2006_Vibrações_Parte_5

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Vibrações
Prof. Airton Nabarrete Pag. 62
6.7 Equações matriciais
O problema abordado no item 6.2 pode ter equações matriciais. Quando o problema se
estende para 2 ou mais graus de liberdade (2 GDL ou MGDL) este procedimento é utilizado
por ser mais prático para resolver o número de incógnitas que existem nas diversas equações
diferenciais. Para o exemplo citado no item 6.2 pode-se escrever as equações dinâmicas :
( ) 02212111 =−++ xkxkkxm ��
( ) 01223222 =−++ xkxkkxm ��
Na forma matricial tem-se:






=












+−
−+
+












0
0
0
0
2
1
322
221
2
1
2
1
x
x
kkk
kkk
x
x
m
m
��
��
As matrizes são designadas como matriz de massa e de rigidez, ou seja,
[ ] [ ] 





+−
−+
=





=
322
221
2
1
0
0
kkk
kkk
e
m
m
KM
Note que as matrizes de massa e de rigidez são simétricas. A equação matricial representa
um sistema elasticamente acoplado, ou seja, não se pode resolver como dois sistemas de
1GDL. Substituindo-se as soluções harmônicas para x1 e x2 na equação matricial, tem-se:
( ) ( )






=












+−
−+
+












−
0
0
sensen
0
0
2
1
322
221
2
1
2
12 t
X
X
kkk
kkk
t
X
X
m
m
ωωω
Ou ainda,
( )






=












−+−
−−+
0
0
sen
2
1
2
2
322
21
2
21 t
X
X
mkkk
kmkk
ω
ω
ω
Para a vibração livre sem amortecimento, na matriz da equação acima fazemos ω = ωn e,
como os deslocamentos não são nulos, o determinante da matriz é igual a zero.
0Det
2
2
322
21
2
21 =





−+−
−−+
mkkk
kmkk
n
n
ω
ω
Assim, o determinante da matriz indicará a equação característica do sistema de 2GDL, que
permitirá calcular as 2 freqüências naturais do sistema.
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7. APLICAÇÕES DE VIBRAÇÃO EM 2GDL
7.1 Absorção dinâmica de vibração
Outro meio de proteger equipamentos de eventuais distúrbios de vibração harmônica em
freqüência constante é o absorvedor dinâmico de vibração. Este é obtido com a combinação
de um segundo sistema massa-mola adicionado ao sistema que está vibrando para diminuir
uma vibração específica. Os valores das propriedades de massa e mola do sistema adicionado
são escolhidos para que o movimento resultante do sistema original seja mínimo. Entretanto,
o sistema adicionado terá um movimento substancial.
m
ka
 x
ma k /2k /2
 xa
F(t)=F0 sen(ω t)
Mesa para
dispositivo de
precisão
Sistema de
absorção da
vibração
Pernas
da mesa
As equações dinâmicas para a mesa com o absorvedor de vibração na forma matricial são:
( )






=












−
−+
+












0
sen
0
0 0 tF
x
x
kk
kkk
x
x
m
m
AAA
AA
AA
ω
��
��
Para a solução de estado estacionário considera-se que os movimentos da massa da mesa e
da massa absorvedora têm a mesma freqüência da força de excitação harmônica.
Assim, as soluções harmônicas para os deslocamentos são:
( ) ( )tXtx ωsen0=
( ) ( )tXtx AA ωsen0=
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A substituição na equação matricial gera a equação abaixo como no item 6.7 :
( ) ( )tFt
X
X
mkk
kmkk
AAAA
AA ωω
ω
ω
sen
0
sen 0
0
2
2






=












−−
−−+
O cancelamento da função harmônica sen(ωt) é permitido e as amplitudes X e X0A são
obtidas após a inversão da matriz dinâmica.












−−
−−+
=






−
0
0
1
2
2
0
F
mkk
kmkk
X
X
AAA
AA
A ω
ω
Revisando a operação de inversão de uma matriz 2 x 2, tem-se :
( ) 




−
−
=→





= −
ac
bd
A
A
dc
ba
A
Det
11
Então,
( )( ) 










−+
−
−−−+
=






0
1 0
2
2
222
0
F
mkkk
kmk
kmkmkkX
X
AA
AAA
AAAAA ω
ω
ωω
A solução para as amplitudes aparece como:
( )
( )( ) ( )( ) 222
0
0222
0
2
AAAA
A
A
AAAA
AA
kmkmkk
FkX
kmkmkk
FmkX
−−−+
=
−−−+
−=
ωωωω
ω
Note que para anular a amplitude X da mesa, pode-se escolher kA e mA , de forma que:
A
A
AA m
kmk =→=− 22 0 ωω
Se o absorvedor de vibração é escolhido para satisfazer a equação acima, o movimento de
estado estacionário da mesa é nulo (X = 0). Desta forma, a amplitude do deslocamento em
estado estacionário do absorvedor é :
( )( ) ( ) ( )tk
Ftx
k
F
kmkk
FkX
A
A
AAA
A
A ωω
sen
0
00
22
0
0 −=→−=−−+
=
Exemplo: Determinar a faixa de freqüência em que é compensador a adição de um
absorvedor de vibração sob uma mesa que alocará um dispositivo de precisão. Considere que
a mesa possui m = 250 kg e os seus pés possuem keq = 100000 N/m. O dispositivo de precisão
possui um motor de rotação que gera uma força de amplitude F0 = 5 N sobre a mesa em
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freqüência próxima à freqüência de ressonância da mesma. Como sugestão, o absorvedor deve
ter no máximo 1% da massa da mesa.
X0p ω( )
F0
k
1
ω
2
ωp
2
−
:=
X ω( )
1
ω
2
ωa
2
−








F0
k
⋅
1 µ
ωa
2
ωp
2
⋅+
ω
2
ωp
2
−








1
ω
2
ωa
2
−








⋅ µ
ωa
2
ωp
2
⋅−








:=
15 17.5 20 22.5 25 27.5 30
0
2 .10 4
4 .10 4
6 .10 4
8 .10 4
X0p ω( )
X ω( )
ω
Resp.: 19,3 rad/s < ω < 20,7 rad/s
7.2 Exercícios Propostos
1) Um equipamento de ar condicionado instalado em uma fábrica tem freqüência de
excitação igual a 15 Hz. Após a montagem do mesmo e início de operação, foi detectado que
ocorre ressonância do mesmo. O equipamento está chumbado em uma viga bi-engastada de
concreto que tem freqüência natural de mesmo valor à freqüência de operação. Um
engenheiro acredita que um absorvedor de vibração seja a melhor solução. Especificar uma
constante de mola equivalente para o absorvedor de vibração cuja massa seja de 10 kg.
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2) No sistema torcional do exemplo 2, do item 6.3, foi determinado as freqüências naturais
do conjunto. Se um momento torcional de valor 5 N.m com freqüência ω= 25 rad/s é aplicado
sobre o disco 2 (J2), determinar as amplitudes angulares de vibração dos discos 1 e 2. Utilizar
o procedimento indicado no item 6.7 para equacionar as matrizes e depois aplicar o vetor de
momentos externos de forma semelhante ao desenvolvido no item 7.1.