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Universidade de Évora 
Engenharia Mecatrónica 
Controlo e Automação II 
 
7. Análise da Resposta Transitória/Estacionária 
 
Na análise e no projecto de sistemas de controlo é necessário comparar as performances dos 
vários sistemas de controlo. Para tal considera-se as respostas do sistema às várias “entradas-
padrão”. As “entradas-padrão mais vulgares” são funções degrau, rampas e impulsos. 
Pode-se considerar que a resposta temporal de um sistema tem duas partes: A resposta 
transitória e a estacionária. A resposta transitória é a resposta que vai do estado inicial ao estado 
final. A reposta estacionária descreve a saída do sistema quando t tende parar infinito. 
Ao projectar-se um sistema de controlo deve ser-se capaz de predizer o comportamento 
dinâmico do sistema a partir do conhecimento dos seus componentes. A mais importante 
característica de um sistema é a estabilidade absoluta, podendo dizer-se que um sistema está 
em equilíbrio se na ausência de qualquer perturbação ou entrada, a saída permanece no mesmo 
estado. 
Um sistema de controlo linear invariante no tempo é estável se a saída volta ao seu estado 
de equilíbrio após o sistema ter sido submetido a uma perturbação. 
Um sistema de controlo linear invariante no tempo é instável se a oscilação da saída 
continua indefinidamente ou se a saída cresce sem limite a partir do estado de equilíbrio 
Na realidade as saídas dos sistemas físicos estão limitadas por dispositivos físicos, caso 
contrário o sistema avaria-se ou o seu comportamento torna-se não linear. 
O comportamento dinâmico do sistema é também descrito pela estabilidade relativa e erro 
estacionário. Como um sistema de controlo físico envolve armazenamento de energia, a saída 
do sistema não segue a entrada imediatamente mas tem um transitório antes de se atingir o 
regime estacionário. 
Os sistemas de controlo podem então caracterizar-se por: 
• Resposta transitória 
• Erro estacionário 
 
 
8. Análise da Resposta Estacionária (Coeficientes de erros estacionários) 
 
Se a resposta do sistema em regime estacionário não segue a entrada, diz-se que o sistema 
tem um erro estacionário. Este erro é um indicador da precisão do sistema de controlo. 
 
Os sistemas podem ter erro nulo para uma determinada entrada e o erro estacionário não 
nulo para outra entrada. O erro depende então da estrutura do sistema. 
Os sistemas podem classificar-se quanto à sua ordem e quanto ao seu tipo. 
• Ordem de um sistema = nº de polos 
• Tipo de um sistema=nº de pólos na origem 
)1)...(1)(1(
)1)...(1)(1(
)()(
21 +++
+++
=
sTsTsTs
sTsTsTK
sHsG
p
N
mba 
 
 À medida que o tipo aumenta, aumenta a precisão, mas em contrapartida, mais difícil 
se torna estabilizar o sistema. Há então um compromisso entre o erro e a estabilidade. 
 
• Teorema do valor final 
Para cálculo do erro estacionário 
)()( limlim
0
ssEteess
st →∞→
== 
Pólo na origem de 
multiplicidade N 
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• Erro estacionário em malha aberta 
Cálculo do erro em regime permanente ou erro estacionário ess(t): 
 
G(s)R(s)Y(s)
)(
)()( =⇔=
sR
sYsG 
Erro= Saída pretendida – Saída real=R(s)-Y(s) ⇒ 
 
E(s)=R(s).(1-G(s)) 
 
 
• Erro estacionário em malha fechada 
 
 
 
É conhecida a sua função de transferência como: 
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
+
= , de onde se pode obter então 
)()(1
)()()(
sHsG
sGsRsC
+
= 
Pode então obter-se a função de transferência entre o sinal do erro e(t) e a entrada r(t) da 
seguinte forma: 
=
+
−=−=
−
=
)(
)()(1
)()()(
1
)(
)()(1
)(
)()()(
)(
)(
sR
sHsG
sGsRsH
sR
sCsH
sR
sCsHsR
sR
sE
 
=
+
−=
+
−=
)()(1
)()(1
)()()()(
)()()(1
sHsG
sHsG
sHsGsRsR
sHsGsR 
)()(1
1
)()(1
)()()()(1
sHsGsHsG
sHsGsHsG
+
=
+
−+
= 
A expressão do erro em malha fechada resulta então em: 
)()(1
)()(
sHsG
sRsE
+
= 
 
• Doravante designaremos: 
o Erro de “posição” por o erro devido a entradas em degrau unitário 
o Erro de “velocidade” por o erro devido a entradas em rampa unitária 
o Erro de “aceleração” por o erro devido a entradas parabólicas. 
 
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8.1. Erro de posição (Kp) – Entrada em degrau 
 
Para uma entrada em degrau unitário (entrada em posição), vem que: 
)()(1
1
)()(1
1
)()(1
)()()(
limlim
limlimlim
00
00
sHsGsHsG
s
s
sHsG
sRsssEteess
ss
sst
+
=
+
=
=
+
===
→→
→→∞→
 
 
define-se o coeficiente de erro de posição Kp, por: 
)()(lim
0
sHsGKp
s→
= 
o erro estacionário de posição é então: 
Kp
ess
+
=
1
1 
 
8.1.1. Erro de posição (Kp) - Sistemas do tipo 0 
k
sTsTsT
sTsTsTK
sHsGKp
p
mba
s
=
+++
+++
==
→ )1)...(1)(1(
)1)...(1)(1(
)()(
210
lim 
 
8.1.2. Erro de posição (Kp) - Sistemas do tipo 1 ou superior 
∞=
+++
+++
==
→ )1)...(1)(1(
)1)...(1)(1(
)()(
210
lim sTsTsTs
sTsTsTK
sHsGKp
p
N
mba
s
, em que N≥1 
 
 
8.2. Erro de velocidade (Kv) – Entrada em rampa 
 
Para uma entrada em rampa unitária (entrada em velocidade), vem que: 
)()(
1
)()(1
1
)()(1
)()()(
limlim
limlimlim
0
2
0
00
sHssGsHsG
s
s
sHsG
sRsssEteess
ss
sst
→→
→→∞→
=
+
=
=
+
===
 
 
define-se o coeficiente de erro de velocidade estático Kv, por: 
)()(lim
0
sHssGKv
s→
= 
o erro de velocidade estático estacionário é então: 
KvsHssGsHssGs
ess
s
s
1
)()(0
1
)()(
1
limlim
0
0
=
+
=
+
=
→
→
 
 
Nota: O “erro de velocidade” não é um erro de velocidade mas sim um erro de 
posição devido a uma entrada em rampa 
 
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8.2.1. Erro de velocidade (Kv) - Sistemas do tipo 0 
0
)1)...(1)(1(
)1)...(1)(1(
)()(
2100
limlim =+++
+++
==
→→ sTsTsT
sTsTsTsK
sHssGKv
p
mba
ss
 
 
8.2.2. Erro de velocidade (Kv) - Sistemas do tipo 1 
K
sTsTsTs
sTsTsTsK
sHssGKv
p
mba
ss
=
+++
+++
==
→→ )1)...(1)(1(
)1)...(1)(1(
)()(
2100
limlim 
 
8.2.3. Erro de velocidade (Kv) - Sistemas do tipo 2 ou superior 
∞=
+++
+++
==
→→ )1)...(1)(1(
)1)...(1)(1(
)()(
2100
limlim sTsTsTs
sTsTsTsK
sHssGKv
p
N
mba
ss
, em que N≥2 
 
 
8.3. Erro de aceleração (Ka) – Entrada parabólica 
Para uma entrada parabólica (entrada em aceleração), vem que: 
)()(
1
)()(1
1
)()(1
)()()(
2
0
3
0
00
limlim
limlimlim
sHsGssHsG
s
s
sHsG
sRsssEteess
ss
sst
→→
→→∞→
=
+
=
=
+
===
 
 
Define-se o coeficiente de erro de aceleração estático Ka, por: 
)()(2
0
lim sHsGsKa
s→
= 
O erro de aceleração estático estacionário é então: 
KasHsGssHsGss
ess
s
s
1
)()(0
1
)()(
1
2
0
22
0 limlim
=
+
=
+
=
→
→
 
 
Nota: O “erro de aceleração” não é um erro de aceleração mas sim um erro de 
posição devido a uma entrada em parábola 
 
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8.3.1. Erro de aceleração (Ka) - Sistemas do tipo 0 
0
)1)...(1)(1(
)1)...(1)(1(
)()(
21
2
0
2
0
limlim =+++
+++
==
→→ sTsTsT
sTsTsTKs
sHsGsKa
p
mba
ss
 
 
8.3.2. Erro de aceleração (Ka) - Sistemas do tipo 1 
0
)1)...(1)(1(
)1)...(1)(1(
)()(
21
2
0
2
0
limlim =+++
+++
==
→→ sTsTsTs
sTsTsTKs
sHsGsKa
p
mba
ss
 
 
8.3.3. Erro de aceleração (Ka) - Sistemas do tipo 2 
K
sTsTsTs
sTsTsTKs
sHsGsKa
p
mba
ss
=
+++
+++
==
→→ )1)...(1)(1(
)1)...(1)(1(
)()(
21
2
2
0
2
0
limlim 
 
8.3.4. Erro de aceleração (Ka) - Sistemas do tipo 3 ou superior 
∞=
+++
+++
==
→→ )1)...(1)(1(
)1)...(1)(1(
)()(
21
2
0
2
0
limlim sTsTsTs
sTsTsTKs
sHsGsKa
p
N
mba
ss
, em que N≥3 
 
 
8.4. Resumo dos erros estacionários 
 
Pode-se resumir o erro estacionário em termos do ganho K conforme descrito na 
seguinte tabela: 
 
 Entrada em degrau
r(t)=1 
Entrada em rampa 
r(t)=t 
Entrada em parábola
r(t)=t2 
Sistema do tipo 0 
K+1
1 ∞ ∞ 
Sistema do tipo 1 0 
K
1 ∞ 
Sistema do tipo 2 0 0 
K
1 
 
Kp → Coeficiente do erro de posição = )()(lim
0
sHsGKp
s→
= 
Kv → Coeficiente do erro de velocidade = )()(lim
0
sHssGKv
s→
= 
Ka → Coeficiente do erro de aceleração = )()(2
0
lim sHsGsKas→
= 
 
• Em regime estacionário, um sistema do tipo 0: 
o Tem um erro finito dado por 
K+1
1 para uma entrada em degrau. É possível 
reduzir este erro fazendo K suficientemente grande, mas nunca se poderá 
anulá-lo completamente. 
o É incapaz de seguir uma entrada em rampa ou parábola. 
 
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• Em regime estacionário, um sistema do tipo 1: 
o Tem um erro nulo para uma entrada em degrau 
o Tem um erro finito dado por 
K
1 para uma entrada em rampa. É possível 
reduzir este erro fazendo K suficientemente grande, mas nunca se poderá 
anulá-lo completamente. 
o É incapaz de seguir uma parábola 
 
• Em regime estacionário, um sistema do tipo 2: 
o Tem um erro nulo para entradas em degrau e rampas. 
o Tem um erro finito dado por 
K
1 para uma entrada em parábola. É possível 
reduzir este erro fazendo K suficientemente grande, mas nunca se poderá 
anulá-lo completamente. 
 
 
8.5. Exercícios práticos – Resposta estacionária 
 
8.5.1. Malha aberta / Malha fechada 
 
Considere os sistemas de controlo (1) em malha aberta e (2) em malha fechada 
representados nas figuras seguintes, em que r(t)=u(t) 
 
 
1
)(
+
=
s
ksG
σ
 
s
sRtutr 1)()()( =⇒= 
 
a) Compare os erros em regime permanente. 
b) Adoptando os valores do ganho de calibração Kc e Kf que tornem mínimos os erros em 
regime permanente (no sistema em malha fechada considere Kf=100/K), compare os 
valores de ess(t) se o parâmetro k sofrer uma variação de 10% (ou seja, k←k+∆k com 
∆k/k=0.1) 
 
 
a) Erros em regime permanente. 
 
Sistema em malha aberta (1) 
)()()( sCsRsE −= 
)(
1
)( sR
s
kkasC
+
=
σ
 
Pelo teorema do valor final 
kka
s
kka
s
sssEess
ss
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−==
→→
1
1
11)( limlim
00 σ
 
 
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Sistema em malha fechada (2) 
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
+
=
 
1
)()(
+
=
s
kk
sHsG f
σ
, tem zero pólos na origem ⇒
 kp
ess
+
=
1
1 , em que 
 kk
s
kk
sHsGkp f
f
ss
=
+
===
→→ 1
)()( limlim
00 σ
 
kkkp
ess
f+
=
+
=
1
1
1
1 
 
 
 
b) Variação do parâmetro k 
 
k←k+∆k, onde ∆k=0.1K (10%) 
Os valores ideais para os ganhos Ka e Kf são aqueles que anulam ou quase anulam o erro em 
regime permanente. Desta forma, os valores ideais para Ka e Kf seriam: 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
∞
=
+
=⇒∞=
=−=−=⇒=
01
1
1
01111
 Kfe Ka de ideais Valores
kkf
esskkf
k
kkkaess
k
ka
 
mas como não é possível ∞=kkf , vamos assumir 
k
kf 100= conforme o enunciado. 
 
Sistema em malha aberta (1) 
1.011)(11 −=∆−−=∆+−=−=
k
k
k
k
k
kkkkaess 
 
Sistema em malha fechada (2) 
009,0
111
1
1.01001001
1
1001001
1
100)(1
1
1
1
==
×++
=
∆
++
=
∆++
=
+
=
k
k
k
k
k
kkkk
ess
f
 
 
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8.5.2. Constantes de erro kp, kv e ka – Sistema do tipo 1 
 
Para o sistema estável da figura, 
 
a) Determine as constantes de erro de posição, velocidade e aceleração kp, kv e ka 
 
⎩
⎨
⎧
++
+
=⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
++
+
=
++
+
=
)45(
)2(4)()(
1)(
)45(
)2(4
45
)2(4)(
2
223
sss
ssHsG
sH
sss
s
sss
ssG
 ⇒ Sistema do tipo 1 
 
 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
→
→
→
)()(
)()(
)()(
2
0
0
0
lim
lim
lim
sHsGsKa
sHssGKv
sHsGKp
s
s
s
 
 
 
 
Num sistema do tipo 1 
 
 ⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
++
+
=
∞=
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
∞=
→→
0
)45(
)2(4
0
)()( 2
00
limlim
Ka
sss
sskv
Kp
Ka
sHssGKv
Kp
ss
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
∞=
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
×
=
∞=
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
++
+
=
∞=
⇒
→ 0
2
0
4
24
0
)45(
)2(4
2
0
lim
Ka
Kv
Kp
Ka
Kv
Kp
Ka
sss
ssKv
Kp
s
 
 
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8.5.3. Constantes de erro kp, kv e ka – Sistema do tipo 2 
 
Para o sistema estável da figura, determine 
 
a) As constantes de erro de posição, velocidade e aceleração kp, kv e ka 
b) O erro em regime permanente ess(t) quando a entrada é 32 2
113)(
sss
sR +−= 
 
a) kp, kv e ka 
⎩
⎨
⎧
+
+
=⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
=
)2(
)1(4)()(
1)(
)2(
)1(4)(
2
2
ss
ssHsG
sH
ss
ssG
 ⇒ Sistema do tipo 2 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
→
→
→
)()(
)()(
)()(
2
0
0
0
lim
lim
lim
sHsGsKa
sHssGKv
sHsGKp
s
s
s
 
Num sistema do tipo 2 
 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
∞=
∞=
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
∞=
∞=
⇒
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+
+
=
∞=
∞=
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
∞=
∞=
→
→
2
2
4
)2(
)1(4)()(
2
2
0
2
0 limlim
Ka
kv
Kp
Ka
kv
Kp
ss
ssKa
kv
Kp
sHsGsKa
Kv
Kp
s
s
 
 
 
b) O erro em regime permanente ess(t) 
3
2
121131
2
11113
2
113)( 3232 RRRssssss
sR +−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=+−= 
)()()()( 321 tesstesstesstess RRRtotal ++= 
 
{ 0)(
degraurEntrada 
2 tipodoSistema 
1 1 =⇒
⎩
⎨
⎧
≡
→ tessR R 
{ 0)(
ramparEntrada 
2 tipodoSistema 
2 2 =⇒
⎩
⎨
⎧
≡
→ tessR R
 
⎩
⎨
⎧
==⇒
⎩
⎨
⎧
≡
→
2
1
anterior)(alinea 
1)(
prEntrada 
2 tipodoSistema 
3 3 ka
tess
arábola
R R 
4
1
2
1
2
10103)()()()( 321 =×+×−×=++= tesstesstesstess RRRtotal 
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8.5.4. Constantes de erro kp, kv e ka – Sistema do tipo 1 
 
Para o sistema da figura, determinar 
 
a) As constantes de erro de posição, velocidade e aceleração kp, kv e ka 
b) O erro em regime permanente ess(t) quando a entrada é )()216()( tuttr += 
 
 
a) kp, kv e ka 
⎩
⎨
⎧
++++
+
=⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
++++
+
=
)102)(3)(1(
)4(12)()(
1)(
)102)(3)(1(
)4(12)(
2
2
sssss
ssHsG
sH
sssss
ssG
 ⇒ 
⇒ Sistema do tipo 1 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
→
→
→
)()(
)()(
)()(
2
0
0
0
lim
lim
lim
sHsGsKa
sHssGKv
sHsGKp
s
s
s
 
Num sistema do tipo 1 
 ⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
++++
+
=
∞=
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
∞=
→→
0
)102)(3)(1(
)4(12
0
)()( 2
00
limlim
Ka
sssss
sskv
Kp
Ka
sHssGKv
Kp
ss
 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
∞=
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
××
×
=
∞=
0
5
8
0
1031
412
Ka
kv
Kp
Ka
kv
Kp
 
 
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b) O erro em regime permanente ess(t) 
2211612116)()()216()( 2 RRss
sRtuttr +=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⇒+= 
)()()( 21 tesstesstess RRtotal += 
 
{ 0)(
degraurEntrada 
1 tipodoSistema 
1 1 =⇒
⎩
⎨
⎧
≡
→ tessR R 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
===⇒
⎩
⎨
⎧
≡
→
8
5
5
8
1
anterior)(alinea 
1)(
ramparEntrada 
1 tipodoSistema 
2 2 kv
tessR R 
4
5
8
52016)()()( 21 =×+×=+= tesstesstess RRtotal 
 
 
9. Análise de resposta transitória 
 
9.1. Sistemas de 1ª ordem 
 
Considerando o sistema de primeira ordem 
 
 
A função de transferência é dada por 
1
1
)(
)(
+
=
TssR
sC
 
1
1)()(
+
=
Ts
sRsC
 
 
 
9.1.1. Resposta de um sistema de 1ª ordem a um impulso unitário 
 
Sendo a transformada de Laplace da impulso unitária 1 
1
1
1
1)()(
+
=
+
=
TsTs
sRsC
 
cuja transformada inversa de Laplace inversa é: 
T
t
e
T
tc
−
=
1)(
 
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( 1 /T).exp(-t/T)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 10 20 30 40 50
EXP(-t/5)/5
EXP(-t/10)/10
EXP(-t/20)/20
 
 
 
9.1.2. Resposta de um sistema de 1ª ordem a um degrau 
 
Sendo a transformada de Laplace do degrau unitário 
s
1
 
11
11
1
1)()(
+
+=
+
=
+
=
Ts
B
s
A
TssTs
sRsC
 
onde: 
1
1
1
0
=
+
=
=sTs
A
 
T
s
B
T
s
−==
−=
1
1
 
fica: 
1
1
1
)(
+
−=
+
+=
Ts
T
sTs
B
s
AsC
 
cuja transformada inversa de Laplace inversa é: 
T
t
etc
−
−= 1)(
 
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10
0
1-exp(-t/5)
1-exp(-t/10)
1-exp(-t/20)
 t=T ⇒ c(t)=0.632 
t=2T ⇒ c(t)=0.865 
t=3T ⇒ c(t)=0.95 
 
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9.1.3. Resposta de um sistema de 1ª ordem a uma rampa 
Sendo a transformada de Laplace da rampa unitária 2
1
s 
s
B
s
B
Ts
A
TssTs
sRsC 22
1
2 11
11
1
1)()( ++
+
=
+
=
+
=
 
onde, desenvolvendo as fracções parciais: 
2
12
1 T
s
A
T
s
==
−= 
TtTsx
x
ts +
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
=
=− 1
1
1
1
)(
)(
1ϕ
ψ
 
 
TB
B
tT
tTTt
-Tt
-TtTtt
−=
=
⇒
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
+
+
−−
+
2
1
22
2
1
0 
 
0
1 1
Tt1 1
 
fica então: 
s
T
sTs
TsC −+
+
= 2
2 1
1
)(
 
cuja transformada inversa de Laplace inversa é: 
T
t
TeTttc
−
+−=)(
 
t-T+Texp(-t/T)
0
10
20
30
40
50
60
0 10 20 30 40 50
t
t-5+5*EXP(-t/5)
t-10+10*EXP(-t/10)
t-20+20*EXP(-t/20)
 
Na entrada de uma rampa, T traduz o erro estacionário 
 
T 
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9.2. Sistemas de 2ª ordem 
 
A função de transferencia típica de um sistema de 2ª ordem em malha fechada apresenta-se 
da seguinte forma: 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛++
=
++
=
++
=
J
k
J
F
J
Fs
J
k
J
F
J
Fs
J
k
J
ks
J
Fs
J
k
kFsJs
k
sR
sC
222
2
2222
)(
)(
 
Os Pólos são complexos se: 
042 <− JkF
 Para a análise da resposta transitória vamos assumir: 
2
nJ
k ω=
 
σζω 22 2 == nJ
F
 
onde 
σ - Atenuação 
ωn – Frequência natural não amortecida 
sistema do ntoamortecime de Razão- 
2 Jk
F
Fc
F
==ζ
 
F – Amortecimento 
Fc – Amortecimento critico 
 
22
2
2)(
)(
nn
n
sssR
sC
ωζω
ω
++
=
 
 
• Se 0<ζ<1 
Os pólos localizam-se no semi plano s esquerdo tal que: 
( )1, 222221 −±−=−±−= ζωζωωωζζω nnnnnss
 Diz-se então que o sistema está subamortecido e a resposta é oscilatória 
• Se ζ=1, o sistema está criticamente amortecido 
• Se ζ>1, o sistema está sobreamortecido 
 
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9.2.1. Resposta de um sistema de 2ª ordem a um degrau 
 
( ) =++=++= 22
2
22
2
22
)()(
nn
n
nn
n
sssss
sRsC
ωζω
ω
ωζω
ω
 
( ) ( ) 222222
1
2
21
dn
n
dn
n
nn
n
ss
s
sss
s
s ωζω
ζω
ωζω
ζω
ωζω
ζω
++
−
++
+
−=
++
+
−=
 
Onde: 
21 ζωω −= nd é a frequência natural amortecida 
( )
te
s
s
L d
t
dn
n n ω
ωζω
ζω ζω cos
22
1 −− =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
+
 
( )
tsene
s
L d
t
dn
d n ω
ωζω
ω ζω−− =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++ 22
1 
fica: [ ]
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
+
−
−== −
−
−
ζ
ζ
ω
ζ
ζω 2
1
2
1 1tan
1
1)()( tsenetcsCL d
tn
, com ( )0≥t 
 A frequência da oscilação transitória é a frequência natural amortecida dω que varia 
com a razão de amortecimento ζ. 
 
 
 
• Sistemas de segunda ordem com o mesmo ζ, mas diferente ωn têm o mesmo 
padrão de oscilação. Diz-se que tais sistemas têm a mesma estabilidade relativa 
• Entre os sistemas que respondem sem oscilação, um sistema criticamente 
amortecido tem a resposta mais rápida. 
• O desempenho característico de um sistema de controlo é normalmente 
especificado em termos da resposta transitória a uma entrada em degrau.. 
 
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Nas características da resposta transitória a um degrau, especifica-se normalmente o 
seguinte: 
 
 
• Tempo de atraso td – É o tempo necessário para a resposta atingir metade do seu 
valor final pela 1ª vez. 
• Tempo de subida tr – É o tempo necessário para a resposta ir de 10% a 90%, 5% 
a 95% ou 0% a 100% do seu valor final. Para sistemas de 2ª ordem 
subamortecidos é usado geralmente o tempo de 0-100%. Para sistemas 
sobreamortecidos usa-se de 10% - 90%. 
 
O tempo de subida pode obter-se através de: 
21 ζω
θπ
−
−
=
n
rt , onde ζθ cos arc= , especifica o angulo de localização de ζ no 
plano s. 
• Coeficiente de amortecimento ζ - Exprime quantitativamente a rapidez de 
amortecimento do termo transitório da resposta temporal. Para um sistema 
dominado por 2 raízes complexas, ζ é o coseno do argumento do nº complexo da 
raiz situada no semi-plano superior. Para alem de se poder extrair directamente 
da equação característica (denominador da função de transferência da malha 
fechada 02
22 =++ nn ss ωζω ), pode também obter-se por: 
..
1
..
1
22
OP
Ln
OP
Ln
+
=
π
ζ
 
 
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• Tempo de Pico, tp - É o tempo para a resposta atingir o 1º pico de overshoot. 
Corresponde a meio ciclo da frequência de oscilação amortecida. É possível ser 
calculado através de: 21 ζω
π
ω
π
−
==
nd
pt
 
• Máximo overshoot percentual, Mp – É o máximo valor de pico da resposta, 
medido a partir da unidade. Se o valor final estacionário da resposta diferir da 
unidade, é comum usar-se o Overshoot máximo percentual, que é definido por: 
21%100
)(
)()(
%100.. ζ
ζπ
−
−
=×
∞
∞−
=×= e
c
ctc
MOP pp
 
A altura do pico máximo (pico de ressonância) pode ser obtida por 
212
1
ζζ −
=rM 
A frequência de ressonância pode obter-se através de 
 
221 ζωω −= nr
 
• Tempo de estabelecimento, ts – É o tempo necessário para a resposta atingir (e 
permanecer) uma gama de valores em torno do valor final, especificada por uma 
percentagem absoluta do valor final (geralmente 5% ou 2%). 
n
s Tt ζωσ
444 === (critério dos 2%) 
n
s Tt ζωσ
333 === (critério dos 5%) 
 
 
 
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9.3. Sistemas de ordem elevada 
 
Genericamente pode-se considerar que se os pólos de C(s) são reais e pares de pólos 
complexos conjugados, pode-se factorizar a equação característica em termos de primeira e 
segunda ordem conforme a equação que se segue: 
 
( )
( ) ( )∏ ∏
∏
= =
=
+++
+
= q
j
r
k
kkkj
m
i
i
sspss
zsk
sC
1 1
22
1
2
)(
ωωζ
 
 
 
Para uma entrada em degrau 
 
Se os pólos em malha fechada forem distintos, o desenvolvimento em fracções parciais 
dá: 
( )
∑∑
== ++
−++
+
+
+=
r
k kkk
kkkkkk
q
j j
j
ss
csb
ps
a
s
asC
1
22
2
1 2
1
)(
ωωζ
ζωωζ
 
 
Comfirma-se que a resposta de um sistema de ordem elevada pode ser composta por termos 
envolvendo funções simples encontradas em sistemas de primeira e segunda ordem. A resposta a 
degrau unitário é então: 
( ) ( )∑∑∑
=
−
=
−
=
− −+−++=
r
k
kk
t
k
r
k
kk
t
k
q
j
tp
j tectebeaatC kkkkj
1
2
1
2
1
1sin1cos)( ζωζω ωζωζ 
• Se todos os pólos em malha fechada estiverem no semi-plano esquerdo s, então 
todos os termos exponenciais assim como sinusoidais amortecidos tendem para 
zero com t e a resposta transitória é então C(∞)=a (altura do degrau). 
• Supondo que o sistema é estável, então os pólos em malha fechada têm partes 
reais negativas grandes. Os termos exponenciais que correspondem a estes pólos 
decaem rapidamente para zero. 
• A distância horizontal de um pólo ao eixo jω determina o tempo de 
estabelecimento dos transitórios devidos a esse pólo. 
• Os pólos devido à entrada R(s) fornecem os termos da resposta estacionária, 
enquanto que os pólos de C(s)/R(s) contribuem para os termos das respostas 
transitórias. 
• A importância relativa dos pólos em malha fechada é determinada pela razão 
entre as partes reais dos pólos e pelas grandezas relativas dos resíduos calculados 
nos pólos em malha fechada. Se as razões entre as partes reais excederem 5 (ou 
10 dependendo do critério), e não existirem zeros na vizinhança, então os pólos 
na proximidade do eixo jω dominarão a resposta transitória. 
• Os pólos em malha fechada que têm efeitos dominantes sobre a resposta 
transitória são designados por pólos dominantes, 
 
 
 
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9.4. Resposta transitória - Exercícios práticos 
 
9.4.1. Sistema de 2ª ordem 
 
Para o sistema da figura sujeito a uma entrada em degrau, verificar se é possível garantir 
simultaneamente o tempo de pico tp não superior a 1 segundo e a percentagem de overshoot não 
superior a 5%. 
Caso não seja possível, qual o valor mínimo de cada uma das especificações para garantir a 
outra? 
 
 
 Resposta) 
• Obtenção da equação característica 
kss
k
sHsG
sG
sR
sC
++
=
+
=
2)()(1
)(
)(
)(
2 
Equação característica 
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒=++⇔=++
1
0202
2
222
n
n
nn
k
kssss
ζω
ω
ωζω 
• Para garantir tp≤1s 
21 ζω
π
ω
π
−
==
nd
pt 
⇒−≤⇒≤
−
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
≤
−⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≤
−
=
111
1
1
11
1
1
1 2
2
2
2
22
ζ
π
ζ
ζ
ζ
πζ
ζ
π
ζω
ζω
π
n
n
tp
 
3,0
1
1
1
11111 222
2
2
2
2 ≤⇒
+
±≤⇒
+
≤⇒≤+⇒−≤ ζ
π
ζ
π
ζ
ζ
π
ζ
π (sempre positivo)
 
• Para garantir P.O. ≤5% (0,05) 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
=
≤= −
−
..
1
..
1
05,0..
22
1 2
OP
Ln
OP
Ln
eOP
π
ζ
ζ
ζπ
 
 
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Se P.O. ≤0,05 ⇒ 
69,0
05,0
1
05,0
1
22
=
+
≥
Ln
Ln
π
ζ 
(ζ é uma função decrescente com oP.O.)
 
→
≥
≤
69,0
3,0
ζ
ζ
Condições impossíveis de garantir simultaneamente
 
 
• Especificação no plano s 
º),(arcOP
º,),(arcst p
3,46690cos 69,0%5.. 2
572300cos 3,01 1
2
1
==⇒≥⇒≤
==⇒≤⇒≤
θζ
θζ
 
 
 
 
 
 
 
 
Que são regiões incompatíveis 
 
• Visualização das curvas 
%8,36..368.0..
1
3,0
1
21 =⇒==⇒
⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒=
−
−
OPeOP
st
n
p
ζ
ζπ
ζω
ζ
 
st
OP
n
p
n
99,2
1
1
69,0
%5..
2
=
−
=⇒
⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒=
ζω
π
ζω
ζ
 
 
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9.4.2. Sistema de 2ª ordem/3ª ordem 
 
Um sistema de 2ª ordem com realimentação unitária é projectado para apresentar uma 
resposta subamortecida a uma entrada em degrau. As especificações do sistema são: 
10%≤P.O. ≤30% e ts≤4 segundos 
 
a) Identificar a área desejada para as raízes dominantes do sistema 
b) Determinar o valor mínimo para uma 3ª raiz (passando a um sistema de 3ª ordem)vse a 
resposta for dominada pelas raízes complexas conjugadas. 
c) Se a função de transferência em malha fechada for de 3ª ordem, determinar a função de 
transferência para obter P.O.=30% e ts=0,4segundos. 
 
st
OP
s 4
%30..%10
≤
≤≤
 
 
a) Área das raízes 
1144 1 −≤−⇒≥⇒≤= nn
n
s st ζωζωζω
 
º9,68)36,0cos( 36,0
..
1
..
1
3030 2 11
22
=⇒=⇒≥⇒
+
≥⇒=≤ θθζ
π
ζ arc
OP
Ln
OP
Ln
.%P.O.
º8,53)59,0cos( 59,0
..
1
..
1
1010 3 22
22
=⇒=⇒≤⇒
+
≤⇒=≥ θθζ
π
ζ arc
OP
Ln
OP
Ln
.%P.O. 
 
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b) Raízes dominantes 
Sistema de 2ª ordem 
Função de transferência em malha aberta 
)2(
2
n
n
ss
G
ζω
ω
+
= 
 
 
Pólos do sistema j
a
acbbs nn
2
2
1
2
4 ζωζω −±−=−±−= 
 
 
Sistema de 3ª ordem 
 
Pólos do sistema
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
−±−=
−±−
=
Ps
j
a
acbbs nn
2
2
1
2
4 ζωζω 
 
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REGRA – Se a 3ª raíz (-P) se situar K vezes mais à esquerda que a parte real dos pólos 
complexos )( nζω− então a resposta total é dominada pelas raízes complexas conjugadas. 
5
10
=
=
K
K
 → 
×→>
×→>
5 de Critério 5
10 de Critério 10
n
n
P
P
ζω
ζω
 
 
 
 
c) Função de transferência de 3ª ordem, P.O.=30% e ts=0,4segundos 
• P.O.=30% ⇒ º9,6836,0
3,0
1
3,0
1
22
=⇒=
+
= θ
π
ζ
Ln
Ln
 
• ts=0,4s ⇒ 
36,0
10104,04 =⇒=⇒== nn
n
ts ωζω
ζω
 
• Nos sistemas de 2ª ordem, a função de transferência em malha aberta é do tipo 
)2(
2
n
n
ss
G
ζω
ω
+
= 
 
Pólos do sistema js nn
21 ζωζω −±−= , neste caso, com ζ=0,36 e 
36,0
10
=nω , implica 
js 9,2510 ±−= 
 
 
 
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• O sistema de 3ª ordem será 
 
Pólos do sistema ( )( )PsssR
Y
nn
n
+++
= 22
2
2 ωζω
ω
, com js
n
9,2510
36,0
10
36,0
±−=⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
ω
ζ
 
Usando por exemplo o critério 10x ⇒ P>100 (=10xζωn), assegura-se que os pólos 
complexos são os dominantes. Ou seja, a resposta do sistema será “insensível” ao terceiro 
pólo. O sistema de 3ª ordem terá uma resposta semelhante à do sistema de 2ª ordem que 
contém apenas os pólos complexos. 
 
 
 
 
9.4.3. Sistema de 2ª ordem 
 
Para a entrada r(t) da figura, esboce, dimensionando os pontos mais importantes (Overshoot 
máximo percentual – PO, Tempo de subida – tr, Tempo de estabelecimento – ts, Tempo de pico, y∞ 
e ymax), a resposta c(t) do sistema. 
 
 
 
 
102
10
10)2(
10
)(
)(
2 ++
=
++
=
sssssR
sY 
A equação característica é: 01022 =++ ss 
 
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Por comparação com o sistema genérico de segunda ordem 
 
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
++
++
16,3
31,0
1
10
2
102
10
2
22
2
2
nn
n
nn
n
ss
ss
ω
ζ
ζω
ω
ωζω
ω
 
 
 
• %09,3535,0..
21 === −
−
ζ
ζπ
eOP 
• sts
n
44 ==
ζω 
• stp
n
05,1
1 2
=
−
=
ζω
π
 
• str
tr
n 63,0
arccos
1 2 =⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
−
=
ζθ
ζω
θπ
 
• 5102
105lim)(lim)(lim 200 =++
===
→→∞→∞ sss
sssYtyy
sst 
• 75,6.).1(5)( =+== OPtpyyMAX