10_Resp_harm_com_outros_tipos_amort

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10 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Outros tipos de amortecimento. 
 
 
Introdução 
Caso do amortecimento de Coulomb 
Caso do amortecimento estrutural 
Outros tipos de amortecimento 
Vibração induzida por vórtices 
Questionário 
Problemas 
 
Referências: Teoria: Rao 3.8 a 3.11 (somente o item 3.11.2) 
 Problemas: Rao 3.63 a 3.73 
 
 
10.1 Introdução 
 
 Estudamos, até agora, a resposta de sistemas com amortecimento viscoso sujeitos à excitação harmônica. Existem 
situações, entretanto, em que o amortecimento não é do tipo viscoso, ou seja, a força de resistência oposta pelo 
amortecimento não é linearmente proporcional à velocidade, tais como a resistência aerodinâmica, que é proporcional ao 
quadrado da velocidade e a resistência devido ao atrito seco, que é constante. Trataremos desses casos nesta apostila. 
Também veremos uma aplicação importante, que é a vibração de um sólido provocada pelo escoamento de fluido em seu 
redor. 
 
 
10.2 Caso do amortecimento de Coulomb 
 
 Consideremos as duas situações da fig. 10.1: corpo rígido se movimentando para a direita e para a esquerda, 
respectivamente, e apliquemos a 2
a
 Lei de Newton: 
 
 
 
 (10.1) 
 
 
 
 
 
 
 
 (10.2) 
 
 
 
 
 
Fig. 10.1 Sistema mecânico com amortecimento 
de Coulomb submetido a forçamento harmônico 
 
 Podemos reunir as duas equações acima em uma só, colocando-a na forma tradicional: 
 
 (10.3) 
 
onde sinal (+): massa m move-se da esquerda para a direita; 
 
 sinal (-): massa m move-se da direita para a esquerda. 
 
 
..
0sen xmNkxtF =−− µω
..
0sen xmNkxtF =+− µω
tFNkxxm ωµ sen0
..
=±+
12 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Outros tipos de amortecimento. 12-2 
 A solução analítica da eq. (3.85) é bastante complicada. Entretanto, se µN < F0, a resposta permanente é 
praticamente harmônica e uma solução aproximada pode ser obtida usando-se um coeficiente de amortecimento viscoso 
equivalente, ceq. Para determiná-lo, consideramos a conservação da energia durante um ciclo, conforme vimos na Apostila 
6, onde concluímos que ceq é dado por 
 
X
N
c
ω
µ
π
4
eq = (10.4) 
 
 Daqui em diante podemos aproveitar a teoria desenvolvida para o amortecimento viscoso, simplesmente 
substituindo c pelo ceq, dado pela eq. (10.4). 
 
 Assim, a resposta permanente é dada por 
 
 )()(p φω −= tXsentx (10.5) 
onde X = amplitude, dada por: 
 
( ) ( )2eq
22
0
21
1
rr
k
F
X
ς+−
= (10.6) 
 
com 
Xm
N
Xm
N
m
c
ωω
µ
ωω
µ
ω
ς
nnn
eq
eq
π
2
π2
4
2
=== (10.7) 
 
 Substituindo ζeq dado pela eq. (10.7) na eq. (10.6) e isolando X, obtemos 
 
 
2
2
00
1
π
4
1
r
F
N
k
F
X
−






−
=
µ
 (10.8) 
 
 Já o ângulo de fase pode ser obtido substituindo ζeq na expressão do ângulo de fase 
 
 












−
±
=







−
=
22 1
π
4
arctg
1
2
arctg
r
kX
N
r
req
µ
ς
φ (10.9) 
Sinal: + →→→→ à esquerda da ressonância 
 - →→→→ à direita da ressonância 
 
Ex. 10.1 (Rao Ex. 3.6) – Sistema massa-mola com amortecimento de Coulomb. Um sistema massa mola (m = 10 kg; k 
= 4000 N/m) vibra sobre uma mesa horizontal. O coeficiente de atrito é 0,12. Quando submetida a um forçamento 
harmônico de freqüência 2 Hz, a massa vibra com amplitude de 40 mm. Achar a amplitude da força harmônica aplicada à 
massa. 
Solução 
 
20
10
4000
n ===
m
k
ω rad/s 
 
6283,0
20
)2)(π2(
n
===
ω
ω
r 
Aplicando a eq. (10.8): 
2
2
003
6283,01
π
)81,9)(10)(2,0)(4(
1
4000
1040
−






−
=× −
FF
 
 
Resolvendo para F0: F0 = 98 N 
 
12 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Outros tipos de amortecimento. 12-3 
 
 
10.3 Caso do amortecimento estrutural 
 
 Consideremos o sistema da fig. 10.2: 
 
 
 
Fig. 10.2 Sistema mecânico com amortecimento estrutural submetido a forçamento harmônico 
 
 Conforme já vimos, a expressão para o coeficiente de amortecimento viscoso equivalente, neste caso, é dado por 
 
 (10.10) 
 
 
onde h é o coeficiente de amortecimento estrutural (ou histerético). Por outro lado, também já definimos o fator de 
amortecimento estrutural como 
 (10.11) 
 
 
logo, podemos obter o ceq em função de β combinando as duas equações acima: 
 
 
ω
βk
c =eq (10.12) 
 
conforme mostra o diagrama de corpo livre da fig. 10.2. Portanto, a equação do movimento é dada por 
 
 )(sen0
...
tFkxx
k
xm ω
ω
β
=++ (10.13) 
 
 Analogamente ao que foi feito para o amortecimento de Coulomb, aqui também a resposta permanente será 
 
 )(sen)(p φω −= tXtx (10.14) 
 
onde a amplitude e o ângulo de fase podem ser obtidos em função de β: A amplitude é obtida a partir de 
 
 
 
( ) ( ) ( )
2
nn
22
0
2
eq
22
0
2
21
1
21
1






+−
=
+−
=
ω
ω
ωω
βς
m
k
r
k
F
rr
k
F
X (10.15) 
 
com 
ωω
β
ω
ω
β
ω
ς
nnn
eq
eq
222 m
k
m
k
m
c
=== (10.16) 
 
 Simplificando a eq. (10.15): 
( ) 222
0
1
1
β+−
=
r
k
F
X (10.17) 
 
 Já o ângulo de fase pode ser obtido a partir de 
 
ω
h
c =eq
k
h
=β
12 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Outros tipos de amortecimento. 12-4 
 












−
=







−
=
2
nn
2
eq
1
2
2
arctg
1
2
arctg
r
m
k
r
r ω
ω
ωω
β
ς
φ (10.18) 
 
 Simplificando: 





−
=
2
1
arctg
r
β
φ (10.19) 
 
 
 A fig. 10.3 representa os gráficos das eqs. (10.17) e (10.19) para vários valores de β: 
 
 
 
Fig. 10.3 Respostas em freqüência do fator de amplificação e do ângulo de fase 
 
 Comparando as respostas em freqüência do amortecimento histerético e do amortecimento viscoso, observamos as 
seguintes diferenças entre ambas: 
 
1. No amortecimento viscoso o valor máximo da amplitude é obtido um pouco abaixo da ressonância; no 
amortecimento histerético ele se dá exatamente na ressonância; 
 
2. No amortecimento viscoso o ângulo de fase é nulo para ω = 0; no amortecimento histerético ele é igual a arctg(β). 
 
 
Ex. 10.2 (Rao 3.65) – Uma estrutura deforma-se 0,05 m quando submetida a uma carga estática de 5000 N. Verifica-se que 
uma força harmônica de amplitude 1000 N causa uma amplitude de 0,1 m na ressonância. Determinar: 
 
(a) fator de amortecimento estrutural; 
(b) energia dissipada por ciclo na ressonância; 
(c) amplitude da resposta permanente na freqüência de 1/4 da freqüência de ressonância; 
(d) amplitude da resposta permanente na freqüência de 1/3 da freqüência de ressonância. 
 
Solução 
 
(a) 5
es
10
05,0
5000
===
t
W
k
δ
N/m 
 
( ) ( )
1,0
11
1
10
10
1,0
1
1
222
5
3
222
0 =⇒
+−
=⇒
+−
= β
ββr
k
F
X 
 
(b) 2eqπ∆ XcW ω= 
 
12 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Outros tipos de amortecimento. 12-5 
onde 92,713
05,0
81,9
)10)(1,0( 5
===
ω
βk
ceq N.s/m 
 
logo 
 
 
(c) Neste caso, r = 0,25 ⇒ 
( ) ( )
0106,0
1,025,01
1
10
10
1
1
222
5
3
222
0 =
+−
=
+−
=
βr
k
F
X m = 10,6 mm 
 
(d) Neste caso, r = 0,33 ⇒ 
( ) ( )
m 0118,0
1,033,01
1
10
10
1
1
222
5
3
222
0 =
+−
=
+−
=
βr
k
F
X = 11,8 mm 
 
 
10.4 Outros tipos de amortecimento 
 
 Para outros tipos de amortecimento também usamos o mesmo princípio: calculamos um amortecimento viscoso 
equivalente e o substituímos nas equações já obtidas para o amortecimento viscoso, conforme ilustra o exemplo a seguir. 
 
Ex. 10.3 (Rao Ex. 3.7) – Amortecimento quadrático. Achar o coeficiente de amortecimento viscoso equivalente ao 
amortecimento proporcional ao quadrado da velocidade, o qual ocorre no casode sólidos que se movem no interior de um 
escoamento turbulento (caso de automóveis e aviões, p. ex.). 
 
Solução 
 Nesse caso, a força de amortecimento é dada por 
2.
d xaF ±= 
 
onde a = constante de proporcionalidade; 
 
 = velocidade relativa entre o sólido e o fluido. O sinal – (+) deve ser usado quando a velocidade relativa é positiva 
(negativa). 
 
 Energia dissipada por ciclo durante o movimento harmônico dado por x(t) = X senωt: 
 
∫∫
+
−
+
−
==
2/
2/
23
2.
2d2∆
π
π
ωaXxxaW
x
x
cos
3 32
3
8
)(d aXtt ωωω = 
 
 Igualando essa energia à energia dissipada por ciclo no amortecimento viscoso, obtemos o ceq: 
 
Xac ω
π3
8
eq = 
 
 
10.5 Vibração induzida por vórtices 
 
 Quando um fluido escoa ao redor de um sólido ocorre um fenômeno que se caracteriza pela formação de vórtices, 
conhecidos como vórtices de Von Kármán. Um exemplo bastante familiar é o drapejar de uma bandeira em seu mastro. 
Tais vórtices se formam, alternadamente, com sentidos horário e anti-horário a jusante do escoamento, causando o 
surgimento de forças verticais que variam harmonicamente, provocando vibração no sentido vertical. 
 
.
x
J/ciclo 16,314)1,0(
05,0
81,9
)92,713)(π(π∆ 22eq =







== XcW ω
12 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Outros tipos de amortecimento. 12-6 
 
 
Fig. 10.4 Formação de vórtices em torno de um cilindro 
 
 Dados experimentais mostram que essa vibração ocorre principalmente na faixa do Número de Reynolds (Re) de 
60 a 5000, sendo Re dado por 
 
µ
ρVd
Re = (10.20) 
onde ρ = massa específica do fluido, kg/m3; 
 V = velocidade relativa entre fluido e cilindro, m/s; 
 d = diâmetro do cilindro, m; 
 µ = viscosidade dinâmica do fluido, kg/m.s. 
 
 Para Re > 1000, o número de Strouhal (St), cuja expressão é dada abaixo, é praticamente constante e igual a 
0,21. 
 
V
fd
St = (10.21) 
 
onde f é a freqüência de desprendimento dos vórtices. O módulo das forças verticais que variam harmonicamente é dado 
por 
 )(sen
2
1
)(
2
tAVctF f ωρ= (10.22) 
 
onde cf = constante adimensional de forma (cf = 1 para o cilindro); 
 A = área projetada do cilindro perpendicularmente à direção de V, m
2
; 
 ω = 2πf = freqüência angular, rad/s. 
 
 Em geral, F(t) não é grande, sendo bem menor do que a necessária para provocar a falha do material. Entretanto, 
deve-se ter cuidado para que não ocorra ressonância (como no caso da Ponte de Tacoma Narrows), de tal modo que f não 
coincida com a freqüência natural da estrutura. 
 
 
Ex. 10.4 (Rao Ex. 3.10) - Vibração induzida por vórtices em uma chaminé. Uma chaminé de aço tem uma altura de 20 
m, diâmetro interno 0,75 m e diâmetro externo 0,80 m. Calcular a velocidade do vento escoando em torno da chaminé que 
induzirá grande vibração transversal da chaminé na direção do escoamento. A freqüência natural fundamental de uma viga 
cilíndrica engastada e livre, considerada com massa distribuída, é dada por 
 
41
875104,1
Al
EI
ρ
ω = 
 
onde E = módulo de Young do material (aço) = 207 x 10
9
 Pa; 
 ρ = massa específica do material (aço) = 7,798 x 103 kg/m3; 
 I = momento de inércia da seção reta à flexão, m
4
; 
 A = área da seção reta, m
2
; 
 l = comprimento da viga, m. 
Vórtices de Von Kármán 
12 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Outros tipos de amortecimento. 12-7 
Solução 
 
41
875104,1
Al
EI
ρ
ω = 
( ) ( ) 06087,075,080,0
44
2222 =−=−=
ππ
dDA m
2 
 
( ) ( ) 00457,075,080,0
64
π
64
4444 =−=−= dDI
π
 m4 
 
logo 41542,12
)20)(06087,0)(10798,7(
)00457,0)(10207(
875104,1
43
9
1 =
×
×
=ω rad/s ⇒ f1 = 1,976 Hz 
 
 Como 
V
fd
St = = 0,21 
 
então 5275,7
21,0
)80,0)(976,1(
21,0
1 ===
Df
V m/s = 27,1 km/h 
 
 
 
 
 
Questionário 
 
 
1. Cite exemplos de situações em que o amortecimento não é do tipo viscoso, ou seja, a força de resistência não é 
linearmente proporcional à velocidade. 
 
 
 
 
 
2. Qual a estratégia adotada quando a força de resistência não é linearmente proporcional à velocidade? 
 
 
 
 
 
3. Quais as duas principais diferenças entre as respostas em freqüência do amortecimento histerético e do 
amortecimento viscoso? 
 
 
 
 
 
4. Descreva como ocorre o fenômeno da vibração induzida por vórtices. 
 
 
 
 
5. Cite exemplos de vibração induzida por vórtices. 
 
 
 
 
12 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Outros tipos de amortecimento. 12-8 
 
 
Problemas 
 
 
 
10.1 (Rao 3.64) – Um sistema massa-mola (m = 2 kg e k = 2100 N/m) oscila com amortecimento de Coulomb quando 
submetido a uma força senoidal de amplitude 120 N e freqüência 2,517327 Hz. Nessa situação, verifica-se que a amplitude 
da resposta é de 75 mm. Determinar o coeficiente de atrito cinético. 
 
Resp.: 0,1 
 
 
10.2 (Steidel Ex. 7.24) – A massa M = 15 kg está ligada por meio de uma mola k = 1800 N/m a uma estrutura fixa e pode 
deslizar sobre uma mesa horizontal, sendo o coeficiente de atrito cinético µ = 0,2. A massa M possui um rotor 
desbalanceado de massa m = M/4 que gira com uma velocidade angular ω = 100 rad/s. Determinar a amplitude da vibração. 
 
Resp.: 0,4 mm 
 
10.3 (Steidel Ex. 7.23) – Uma estrutura possui rigidez k = 250000 N/m e coeficiente de amortecimento histerético h = 
28650 N/m. Ela é submetida a uma força harmônica ressonante F(t) = F0 senωt. Calcular o fator de amplificação X/( F0/k). 
 
Resp.: 8,73 
 
 
10.4 (Rao 3.73) – O poste de propaganda de um restaurante fast food consiste de um cilindro oco de aço (E = 207 x 109 Pa) 
de altura 10 m, diâmetro externo 25 cm e diâmetro interno 20 cm. Ele está enterrado no solo e possui na extremidade livre 
uma massa de 200 kg e pode ser modelado como uma coluna engastada e livre, com um fator de amortecimento viscoso 
equivalente igual a 0,1. Determinar: 
 
(a) freqüência natural da vibração transversal (lembrar que para a situação de coluna engastada e livre a massa 
equivalente na extremidade livre é dada por meq = m + (33/140)mcoluna); 
(b) velocidade do vento correspondente ao número de Strouhal St = 0,21; 
(c) amplitude da força aerodinâmica atuando sobre o poste; 
(d) amplitude da vibração permanente na ressonância. 
 
Resp.: (a) 1,842 Hz (b) 2,1929 m/s (c) 23,5 N (d) 1,671 mm