PROVA N2 - CÁLCULO AVANÇADO COM NÚMEROS COMPLEXOS

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CÁLCULO AVANÇADO COM NÚMEROS COMPLEXOS
Prova N2
1 - O módulo e o conjugado de um número complexo têm uma relação direta. Para todo número complexo  é possível definir o seu módulo como . Para a função exponencial complexa, essa relação é dada da seguinte maneira: para todo 
Como  obtém-se:
Por fim, como , tem-se que:
.
 
Com base nessas informações e nos conteúdos estudados, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) eFpara a(s) falsa(s).
 
I. ( ) Para quaisquer complexos , 
II. (  ) Se  são tais que  e , .
III. (  ) Para quaisquer complexos , 
IV. (  ) Para quaisquer complexos , 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
2 - Leia o trecho a seguir:
“[...] A função exponencial é definida por .
Primeiramente, observe que  está definida para todo  Além disso, suas componentes são
.
[...] Antes de mais nada, note que se  é real, , então  Por outro lado,
para todo . Como  obtemos ”.
 
SOARES, M. G. Cálculo em uma variável complexa. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009. p. 48-49.
 
Considerando o trecho apresentado, sobre a função exponencial complexa, analise as afirmativas a seguir:
 
 I.   Se  então  e 
II. .
III. Se  é um número imaginário puro qualquer, então 
IV. para 
 
Está correto apenas o que se afirma em:
3 - Leia o excerto a seguir:
“O módulo, o argumento e o conjugado da função exponencial são determinados [...] com facilidade. Se expressarmos o número complexo na forma polar:
veremos que  e , com  Como  é o módulo e , o argumento de , temos:
e
.”
 
ZILL, D. G.; SHANAHAN, P. D. Curso introdutório à análise complexa com aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. p. 133.
 
Com base no apresentado, sobre o módulo, argumento e conjugado de funções exponenciais, assinale a alternativa correta:
4 - Leia o trecho a seguir:
“[...] seja  um conjunto de números complexos e seja  uma lei que faz corresponder, a cada elemento  do conjunto , um único número complexo, que denotamos por . Nestas condições, diz-se que  é uma função com domínio . O conjunto  dos valores , correspondentes a todos os valores de  em , e chamado a imagem de D pela função ”.
 
ÁVILA, G. Variáveis complexas e aplicações. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. p. 34.
 
Com base nessas informações e no conteúdo estudado, assinale a alternativa correta.
5 - Sejam  e  números complexos em sua forma polar. Pela fórmula de De Moivre, sabe-se que  e que  e  são iguais se, e somente se, ,  e .
Com base nessas informações, pode-se notar que uma raiz n-ésimas de um número complexo, dado  é o número não nulo , tal que  Assim, obtém-se que se , então
e
Segue, portanto, que os números complexos que são raízes n-ésimas de são 
 
Sobre as raízes n-ésimas de um número complexo, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I. (  ) As raízes cúbicas complexas de -1 são 1 e -1.
II. (  ) As raízes quadradas de  são  para 
III. (  ) A raiz quadrada complexa de -16 é .
IV. ( ) As raízes cúbicas complexas de 7 são  e .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
6 - Leia o trecho a seguir:
“Se um ponto  for a imagem de um ponto não nulo   do plano finito pela transformação  então, escrevendo, vemos que
Também, por ser  vemos 
O argumento seguinte, que utiliza essas relações entre coordenadas, mostra que a aplicação transforma círculos e retas em círculos e retas”.
 
BROWN, J. W.; CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e aplicações. Porto Alegre: AMGH, 2015. p. 303.
 
Com base nessas informações e no conteúdo estudado, assinale a alternativa correta.
7 - Leia o excerto a seguir:
“Sejam  e  dois números complexos não nulos com representações polares
A representação polar do produto  é
	
	
	
	 
	 
	
	 
	 
	
usando as fórmulas de adição para seno e cosseno.
[...] Faça  no exemplo apresentado e obtenha
Essa igualdade é sugestiva e nos induz a dizer que
qualquer que seja  uma afirmativa verdadeira, conhecida como fórmula de De Moivre”.
 
SOARES, M. G. Cálculo em uma variável complexa. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009. p. 11.
 
Sobre a fórmula de De Moivre, analise as afirmativas a seguir.
 
I.  Se  para algum  então existe um , tal que 
II. Se  e  então .
III. Dado um número complexo  qualquer, com  tem-se que
IV. Dado o número complexo   pertence ao eixo real.
 
Está correto o que se afirma em:
8 - Leia o excerto a seguir:
“[...] a transformação
pode ser escrita como , em que . Assim, se  então
A imagem de um ponto  arbitrário de uma reta vertical  tem coordenadas polares  e  no plano . Essa imagem percorre o círculo mostrado na figura 124 no sentido anti-horário”
Fonte: Brown e Churchill (2015, p. 319).
#PraCegoVer: na imagem, observam-se dois gráficos que representam o plano complexo. O gráfico à esquerda, com representação do plano complexo na variável x e y, contém duas retas, uma vertical, representando a equação , e uma horizontal, que representa o gráfico da equação  O gráfico da direita contém dois gráficos. O primeiro gráfico contém uma circunferência e representa a transformação da reta vertical, apresentada no gráfico à esquerda, em um círculo de raio  O segundo gráfico, que contém uma reta partindo da origem do plano complexo, representa a transformação da reta horizontal, dada no gráfico à esquerda, em uma outra reta, que faz o ângulo de  com o eixo real.
 
BROWN, J. W.; CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e aplicações. Porto Alegre: AMGH, 2015. p. 319.
 
Com base no trecho apresentado anteriormente, sobre a transformação envolvendo a função exponencial complexa, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. ( ) Se as funções complexas  e  são dadas por  e  respectivamente, então a função  e a função  são iguais.
II. (  ) A função exponencial complexa definida por é equivalente à função  em que  e 
III. (  ) Considere a função exponencial complexa definida por .  somente se .
IV. ( ) A origem do plano complexo não pertence ao conjunto.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
9 - Leia o excerto a seguir:
“Dado o número complexo , chamamos ao número real x de parte real de z e ao número real y
de parte imaginária de z, escrevendo:
[...] O valor absoluto ou módulo de um número real x, , é definido como a distância de x a 0, isto é,  Analogamente, definimos o módulo de um número complexo  como a distância, o ponto  a origem  do plano complexo:
”
 
SOARES, M. G. Cálculo em uma variável complexa. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009. p. 7.
 
Quanto à estrutura dos números complexos, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I. ( ) Se , tais que , com  e , então .
II. (  ) Para todo , .
III. (  ) .
IV. (  ) Se , então 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
10 - Leia o trecho a seguir:
“A noção de função complexa envolve naturalmente a consideração de 2 variáveis reais. De fato, em linguagem recorrente, uma função complexa da variável complexa é uma correspondência  que associa ao número  um único número complexo , chamado a imagem de  por , ”.
 
SOARES, M. G. Cálculo em uma variável complexa. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009. p. 34.
 
Considerando o trecho apresentado, sobre a noção de função complexa, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A imagem da função , definida por , é o conjunto dos números reais 
II. Se  é um número complexo qualquer, então a função , definida por , é nula para todo eixo imaginário.
III. A função , definida por , também pode ser definida pela expressão 
IV. A imagem da função , definida por , é o próprio conjunto  
 
Está correto o que se afirma em: