3_Model_matem_sist_mec

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3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos 
 
 
Introdução 
Método de Newton 
Método do sistema equivalente 
Método de energia 
Questionário 
Problemas 
 
Referência: Rao 2.2.1 a 2.2.3; 6.1 a 6.3 
 
 
3.1 Introdução 
 
Existem vários métodos para deduzir o modelo matemático (equações diferenciais do movimento) de um sistema 
mecânico. Estudaremos os seguintes: 
 
• Método de Newton 
• Método do sistema equivalente 
• Método de energia 
 
 
3.2 Método de Newton 
 
Baseia-se na aplicação da 2a Lei de Newton: 
 
“A taxa de variação temporal da quantidade de movimento linear (angular) de uma massa é igual à força 
resultante (ao momento resultante) atuando sobre ela”. 
 
No nosso estudo trataremos apenas do movimento plano de um corpo rígido, para o qual as equações 
fundamentais da dinâmica newtoniana são: 
 
• Translação: (3.1) 
 
 
• Rotação em torno de um eixo passando pelo centro de massa C: 
 
 (3.2) 
 
 
• Rotação em torno de um eixo passando por um ponto fixo O que não seja o centro de massa C: 
 
 (3.3) 
 
 
• rotação em torno de um eixo passando por um ponto S, móvel, paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa: 
 
 SC/SSS mJt
..
 x )( RrθM
..
+= (3.4) 
 
 onde, de acordo com o Teorema de Steiner, 2C/SCS mrJJ += (3.5) 
 
 
 
 
..
xF m)t( =
..
θM CC J)t( =
..
θM OO Jt =)(
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-2 
 
 
Procedimento: 
 
1. Selecionar coordenadas generalizadas adequadas: lineares para a descrição das translações dos centros de massa 
dos corpos rígidos ou angulares para a descrição das rotações dos mesmos; 
 
2. Definir as posições de equilíbrio estático do sistema e usá-las como origens das coordenadas escolhidas; 
 
3. Desenhar os Diagramas de Corpo Livre (DCL) dos corpos rígidos para posições de deslocamentos, velocidades e 
acelerações positivas, representando todas as forças e momentos externos que atuam sobre os corpos; 
 
 
 
 
 
 
 
4. Aplicar a 2a Lei de Newton a cada corpo rígido. 
 
A seguir, será ilustrado o procedimento acima, através de alguns exemplos. 
 
Ex. 3.1: Desenvolver o modelo matemático para o sistema massa-mola-amortecedor (m-k-c) com 1 GDL da fig. 3.1. 
 
 
 
Fig. 3.1 Movimento horizontal de um sistema m-k-c com 1 GDL. 
 
Este é o conhecido sistema mecânico translacional padrão, com 1 GDL. 
 
1. Vamos selecionar como coordenada generalizada a translação horizontal do centro de massa do corpo rígido, x(t), 
conforme mostra a figura acima; 
 
2. Vamos definir como origem da coordenadas x(t) a posição em que a mola ainda não se encontra deformada; 
 
3. O diagrama de corpo livre correspondente está mostrado na fig. 3.2, onde estão representadas todas as forças 
externas atuando sobre a massa m, na direção x. 
 
 
 
Fig. 3.2 Diagrama de corpo livre. 
 
4. Aplicando a 2
a
 Lei de Newton, eq. (3.1): 
...
)( xmkxxctF =−− 
 )(
...
tFkxxcxm =++ (3.6) 
 
 O modelo matemático ilustrado pela eq. (3.6) será largamente utilizado nos capítulos seguintes. 
 
 
 
 
 
Observação importante: a destreza na construção correta dos diagramas de corpo livre 
é proporcional à quantidade de exercícios realizados. 
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-3 
 
 
Ex. 3.2: Desenvolver o modelo matemático para o sistema massa-mola-amortecedor (m-k-c) com um grau de liberdade. 
 
 
 
Fig. 3.3 Movimento vertical de um sistema m-k-c com 1 GDL. 
 
1. Vamos selecionar como coordenada generalizada a translação vertical do centro de massa do corpo rígido, y(t), 
conforme mostra a figura acima; 
 
2. Vamos definir como origem da coordenadas y(t) a posição em que a mola ainda não se encontra deformada pela 
ação do peso mg da massa m; 
 
3. O diagrama de corpo livre correspondente está mostrado na fig. 3.4, onde estão representadas todas as forças 
externas atuando sobre a massa m. 
 
 
Fig. 3.4 Diagrama de corpo livre. 
 
4. Aplicando a 2
a
 Lei de Newton, eq. (3.1): 
 
...
)( ymmgkyyctF =−−− 
 )(
...
tFmgkyycym =+++ (3.7) 
 
a qual pode ser simplificada eliminando o efeito do peso mg. Para isso, vamos medir o deslocamento a partir da posição 
de equilíbrio estático, x(t), obtida a partir da posição anterior, y(t), porém deixando que a mola sofra uma deflexão 
estática δest, conforme fig. 3.5: 
 
 
Fig. 3.5 Posição de equilíbrio estático. 
 
A deflexão da mola equilibra o peso, logo 
 mg = kδest (3.8) 
 
 Por outro lado, conforme mostra a figura acima, podemos fazer a transformação de coordenadas 
 
y(t) = x(t) - δest 
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-4 
 
 
 Derivando duas vezes esta última equação e levando-as, juntamente com a eq. (3.8), na eq. (3.7), chegamos, após 
simplificações, a: 
 )(
...
tFkxxcxm =++ (3.9) 
 
 Portanto, se adotarmos a coordenada x(t) a partir da posição de equilíbrio estático, podemos omitir o peso mg, o 
que é vantajoso, pois podemos usar essa última equação diferencial como modelo matemático para sistemas mecânicos de 
2
a
 ordem que transladem tanto na vertical como na horizontal. 
 
 
Ex. 3.3: Suspensão de um veículo com dois graus de liberdade. Desenvolver o modelo matemático para o sistema 
simplificado da suspensão independente de um carro, onde é considerado apenas o movimento de uma das rodas do 
veículo, conforme ilustra a fig. 3.6: 
 
 
 
Fig. 3.6 Suspensão veicular simplificada. 
 
A rigidez do pneu é modelada pela mola k1. As massas do pneu, roda, eixo e demais peças não suspensas 
distribuídas a essa roda, são modeladas pela massa m1. O coeficiente de amortecimento do amortecedor viscoso e a rigidez 
da mola da suspensão são modelados, respectivamente, por c e k2. Já a massa suspensa distribuída àquele ¼ de suspensão é 
modelada pela massa m2. 
 
1. Vamos adotar as coordenadas x1 e x2 para a descrição dos movimentos das massas m1 e m2, respectivamente; a 
coordenada x0 servirá para descrever o movimento do solo, devido às irregularidades do terreno; 
 
2. Vamos definir as posições de equilíbrio estático do sistema como origens das coordenadas escolhidas; 
 
3. O diagrama de corpo livre do sistema é mostrado na fig. 3.7, onde foi considerado que x2 > x1 > x0. 
 
 
 
Fig. 3.7 Diagramas de corpo livre. 
 
4. Aplicando a 2
a
 Lei de Newton a cada corpo rígido: 
 
 massa 1: 1
..
11
.
2
.
122011 xm)xx(c)xx(k)xx(k =−+−+−− 
 
 massa 2: 2
..
21
.
2
.
122 xm)xx(c)xx(k =−−−− 
 
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-5 
 
 
Ordenando as EDOL´s, obtemos o modelo matemático do sistema com dois graus de liberdade: 
 
 
01221212
.
1
.
1
..
1 xkxkx)kk(xcxcxm =−++−+ 
 (3.10) 
 0xkxkxcxcxm 22122
.
1
.
2
..
2 =+−+− 
 
que pode ser colocado na forma matricial, na qual podemos identificar certos vetores e matrizes: 
 
 





=











−
−+
+














−
−
+














00
0 0
1
2
1
22
221
2
.
1
.
2
..
1
..
2
1 x
k
x
x
kk
kkk
x
x
cc
cc
x
x
m
m
 (3.11)onde as matrizes são todas 2 x 2 (no de GDL = 2) e os vetores são todos 2 x 1. 
 
 
Ex. 3.4 (Rao Ex. 6.1) - Sistema acoplado por molas e amortecedores com n GDL. Desenvolver o modelo matemático 
para o sistema da fig. 3.8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.8 Sistema com n GDL, acoplado por molas e amortecedores. 
 
O sistema acima é o mais completo sistema acoplado por molas e amortecedores. Assim sendo, podemos deduzir 
um modelo matemático para ele, o qual poderá ser aproveitado para sistemas mais simples, desde que tenha a mesma 
configuração acima. Um sistema real que pode ser modelado conforme a figura acima é a composição ferroviária, onde as 
massas representam os vagões e as molas e amortecedores representam os engates. 
 
Vamos usar o Método de Newton, considerando uma massa genérica mi, cujo DCL é apresentado abaixo: 
 
 
 
 
Vetor excitação 
Vetor deslocamento 
Matriz rigidez 
Vetor velocidade 
Matriz amortecimento 
Vetor aceleração 
Matriz massa (ou inércia) 
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.9 DCL para a massa genérica mi. 
 
Aplicando a 2
a
 Lei de Newton à massa genérica mi: 
 
 
 
Ordenando, chegamos ao modelo matemático 
 
(3.12) 
 
 A equação acima é válida para a massa genérica mi. Podemos fazer i = 1, 2, ..., n para obter o sistema de n EDOL´s 
que constituem o modelo matemático. Tal sistema de EDOL´s, pode ser colocado sob forma matricial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.10 Modelo matemático do sistema da fig. 3.8 na forma matricial 
 
Sob forma compacta: (3.13) 
 
A comparação das matrizes da fig. 3.10 com a fig. 3.8 do sistema sugere um método para a montagem da 
equação matricial sem necessidade de aplicar o Método de Newton. 
 
Regras: 
 
• Vetores: vetores colunas com os elementos colocados em seqüência, de cima para baixo; 
 
• Matriz [m]: matriz diagonal, com as massas ocupando a diagonal principal em seqüência, do elemento m11 ao 
elemento mnn; 




















=




































+−
+−
−+−
−+
+
+


































+−
+−
−+−
−+
+


































+
+
n
3
2
1
n
3
2
1
1nnn
433
3322
221
n
.
3
.
2
.
1
.
1nnn
433
3322
221
n
..
3
..
2
..
1
..
n
3
2
1
F
...
F
F
F
x
...
x
x
x
)kk(k...000
............
00...)kk(k0
00...k)kk(k
00...0k)kk(
x
...
x
x
x
)cc(c...000
............
00...)cc(c0
00...c)cc(c
00...0c)cc(
x
...
x
x
x
m0...000
..................
00...m00
00...0m0
00...00m
Matriz 
diagonal 
 [m] 
Matriz 
simétrica 
 [c] 
Vetor 
. 
[x] 
Matriz 
simétrica 
 [k] 
Vetor 
 
[x] 
Vetor 
 
[F] 
Vetor 
 .. 
[x] 
)]([]][[]][[]][[ txkxcxm F
...
=++
i1i1ii1ii1ii1i
.
1ii
.
1ii1i
.
ii
..
i Fxkx)kk(xkxcx)cc(xcxm =−++−−++− +++−+++−
iiiiiiiiiiiiiii xmxxkxxkxxcxxctF
..
111
.
1
.
11
..
)()()()()( =−+−−−+−− ++−++−
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-7 
 
 
• Matrizes [c] e[k]: matrizes simétricas, com os elementos da diagonal principal sendo constituídos, 
respectivamente, pela soma dos coeficientes de amortecimento ou das rigidezes existentes antes e depois das 
massas que ocupam aquela mesma posição na matriz [m]; para os elementos fora da diagonal principal (posição 
genérica cij ou kij), colocar o coeficiente de amortecimento ou a rigidez que conecta as massas mi e mj, porém com 
o sinal negativo. 
 
Obs.: essas regras só se aplicam a sistemas acoplados por molas/amortecedores. 
 
Ex. 3.5 Sistema inércia - mola torcional - amortecedor torcional, com 1GDL. Desenvolver o modelo matemático para o 
sistema da fig. 3.11. 
 
 
Fig. 3.11 Sistema torcional com 1 GDL. 
 
Este modelo é conhecido como sistema mecânico torcional padrão com 1 GDL. 
 
1. Tendo em vista que o movimento de rotação se dá em torno de um eixo que passa pelo centro de massa da massa 
de momento de inércia J, vamos adotar a coordenada angular θ; 
 
2. Vamos definir a posição de equilíbrio estático do sistema (aquela em que a mola torcional não está deformada) 
como origem da coordenada escolhida; 
 
3. O diagrama de corpo livre do sistema é mostrado na fig. 3.12: 
 
 
 
Fig. 3.12 Diagrama de corpo livre. 
 
4. Aplicando a 2
a
 Lei de Newton para o movimento de rotação em torno de um eixo passando pelo centro de massa C 
(eq. (3.2)): 
 
 
•••
=−− θθθ Ctt JcktM )( 
 
 )(tMkcJ ttC =++
•••
θθθ (3.14) 
 
 que é o modelo matemático desse sistema torcional com 1 GDL. Observemos que, matematicamente, é a mesma 
 EDOL (3.6). 
 
 
Ex. 3.6 Pêndulo simples. Desenvolver o modelo matemático para o pêndulo simples da Fig. 3.13. 
 
 Trata-se, agora, de um sistema sem mola e sem amortecedor no qual o armazenamento de energia potencial 
gravitacional se dá na própria massa, já que não existe mola no sistema. Além disso, não existe forçamento externo, sendo a 
causa do movimento um deslocamento inicial e/ou uma velocidade inicial atuando sobre a massa pontual m. 
 
••
= θM CC Jt)(
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-8 
 
 
 
 
Fig. 3.13 Pêndulo simples. 
 
1. Como o movimento de rotação se dá em torno de um eixo que passa pelo centro de rotação O, vamos adotar a 
coordenada angular θ; 
 
2. Vamos definir a posição de equilíbrio estático do sistema (aquela em que o pêndulo está em repouso na vertical) 
como origem da coordenada escolhida; 
 
3. O diagrama de corpo livre do sistema é mostrado na fig. 3.14: 
 
 
Fig. 3.14 Diagrama de corpo livre. 
 
4. Aplicando a 2
a
 Lei de Newton para o movimento de rotação em torno de um eixo passando pelo centro de rotação 
O (eq. (3.3)) e considerando pequenas oscilações θ (nas quais o seno de um ângulo é praticamente igual ao valor 
do ângulo em radianos): 
 
 
 
••
=− θθ 2mLmgL 
 0=+
••
θθ
L
g
 (3.15) 
 
 que é o modelo matemático do pêndulo simples. 
 
Ex. 3.7 Sistema mola-disco. Desenvolver o modelo matemático para o sistema da Fig. 3.15 no qual o disco rola sem 
deslizar sobre o plano horizontal. Dado: momento de inércia do disco = 
2
mr
2
1
. 
 
 
 
 
Fig. 3.15 Sistema mola-disco. 
 
1. Neste caso, o movimento de rotação se dá em torno de um eixo que passa pelo centro instantâneo de rotação, que é 
o ponto de contato do disco com o solo. Vamos adotar a coordenada angular θ; 
••
= θM OO Jt)(
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-9 
 
 
2. Vamos definir a posição de equilíbrio estático do sistema (aquela em que a mola não está deformada) como 
origem da coordenada escolhida; 
 
3. O diagrama de corpo livre do sistema para as forças que atuam na direção x(t) é mostrado na fig. 3.16: 
 
 
 
Fig. 3.16 Diagrama de corpo livre 
 
4. Vemos, neste caso, que o centro de rotação instantâneo S sofre translação. Portanto, devemos aplicar a 2
a
 Lei de 
Newton para o movimento de rotação em torno de um eixo passando pelo centro de rotação móvel S (eq. (3.4)): 
 
 SC/SSS mJt
..
 x )( RrθM
..
+= 
 
 Usando o Teorema de Steiner(eq. (3.5)), determinamos o momento de inércia JS: 
 
 
222
2
3
2
1
mrmrmrJ S =+= 
 
 Por outro lado, o momento resultante MS, provocado apenas pela força da mola, é dado por 
 
 MS = - kxr = - kr
2θ 
 
onde foi usada a equação de restrição x = rθ que liga as coordenadas x e θ. Além disso, o produto vetorial SSC x
..
/ Rr é nulo, 
pois ambos os vetores são colineares, com sentido de S para C. Notemos que o ponto S tem velocidade nula porém possui 
aceleração radial 
2...
θrR S = não nula, dirigida para o centro de massa; assim, o que torna nulo o termo SSC x
..
/ Rr é a 
definição de módulo do produto vetorial, dada por αsenx SSCSSC
..
/
..
/ RrRr = , onde α = 0 é o ângulo formado pelos dois 
vetores. 
 
 Finalmente, levando essas informações na eq. (3.4) e simplificando, chegamos ao modelo matemático 
 
 0
3
2..
=+ θθ
m
k
 (3.16) 
 
Ex. 3.8 Sistema carro-pêndulo simples. Desenvolver o modelo matemático para o sistema da Fig. 3.17, a qual mostra um 
carro de massa M que desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito. Ele está ligado à parede por uma mola k e um 
amortecedor viscoso c e é submetido a um forçamento F(t). O centro de massa do carro serve como eixo de rotação de um 
pêndulo simples de massa pontual m e comprimento L. Deduzir o modelo matemático para pequenas oscilações θ. 
 
 
 
Fig. 3.17 Sistema carro-pêndulo simples. 
 
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-10 
 
 
 Temos agora um sistema multicorpo (duas massas) com dois graus de liberdade: x para descrever a translação do 
carro de massa M e θ para descrever a rotação do pêndulo de massa m. 
 
1. Vamos adotar as coordenadas x(t) para a translação da massa M e θ(t) para a rotação do pêndulo simples em torno 
do centro de massa de M, o qual translada horizontalmente; 
 
2. Vamos definir as posições de equilíbrio estático do sistema (aquela em que a mola não está deformada e o pêndulo 
repousa na vertical) como origens das coordenadas escolhidas; 
 
3. A fig. 3.18 mostra o diagrama de corpo livre no qual estão mostradas apenas as forças que produzem translação na 
direção x e o peso mg que produz momento em relação ao centro de rotação móvel, ponto S: 
 
 
 
Fig. 3.18 Diagrama de corpo livre 
 
4. Vemos, neste caso, que o centro de rotação instantâneo S sofre translação. Portanto, devemos aplicar a 2a Lei de 
Newton para o movimento de rotação em torno de um eixo passando pelo centro de rotação móvel S (eq. (3.4)): 
 
SSCSS xmJM
..
/ Rrθ
..
+= 
 
onde 
......
/ cos)
2
( xmLsenxmLxm SSC θθ
π
=−=Rr 
 JS = mL
2
 (momento de inércia de massa pontual) 
 MS = - mgLsenθ 
 
 Levando tudo na eq. (3.4) e ordenando, chegamos a 
 0cos
....
2
=++ θθθ mgLsenxmLmL (3.17) 
 
 Já para o movimento de translação da massa M aplicamos a 2a Lei de Newton, eq. (3.1); logo, na direção x temos 
(levando em conta que são 2 massas a considerar): 
 CxmxMxckxtF
.....
)( +=−− (3.18) 
 Tendo em vista que 
θθθθ
θθ
θ
LsenLxx
Lxx
Lsenxx
C
C
C
2.......
...
cos
cos
−+=
+=
+=
 
 
podemos levar essas informações na eq. (3.18) e obter, após ordenação: 
 
 )(cos)(
2......
tFkxmLsenxcmLxmM =+−+++ θθθθ (3.19) 
 
 Para pequenas oscilações θ, podemos considerar cosθ ≈ 1, senθ ≈ θ e 0
.
≈θ , e substituir nas eqs. (3.17) e (3.19) 
para obter o modelo matemático linearizado 
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-11 
 
 
 )()(
.....
tFkxxcmLxmM =++++ θ (3.20) 
 0
..
2
..
=++ θθ mgLmLxmL (3.21) 
 
o qual pode ser posto na forma matricial: 
 
 





=











+














+













 +
0
)(
0
0
00
0
.
.
..
..
2
tFx
mgL
kxcx
mLmL
mLmM
θθθ
 (3.22) 
 
 
 
3.3 Método do sistema equivalente 
 
 Conforme já vimos, um sistema mecânico com apenas um GDL pode ser representado conforme a Fig. 3.19: 
 
 
 
Fig. 3.19 Sistema mecânico translacional com 1 GDL. 
 
onde a origem O denota a posição de equilíbrio estático (mola e o amortecedor não estão nem tracionados e nem 
comprimidos), sendo o seu modelo matemático dado pela EDOL de 2
a
 ordem 
 
 )()()()(
...
tFtkxtxctxm =++ (3.23) 
 
 A equação acima também é válida para o movimento na direção vertical, desde que a origem seja adotada na 
posição de equilíbrio estático, ou seja, na posição em que a mola se encontra já deformada e assim equilibrando o peso da 
massa. O sistema acima é denominado sistema padrão com um GDL e a EDOL correspondente é conhecida como forma 
padrão do modelo matemático. 
 
 Existem, entretanto, muitos sistemas mecânicos com um GDL que são bem mais complexos do que o sistema dado 
pela figura anterior. Por exemplo, o sistema da figura abaixo, apesar de possuir duas massas (uma translacional e outra 
rotativa), tem apenas um grau de liberdade. 
 
 
Fig. 3.20 Sistema mecânico híbrido, com massas translacionais e rotativas 
 
A questão que naturalmente se põe é: será possível obter um sistema equivalente ao sistema da fig. 3.20 mas com 
a mesma configuração do sistema padrão da fig. 3.19? A resposta é positiva. A vantagem principal de adotarmos o método 
do sistema equivalente reside no fato de que já conhecemos de antemão o modelo matemático e que, além disso, podemos 
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-12 
 
 
aproveitar todos os resultados obtidos, ao solucionarmos a EDOL acima, conforme veremos mais tarde. A Fig. 3.21 ilustra 
o objetivo do método: 
 
 
Fig. 3.21 Transformação sistema complexo → sistema padrão. 
 
 Portanto, o modelo matemático do sistema equivalente será obtido através de uma pequena adaptação da eq. 
(3.23) do sistema padrão, resultando em: 
 )()()()(
...
tFtxktxctxm eqeqeqeq =++ (3.24) 
 
onde meq, ceq e keq serão obtidas pelos procedimentos já estudados anteriormente. A determinação de Feq deverá ser feita de 
acordo com os princípios da mecânica. Portanto, através deste método, podemos economizar o trabalho de dedução da 
EDOL do sistema, bastando encontrar os parâmetros do mesmo (massa equivalente, coeficiente de amortecimento 
equivalente e rigidez equivalente). 
 
Ex. 3.9 Sistema mola-disco. Desenvolver o modelo matemático para o sistema do Ex. 3.7, mostrado na Fig. 3.15, no qual 
o disco rola sem deslizar sobre o plano horizontal. 
Dado: momento de inércia do disco = 
2
mr
2
1
. 
 
• Determinação de meq 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Determinação de keq 
 
 
kk
kxxk
eq
eq
=
= 22
2
1
2
1
 
 
• Determinação de ceq ceq = 0 
 
• Determinação de Feq Feq = 0 
 
 Substituindo na eq. (3.24): 0
2
3 ..
=+ kxxm 
 0
3
2..
=+ x
m
k
x (3.25) 
 Se usarmos a equação de restrição x = rθ, chegamos a 
sistemaeq TT =
mm
mmm
r
x
mrxmxm
Jxmxm
eq
eq
eq
Ceq
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2.
2
2.2.
2.2.2.
=
+=
+=
+= θ
sistemaeq UU =
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-13 
 
 
 
0
3
2
0
3
2
..
..
=+
=+
θθ
θθ
m
k
r
m
k
r
 
 
 que é a mesma eq. (3.16) obtida anteriormentepelo método de Newton, quando foi usada a coordenada generalizada θ(t). 
 
Ex. 3.10 (Kelly-Schaum 1.32) – Determinar o modelo matemático para o sistema da figura, usando a coordenada 
generalizada o deslocamento do centro do disco, x(t). Desprezar a massa da polia. 
Dado: momento de inércia do disco = 
2
mr
2
1
. 
 
 
Fig. 3.22 Aplicação do método do sistema equivalente. 
 
• Determinação de meq 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Determinação de keq 
 
Obs.: A mola está conectada ao disco em A.. Quando o centro de massa do disco move-se x para a esquerda, A 
move-se 2x também para a esquerda. Portanto, a mola sofre uma deformação 3x, logo 
 
( )
kk
xkxk
eq
eq
9
3
2
1
2
1 22
=
=
 
 
• Determinação de ceq ceq = c (o amortecedor equivalente está na mesma coordenada que o 
 amortecedor do sistema). 
 
• Determinação de Feq Feq = 0 
 
 Substituindo na eq. (3.24): 09
2
3 ...
=++ kxxcxm (3.26) 
 
 
sistemaeq TT =
mm
mmm
r
x
mrxmxm
Jxmxm
eq
eq
eq
Ceq
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2.
2
2.2.
2.2.2.
=
+=
+=
+= θ
sistemaeq UU =
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-14 
 
 
 
3.4 Método de energia 
 
 Baseia-se na aplicação do Princípio da Conservação da Energia. Em conseqüência, aplica-se somente a sistemas 
conservativos, ou seja, aqueles em que não há acréscimo e nem perda de energia por atrito, logo admitimos que a energia 
permaneça constante: 
 T + U = constante (3.27) 
 
onde T é a energia cinética e U é a energia potencial. 
 
Procedimento: 
 
1. Determinamos as energias cinéticas para todas as massas do sistema: 
 
 sistema translacional: 
2.
xm
2
1
T = (3.28) 
 
 sistema rotacional: 
2.
C xJ
2
1
T = (3.29) 
 
2. Determinamos a variação das energias potenciais elásticas para todas as molas do sistema: 
 
 sistema translacional: 
2
kx
2
1
U = (3.30) 
 
 sistema rotacional: 
2
tk
2
1
U θ= (3.31) 
 
 Obs.: se for o caso, consideramos também as variações das energias potenciais gravitacionais de todas as massas 
 do sistema: 
 mghU = (3.32) 
 
3. Aplicamos o Princípio da Conservação da Energia, eq. (3.27): 
 
 T + U = constante 
 
4. Derivamos em relação ao tempo: 
 
 (3.33) 
 
 
5. Substituímos T e U, dadas pelas eqs. (2.7) e (2.8), respectivamente, na eq. (2.6) e simplificamos, chegando 
automaticamente ao modelo matemático. 
 
 
Ex. 3.11: Sistema massa-mola (m, k) na horizontal, com um grau de liberdade. 
 
1. Determinamos a energia cinética do sistema: 
2.
xm
2
1
T = 
 
2. Determinamos a variação da energia potencial do sistema: 
 
2
2
1
kxU = 
 Obs.: como o sistema atua na horizontal, não há variação da energia potencial gravitacional. 
0)UT(
dt
d
=+
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-15 
 
 
 
3. Aplicamos o Princípio da Conservação da Energia: 
 
 tetanconskx
2
1
xm
2
1 2
2.
=+ 
4. Derivamos em relação ao tempo: 
 
 
 
 
5. Substituímos T e U na eq. (3.34) e simplificamos, chegando a: 
 
0xkxxxm 
0)kx
2
1
xm
2
1
(
dt
d
....
2
2.
=+
=+
 
 
 A velocidade 
.
x só será nula nas extremidades, de modo que podemos dividir toda a equação por 
.
x , chegando ao 
modelo matemático do sistema, idêntico ao obtido pelo método de Newton: 
 
0kxxm
..
=+ 
 
 
Ex. 3.12 (Steidel 3.27) – Deduzir o modelo matemático para o instrumento da figura, usando o método de energia. 
 
 
Fig. 3.23 Instrumento de medição de vibração 
 
 
1. Determinamos a energia cinética do sistema: 
2
.2.
2
1
2
1






== θamxmT 
 
2. Determinamos a variação da energia potencial do sistema: 
 
( ) ( )22
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
θθ bkakkxU +== 
 
 Obs.: foi desprezada a variação da energia potencial gravitacional na presença da energia potencial elástica. 
 
3. Aplicamos o Princípio da Conservação da Energia: 
 
T + U = constante 
4. Derivamos em relação ao tempo: 
 
5. Substituímos T e U na eq. (3.34) e simplificamos, chegando a: 
0)UT(
dt
d
=+
0)UT(
dt
d
=+
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-16 
 
 
 
( ) ( )
02
02
02
2
1
2
1
2
1
.
2
2
2
1
..
2
.
2
2
.
2
1
...
2
2
2
2
1
2
.
=





++
=++
=








++





θθθθ
θθθθθθ
θθθ
bkakma
bkakma
bkakam
dt
d
 
A velocidade 
.
θ só será nula nas extremidades, de modo que podemos dividir toda a equação por 
.
θ , chegando ao 
modelo matemático: 
( ) 02 2221
..
2 =++ θθ bkakma 
 
 
 
Questionário 
 
 
01. Quais os métodos mais utilizados na modelagem de sistemas mecânicos? 
 
 
 
 
02. Em que se baseia o método de Newton? 
 
 
 
 
03. Cite os 4 passos do procedimento que utiliza o método de Newton na modelagem de sistemas mecânicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. Na modelagem de sistemas translacionais verticais, onde deve ser colocada a origem da coordenada generalizada? Por 
quê? 
 
 
 
 
05. No caso de sistemas acoplados por molas e amortecedores, explique o método usado para a montagem da equação 
matricial sem necessidade de aplicar o Método de Newton. 
 
 
 
 
 
 
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-17 
 
 
06. Escrever as 3 equações que descrevem a rotação de um corpo rígido, identificando (nomeando) todos os parâmetros 
contidos nas mesmas e explicando as situações em que elas são utilizadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
07. Em que consiste o método do sistema equivalente. Qual a vantagem dele em relação ao método de Newton? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08. Cite os passos seguidos na modelagem de um sistema pelo método de energia. 
 
 
 
 
 
 
09. Pode o método de energia ser utilizado em sistemas com amortecimento? Por quê? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos problemas seguintes o estudante deve, quando possível, usar os 3 métodos estudados para 
desenvolver os modelos matemáticos. Isso permitirá uma comparação dos métodos. 
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-18 
 
 
3.1 (Rao Ex. 2.6) – Deduzir o modelo matemático para o pêndulo composto da figura, supondo pequenas oscilações. 
 
 
Resp.: 0
..
=+ θθ mgdJ O 
 
3.2 - Dado o pêndulo com massa distribuída da figura, deduzir o Modelo matemático, considerando pequenas oscilações. 
 
 
Resp.: 0
2
3..
=+ θθ
l
g
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 - Idem problema 3.2, porém agora existe uma massa concentrada M na extremidade da haste e um amortecedor viscoso 
torcional ct na articulação O. 
 
Resp.: 0
)
3
(
)
2
(
)
3
(
.
2
..
=
+
+
+
+
+ θθθ
lM
m
gM
m
lM
m
ct 
 
 
3.4 - Deduzir o modelo matemático para o sistema massa-amortecedor da figura. 
 
 
Resp.: )(
...
tFxcxm =+ 
 
3.5 -Sistema engrenado - A figura mostra um sistema com duas engrenagens, estando a maior delas (N1 dentes, momento 
de inércia J1 e raio primitivo r1) conectada a um eixo cuja outra extremidade está fixada a uma estrutura. Sobre aengrenagem menor (N2 dentes, momento de inércia J2 e raio primitivo r2) atua um torque T(t) = Tsen ωt. Deduzir o modelo 
matemático 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-19 
 
 
 
Resp.: tT
N
N
k
N
N
JJ t ωθθ sen 
2
1
11
..
2
2
1
21 =+














+ 
 
3.6 (Rao 6.5) – Deduzir o modelo matemático para o trem de engrenagens da figura. O sistema tem 4 GDL. 
 
 
 
Resp.: 












=


































−
−







+−
−







+−
−
+












































+








+
0
0
0
cos
00
0
0
00
000
000
000
000
1
4
3
2
1
3
5
4
3
5
4
3
2
5
4
32
3
2
2
3
2
2
2
3
2
211
11
4
..
3
..
2
..
1
..
6
2
5
4
54
2
3
2
32
1
tM
k
n
n
k
n
n
k
n
n
kk
n
n
k
n
n
k
n
n
kkk
kk
I
n
n
II
n
n
II
I
tt
tttt
tttt
tt
ω
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
 
 
 
3.7 (Rao 6.1) – Deduzir o modelo matemático para o sistema da figura: 
 
 
Resp.: 










=




















−−
−−
−−
+
























)(
)(
)(
75
2
57
00
00
00
3
2
1
3
2
1
3
..
2
..
1
..
3
2
1
tF
tF
tF
x
x
x
kkk
kkk
kkk
x
x
x
m
m
m
 
 
3.8 –Sistema motor-propulsor - O sistema da figura tem 2 GDL. Adotar as coordenadas θ1 e θ2, respectivamente, para 
descrever os movimentos de rotação do motor e do propulsor. O momento de inércia das peças rotativas do motor é 
representado por Je e o momento de inércia do propulsor por Jp. O torque de acionamento do motor é dado por M(t). 
Considerar que o eixo tem massa desprezível em comparação com as massas do motor e do propulsor, sendo ele 
representado por uma rigidez torcional kt. Admitir, também, a existência de um torque de resistência aerodinâmica, 
proporcional ao quadrado da velocidade de rotação do propulsor. Deduzir o modelo matemático. 
 
 
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-20 
 
 
 
Resp.: )(- 211
..
tMkkJ tte =+ θθθ 
0- 21
2
2
.
2
..
=++ θθθθ ttp kkCJ (modelo matemático: duas equações diferenciais: uma linear e outra não-linear). 
 
 
3.9 A figura mostra o motor de um barco (torque Te(t) e momento de inércia Je) acionando o propulsor a hélice (momento 
de inércia Jp), através de acoplamentos (momentos de inércia Jc1 e Jc2) e eixos flexíveis (rigidezes kt1 e kt2). Desenvolver 
um modelo matemático para o sistema, incluindo o torque resistente Tw que a água oferece ao movimento. 
 
 
 
 
 
Resp.: 












−
−
=


























−
−
−
−
+






























w
c
e
p
c
c
e
tt
tt
tt
tt
p
c
c
e
p
c
c
e
T
Tc
T
tT
kk
kk
kk
kk
J
J
J
J )(
00
00
00
00
000
000
000
000
2
1
22
22
11
11
..
2
..
1
..
..
2
1
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
 
 
 
3.10 – Sistema carro-pêndulo invertido. Deduzir o modelo matemático para o sistema da figura, considerando pequenas 
oscilações do pêndulo. 
 
 
Resp.: 





=



















+−
+














+


























+





+






+++
0
)(
2
0
00
00
0
32
2
.
.
..
..
2
tFx
gL
m
m
xcx
L
m
mL
m
m
L
m
mmmM
c
cc
cc
θθθ
 
 
 
 
 
 
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-21 
 
 
3.11 – Deduzir o modelo matemático para o sistema mecânico da figura. 
 
 
 
Resp.: 
r
)t(M
kx5xcx
r
J
m
...
2
=++





+ 
 
3.12 – Deduzir o modelo matemático para o sistema mecânico da figura, onde 2C ml
12
1
J = 
 
 
Resp.: 





=











+
+














+
















0
0x
mglkl2kl2
kl2k3x
clcl
clc2x
ml
3
2
ml
mlm3
2.
.
2..
..
2
θθθ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos - 3-22 
 
 
3.13 - Sistema motor-bomba montado sobre uma base. A figura (a) mostra um sistema motor-bomba montado sobre 
uma base. A figura (b) ilustra o modelo físico simplificado deste sistema. Desenvolver o modelo matemático usando as 
coordenadas x(t), translação vertical do C. G. e θ(t), que descreve a rotação do conjunto. 
 
 
 
Resp.: 
( )
( ) 




=











−−−
−−+
+














0
0x
lklklklk
lklkkkx
J0
0m
2
22
2
112211
221121
..
..
C θθ
 
 
 
3.14 - Deduzir o modelo matemático para o aerofólio da figura, usando as coordenadas x(t), translação vertical do ponto O 
e θ(t), que descreve a rotação do aerofólio em torno de um eixo horizontal que passa pelo ponto O. 
 
 
Resp.: 





=











+














−
−
0
0x
kke
0kx
meJ0
mem
t
..
..
2
G θθ