Questões resolvidas
Leia a afirmação: O conjugado de um número complexo z , denotado por z¯, é o número complexo cuja parte real é igual à parte real de z e a parte imaginária é o oposto da parte imaginária de z. Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Considerando a afirmação e os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre números complexos, leia as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
I. ( ) Se para certo número complexo z vale a igualdade z=z¯, então pode-se afirmar que a parte imaginária é igual a zero.
II. ( ) Se para certo número complexo vale a igualdade, então pode-se afirmar que é um número imaginário puro.
III. ( ) Se é um número imaginário puro, então o produto de seu conjugado é um número imaginário puro.
A V-V-F
B V-F-F
C V-F-V
D F-V-F
E F-F-V
Leia o fragmento de texto: “Sejam r e θ as coordenadas polares do ponto (x,y) que corresponde a um número complexo z=x+iy não nulo. Como x=rcosθ e y=rsenθ podemos escrever o número z em forma polar como z=r[cosθ+isenθ]”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: BROWN, J.W.; CHURCHILL, R.V. Variáveis Complexas e Aplicações. 9ª ed. New York: McGraw-Hill, 2015. p. 17.
Considerando fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre forma polar de números complexos, relacione cada número complexo z com os valores corretos de r e θ (0<θ≤2πrad) para a forma polar z=r[cosθ+isenθ] deste número complexo:
1. z=√3+3i
2. z=−1+i√3
3. z=6+6ii
4. z=6+i2√3
5. z=−3−i√3
( ) r=4√3 e θ=π/6rad.
( ) r=6√2 e θ=π/6rad
( ) r=2√3 e θ=π/3rad
( ) r=2 e θ=2π/3rad
( ) r=2√3 e θ=7π/6rad
Leia o texto: Geralmente em textos acadêmicos um número complexo é apresentado em sua forma algébrica x+yi, porém também é comum representar tais números como um par ordenado de números reais da forma (x,y), onde o primeiro número representa a parte real e o segundo a parte imaginária do número complexo. Tal representação permite visualizar números complexos como pontos em um plano cartesiano. Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Considerando as informações do texto e os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre plano complexo, leia as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
I. ( ) O módulo ou valor absoluto de um número complexo z=(x,y) representa a distância do ponto (x,y) para a origem do sistema de coordenadas.
II. ( ) O módulo de certo número complexo z é igual ao módulo de seu conjugado z¯ se, e somente se, vale a igualdade z=z¯.
III. ( ) Dados dois números complexos z1=(x1,y1) e z2=(x2,y2), a distância no plano cartesiano do ponto (x1,y1) para o ponto (x2,y2) é igual ao módulo do número complexo z1−z2.
A V-V-F
B V-F-F
C V-F-V
D F-F-V
E F-V-F
Leia a passagem de texto: “Dizemos que um conjunto aberto é conexo se quaisquer dois de seus pontos podem ser ligados por um arco todo contido no conjunto. [...] Diz-se que um conjunto C é limitado se existe um número positivo K tal que |z| ≤ K| para todo z em C. Chama-se conjunto compacto a todo conjunto limitado e fechado”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Ávila, Geraldo. Variáveis Complexas e Aplicações. 3ª ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2000, p. 28.
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre conjuntos de pontos no plano complexo, leia as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
I. ( ) O conjunto dos pontos z no plano complexo que satisfazem a inequação [Im(iz)]2 < 3 é aberto, conexo e limitado.
II. ( ) O conjunto dos pontos z no plano complexo que satisfazem a inequação |z+2−i | < 2 é aberto, conexo e limitado.
III. ( ) Existe ao menos um conjunto não vazio de pontos no plano complexo que é simultaneamente aberto e fechado.
A V - V - F - F
B V - F - F - V
C F - V - V - F
D F - V - V - V
E F - F - F - V
irmativas verdadeiras e (F) para as falsas: I. ( ) É possível verificar que o módulo da parte real do número z é igual a 1/2. II. ( ) É possível verificar que o módulo da parte imaginária do número z é igual a 1/2. III. ( ) É possível verificar que o módulo da soma da parte real com a parte imaginária do número z é igual a 2. Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
A V - F - F
B F - V - F
C F - F - V
D V - V - F
E F - V - V
Atente para o texto: A forma polar z=r[cosθ+isenθ] de um número complexo facilita a similaridade de tais números como pontos no plano complexo, além de ser útil para a simplificação do cálculo da multiplicação e divisão entre números complexos. Dados dois números complexos z1=r1.[cosθ1+isenθ1] e z2=r2[cosθ2+isenθ2], o produto entre eles pode ser realizado da seguinte forma: z1z2=r1r2[cosθ1+isenθ1][cosθ2+isenθ2]. Utilizando as fórmulas trigonométricas para seno e cosseno da soma de ângulos, obtemos a expressão: z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2)]. Essa forma de calcular o produto (multiplicação) entre dois números complexos pode ser generalizada e utilizada para o cálculo de potências inteiras de um número complexo z.
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre a forma polar de números complexos, assinale a alternativa que apresenta o número z que torna verdadeira a igualdade:
A z=−i.
B z=−1 io.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: J.W. Brown and R.V. Churchill, Variáveis Complexas e Aplicações, 9ª ed. New York: McGraw-Hill, 2015. p. 33. Considerando tais informações, os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre conjuntos de pontos no plano complexo, denotando por Sc o complementar de um conjunto S e dados os conjuntos: A={z∈C;[Im(z)]2>2} B={z∈C;|z−1|<3} m disco aberto centrado no ponto z=1 e com raio igual a 3. O conjunto D é um disco aberto centrado no ponto z=3 e com raio igual a 2. Logo os três conjuntos são abertos.
A afirmativa I é verdadeira, pois (A∪B)C∩DC=(A∪B∪D)C, como a união de conjuntos abertos é um conjunto aberto, temos que o complementar de A∪B∪D é fechado (livro-base, p. 25). A afirmativa II é verdadeira, pois (AC∪BC)C∪D, como a união e interseção finita de abertos é um aberto (livro-base, p. 25), temos (AC∪BC)C∪D aberto. A afirmativa III é falsa, pois AC−B−D é claramente não conexo e não aberto, logo não é domínio. A afirmativa IV é falsa, pois [B−(B∩D)]∪[D−(B∩D)] é aberto, mas não é conexo, logo não é domínio.
B V - V - F - V
C V - F - F - F
D F - V - F - V
E F - F - F - V
Leia a passagem de texto: “Dizemos que um conjunto aberto SS é conexo se quaisquer dois de seus pontos podem ser ligados por uma linha poligonal consistindo em um número finito de segmentos de reta justapostos inteiramente contidos em SS.[...] Um conjunto aberto não vazio e conexo é denominado domínio. Observe que qualquer vizinhança é um domínio”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: J.W. Brown and R.V. Churchill, Variáveis Complexas e Aplicações, 9ª ed. New York: McGraw-Hill, 2015. p. 33.
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre conjuntos de pontos no plano complexo, leia as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
I. ( ) O conjunto dos pontos z, no plano complexo, que satisfazem a inequação [Re(iz)]2>2 não é um domínio, pois este conjunto não é conexo.
II. ( ) O conjunto dos pontos z, no plano complexo, que satisfazem a inequação |z−3+2i|≤1não é um domínio, pois este conjunto não é aberto.
III. ( ) O conjunto dos pontos zz, no plano complexo, que satisfazem a inequação |z+1+i|<2 não é um domínio, pois este conjunto não é conexo.
A V - V - F
B V - F - F
C V - F - V
D F - F - V
E F - V - F
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: J.W. Brown and R.V. Churchill, Variáveis Complexas e Aplicações, 9ª ed. New York: McGraw-Hill, 2015. p. 52. Considerando tais informações e os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre a continuidade de uma função complexa, analise as afirmativas a seguir:
I. Toda função polinomial complexa é contínua em todo o plano complexo. II. Toda função racional complexa é contínua em todo o plano complexo. III. Dada uma região fechada e limitada R, se a função complexa f é contínua em R, então f é limitada em R.
A I
B II
C I e II
D I e III
E II e III
Atente para a afirmação: Para que não seja necessário decorar as definições das operações com números complexos, pode-se lembrar de algumas propriedades operatórias de tal conjunto numérico. Propriedades como comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e a lei distributiva facilitam os cálculos envolvendo números complexos.
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre operações com números complexos, analise as afirmativas a seguir e assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as afirmativas falsas:
I. ( ) As operações de adição, multiplicação e divisão de números complexos possuem a propriedade comutativa.
II. ( ) As operações de adição e multiplicação de números complexos possuem a propriedade associativa.
III. ( ) As operações de adição e multiplicação de números complexos admitem elementos neutros. Sendo 0 o elemento neutro da soma e 1 o elemento neutro da multiplicação (identidade aditiva e identidade multiplicativa, respectivamente).
A V - F - F
B F - V - F
C F - F - V
D V - F - V
E F - V - V
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APOL 1 - Tópicos de Análise Complexa
Questão 1 - Tópicos de Análise Complexa
Leia a afirmação:
O conjugado de um número complexo z , denotado por z¯, é o número complexo cuja
parte real é igual à parte real de z e a parte imaginária é o oposto da parte imaginária
de z.
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Considerando a afirmação e os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à Análise
Complexa com Aplicações sobre números complexos, leia as afirmativas a seguir e
marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
I. ( ) Se para certo número complexo z vale a igualdade z=z¯, então pode-se afirmar que
a parte imaginária é igual a zero.
II. ( ) Se para certo número complexo vale a igualdade, então pode-se afirmar que é um
número imaginário puro.
III. ( ) Se é um número imaginário puro, então o produto de seu conjugado é um número
imaginário puro.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Nota: 10.0
A V-V-F
B V-F-F
Você acertou!
Se z=z¯, pela definição de conjugado (livro-base, p. 4), temos que z é um número real, logo sua parte imaginária é igual a zero. Sendo um número
real, z não pode ser um número imaginário puro, logo a afirmativa I é verdadeira e a II é falsa. Se z é um imaginário puro, temos que o número zz é igual
ao quadrado da parte imaginária de z, logo é um número real e, portanto, não imaginário puro. Assim a afirmativa III é falsa e a sequência correta é V – F
– F.
C V-F-V
D F-V-F
E F-F-V
Questão 2 - Tópicos de Análise Complexa
Questão 3 - Tópicos de Análise Complexa
Questão 4 - Tópicos de Análise Complexa
Leia o fragmento de texto:
“Sejam r e θ as coordenadas polares do ponto (x,y) que corresponde a um número
complexo z=x+iy não nulo. Como x=rcosθ e y=rsenθ podemos escrever o número
z em forma polar como z=r[cosθ+isenθ]”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: BROWN, J.W.;
CHURCHILL, R.V. Variáveis Complexas e Aplicações. 9ª ed. New York: McGraw-Hill, 2015. p. 17.
Considerando fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Curso
Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre forma polar de
números complexos, relacione cada número complexo z com os valores corretos
de r e θ (0<θ≤2πrad) para a forma polar z=r[cosθ+isenθ] deste número complexo:
1. z=√3+3i
2. z=−1+i√3
3. z=6+6ii
4. z=6+i2√3
5. z=−3−i√3
( ) r=4√3 e θ=π/6rad.
( ) r=6√2 e θ=π/6rad
( ) r=2√3 e θ=π/3rad
( ) r=2 e θ=2π/3rad
( ) r=2√3 e θ=7π/6rad
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Nota: 10.0
A 5 - 3 - 4 - 1 - 2
B 5 - 3 - 2 - 1 - 4
C 4 - 5 - 1 - 2 - 3
D 4 - 3 - 1 - 2 - 5
E 3 - 5 - 2 - 1 - 4
Questão 5 - Tópicos de Análise Complexa
Leia o texto:
Geralmente em textos acadêmicos um número complexo é apresentado em sua
forma algébrica x+yi, porém também é comum representar tais números como um
par ordenado de números reais da forma (x,y), onde o primeiro número representa
a parte real e o segundo a parte imaginária do número complexo. Tal
representação permite visualizar números complexos como pontos em um plano
cartesiano.
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Considerando as informações do texto e os conteúdos do livro-base Curso
Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre plano complexo, leia as
afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
I. ( ) O módulo ou valor absoluto de um número complexo z=(x,y) representa a
distância do ponto (x,y) para a origem do sistema de coordenadas.
II. ( ) O módulo de certo número complexo z é igual ao módulo de seu
conjugado z¯ se, e somente se, vale a igualdade z=z¯.
III. ( ) Dados dois números complexos z1=(x1,y1) e z2=(x2,y2), a distância no
plano cartesiano do ponto (x1,y1) para o ponto (x2,y2) é igual ao módulo do
número complexo z1−z2.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
A V-V-F
B V-F-F
C V-F-V
A afirmativa I é verdadeira, pois o módulo de um número complexo é exatamente a distância do ponto que o representa até a
origem (livro-base, p. 8). A afirmativa II é falsa, pois o módulo de um número imaginário é sempre igual ao módulo de seu
conjugado, mesmo quando não vale a igualdade z=z¯, isso fica claro pela definição de conjugado (livro-base, p. 4). A afirmativa
III é verdadeira, pois o módulo do número complexo z1−z2 é exatamente a distância entre os pontos que
representam z1 e z2 (livro-base, p. 9).
D F-F-V
E F-V-F
Questão 6 - Tópicos de Análise Complexa
Questão 7 - Tópicos de Análise Complexa
Questão 8 - Tópicos de Análise Complexa
Questão 9 - Tópicos de Análise Complexa
Questão 10 - Tópicos de Análise Complexa
Questão 11 - Tópicos de Análise Complexa
Atente para o trecho de texto:
Embora as definições de limite de uma função em análise real e análise complexa
sejam muito parecidas, a verificação de existência ou não de um limite em análise
complexa é mais trabalhosa. Para funções de uma variável real basta verificar se
os limites laterais existem e coincidem, porém para funções de uma variável
complexa (assim como para funções de duas ou mais variáveis reais) há uma
infinidade de caminhos a serem verificados. Este fato torna tal verificação útil
apenas para provar a não existência de limites quando é possível encontrar dois
caminhos pelos quais o limite não coincide.
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Questão 12- Tópicos de Análise Complexa
Leia o extrato de texto:
“Sejam r e θ as coordenadas polares do ponto (x,y) que corresponde a um número
complexo z=x+iy não nulo. Como x=r.cosθ e y=r.senθ, podemos escrever o
número z em forma polar como z=r.[cosθ+isenθ]”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: BROWN, J.W.;
CHURCHILL, R.V. Variáveis Complexas e Aplicações. 9ª ed. New York: McGraw-Hill, 2015. p. 17.
Considerando o extrato e texto e os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à
Análise Complexa com Aplicações sobre forma polar de números complexos,
assinale a alternativa que apresenta os valores corretos de r e θ para a forma
polar r[cosθ+isenθ] do número complexo z=3+i√3:
Nota: 10.0
A r=√3 e θ=60°.
B r=2√3 e θ=30°.
Você acertou!
A forma polar (livro-base, p. 13) do número z=3+i√3 é 2√3[cos(30°)+isen(30°)], logo r=2√3 e θ=30°.
Para chegar a tal conclusão basta calcular o módulo de z que é igual a 2√3 e colocar este valor em evidência na expressão de z, então se vê que o
argumento (ângulo) deve ser 30°
C r=2√3 e θ=60°.
D r=√3 e θ=30°.
E r=3√3 e θ=45°.
Questão 13 - Tópicos de Análise Complexa
Questão 14 - Tópicos de Análise Complexa
Questão 15 - Tópicos de Análise Complexa
Questão 16 - Tópicos de Análise Complexa
Leia a passagem de texto:
“Dizemos que um conjunto aberto é conexo se quaisquer dois de seus pontos
podem ser ligados por um arco todo contido no conjunto. [...] Diz-se que um
conjunto C é limitado se existe um número positivo K tal que |z| ≤ K| para todo
z em C. Chama-se conjunto compacto a todo conjunto limitado e fechado”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Ávila, Geraldo. Variáveis
Complexas e Aplicações. 3ª ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2000, p. 28.
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Curso
Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre conjuntos de pontos no
plano complexo, leia as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F
para as falsas.
I. ( ) O conjunto dos pontos z no plano complexo que satisfazem a
inequação [Im(iz)]2 < 3 é aberto, conexo e limitado.
II. ( ) O conjunto dos pontos z no plano complexo que satisfazem a inequação|z+2−i | < 2 é aberto, conexo e limitado.
III. ( ) Existe ao menos um conjunto não vazio de pontos no plano complexo que é
simultaneamente aberto e fechado.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Nota: 10.0
A V - V - F - F
B V - F - F - V
C F - V - V - F
Você acertou!
A afirmativa I é falsa, pois pelas definições de conjunto aberto e conexo (livro-base, p. 23) este conjunto é aberto e conexo, mas, pela
definição do elemento base, não é limitado.
A afirmativa II é verdadeira, pois pelas definições de conjunto aberto e conexo (livro-base, p. 23) este conjunto é aberto e conexo, ale disso, é
limitado.
A afirmativa III é verdadeira, pois a totalidade do plano complexo (todo o conjunto dos complexos) é não vazio aberto e fechado.
A afirmativa IV é falsa, pois a totalidade do plano complexo (todo o conjunto dos complexos) é o único conjunto não vazio aberto e fechado,
mas este conjunto é claramente não limitado, logo não é compacto.
D F - V - V - V
E F - F - F - V
Questão 17 - Tópicos de Análise Complexa
Leia o seguinte trecho de texto:
Ao trabalhar com computação gráfica e figuras em vetores, muitas vezes é
necessário realizar em imagens, transformações que não alterem certos aspectos
da imagem original. Algumas das características que podemos desejar manter são
a forma de objetos e a distância entre pontos. Pensando do plano em que uma
imagem esta contida como sendo o plano complexo, uma transformação que
mantém inalterada a distância entre quaisquer dois pontos é comumente chamada
de isometria de sobre ele mesmo. Formalmente diz-se que a função f:C→C é uma
isometria se, para qualquer par de pontos z1 e z2, vale a igualdade
|z1−z2|=|f(z1)−f(z2)|.
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Curso
Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre transformações no
plano complexo, assinale a alternativa que apresenta apenas funções que são
isometrias:
Nota: 0.0
Questão 18 - Tópicos de Análise Complexa
Leia a passagem de texto:
Pela maneira como as operações de adição e multiplicação de números
complexos são definidas, existem expressões válidas para números complexos
z1,z2 e z3 arbitrários. Estas expressões facilitam cálculos ou demonstram
propriedades deste conjunto numérico.
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Curso
Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre números complexos,
relacione as expressões a seguir com o nome pelo qual elas são conhecidas.
1. z1z2=z2z1
2. z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3
3. z1(z2z3)=(z1z2)z3
4. |z1+z2|≤|z1|+|z2|
5. z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
( ) Lei associativa para a multiplicação.
( ) Lei associativa para a adição.
( ) Lei comutativa para a multiplicação.
( ) Lei distributiva da multiplicação em relação a adição.
( ) Desigualdade triangular.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Nota: 10.0
A 1 - 3 - 4 - 5 - 2
B 5 - 2 - 1 - 3 - 4
C 2 - 4 - 1 - 5 - 3
D 3 - 2 - 1 - 5 - 4
Você acertou!
Pelas expressões apresentadas no livro base vê-se que a ordem correta é 3 – 2 – 1 – 5 – 4, as leis associativas para
multiplicação e adição, lei comutativa para a multiplicação e distributiva são propriedades básicas de operações com números
complexos (livro-base, p. 3). A desigualdade triangular pode ser deduzida via definição de módulo de um número complexo, mas
também tem uma interpretação geométrica com a qual os alunos devem estar familiarizados (livro-base, p. 9).
E 3 - 2 - 5 - 1 - 4
Questão 19 - Tópicos de Análise Complexa
Atente para a afirmação:
O conjugado de um número complexo z, denotado por ¯z, é o número complexo
cuja parte real é igual à parte real de z e a parte imaginária é o oposto da parte
imaginária de z.
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Considerando tal afirmação e os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à
Análise Complexa com Aplicações sobre números complexos e que para certo
número complexo z fixado vale a igualdade, analise as afirmativas a seguir e
assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas:
I. ( ) É possível verificar que o módulo da parte real do número z é igual a 1/2.
II. ( ) É possível verificar que o módulo da parte imaginária do número z é igual a
1/2.
III. ( ) É possível verificar que o módulo da soma da parte real com a parte
imaginária do número z é igual a 2.
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
A V - F - F
Realizando simplificações e utilizando produtos notáveis vemos que , logo
Pela definição do complexo conjugado temos que o valor da expressão z+¯z é igual a duas vezes o valor da parte real de z.
Portanto, a parte real de z é igual a ±1/2, logo seu modulo é 1/2, fazendo verdadeira a afirmação I.
As afirmativas II e III são falsas, pois pela expressão dada não é possível obter informações sobre a parte imaginária do
número z ou sobre a soma das partes real e imaginária. (livro-base, p. 4).
B F - V - F
C F - F - V
D V - V - F
E F - V - V
Questão 20 - Tópicos de Análise Complexa
Atente para o texto:
A forma polar z=r[cosθ+isenθ] de um número complexo facilita a similaridade de
tais números como pontos no plano complexo, além de ser útil para a
simplificação do cálculo da multiplicação e divisão entre números complexos.
Dados dois números complexos z1=r1.[cosθ1+isenθ1] e z2=r2[cosθ2+isenθ2], o
produto entre eles pode ser realizado da seguinte forma:
z1z2=r1r2[cosθ1+isenθ1][cosθ2+isenθ2].
Utilizando as fórmulas trigonométricas para seno e cosseno da soma de ângulos,
obtemos a expressão:
z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2)].
Essa forma de calcular o produto (multiplicação) entre dois números complexos
pode ser generalizada e utilizada para o cálculo de potências inteiras de um
número complexo z.
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Curso
Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre a forma polar de
números complexos, assinale a alternativa que apresenta o número z que torna
verdadeira a igualdade
A z=−i.
B z=−1
C z=6i
D z=−4−3i
E z=4
Questão 21 - Tópicos de Análise Complexa
Atente para a passagem de texto:
“Dizemos que um conjunto aberto SS é conexo se quaisquer dois de seus pontos
podem ser ligados por uma linha poligonal consistindo em um número finito de
segmentos de reta justapostos inteiramente contidos em S. [...] Um conjunto
aberto não vazio e conexo é denominado domínio. Observe que qualquer
vizinhança é um domínio”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: J.W. Brown and R.V.
Churchill, Variáveis Complexas e Aplicações, 9ª ed. New York: McGraw-Hill, 2015. p. 33.
Considerando tais informações, os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à
Análise Complexa com Aplicações sobre conjuntos de pontos no plano
complexo, denotando por Sc o complementar de um conjunto S e dados os
conjuntos:
A={z∈C;[Im(z)]2>2}
B={z∈C;|z−1|<3}
D={z∈C;|z−3|<2}
Leia as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
I. ( ) O conjunto (A∪B)C∩DC é fechado.
II. ( ) O conjunto (AC∪B)C∩DC é aberto.
III. ( ) O conjunto AC−B−D é um domínio.
IV.( ) O conjunto [B−(B∩D)]∪[D−(B∩D)] é um domínio.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
A V - V - F - F
O conjunto A é formado por dois semiplanos sem as fronteiras, que são as retas z=i√2 e z=−i√2.
O conjunto B é um disco aberto centrado no ponto z=1 e com raio igual a 3.
O conjunto D é um disco aberto centrado no ponto z=3 e com raio igual a 2.
Logo os três conjuntos são abertos.
A afirmativa I é verdadeira, pois (A∪B)C∩DC=(A∪B∪D)C, como a união de conjuntosabertos é um conjunto aberto, temos que o
complementar de A∪B∪D é fechado (livro-base, p. 25).
A afirmativa II é verdadeira, pois (AC∪BC)C∪D, como a união e interseção finita de abertos é um aberto (livro-base, p. 25),
temos (AC∪BC)C∪D aberto.
A afirmativa III é falsa, pois AC−B−D é claramente não conexo e não aberto, logo não é domínio.
A afirmativa IV é falsa, pois [B−(B∩D)]∪[D−(B∩D)] é aberto, mas não é conexo, logo não é domínio.
Algumas das propriedades usadas na resolução desta questão não são citadas explicitamente no livro-base, mas decorrem
diretamente de definições apresentadas no livro.
B V - V - F - V
C V - F - F - F
D F - V - F - V
E F - F - F - V
Questão 22 - Tópicos de Análise Complexa
Leia a passagem de texto:
“Dizemos que um conjunto aberto SS é conexo se quaisquer dois de seus pontos
podem ser ligados por uma linha poligonal consistindo em um número finito de
segmentos de reta justapostos inteiramente contidos em SS.[...] Um conjunto
aberto não vazio e conexo é denominado domínio. Observe que qualquer
vizinhança é um domínio”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: J.W. Brown and R.V.
Churchill, Variáveis Complexas e Aplicações, 9ª ed. New York: McGraw-Hill, 2015. p. 33.
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Curso
Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre conjuntos de pontos no
plano complexo, leia as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F
para as falsas.
I. ( ) O conjunto dos pontos z, no plano complexo, que satisfazem a
inequação [Re(iz)]2>2 não é um domínio, pois este conjunto não é conexo.
II. ( ) O conjunto dos pontos z, no plano complexo, que satisfazem a inequação
|z−3+2i|≤1não é um domínio, pois este conjunto não é aberto.
III. ( ) O conjunto dos pontos zz, no plano complexo, que satisfazem a inequação
|z+1+i|<2 não é um domínio, pois este conjunto não é conexo.
A V - V - F
A afirmativa I é verdadeira, pois o conjunto em questão é aberto (livro-base, p. 23) e não vazio, mas não é conexo, logo não é domínio.
A afirmativa II é verdadeira, pois o conjunto em questão é conexo e não vazio, mas não é aberto (livro-base, p. 23), logo não é domínio.
A afirmativa III é falsa, pois o conjunto em questão é um domínio, ou seja, é aberto conexo e não vazio.
B V - F - F
C V - F - V
D F - F - V
E F - V - F
Questão 23 - Tópicos de Análise Complexa
Leia o seguinte trecho de texto:
“Uma função f é contínua em um ponto z0 se as três condições seguintes
estiverem satisfeitas: (1) limz→z0f(z) existe, (2) f(z0) existe, (3) limz→z0f(z0). Observe
que a afirmação (3) realmente contém as afirmações (1) e (2), pois necessitamos
da existência das quantidades de cada lado da equação daquela afirmação. [...]
Uma função de uma variável complexa é dita contínua numa região R se for
contínua em cada ponto de R”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: J.W. Brown and R.V.
Churchill, Variáveis Complexas e Aplicações, 9ª ed. New York: McGraw-Hill, 2015. p. 52.
Considerando tais informações e os conteúdos do livro-base Curso Introdutório à
Análise Complexa com Aplicações sobre a continuidade de uma função
complexa, analise as afirmativas a seguir:
I. Toda função polinomial complexa é contínua em todo o plano complexo.
II. Toda função racional complexa é contínua em todo o plano complexo.
III. Dada uma região fechada e limitada R, se a função complexa f é contínua em
R, então f é limitada em R.
Está correto apenas o que se afirma em:
A I
B II
C I e II
D I e III
A afirmação I. é verdadeira, pois assim como em funções reais, funções complexas polinomiais são contínuas (livro-base, p. 92).
A afirmação II. é falsa, pois assim como em funções reais, funções complexas racionais são contínuas apenas nos pontos que não zeram
seu denominador (livro-base, p. 92).
A afirmação I. é verdadeira, pois assim como em funções reais, funções complexas contínuas sobre uma região fechada e limitada, são
limitadas (livro-base, p. 92).
E II e III
Questão 24 - Tópicos de Análise Complexa
Atente para a afirmação:
Para que não seja necessário decorar as definições das operações com números
complexos, pode-se lembrar de algumas propriedades operatórias de tal conjunto
numérico. Propriedades como comutatividade, associatividade, existência de
elemento neutro e a lei distributiva facilitam os cálculos envolvendo números
complexos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Curso
Introdutório à Análise Complexa com Aplicações sobre operações com
números complexos, analise as afirmativas a seguir e assinale (V) para as
afirmativas verdadeiras e (F) para as afirmativas falsas:
I. ( ) As operações de adição, multiplicação e divisão de números complexos
possuem a propriedade comutativa.
II. ( ) As operações de adição e multiplicação de números complexos possuem a
propriedade associativa.
III. ( ) As operações de adição e multiplicação de números complexos admitem
elementos neutros. Sendo 0 o elemento neutro da soma e 1 o elemento neutro da
multiplicação (identidade aditiva e identidade multiplicativa, respectivamente).
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
A V - F - F
B F - V - F
C F - F - V
D V - F - V
E F - V - V
Você acertou!
A afirmativa I é falsa, pois a operação de divisão de números complexos não possui a propriedade comutativa (livro-base, p. 5).
A afirmativa II é verdadeira, pois as operações de adição e multiplicação de números complexos possuem a propriedade associativa (livro-
base, p. 3). ).
A afirmativa III é verdadeira, pois as operações de adição e multiplicação de números complexos possuem admitem elementos neutros 0 e
1, respectivamente (livro-base, p. 3).Mais conteúdos dessa disciplina
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