Oscilador harmônico simples

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Universidade Federal de São Carlos 
Departamento de Física 
Física Experimental D – Turma B 
 
 
 
 
RELATÓRIO PRÁTICA 01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caio Zuanetti Nogueira ​ R.A: ​633160 
Pedro L. R. Muraolli ​R.A: ​727957 
 
 
 
São Carlos, SP 
17 de Setembro de 2019 
Resumo: 
Na prática 1 oscilações e sistemas ressonantes tivemos 2 objetivos:o 
primeiro foi estudar os diferentes tipos de oscilações dentro de um sistema 
mecânico e o segundo determinar a densidade linear de uma corda através de seus 
modos normais de vibração. 
Para o primeiro objetivo utilizamos um sistema de trilho de ar com um 
“carrinho” que estava acoplado a duas molas e foi colocado para oscilar, a função 
do trilho de ar é diminuir ao máximo o atrito. 
Esse sistema dispunha de um eletroímã que colocava o carrinho para oscilar 
de modo forçado, fazendo com que se comportasse como um oscilador harmônico o 
último passo dessa primeira parte foi acoplar um “vela” ao carrinho para aumentar o 
atrito. 
Nesses casos descritos analisamos amplitude de deslocamento e frequência 
do sistema através da leitura dos dados de um osciloscópio digital, através desses 
dados conseguimos achar a frequência natural e os dados para o gráfico de 
frequência em função da amplitude. 
Para nosso segundo objetivo utilizamos um sistema que nos possibilita 
colocar uma corda\barbante para oscilar, com a corda no sistema fizemos com que 
oscilasse no primeiro segundo e terceiro modos normais de vibrações, na ponta da 
corda havia uma massa que gerava tensão na corda essa massa foi variada entre 5 
valores diferentes. Desse modo conseguimos plotar um gráfico de frequência em 
função da massa e determinar então a densidade linear da corda. De modo a 
comparar resultados medimos o comprimento do barbante com uma trena e a sua 
massa com uma balança, assim foi possível comparar a densidade encontrada com 
o experimento. 
Objetivos: 
Estudar o fenômeno de ressonância em osciladores harmônicos amortecidos 
e forçados. 
Determinar modos normais de vibrações de uma corda e determinar sua 
densidade linear. 
Fundamentos teórico: 
Em física especialmente em mecânica clássica, oscilador harmônico é um 
sistema que quando é deslocado de sua posição de equilíbrio sofre a ação de um 
força restauradora F proporcional ao deslocamento. 
 
Se F for a única força atuando no sistema ele é denominado de oscilador 
harmônico simples, caso haja uma força de amortecimento proporcional a 
velocidade o oscilador harmônico é denominado como oscilador amortecido(OHF). 
Com um sistema massa mola conseguimos estudar características básicas 
de um OHF, algumas dessas características são amplitude de oscilação, frequência 
natural de oscilação ou frequência normal de ressonância e constante de 
amortecimento. 
Temos que a equação do OHF é: x+yẋ+ e sua soluçãox cos(ωt)ω²0 = m
F o 
estacionária é dada por x(t)= Re z(t)= A( )cosω ωt (ω)[ + φ ] 
A expressão da amplitude nos fornece que :
 
A amplitude máxima por sua vez é dada por: 
 
Podemos achar o fator de amplificação se compararmos as duas expressões de 
amplitude, na condição de baixa frequência isso quer dizer , temos ω < ω0 
 
onde Q é o fator de amplificação. 
Material utilizado: 
-Uma corda 
-Uma trena milimetrada 
-Uma balança eletrônica modelo BG 4001 marca GEHAKA 
-Um trilho milimetrado 
-Um vibrador mecânico para a corda 
-Gerador de frequências 
-5 massas diferentes 
-Um osciloscópio digital 
-Um amplificador de voltagem 
-Gerador de funções de ondas 
-Um laser 
-Um detector fotossensível 
Procedimento experimental: 
a. Oscilador harmônico simples, forçado não amortecido e 
amortecido 
● Ligamos o sistema do trilho de ar; 
● Definimos um conjunto de amplitudes iniciais para o sistema oscilar; 
● Observamos os valores lidos pelo osciloscópio; 
● Fizemos uma média desses valores para achar a frequência natural do 
sistema e percebemos que ele se comporta como uma oscilador 
harmônico simples; 
● Ligamos o eletroímã e colocamos o sistema para oscilar forçadamente 
em frequências próximas do valor que achamos para a frequência 
natural; 
● Através do osciloscópio fizemos medidas de amplitude de 
deslocamento em função da frequência e plotamos um gráfico dessas 
duas grandezas, analisando o gráfico conseguimos perceber que o 
sistema se comporta como um oscilador harmônico forçado; 
● A vela foi acoplada ao sistema para aumentar a resistência com o ar, 
ela funciona como um fator de amortecimento, realizamos medidas de 
amplitude de deslocamento em função da frequência e plotamos um 
gráfico dessas duas grandezas. Através do gráfico conseguimos 
perceber que o sistema se comporta como um oscilador harmônico 
forçado amortecido. 
b. 1- Determinação da densidade linear de uma corda 
● Medimos o comprimento da corda com uma trena 
● Medimos a massa da corda com o auxílio da balança 
● Calculamos a densidade através das nossas medidas 
b.2- Método dos modos normais de vibração 
● Medimos o comprimento da corda que oscila no sistema com a trena 
● Definimos 5 valores de massas; 
● Medimos as 5 massas na balança; 
● Escolhemos a primeira massa e colocamos o sistema para oscilar, com o 
objetivo de encontrar os modos normais de vibrações, primeiro, segundo e 
terceiro harmônico; 
● Repetimos o passo anterior para todas as 5 massas diferentes; 
● Plotamos um gráfico de frequência em função da massa e então calculamos 
a densidade linear da corda; 
● comparamos os valores encontrados pelos 2 métodos. 
 
Apresentação dos resultados: 
Na parte da determinação da densidade linear da corda, foi utilizado dois 
métodos, em um deles fez-se medida direta, através do cálculo direto da massa e 
comprimento. No outro modo, uma corda foi presa a um sistema oscilante e em uma 
das pontas foi acoplado uma massa de modo a criar tensão conhecida na corda, a 
densidade linear da corda foi calculada primeiro a partir das medições. 
 
Massa total da corda (7,7 ± 1,0) g 
Comprimento total da corda (143,00 ± 0,05) cm 
Densidade linear da corda (5,38 ± 0,7)g/m 
 
Neste resultado, teve uma incerteza alta devido a balança utilizada, pois 
devido a problemas técnicos estava com incerteza muito alta. 
Colocamos o sistema para oscilar com 5 massas diferentes e nos 3 primeiros 
modos normais de vibração. Sabemos que a frequência para esses modos normais 
de vibrações é diretamente proporcional com a velocidade da onda na corda. 
Sabendo isso plotamos um gráfico com os dados coletados durante o 
procedimento experimental. 
 
Ajustamos as curvas do gráfico baseado nas funções de cada harmônico 
como pode se observar no gráfico. Com esse ajuste é possível calcular a densidade 
linear da corda e assim compararmos com o valor encontrado antes. O valor da 
densidade calculado a partir do gráfico foi de (4,88 ± 0,02) isso nos dá uma 
concordância de 90,7⁒. 
Devido às fontes de incerteza, como a balança que ficava variando o valor 
marcado e como a corda tem uma massa pequena a incerteza da balança é 
relativamente alta, a frequência anotada para cada modo normal de vibração é uma 
estimativa do valor mais próximo ao qual os harmônicos apareciam perfeitamente. 
O segundo sistema analisado foi um sistema massa mola que descrevemos 
no procedimento experimental como trilho de ar e um carrinho suspenso. 
Inicialmente o sistema foi colocado para oscilar em amplitudes conhecidas a 
fim de encontrar os valores de frequência natural de oscilação do sistemacom e 
sem a vela, para então ser possível a coleta de dados do sistema com oscilações 
forçadas próximas a frequência natural do sistema 
Para conseguirmos medidas da frequência de ressonância desse sistema foi 
utilizado um laser, onde a luz do laser passava por uma lente convergente 
chegando até um sensor que era lido pelo osciloscópio, a intensidade desse sinal 
variava em função da posição da lente, e essa variação da intensidade da luz no 
dielétrico, lida no osciloscópio, nos fornecia as informações desejadas. 
Com essa coleta de dados, foi possível fazer um gráfico onde é possível 
fazer uma comparação dos dados teóricos com os dados coletados: 
 
Com os dados coletados, foi possível o cálculo da constante de 
amortecimento para os dois sistema, no sistema sem vela , e 0, 20 , 15)sγ = ( 5 ± 0 0 −1 
no sistema com vela . A utilização desses dados abriu a 0, 44 , 13)sγ = ( 4 ± 0 0 −1 
possibilidade de se comparar dados teóricos com dados anotados. 
Analisando os dados coletados com os dados teóricos, conseguimos obter 
uma concordância de 80,2% com o sistema com maior atrito, e uma concordância 
de 98,8% para o caso do sistema com menor atrito. Essa menor concordância para 
o caso de maior atrito pode ser devido ao mau ajuste do laser ao realizar o 
experimento, o que acarreta uma coleta de dados com um desvio maior do previsto. 
 
 
 
Conclusão: 
O experimento consistia em analisar dois sistemas oscilações a fim de 
encontrar algumas propriedades de ambos sistemas. No primeiro sistema analisado 
buscamos analisar a densidade linear da corda utilizada, no segundo tinhamos 2 
elementos principais a serem analisados, sendo eles a frequência natural do 
sistema e a constante de amortecimento do mesmo em duas situações diferentes. 
Ao analisar os dados obtidos do primeiro sistema tivemos uma incerteza 
relativamente grande para a densidade linear da corda por medida direta, devido a 
problemas com a balança utilizada, porém obteve-se um resultado satisfatório ao 
analisar de maneira indireta devido a melhores precisões dos aparelhos utilizados. 
A segunda parte do experimento, onde foi analisado o carrinho oscilando no 
trilho, não houve problemas para encontrar a frequência natural dos sistema, porém 
ao encontrar as constantes de amortecimento obteve-se um coeficiente maior para 
o sistema com menor atrito, o que não condiz com a teoria. Esse erro foi devido a 
medição errônea, causada provavelmente por condições iniciais diferentes. 
Apêndices: 
Questões: 
1- São exemplos de aplicações ou experimentos em que se aplica o conceito de 
ressonância: 
O processo de ressonância é utilizado em aparelhos com micro-ondas, dentro do 
micro ondas são geradas algumas ondas eletromagnéticas que vibrar perto da 
frequência natural de vibração da água que está presente em alimentos, e como a 
agitação nas moléculas representa temperatura o micro-ondas tem essa 
característica de aquecer o alimento. 
Outro exemplo é o rádio. A sintonização de uma onda eletromagnética de 
frequência específica depende da ressonância do circuito eletrônico com relação a 
essa onda. Tal ressonância pode ser atingida variando a capacitância do circuito. 
2- Uma curta discussão, qualitativa e quantitativa das analogias entre o sistema 
mecânico massa-mola e o sistema com um circuito elétrico RLC. 
A voltagem e a corrente em um circuito LC têm uma freqüência característica de 
oscilação livre e R será o elemento dissipativo da oscilação. A fonte da voltagem 
desempenha o papel de força externa e pode representar o papel de um sinal de 
uma estação de rádio, captado por uma antena e amplificador. A capacitância 
variável C, acoplada ao botão de sintonização do aparelho receptor, permite ajustar 
até que se obtenha ressonância com a freqüência do sinal, o que corresponde a 
estação desejada. 
 
 
Bibliografia: 
1.Resnick R. e D. Halliday. “Fundamentos de Física”, Vol. 2, Livros Técnicos e 
Científicos. Editora Ltda. (1991) 
2. Nussensveig, H. Moysés “Curso de Física Básica: Fluidos, Oscilações e Ondas, 
Calor”,Vol. 2, Edgard Blucher (2002)