4_Resp_livre_sem_amort

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4 Resposta livre de sistemas com 1 GDL sem amortecimento 
 
 
Introdução 
Resposta livre de sistemas translacionais 
Influência da massa da mola 
Resposta livre de sistemas rotacionais 
Sistemas pendulares 
Método de Rayleigh 
Questionário 
Problemas 
 
Teoria: Rao 2.2.4; 2.3; 2.5 
Problemas: Rao 2.1 a 2.83 
 
 
4.1 Introdução 
 
Resposta livre (ou natural) ocorre quando o movimento se deve apenas à aplicação de condições iniciais, ou seja, à 
aplicação de um deslocamento inicial e/ou de uma velocidade inicial. Portanto, não há excitação externa após iniciado o 
movimento. No sistema sem amortecimento não existe (ou é desprezível) a dissipação de energia durante o movimento, o 
que faz com que a resposta livre seja um movimento oscilatório (ou vibração). Teoricamente, a amplitude da vibração 
mantem-se constante. A Fig. 4.1 ilustra o modelo padrão de um sistema translacional com 1 GDL, sem amortecimento. A 
Fig. 4.2 mostra alguns exemplos de sistemas reais que podem ser modelados como tal. 
 
Fig. 4.1 Sistema massa-mola (m, k) com 1 GDL. 
 
1. Torre de televisão 
 
 
2. Comando de válvula de um motor de combustão interna 
 
 
Fig. 4.2 Exemplos de sistemas com 1 GDL sem amortecimento (ou com amortecimento desprezível). 
4 Resposta livre sem amortecimento 4-2
 
 
4.2 Resposta livre de sistemas translacionais 
 
Conforme já vimos, o modelo matemático para o sistema padrão com 1 GDL é dado pela EDOL 
 
)t(f)t(kx)t(xc)t(xm
...
=++ (4.1) 
 
No caso que estamos estudando não existe amortecimento, logo c = 0; além disso, por se tratar de resposta livre, 
não existe forçamento, portanto f(t) = 0 e o modelo matemático simplifica para 
 0)t(kx)t(xm
..
=+ (4.2) 
 
A resposta livre é dada pela solução da EDOL de 2a ordem com coeficientes constantes homogênea acima: 
 
 (4.3) 
 
 
onde definimos a Freqüência angular natural em [rad/s] como 
 
 
 (4.4) 
 
e onde as condições iniciais que causam a resposta livre são o: 
 
• deslocamento inicial x(0) = x0 e/ou a 
• velocidade inicial 0
..
x)0(x = 
 
Característica da vibração livre: movimento simétrico em torno da posição de equilíbrio estático, apresentando nas 
posições 
 
• x = 0: velocidade máxima e aceleração nula; 
 
• x = xmáx : velocidade nula e aceleração máxima 
 
que são características do MHS, motivo pelo qual o sistema (m, k) recebe o nome de oscilador harmônico. Através de 
manipulações algébricas e trigonométricas, a eq. (4.3) pode ser colocada sob outras duas formas: 
 
Forma co-senoidal da eq. (4.3): 
 (4.5) 
 
 
 (4.6) 
onde 
 
 
 
 (4.7) 
 
Forma senoidal da eq. (4.3): (4.8) 
 
 
 
onde (4.6) 
 
 
 
 (4.9) 
tsen
x
tcosx)t(x n
n
o
.
n0 ωω
ω +=
m
k
n =ω
)tcos(X)t(x 0n0 φω −=
inicial fase de ânguloarctg
 amplitude 
0
0
.
0
2
0
.
2
00
=










=
=










+=
x
x
x
xX
n
n
ω
φ
ω
inicial fase de ânguloarctg 
 amplitude 
0
.
0
0
2
0
.
2
00
=








=
=










+=
x
x
x
xX
n
n
ω
φ
ω
)()( 00 φω += tsenXtx n
4 Resposta livre sem amortecimento 4-3
 A Fig. 4.3 ilustra as duas formas para os mesmos dados. Notemos que a diferença reside no ângulo de fase inicial, 
sendo a amplitude a mesma para as duas formas. 
 
Plot
Time (sec)
0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1
x(
t)
 (
m
)
-.150
-.125
-.100
-.075
-.050
-.025
0
.025
.050
.075
.100
.125
.150
forma senoidal
forma cossenoidal
 
 
Fig. 4.3 Formas senoidal e co-senoidal da eq. (4.3). 
 
Observações 
 
1. 
 
 
 (4.10) 
 
 
 
 (4.11) 
 
 
 
2. Freqüência Natural em Hz: (4.12) 
 
 
 
3. Período Natural em s: (4.13) 
 
 
4. Deslocamento: (4.14) 
 
 
5. Velocidade: (4.15) 
 
 
 
6. Aceleração: (4.16) 
 
 
Portanto, em relação ao deslocamento, a velocidade e a aceleração estão avançadas de π/2 e π rad, respectivamente, 
conforme ilustra a Fig. 4.4. 
m
k
n =ω
stkmg δ=
st
n
g
δ
ω =
st
n
n
g
2
1
m
k
2
1
2
f
δπππ
ω
===
g
2
k
m
2
2
f
1 st
nn
n
δ
ππ
ω
πτ ====
)tcos(X)tcos(X
dt
)t(xd
)t(x 0n
2
n00n
2
n0
.
..
πφωωφωω +−=−−==
)
2
tcos(X)t(senX
dt
)t(dx
)t(x 0nn00nn0
. πφωωφωω +−=−−==
)tcos(X)t(x 0n0 φω −=
4 Resposta livre sem amortecimento 4-4
 
 
Fig. 4.4 Deslocamento, velocidade e aceleração em função do tempo. 
 
 
Ex. 4.1 (Rao Ex. 2.1) - Reservatório de água. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.5 Reservatório de água. 
 
Dados do reservatório: Altura: 91,44 m 
 Peso do reservatório c/água: 272160 N 
Coluna: concreto (E = 2,758x109 Pa), seção reta tubular (dext = 3,048 m, dint = 2,4384 m) 
 
Desprezando a massa da coluna de concreto, pede-se: 
 
1. Freqüência natural da vibração transversal (horizontal), em Hz; 
2. Período natural, em s; 
3. Resposta livre, para um deslocamento inicial de 2,54 cm e velocidade inicial nula; 
4. Máximos valores da velocidade e da aceleração. 
 
Solução 
 
1. N/m 65,27069
4491
64
438420483
1075823
3
3
44
9
3
=
−
==
,
),,π(
)(x,)((
l
EI
k 
 
 
4 Resposta livre sem amortecimento 4-5
Hz 157,0
2
988,0
2
rad/s 988,0
81,9/272160
65,27069
===
===
ππ
ω
ω
n
n
n
f
m
k
 
 
2. s 36,6
157,0
11
===
n
n
f
τ 
 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 4.2 (Rao Ex. 2.5) – Identificação de material. Este exemplo mostra uma maneira de identificar o material de uma 
barra a partir da obtenção experimental do módulo de Young. Uma barra de material desconhecido tem seção reta quadrada 
5 mm x 5 mm e comprimento 1 m. A barra é posta na situação de bi-engastamento, sendo fixada na sua posição central 
uma massa de 2,3 kg. O sistema é posto a vibrar e a sua freqüência natural transversal é obtida experimentalmente como 
sendo 30 rad/s. Determinar o módulo de Young e identificar o material da barra. 
 
Solução 
 
Barra bi-engastada: 
3
192
l
EI
k = 
 
 
 
 
12
3bh
I = 
Logo: Pa 1007,2
)005,0)(005,0)(16(
)1)(30)(3,2(
16
16
12
192 11
3
32
3
32
3
3
3
3
2
x
bh
lm
E
l
Ebh
l
Ebh
m nn ===⇒==
ω
ω 
 
Trata-se, provavelmente, de aço ao carbono. 
 
 
 
 
 
 
)()( 00 φω += tsenXtx n
rad 
20
arctg arctg 
m 0,0254 
988,0
0
0254,0 
0
0
.
0
0
2
2
2
0
.
2
00
πωωφ
ω
=





=








=
=





+=










+=
x
x
x
x
xX
nn
n
m )988,0cos(0254,0)
2
988,0(254,0)()( 00 ttsentsenXtx n =+=+=
πφω
m/s 0251,0)988,0)(254,0()
2
cos()(
:(4.15) eq. Da
0max
.
00
.
===⇒+−= nnn XxtXtx ω
πφωω
222
0max
..
0
2
0
..
m/s 248,0)988,0)(0254,0()cos()(
:(4.16) eq. Da
====⇒−−= nnn XxtXtx ωφωω
2
nn mk
m
k ωω =⇒=
4 Resposta livre sem amortecimento 4-6
 
Ex. 4.3 Sistema de polias. Determinar a freqüência natural do sistema de polias mostrado na Fig. 4.6. Assumir que não 
haja atrito entre cabo e polias e que as massas das polias e do cabo são desprezíveis em comparação com a massa m. 
 
 
 
Fig. 4.6 Sistema de polias. 
 
Solução 
 
Idealizando o sistema como tendo um grau de liberdade, a freqüência natural pode ser obtida usando o conceito de 
rigidez equivalente. Como não há atrito entre polias e cabo e as polias não possuem massa, a tensão na corda é constante e 
igual ao peso P da massa m. Então, a força que atua na polia 1, puxando-a para cima é 2P e a força que atua na polia 2, 
puxando-a para baixo também é 2P. O centro da polia 1 se desloca 2P/k1 para cima, e o centro da polia 2 se desloca 2P/k2 
para baixo. O deslocamento total da massa m é 
 





+=
21
22
2
k
P
k
P
x 
Rigidez equivalente do sistema: 
 
( )21
21
2121
444
1
22
2
kk
kk
kkk
P
k
P
P
x
P
keq +
=
+
=






+
== 
 
( )
()mkk
kk
m
kk
kk
m
keq
n
21
2121
21
4
4
+
=
+
==ω 
 
 
 
 
4.3 Influência da massa da mola 
 
Na abordagem de sistemas com parâmetros concentrados supomos que a mola não tem massa. Entretanto, existem 
muitas situações em que tal consideração pode conduzir a erros inadmissíveis. Para que seja levada em conta a massa da 
mola, calculamos a energia cinética que a mola possui e verificamos qual a fração de sua massa deve ser acrescentada à 
massa principal do sistema. Vamos ilustrar o método através de dois exemplos. Conforme será visto, cada caso deve ser 
tratado separadamente. 
 
4 Resposta livre sem amortecimento 4-7
Ex. 4.4 (Rao Ex. 2.8) - Influência da massa de mola translacional. Achar a massa equivalente à massa da mola que deve 
ser adicionada à massa principal m do sistema da Fig. 4.7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.7 Influência da massa da mola translacional. 
 
Solução 
Seja 
.
x a velocidade da massa concentrada m. A velocidade de um elemento da mola dms, localizado a uma 
distância y de sua extremidade fixa, varia com y. Supondo que esta variação é linear, a mesma pode ser expressa na forma 
 
..
x
L
y
y = 
 Se a massa de um elemento de comprimento dy é dms = sm
L
dy
 a energia cinética desse elemento de mola é dada 
por 
2.
0
2
3
2.
2.2.
32
11
2
1
2
1
2
1
x
m
dyy
L
xmT
x
L
y
m
L
dy
ydmdT
s
L
s
ss
==






==
∫
 
 
 Portanto, a mola contribui com 1/3 de sua massa para a formação da massa efetiva do sistema. Logo, a freqüência 
natural do sistema passa a ser 
s
n
mm
k
3
1
+
=ω 
 
 
Ex. 4.5 (Rao Ex. 2.9) - Influência da massa de mola tipo viga engastada e livre. Achar a massa equivalente à massa da 
viga que deve ser adicionada à massa principal do sistema da Fig. 4.8. 
 
 
 
Fig. 4.8 Massa equivalente de uma viga engastada e livre 
 
 Solução 
 
 
 
 
 
4 Resposta livre sem amortecimento 4-8
Rao, pág. 1034: 
 
 
No caso, a = l: 
 
 
Em termos de ymax = deformação na extremidade livre, x = l: 
 
 
 
 
Substituindo na expressão de y(x): 
 
 
Derivando, encontramos a velocidade: 
 
 
Energia cinética de um elemento de massa dm, distante x da extremidade engastada: 
 
 
 
 
Considerando e a expressão para a velocidade, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrando: 
 
 
Conclusão: a viga engastada e livre contribui com 33/140 de sua massa na freqüência natural do sistema. 
 
 Outras situações envolvendo vigas devem ser tratadas de maneira semelhante à apresentada no exemplo acima. 
 
 
 
4.4 Resposta livre de sistemas rotacionais 
 
Neste caso, o movimento do corpo rígido compreende uma rotação em torno de um eixo, sendo a coordenada 
generalizada um ângulo de rotação θ(t). O movimento é provocado por um deslocamento angular inicial e/ou uma 
velocidade angular inicial, sendo o momento restaurador fornecido pela energia potencial elástica armazenada em uma 
mola de torção. 
 
O modelo rotacional com 1 GDL, sem amortecimento, é mostrado na Fig. 4.9: 
 
EI3
Pl
)ll3(
EI6
Pl
)l(yy
32
max =−== 3
max
l2
y
EI6
P
=
)xl3(
EI6
Px
)x(y
2
−=
)xlx3(
l2
y
)x(y
32
3
max −=
)xlx3(
l2
y
)x(y
32
3
max
.
.
−=
2.
ydm
2
1
dT =
l
m
dx
dm
=
dx)xlx3(
l2
y
l
m
2
1
dT
232
2
3
max
.
−










=
∫ −










= l
0
232
2
3
max
.
dx)xlx3(
l2
y
l
m
2
1
T
2
max
.
ym
140
33
2
1
T =
4 Resposta livre sem amortecimento 4-9
 
 
Fig. 4.9 Sistema rotacional com 1 GDL, sem amortecimento. 
 
Momento de inércia polar da seção reta da mola torcional: 
 
 (4.17) 
 
 
Rigidez da mola torcional: (4.18) 
 
 
Modelo matemático: (4.19) 
 
 
Comparando com o modelo matemático do sistema translacional, dado por 
 
 (4.20) 
 
verificamos que, matematicamente, constituem a mesma EDOL. Logo, podemos aproveitar todos os desenvolvimentos já 
feitos para o sistema translacional e adaptá-los para o sistema rotacional, simplesmente fazendo as adaptações seguintes: 
 
 
Sistema translacional Sistema rotacional 
Massa m Momento de inércia de massa J0 
Rigidez k Rigidez kt 
Deslocamento translacional x(t) Deslocamento angular θ(t) 
Velocidade translacional )t(x
.
 Velocidade rotacional )t(
.
θ 
Aceleração translacional )t(x
..
 Aceleração rotacional )t(
..
θ 
 
Portanto, a resposta livre do sistema rotacional, após as adaptações acima, será: 
 
 
 
Na forma co-senoidal: (4.21) 
 
 
 
onde (4.22) 
 
 
 
 (4.23) 
 
32
d
I
4
0
π
=
l
GIM
k 0tt == θ
0kJ t
..
0 =+ θθ
0kxxm
..
=+
tsentcos)t( n
n
o
.
n0 ωω
θωθθ +=
)tcos()t( 0n0 φωΘθ −=
inicial fase de ânguloarctg
 amplitude 
0
0
.
0
2
0
.
2
00
=










=
=










+=
θω
θφ
ω
θθ
n
n
Θ
4 Resposta livre sem amortecimento 4-10 
Na forma senoidal: (4.24 ) 
 
 
onde 
 
 
 (4.25) 
 
 
Nas expressões acima, as freqüências naturais e o período natural também são obtidos por adaptação: 
 
 (4.26) 
 
 
 
 (4.27) 
 
 
 
 (4.28) 
 
 
Ex. 4.6 (Steidel 2.30) – Momento de inércia de um conjunto roda-pneu. A Fig. 4.10 mostra um dispositivo projetado 
para determinar o momento de inércia de um conjunto roda-pneu, que consiste de um cabo de aço (G = 82x109 Pa) de 
diâmetro 2 mm, comprimento 2 m e de uma plataforma à qual é fixado o conjunto roda-pneu. O cabo de aço é suspenso por 
sua extremidade superior e posto a oscilar em torno do eixo vertical do cabo. Sem o conjunto pneu-roda, o período da 
oscilação é de 4 s. Com o conjunto montado, o período da oscilação é de 25 s. Determinar o momento de inércia do 
conjunto roda-pneu. 
 
Fig. 4.10 Determinação de momento de inércia de um conjunto roda-pneu. 
 
Solução 
 
( )
N.m/rad 0644,0
2
32
002,0
1082
4
9
0 ===
π
xx
l
GI
k t 
 
 
 
 
 
 
Plataforma: 
 
 
Plataforma + conjunto pneu-roda: 
 
Pneu-roda: J0 (conjunto pneu-roda) = 1,02 – 0,0261 = 0,9935 kg.m
2 
 
 
 
Ex. 4.7 - Uma serra para cortar tubulações em um processo de produção contínua consiste de um disco grande de raio r e 
massa M, podendo girar em torno do centro O ligado a uma barra leve, de comprimento l, em cuja extremidade é montado 
)t(sen)t( 0n0 φωΘθ +=
inicial fase de ânguloarctg 
lcossenoida forma da mesma amplitude 
0
.
0
0
0
=










=
==
θ
θω
φ n
Θ
0
t
n
J
k
=ω
0
tn
n
J
k
2
1
2
f
ππ
ω
==
t
0
nn
n
k
J
2
2
f
1 π
ω
πτ ===
2
0
0
2
2 





=⇒=
π
τ
πτ nt
t
n kJ
k
J
2
2
0 kg.m0261,02
4
0644,0)plataforma( =




=
π
J
2
2
0 kg.m 02,12
25
0644,0)roda epneu conjuntoplataforma( =




=+
π
J
4 Resposta livre sem amortecimento 4-11 
um motor de massa m contendo um disco de corte (Fig. 4.11). O sistema pode oscilar no plano em torno do ponto O. 
Determinar: 
 
 
 
Fig. 4.11 Sistema de serra para produção contínua. 
 
1. período da oscilação natural do sistema para pequenos ângulos; 
2. velocidade linear máxima do motor se o braço é deslocado inicialmente de um ângulo θ0 e depois liberado. 
 
Solução 
 
( )
( )
( )
0
2
1
)(
0)(
2
1
:oscilações pequenas Supondo
2
1
)(
 :matemática Modelagem
22
..
..
22
..
22
..
=
++
+
+
=++




 ++





 ++=+−
=
θθ
θθ
θθ
θ
rlmMr
rlmg
rlmgrlmMr
rlmMrsenrlmg
JM OO
 
 
( )
( )
)(
2
1
2
2
2
1
)(
22
22
rlmg
rlmMr
rlmMr
rlmg
n
n
n
+
++
==
++
+
=
π
ω
πτ
ω
 
 
 
 
 
 
 
4 Resposta livre sem amortecimento 4-12 
 
4.5 Sistemas pendulares 
 
Pêndulos são sistemas oscilatórios nos quais a força restauradora que mantem o movimento é devida à gravidade e 
não à ação de uma mola deformada. A resposta de um sistema pendular a condições iniciais constitui uma vibração livre 
sem amortecimento, com um GDL. 
 
Os três tipos mais comuns de pêndulos são o simples, o composto (ou físico) e o filar. Os dois últimostipos têm 
uma aplicação prática importantíssima em Engenharia, pois através deles podemos determinar momentos de inércia de 
peças de geometria complicada, o que seria praticamente impossível de se obter com os métodos analíticos tradicionais da 
Mecânica. A seguir, apresentaremos os pêndulos citados acima. 
 
4.5.1 Pêndulo simples 
 
O pêndulo simples consta de uma massa pontual m suspensa verticalmente por um fio inextensível de 
comprimento L, conforme Fig. 4.12. Uma aplicação bastante familiar do pêndulo simples é o antigo relógio de parede. 
Vamos adotar como coordenada generalizada o ângulo que o fio faz com a vertical, θ(t). 
 
 
 
Fig. 4.12 Pêndulo simples. 
 
Quando é dada à massa m uma condição inicial (deslocamento inicial θ(0) e/ou uma velocidade inicial )0(
.
θ ), o 
sistema entra em oscilação em torno da posição θ = 0. A figura à direita mostra o diagrama de corpo livre para uma posição 
genérica θ(t). Aplicando a 2a Lei de Newton para o movimento de rotação em torno do ponto O, obtemos: 
0
..
..
2
..
=+
=−
=
θθ
θθ
θ
sen
L
g
mLmgsen
JM OO
 
 
Para pequenas oscilações (θ < 1 rad), podemos fazer sen θ ≈ θ, logo 
 
0
L
g..
=+ θθ (4.29) 
 
que constitui o modelo matemático do pêndulo simples. A freqüência angular natural do sistema é dada por 
 
 
L
g
n =ω (4.30) 
a freqüência natural é 
L
g
2
1
f n π
= (4.31) 
 
e o período natural é 
g
L
2n πτ = (4.32) 
4 Resposta livre sem amortecimento 4-13 
4.5.2 Pêndulo composto 
 
Também conhecido como pêndulo físico. Neste caso, a massa m está distribuída ao longo do corpo. A Fig. 4.13 
ilustra um pêndulo composto de massa m, que oscila em torno de um centro de rotação O. O centro de gravidade C dista r 
do centro de rotação O. Supomos que o corpo seja simétrico em relação ao plano de oscilação, de modo que o movimento 
oscilatório do centro de gravidade do corpo se processe dentro desse plano. Também serão supostas pequenas oscilações θ. 
 
 
Fig. 4.13 Pêndulo composto 
 
 O momento restaurador será dado pela componente transversal mgrθ. Aplicando a 2a Lei de Newton: 
 
..
0 θJM O = 
 
..
0Jmgrsen θθ =− 
Para pequenas oscilações θ: 
..
0Jmgr θθ =− 
 
logo 0
J
mgr
o
..
=+ θθ (4.33) 
 
que é o modelo matemático do pêndulo composto. A freqüência angular natural do pêndulo composto é dada por 
 
 
J
mgr
o
n =ω (4.34) 
 
ou por 
J
mgr
2
1
f
o
n π
= (4.35) 
 
e o período natural é dado por 
mgr
J
2
o
n πτ = (4.36) 
 
 
Aplicação importante: determinação do momento de inércia de massa de um corpo de geometria complicada, em relação 
ao seu centro de gravidade. Por exemplo, a determinação do momento de inércia de uma biela, em relação ao seu centro de 
gravidade C, conforme ilustra a Fig. 4.14, é de primordial importância para o estudo dinâmico do mecanismo biela-
manivela de um motor de combustão interna. 
4 Resposta livre sem amortecimento 4-14 
 
 
Fig. 4.14 Biela de motor de combustão interna. 
 
A partir da equação da freqüência natural do pêndulo composto, dada pela eq. (4.35), podemos obter 
 
f4
mgr
J
2
n
2
o
π
= 
 
Aplicando o Teorema de Steiner: JC = Jo - mr
2, logo: 
 
 2
224
mr
f
mgr
J
n
C −=
π
 
 
Na prática, m, r e fn são obtidos experimentalmente. A massa m é simplesmente medida em uma balança. A 
distância r é facilmente obtida após a localização do centro de gravidade C, conforme ensinamentos de Física Experimental 
elementar. Finalmente, a freqüência natural fn pode ser obtida pondo-se o corpo para oscilar e medindo-se o tempo que o 
mesmo leva para executar um certo número de oscilações. Com estes dados, entramos na equação acima e obtemos o 
momento de inércia JC. 
 
4.5.3 Pêndulo filar 
 
No pêndulo filar (que pode ser bifilar, trifilar, etc., conforme a quantidade de fios utilizados) o corpo rígido oscila 
conforme ilustra a Fig. 4.15. 
 
Fig. 4.15 Pêndulo bifilar. 
 
Quando a hélice, que compõe o pêndulo bifilar da figura acima, gira em torno do eixo z que passa pelo seu centro 
de massa C, ela move-se para cima e para baixo. O momento restaurador é dado pela componente horizontal da força de 
tração de cada fio, Fsenφ. Sendo D o diâmetro da hélice, ou seja, a distância entre os dois fios, o momento restaurador vale 
2Fsenφ D/2. Chamando JC o momento de inércia da hélice, podemos aplicar a 2
a Lei de Newton e obter: 
θφ
θ
..
..
2
2
 
J
D
Fsen
JM
C
CC
=−
=
 
Da geometria da figura: θφ sen
2
D
hsen = 
4 Resposta livre sem amortecimento 4-15 
logo: θθ
..
.
2
JDsen
h
FD
C=− 
 
Considerando senθ ≅ θ (pequenas oscilações) e mg ≅ 2F (o que é exato para o sistema em repouso, porém 
aproximado durante o movimento), após simplificações, chegamos à equação diferencial do movimento: 
 
 0
4
2..
=+ θθ
hJ
Dmg
C
 (4.37) 
 
Da equação acima podemos obter, respectivamente, a freqüência angular natural, a freqüência natural e o período 
natural do pêndulo bifilar: 
 
 (4.38) 
 
 
 (4.39) 
 
 
 (4.40) 
 
 
 
Aplicação importante: aqui também se aplica a determinação de momentos de inércia de peças de geometria complicada 
mas que tenham simetria axial, como a hélice que serviu de modelo. A partir da equação da fn,, obtemos: 
 
hf
Dmg
J
n
C 22
2
16π
= (4.41) 
 
que nos permite calcular o momento de inércia do pêndulo bifilar em relação ao seu eixo de rotação. Os parâmetros m, D e 
h podem ser medidos, ao passo que fn pode ser determinada experimentalmente, pondo-se o pêndulo a oscilar, 
analogamente ao pêndulo composto. 
 
Não é difícil concluir que, para n fios, chegaríamos às mesmas expressões obtidas. O momento restaurador seria 
nFsenφ D/2 e o peso seria mg ≅ nF, o que acarretaria a mesma simplificação do caso bifilar. 
 
 
 
 
4.6 Método de Rayleigh para a determinação de Freqüências Naturais 
 
Em vários problemas tratados anteriormente, foi solicitada a determinação da freqüência natural. Naquelas 
oportunidades, partimos para as determinações da rigidez equivalente e da massa equivalente do sistema, seguidas da 
aplicação da definição de freqüência natural. Essa é uma primeira maneira de calcular a freqüência natural do sistema. 
 
Uma segunda maneira consiste em determinar primeiramente o modelo matemático do sistema, o qual terá sempre 
a forma 
)t(f)t(kx)t(xc)t(xm
...
=++ 
Atentando para a definição de freqüência natural, dada pela equação 
m
k
n =ω , podemos ver facilmente que a 
freqüência natural é dada pela raiz quadrada da rigidez dividida pela massa, sendo que esses dois parâmetros do sistema 
aparecem no modelo matemático, respectivamente, como coeficientes do deslocamento e da aceleração. Portanto, uma 
outra maneira de determinar a freqüência natural consiste, primeiramente, em deduzir o modelo matemático do sistema, 
identificar k e m e calcular ωn a partir da sua definição. 
 
Dmg
hJ
hJ
Dmg
f
h
Dmg
C
n
C
n
J C
n
2
2
2
4
2 
42
1
 
4
 
πτ
π
ω
=
=
=
 
4 Resposta livre sem amortecimento 4-16 
Um terceiro modo de determinar a freqüência natural é a partir do Método de Rayleigh, o qual apresenta a 
vantagem de dispensar a dedução do modelo matemático. O método baseia-se no Princípio da Conservação da Energia, 
válido para todos os instantes de tempo: 
 T + U = constante (4.42) 
 
 Tendo em vista que a eq. (4.42) é válida para todos os instantes, podemos, por conveniência, reescrevê-la para as 
situações seguintes: 
 
1. instante em que a massa passa pela posição de equilíbrio estático, ou seja, x = 0: 
 
Tmax + 0 = constante 
 
2. instante em que a massa passa por uma posição extrema, ou seja, x = xmax: 
 
0 + Umax = constante 
 
 Comparandoessas duas últimas equações, podemos concluir que 
 
 Tmax = Umax (4.43) 
 
A eq. (4.43) constitui o Método de Rayleigh, o qual permite obter diretamente a freqüência natural do sistema, 
conforme veremos a seguir através de exemplos. O método de Rayleigh é especialmente útil nos casos em que a dedução 
do modelo matemático é complicada. 
 
 
Ex. 4.8 (Palm III Ex. 3.3-3) - Suspensão automotiva. A Fig. 4.16 mostra a suspensão independente de uma das rodas 
dianteiras de um automóvel, na qual L1 = 0,4 m e L2 = 0,6 m. A mola helicoidal tem rigidez 36000 N/m e o peso distribuído 
à roda vale 3500 N. Determinar a freqüência da suspensão para o movimento vertical, em Hz. 
 
 
 
Fig. 4.16 Suspensão automotiva. 
 
Solução 
 
( )
( ) 222molamax
222
2.2.2
2
.2
roda
.
max
1
2
mola
roda
28804,036000
2
1
2
1
22,6422,6422,646,0
81,9
3500
2
1
2
1
2
1
x
 Então
 inferior. braço do rotação de ângulo o Seja
θθ
θωθωθθθ
θ
===
===





=





==
=
kxU
LmxmT
L
Lx
nn
 
4 Resposta livre sem amortecimento 4-17 
 
Hz 066,1
2
 logo rad/s, 6967,6
288022,64 222maxmax
===
=⇒=
π
ω
ω
θθω
n
nn
n
f
UT
 
 
 
Ex. 4.9 (Rao Ex. 2.6) - Manômetro em U para motor Diesel. O escapamento de um motor Diesel estacionário, de 1 
cilindro e 4 tempos, deve ser conectado a uma surdina cuja pressão interna deve ser medida com um manômetro de Hg, 
conforme ilustra a Fig. 4.17. Calcular o comprimento mínimo do tubo do manômetro de tal modo que a freqüência natural 
da coluna de Hg seja 3,5 vezes menor que a freqüência com que varia a pressão no interior da surdina quando o motor gira 
a 600 rpm. 
 
 
 
Fig. 4.17 Manômetro de mercúrio. 
 
 Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Freqüência da flutuação da pressão (motor de 1 cilindro e 4 tempos): 
 
 
 
 
 
 
2
max
max
max
max
maxmax 22
Ax
x
Ax
x
AxU γγγ =





−−=
2
max
.2
max
.2
max
.
max 2
1
2
1
2
1
x
g
Al
x
g
W
xmT
l γ===
l
g
x
g
xl
Ax
g
xAl
UT
n
n
2
2
1
2
1
2
2
max
2
max
2
2
max
2
max
.
maxmax
=
=
=⇒=
ω
ω
γγ
l
g
n
2
=ω
rpm 300
2
600 x 1
2
rpm x cilindros .
===
nr
pressãoω
rad/s 10rad/s 
60
2
300 ππω == xpressão
4 Resposta livre sem amortecimento 4-18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questionário 
 
 
 
01. O que é vibração livre (ou natural)? 
 
 
 
02. O que causa a vibração livre? 
 
 
 
 
03. Existe excitação externa permanente durante a vibração? 
 
 
04. No movimento sem amortecimento existe dissipação de energia durante o movimento? 
 
 
05 Teoricamente, o que acontece com a amplitude da vibração no caso de vibração livre sem amortecimento? 
 
 
 
06. Escreva a EDOL do sistema translacional com 1 GDL em vibração livre sem amortecimento. Identifique os parâmetros 
do sistema. 
 
 
 
 
07. O que caracteriza a vibração livre sem amortecimento no que diz respeito ao movimento em torno da posição de 
equilíbrio estático? 
 
 
 
 
 
08. Que valores atingem a velocidade e a aceleração na posição de equilíbrio estático e nas posições extremas? 
 
 
 
 
09. Por que o sistema (m, k) recebe o nome de oscilador harmônico? 
 
 
 
10. Definir freqüência natural de um sistema mecânico. 
 
 
 
2)976,8(
2
5,3
102
5,3
g
l
l
gpressão
n >⇒<⇒<
πωω
m 243,0
57,80
81,92
>⇒> l
x
l
4 Resposta livre sem amortecimento 4-19 
 
11 Definir período natural de um sistema mecânico. 
 
 
 
12. Definir amplitude da vibração livre. 
 
 
 
13. Definir ângulo de fase inicial. 
 
 
 
14. No domínio do tempo, qual a relação entre deslocamento, velocidade e aceleração? 
 
 
 
 
15. Como se faz para obter a freqüência natural de um sistema com 1 GDL a partir do seu modelo matemático? 
 
 
 
 
16. Como se faz para levar em consideração a massa da mola nos casos em que ela não pode ser desprezada? 
 
 
 
 
 
 
17. Escreva a EDOL do sistema rotacional com 1 GDL em vibração livre sem amortecimento. Identifique os parâmetros do 
sistema. 
 
 
 
18. Estabeleça a relação entre as propriedades dos sistemas translacional e rotacional preenchendo a tabela abaixo: 
 
Sistema translacional Sistema rotacional 
Massa m 
Rigidez k 
Deslocamento translacional x(t) 
Velocidade translacional )t(x
.
 
 
Aceleração translacional )t(x
..
 
 
 
 
19. O que são pêndulos? 
 
 
 
20. Nos sistemas pendulares, quem desempenha o papel de mola (armazenamento de energia)? 
 
 
 
21. Quais os três tipos mais comuns de pêndulos? Cite uma aplicação em engenharia para cada um deles. 
 
 
 
 
4 Resposta livre sem amortecimento 4-20 
22. Por que nos pêndulos filares as expressões da freqüência natural independem da quantidade de fios? 
 
 
 
 
 
23. Qual a vantagem que o método de Rayleigh apresenta na determinação da freqüência natural de um sistema? 
 
 
 
 
24. Em que se baseia o método de Rayleigh? 
 
 
 
 
Problemas 
 
 
4.1 – (Rao 2.1) – Uma prensa industrial está montada sobre almofadas de borracha, a fim de evitar a transmissão de 
vibrações para a vizinhança. Quando da montagem, verificou-se que os isoladores deformaram 5 mm devido ao peso da 
prensa. Achar a freqüência natural do sistema. 
 
Resp.: fn = 7,05 Hz 
 
4.2 – (Rao 2.5) – Uma torre de resfriamento de uma unidade de condicionamento de ar pesa 8900 N e deve ser montada 
sobre 4 molas de ar. Calcular a rigidez que deve ter cada mola de tal modo que a freqüência natural da unidade seja 7,5 
rad/s. 
 
Resp.: k = 12750 N/m 
 
4.3 - O cilindro de um servo-mecanismo da figura possui um pistão com m = 0,3 kg associado a uma mola helicoidal de d = 
1 mm, D = 10 mm, 10 espiras ativas e G = 1,05 x 1011 Pa. Determinar a freqüência natural da vibração do pistão se não há 
óleo no cilindro. 
 
Resp.: fn =10,53 Hz 
 
4.4 - (Rao Ex. 2.4) - Escada Magirus. Dada a escada Magirus da figura, cujos dados são 
 
• Peso da caçamba c/ bombeiro = 2000 N 
• Material da escada: aço, E = 2,1 x 1011 N/m2 
• Comprimentos: l1 = l2 = l3 = 3 m 
• Áreas: A1 = 20 cm2, A2 = 10 cm2, A3 = 5 cm2 
 
calcular a freqüência natural do sistema na direção vertical. 
 
 
 
 
Resp.: ωn = 221,47 rad/s 
 
4 Resposta livre sem amortecimento 4-21 
4.5 - Um disco circular de raio R tem um furo de raio r a uma distância r’ do seu centro. O disco está livre para girar no 
plano vertical em torno de um eixo perpendicular ao plano do disco e passando pelo seu centro. Determinar a freqüência 
natural de oscilação do disco. Considerar que as massas são proporcionais aos quadrados dos raios. 
 
 
 
 
4.6 - O esticador mostrado na figura é usado para manter a correia pré-tensionada. A correia possui seção A = 500 mm2, 
comprimento total 2 m, E = 3 x 106 N/m2, l = 0,8 m. O mecanismo atuador possui l1 = 0,20 m, l2 = 0,20 m, m = 3 kg, M = 5 
kg, k = 1000 N/m. Determinar a freqüência natural da vibração do braço do atuador em torno do seu pivô. 
 
 
 
Resp.: fn = 1,02734 Hz 
 
 
4.7 – (Rao 2.10) – Um vagão carregado de minério de ferro, pesando 22241 N, está sendo içado por um sistema polia e 
cabos de aço (diâmetro 1,27 mm, E = 2,07 x 1011 Pa), conforme figura. Calcular a freqüência natural do sistema para a 
posição mostrada. 
 
Resp.: ωn = 5,27 rad/s 
 
 
 
 
 
Resp.: 








−




−





=
5,0
'
5,0
'
24
2
r
r
r
R
r
gr
nω 
4 Resposta livre sem amortecimento 4-22 
4.8 – (Rao 2.14) – A figura mostra um sistema composto por uma mola e três polias consideradas sem atrito e com massas 
desprezíveis. Achar a freqüência natural da vibração do peso W para pequenas oscilações. 
 
Resp.: 
m
k
n 8=ω 
 
 
4.9 – (Rao 2.18) – Uma máquina pesando 9810 N está sendo descida verticalmente por um guincho a uma velocidade 
uniforme de 2 m/s através de um cabo de aço (E = 2,07 x 1011 Pa, diâmetro 0,01 m). O guincho é subitamente freado 
quando o comprimento do cabo é de 20 m. Achar o período e a amplitude da vibração subseqüente. 
 
Resp.: τn = 0,22 s; A = 70,148 mm. 
 
 
4.10 – (Rao 2.26) – Uma massa m é fixada a uma corda que é submetida a uma tração T,conforme ilustra a figura. 
Considerando que a tração permanece inalterada quando a massa é deslocada perpendicularmente à corda, pede-se: 
 
(a) deduzir o modelo matemático para pequenas vibrações transversais; 
(b) freqüência natural da vibração. 
 
Resp.: (a) 
( )
0
..
=
+
+ x
ab
baT
xm 
 (b) 
( )
mab
baT
n
+
=ω 
 
 
4.11 – (Rao 2.28) – Um acrobata pesando 533,3 N caminha sobre um cabo de aço esticado, conforme ilustra a figura. Se a 
freqüência natural da vibração vertical para a posição mostrada vale 10 rad/s, calcular a tração no cabo. 
 
Resp.: T = 7376 N 
4 Resposta livre sem amortecimento 4-23 
 
4.12 – (Rao 2.27) – Um bungee jumper pesando 712 N está preso pela cintura à extremidade de um cabo elástico de 
comprimento 61 m e rigidez 1752 N/m, estando a outra extremidade do cabo presa a uma ponte. Considerando a ponte 
como rígida, calcular a freqüência natural e a amplitude do movimento vibratório do saltador em torno de sua posição de 
equilíbrio estático. 
 
Resp.: ωn = 4,92 rad/s; X0 = 7,05 m. 
 
 
4.13 – (Rao 2.30) – No regulador Hartnell da figura a mola possui rigidez 104 N/m e o peso de cada esfera é de 25 N. A 
mola é comprimida 1 cm quando os braços das esferas estão na vertical. Determinar: 
 
(a) velocidade de rotação do regulador na qual os braços das esferas permanecem na vertical; 
 
(b) freqüência natural de vibração para pequenos deslocamentos dos braços das esferas em torno das suas posições 
 verticais. 
 
Resp.: (a) ω = 81,91 rpm; ωn = 37,585 rad/s. 
 
 
4.14 - (Rao 2.31) – Uma plataforma quadrada PQRS suporta um carro, tendo o conjunto uma massa M. A plataforma está 
suspensa por 4 cabos elásticos, sendo h a distância vertical entre o ponto de suspensão O e a posição horizontal de 
equilíbrio da plataforma. Sendo a o lado da plataforma e k a rigidez axial de cada cabo, determinar o período natural da 
vibração vertical da plataforma. 
4 Resposta livre sem amortecimento 4-24 
 
 
4.15 - (Rao 2.33) – Um helicóptero transporta um fardo de massa 250 kg, conforme figura. As pás do rotor giram a 300 
rpm. Achar o diâmetro dos cabos de aço (E = 2,07 x 1011 Pa), de tal maneira que a freqüência natural de vibração do fardo 
seja no mínimo duas vezes maior do que a do rotor. 
 
Resp.: d = 3,11 mm 
 
4.16 - (Rao 2.74) – A figura mostra uma viga bi-apoiada, uniforme, módulo de Young E, momento de inércia de área da 
seção reta I e massa m. No centro do vão está colocada uma massa M. Calcular o efeito da massa da viga na freqüência 
natural do sistema. 
 
 
Sugestão: seguir o mesmo procedimento do exemplo do texto, usando (Rao pág. 1034): 
 
 
 
 
Resp.: mMmeq 35
17
+= 
 
4.17 (Steidel 2.38) – Determinação da posição do centro de gravidade de um carro. Um carro é suspenso como um 
pêndulo, usando-se cabos de aço (E = 2,07 x 1011 Pa) fixados aos eixos traseiro e dianteiro, conforme mostra a figura, e 
posto a oscilar no plano vertical. Com l = 4,6 m, o período de oscilação é de 4,3 s; com l = 2,6 m, o período cai para 3,3 s. 
Calcular a distância vertical h, a qual posiciona o centro de gravidade do carro em relação aos eixos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp. h = 0,1447 m 
 
Resp.: 
2
22
8
2
2
h
ah
k
M
n
+
= πτ 
4 Resposta livre sem amortecimento 4-25 
4.18 - (Rao 2.78) – Determinar a freqüência natural do sistema do problema 4.10, usando o método de Rayleigh. 
 
Resp.: 
( )
mab
baT
n
+
=ω 
 
 
4.19 - (Rao 2.83) – Determinar a freqüência natural do sistema da figura usando o método de Rayleigh. 
 
 
Resp.: 
2
216
mrJ
kr
O
n
+
=ω 
 
4.20 - (Rao 2.81) – A um prisma retangular de madeira de massa específica ρm é dado um deslocamento inicial no interior 
de um recipiente com óleo de massa específica ρo, fazendo com que o prisma entre em oscilação vertical. Determinar a 
freqüência natural do sistema usando o método de Rayleigh. Haverá mudança na freqüência natural se o prisma for 
substituído por um cilindro de raio r, mesma altura e massa específica? 
 
 
Resp.: 
h
g
m
o
n ρ
ρ
ω = ; não haverá mudança na freqüência natural.