Lista1

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Lista 01 – Álgebra Linear (Prof. Dr. Caritá) 
 
1) Sejam: 𝐴 = (
2 1 0
1 2 1
), 𝐵 = (
0 0 2
6 4 2
) e 𝐶 = (
3 2 0
0 1 0
) matrizes de 𝑀2𝑥3(ℝ). Calcular 
3 (𝐴 −
1
2
𝐵) + 𝐶. 
 
2) Seja 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2×3, em que 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗. Determine 𝑚, 𝑛 e 𝑝 em 
𝐵 = (
𝑚 + 𝑛 3 𝑚 − 2𝑝
𝑛 + 1 𝑛 − 𝑝 5
), a fim de que tenhamos 𝐴 = 𝐵. 
 
3) O traço de uma matriz quadrada 𝐴, denotado por 𝑡𝑟(𝐴), é a soma dos elementos de sua 
diagonal principal. Sendo assim, calcule 𝑡𝑟(𝑋) para: 
a) 𝑋 = (
1 2 7
3 4 8
0 1 3
) 
b) 𝑋 = (
4𝑖 2 − 𝑖 7 + 𝑖
3 + 2𝑖 4 + 𝑖 8 + 2𝑖
0 1 + 3𝑖 3 − 𝑖
) 
 
4) Prove que: 
a) A soma de duas matrizes simétricas é também simétrica. 
b) A soma de duas matrizes anti-simétricas é também anti-simétrica. 
 
5) Verifique que as matrizes seguintes são simétricas: 
a) (
5 1 2
1 6 3
2 3 8
) 
b) (
1 + 2𝑖 2 + 𝑖
2 + 𝑖 3
) 
 
6) Verifique que as matrizes seguintes são anti-simétricas: 
a) (
0 1 −2
−1 0 3
2 −3 0
) 
b) (
0 2 − 𝑖 −3
−2 + 𝑖 0 𝑖
3 −𝑖 0
) 
 
7) Considere as seguintes matrizes de 𝑀3(ℝ): 
𝐴 = (
1 0 0
0 2 0
0 0 4
) e 𝐵 = (
4 0 0
0 2 0
0 0 1
) 
Mostre que 𝐴. 𝐵 = 𝐵. 𝐴. Pode-se concluir daí que é válida a propriedade comutativa da 
multiplicação em 𝑀3(ℝ)? Explique bem sua resposta. 
 
8) A matriz resultante do produto de duas matrizes simétricas é também simétrica? Se sim, 
demonstre. Se não, apresente um contra-exemplo. 
 
9) Calcule 𝐴. 𝐵 onde 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥3, com 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖
𝑗 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)3𝑥2, com 𝑏𝑖𝑗 = 𝑗
𝑖. 
 
10) Mostrar que se 𝐴 = (
2 3
1 4
), então 𝐴2 − 6𝐴 + 5𝐼2 = 02×2 (Matriz Nula). 
 
Rectangle
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 ALIE2 - ECA
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11) Mostre que as matrizes da forma (
1
1
𝑦
𝑦 1
) onde 𝑦 é um número real não nulo, verificam a 
equação 𝑋2 = 2𝑋. 
 
12) Dadas as matrizes 𝐴 = (
cos(𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
−𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃)
), 𝑋 = (
1
1
) e 𝑌 = (
−1
1
), determine os valores de 
𝜃 ∈ ℝ para que 𝐴𝑋 = 𝑌. 
 
13) Considere a matriz complexa 𝐴 = (
𝑖 0
0 𝑖
). Mostre que as potências naturais de 𝐴 são dadas 
por: 𝐴𝑛 = {
𝐼2 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 4𝑘
𝐴 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 4𝑘 + 1
−𝐼2 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 4𝑘 + 2
−𝐴 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 4𝑘 + 3
 onde 𝑘 ∈ ℕ. 
 
14) Considere as matrizes: 𝐴 = (
10 25
2 5
), 𝐵 = (
2 −4 6
5 −9 8
7 −2 1
), 𝐶 = (
1 −3 1
−2 −3 −1
−1 2 −1
), 𝐷 =
(
−5 0 −1
0 0 𝑖
−1 1 − 𝑖 1
) e 𝐸 = (
1 𝑖 0
1 + 𝑖 2 + 𝑖 3 + 2𝑖
−𝑖 0 1
). 
a) Calcule 𝑑𝑒𝑡𝐴 
b) Calcule 𝑑𝑒𝑡𝐵 
c) Calcule 𝑑𝑒𝑡𝐶 
d) Calcule 𝑑𝑒𝑡𝐷 
e) Calcule 𝑑𝑒𝑡𝐸 
f) Verifique se: det(𝐵 + 𝐶) = 𝑑𝑒𝑡𝐵 + 𝑑𝑒𝑡𝐶 
 
15) Calcule o determinante de: 
 
16) Resolver as equações: 
a) |
4 10 − 𝑥
13 − 𝑥 10
| = 0 
b) |
3 2 𝑥
1 −2 𝑥
2 −1 𝑥
| = 8 
c) |
𝑥 − 2 𝑥 + 3 𝑥 − 1
2 1 3
3 2 1
| = 0 
d) |
log8 𝑥 log4 𝑥 log16 𝑥
1 1 1
1 2 2
| = −
3
2
 
e) |
2 −1
𝑥 𝑥
| + |
𝑥 1
5 2
| = |
1 7
−1 2
| 
f) |
−2 −1 
1 𝑥 
0 0
−1 0
 0 0 
 3 0
 𝑥 −1
 0 𝑥
| = |
𝑥 1
13 𝑥
| 
 
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17) Mostre que se |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| = 0, então |
𝑎 𝑏 0
0 𝑑 1
𝑐 0 2
| = 3𝑏𝑐. 
 
18) Se |
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
| = 11, qual é o valor de: 
a) |
𝑎 𝑏 𝑐
2𝑑 2𝑒 2𝑓
3𝑔 3ℎ 3𝑖
| 
b) |
𝑏 𝑎 4𝑐
𝑒 𝑑 4𝑓
ℎ 𝑔 4𝑖
| 
 
19) 𝑃 é uma matriz quadrada de ordem 3, det 𝑃 = 8. Determine o valor de 𝑥, sabendo que 
det(2𝑃) = 2𝑥 + 6. 
 
20) Determine o valor de x para que a matriz seja inversível. 
a) (
4 −3
𝑥 5
) 
b) (
−1 + log3 𝑥 −1
log9 𝑥
2 1
) 
 
21) Verifique quais das seguintes matrizes são inversíveis e determine as inversas respectivas: 
a) 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2×2, onde 𝑎𝑖𝑗 = cos[
(𝑖 + 𝑗)𝜋] 
b) 𝐵 = (
2 7
3 11
) 
c) 𝐶 = (
9 7
5 4
) 
d) 𝐷 = (
−4 −2
−6 −8
) 
e) 𝐸 = (
−3 4 −5
0 1 2
3 −5 4
) 
f) 𝐹 = (
−1 −2 −3
−2 −4 −5
−3 −5 −6
) 
g) 𝐺 = (
0 0 
1 0 
1 1
0 1
 1 1 
 0 2 
1 −1
0 3
) 
 
22) Faça o que se pede: 
a) Seja 𝐴 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) uma matriz inversível de ordem 2. Prove que 
𝐴−1 = (
𝑑
𝑑𝑒𝑡𝐴
−
𝑏
𝑑𝑒𝑡𝐴
−
𝑐
𝑑𝑒𝑡𝐴
𝑎
𝑑𝑒𝑡𝐴
) 
b) Usando o item anterior, calcule a inversa da matriz (
𝑖 2
5 − 8𝑖 1
) 
 
23) Resolva os sistemas abaixo: 
a) {
4𝑥 − 2𝑦 = 1
2𝑥 + 2𝑦 = 11
 
b) {
𝑥 − 𝑦 = 7
4𝑥 + 2𝑦 = 5
 
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c) {
2𝑎 + 𝑏 = 4
5𝑎 + 𝑏 = −6
 
 
24) Resolva por escalonamento: 
a) {
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1
5𝑥 + 8𝑦 + 𝑧 = 6
 
b) {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 4
3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 7
−2𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = −2
 
 
25) Discuta em função de m o sistema: 
a) {
𝑚𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
5𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 7
 
b) {
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
2𝑥 − 𝑚𝑦 − 2𝑧 = 6
3𝑥 + 6𝑦 − 𝑚𝑧 = 2
 
 
26) Solucione o seguinte Sistema de Cramer através método do cálculo da inversa da matriz dos 
coeficientes (Não use a Regra de Cramer!) 
{
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 1
−𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 0
2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 3𝑡 = 1
 
 
27) Usando a Regra de Cramer, solucione os sistemas: 
a) {
4𝑥 + 5𝑦 = −1
2𝑥 + 3𝑦 = 4
 
b) {
𝑥 + 2𝑦 = 5
𝑖𝑥 + (1 + 𝑖)𝑦 = 5𝑖
 
c) {
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 5
−𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = −3
4𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 4
 
d) {
𝑖𝑥 + 4𝑧 = 1
(1 + 𝑖)𝑦 + (2 + 2𝑖)𝑧 = 0
2𝑖𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑖
 
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