 2004.
BRONSON, R. Pesquisa Operacional. Tradução Bernardo Severo da Silva Filho; Othon Guilherme Pinto Bravo. São Paulo: McGraw-Hill, 1985.
SABBADINI, F.S. Gerenciamento de restrições em hospital de emergência: um estudo de caso no Hospital Municipal Henrique Sérgio Gregori. Dissertação (Mestrado em Administração e Desenvolvimento Empresarial). Rio de Janeiro: UNESA, 2005.
DE OLIVEIRA, M. J. F.; TOSCANO, Lupe N.P. An Emergency decision support tool based upon quality of care parameters. In Quantitative approaches in health care management. 28th Meeting of the European Working Group on Operational Research Applied to Health Services (ORAHS), Proceeding. Rio de Janeiro, Brasil, p. 47-58. jul 20- Aug 4, 2001.
2) A GeoLight Company produz dois tipos de luminárias (produtos 1 e 2) que requerem tanto estruturas metálicas quanto componentes elétricos. A direção quer determinar quantas unidades de cada produto devem ser produzidas de forma a maximizar o lucro. Para cada unidade do Produto 1, são necessárias uma unidade de estrutura metálica e duas de componentes elétricos. Para cada unidade do Produto 2 são necessárias três unidades de estrutura metálica e duas de componentes elétricos. A empresa possui 200 unidades de estruturas metálicas e 300 unidades de componentes elétricos. Cada unidade do produto 1 dá um lucro de R$ 1,00 e cada unidade do produto 2 fornece lucro de R$ 2,00. Formule um modelo de programação linear para este problema. 
Resposta:
Produçãode Luminárias
	Tipos de Luminárias 
(P1)
	Tipos de Luminárias 
(P2)
	Disponibilidade total de Tipos de Luminárias
(P1 e P2)
	Estruturas Metálicas
	1 unid.
	3 unid.
	200 unidades
	Componentes Elétrico
	2 unid.
	2 unid.
	300 unidades
	Lucros
	R$ 1,00
	R$ 2,00
		
Modelo de Programação Linear
Unidade de estrutura metálica produzida (P1): x1
Unidade de Componentes elétricos produzidos (P2): x2
Função Objetivo (Maximizar o lucro) então temos:
Maximizar Z = 1,00x1 + 2,00x2
Sujeito a 
x1 + 3x2 ≤ 200
2x1 + 2x2 ≤ 300
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
x1, x2
3) A Só Janelas Ltda. é uma empresa com apenas três funcionários que fazem dois tipos diferentes de janelas feitas à mão: uma com esquadria de madeira e outra com esquadria de alumínio. Eles têm um lucro de R$ 60,00 por janela com esquadria de madeira e de R$ 30,00 para janela com esquadria de alumínio. João faz as de esquadria de madeira e é capaz de construir seis delas por dia. Maria faz as janelas com esquadrias de alumínio e é capaz de construir quatro delas por dia. Roberto monta e corta os vidros e é capaz de fazer 48 m²/dia. Cada janela com esquadria de madeira usa 6 m² de vidro e cada janela com esquadria de alumínio usa 8 m² de vidro. A empresa quer determinar quantas janelas de cada tipo de esquadria podem ser fabricadas diariamente para maximizar o lucro total.
(a) Formule um modelo de programação linear para este problema.
Resposta:
Só Janelas, Ltda.
	João
	Maria
	Roberto
(m² de vidro usado por esquadria)
	Esquadria de Madeira
	6 unid./dia
	_
	6 m²/dia
	Esquadria de Alumínio
	 _
	4 unid./dia
	8 m²/dia
	Total de m² de vidro usado/dia 
	
	
	48 m²/dia
	Lucros
	R$ 60,00
	R$ 30,00
Modelo de Programação Linear
Unidade de esquadria de madeira produzida diariamente: X1
Unidade de esquadria de alumínio produzida diariamente: X2
Função Objetivo 
Maximizar Z = 60x1 + 30x2
Sujeito a
x1 ≤ 6
x2 ≤ 4
6x1 + 8x2 ≤ 48
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
x1, x2
(b) Use o método gráfico para solucionar esse modelo. 
4) Um fazendeiro precisa decidir quantos hectares plantar de milho e arroz. Para cada hectare de milho plantado o fazendeiro recebe o lucro de R$ 5,00 e para arroz R$ 2,00. Por razões técnicas a área do milho não pode exceder 03 hectares e a de arroz não deve ser maior que 04 hectares. O milho necessita do cuidado de 01 pessoa por hectare e o arroz de 02 pessoas. O número total de pessoas disponíveis é 09. Qual deve ser a decisão do fazendeiro para obter lucro máximo? 
Observações quanto a resolução deste problema:
Resolva esta questão utilizando o método do Solver do Excel, tire print da caixa de configuração do modelo com as variáveis configuradas no solver e da planilha montada com o resultado final. Resoluções feitas por outro método não serão aceitas. 
 
 
 
Resultado
Método Gráfico
5) Considere o modelo:
Maximizar Z = 2x1 + 3x2
Sujeito as restrições:
x1 + 5x2 ≤ 20
2x1 + x2 ≤ 10
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
a) Use o método gráfico para construir a região de soluções do modelo (construir o gráfico a mão, indicar no gráfico a região de solução factível).
b) Testar a função objetivo em cada uma das soluções básicas e escolher o ponto mais favorável.
Resposta
Teste do lado direito das restrições, tomando um ponto de referência dentro da zona factível 
Ponto F (1,1) 
Restrição 1.1+5=6≤ 20 Verdadeira 
Restrição 2.2+1=3≤ 10 Verdadeira 
Região factível: ACE 
Função objetivo:2x1+3x2 
Ponto A: 2.0+3.4=12 (valor de Z) 
Ponto E: 2.5+3.0=10 (valor de Z)
Método Simplex
6) Resolva o exemplo de um modelo abaixo utilizando as regras e tabelas do simplex. Apresentar as tabelas do simplex para validação da resposta (fazer a mão apresentando o passo a passo na forma de tabela).
Maximizar Z = 3x1 + 5x2
 Sujeito a:
4x1 ≤ 12
5x1 + 5x2 ≤ 21
2x1 + x2 ≤ 8
x1 , x2 ≥ 0
Análise de Sensibilidade e Dualidade
7) A ElectraPlus produz dois tipos de motores elétricos em duas máquinas. Uma unidade do motor 1 requer duas horas na máquina 1 e uma hora na máquina 2. Para o motor 2, uma unidade requer uma hora da máquina 1 e três horas da máquina 2. As receitas por unidade dos produtos 1 e 2 são $30 e $20, respectivamente. O tempo de processamento diário disponível para cada máquina é oito horas.
Desta forma, representando o número diário de unidade dos motores 1 e 2 por x1 e x2, respectivamente, o modelo de programação linear é dado como:
Max z = 30x1 + 20x2 
Sujeito a 
2x1 + x2 ≤ 8 (máquina 1)
x1 + 3x2 ≤ 8 (máquina 2) 
x1, x2 ≥ 0 ( não-negatividade)
Logo, pede-se: 
(a) Determine o mix ótimo de produção diária.
(b) A Electraplus decidiu realizar alterações na máquina 1 em relação a capacidade de horas de 8 horas para 9 horas diária. Use análise de sensibilidade para determinar se a solução ótima permanecerá inalterada e determine o seu preço dual. 
8) Escreva o dual dos problemas primais abaixo:
a) Min Z = 10x1 + 20x2
Sujeito a:
x1 + 2x2 ≥ 3 
2x1+ 5x2 ≥ 60
x1, x2 ≥ 0
b) Max Z = 5x1 + 6x2
Sujeito a: 
x1 + 2x2 ≤ 5
x1 + 5x2 ≤ 3
4x1 + 7x2 ≤ 8
x1, x2 ≥ 0
Problemas com transporte
9) A prefeitura de Dourados está fazendo obras em três bairros. O material para essas obras é transportado de três depósitos O1, O2 e O3 de onde são retiradas 57, 84 e 95 toneladas de material, respectivamente. As obras são destinadas para os bairros D1, D2 e D3, que necessitam diariamente de 49, 83 e 106 toneladas, respectivamente. Os custos unitários para o transporte desse material estão na tabela a seguir.
Tabela 01 - Custos Unitários dos Transportes (R$/unidade)
	
	Destino 01
	Destino 02
	Destino 03
	Depósito 01
	7
	9
	6
	Depósito 02
	5
	7
	5
	Depósito 03
	8
	5
	12
 
 Pede-se para determinar:
O modelo de transporte que minimiza o custo de transporte.
1. O custo de transporte mínimo.
Resposta: Custo mínimo = CT= 48*9 + 9*6 + 49*5 + 35*7 + 95*12 = R$ 2116
10) O problema da designação é um tipo especial de problema de programação linear em que os “designados” estão sendo indicados para a realização de tarefas. Diante da frase afirmada, cite pelo menos 02 exemplos reais onde utilizou-se problemas de designação, e explique a maneira como estes foram formulados. 
Resposta: O problema da designação é um caso específico de um Problema de Transporte, que por sua vez é um caso específico de um Problema de programação linear, que é aplicado diretamente em Logística.
O problema de designação consiste em designar cada uma das origens a cada um dos destinos, de maneira ótima.
Exemplos:
· Designar pessoas para tarefas; (ex.: escalar vendedores para regiões de vendas).
· Designar máquinas para localizações;
· Designar produtos para fábricas.
O número de origens e o número de destinos são os mesmos (n). Cada origem deve ser designada para exatamente um destino. Cada destino deve ser designado para exatamente uma origem. Há um custo associado em designar a origem i (i= 1, 2, …, n) para o destino j (j= 1, 2, …, n). 
O objetivo é determinar como todas as n designações devem ser realizadas para minimizar (ou maximizar) o custo (ou lucro) total.
 
11) Construa e coloque em gráfico um problema primal de sua escolha com duas variáveis de decisão e duas restrições funcionais que tenham soluções viáveis, após construa o problema dual e demonstre graficamente se ele também apresenta soluções viáveis ou não. 
Através dos gráficos apresentados, o problema primal bem como o problema dual, apresentam soluções viáveis, ou seja, ambos têm a mesma solução ótima.