Aula 27

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Matemática
Sistemas de Equações
Professor Dudan
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Matemática
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.
 DETERMINADO
 Admite uma única solução
 POSSÍVEL OU COMPATÍVEL 
 quando admite solução 
 SISTEMA INDETERMINADO
 LINEAR Admite infinitas soluções
 
 IMPOSSÍVEL OU INCOMPATÍVEL
 quando não admite solução
Métodos de Resolução
Método da Adição
Definição
Consiste em somar as equações, que podem ser previamente multiplicadas por uma constante, 
com o objetivo de eliminar uma das variáveis apresentadas.
Esse método consiste em multiplicar as equações de maneira que se criem valores "opostos" 
da mesma variável que será eliminada quando somarmos as equações.
Vale ressaltar que nem sempre é necessária tal multiplicação .
 x + 2y = 16
Exemplo: �
 3x – y = 13
Assim, multiplicaremos a segunda equação por 2, logo: 
� x + 2y = 166x - 2y = 26 assim criamos os valores opostos 2y e – 2y.
Agora somaremos as 2 equações, logo: 
� x + 2y = 16
6x - 2y = 26
7x + 0y = 42
�
�
 
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Logo x = 
42
7 → x = 6 e, para achar o valor de y, basta trocar o valor de x obtido em qualquer uma 
das equações dadas:
Assim, se x + 2 y = 16, então 6 + 2y = 16 → 2y = 10 e portanto y = 10
2
 → y = 5
1. Resolva usando o método da adição.
a) + =
+ =
3 9
2 3 13
x y
x y
 b) 
− =
+ = −
3 2 7
1
x y
x y
Método da Substituição
Definição
Esse método consiste em isolar uma das variáveis numa equação e substituí-la na outra.
Vale ressaltar que preferencialmente se deve isolar a variável que possuir “coeficiente” 1; assim 
evitamos um trabalho com o m.m.c.
 x + 2y = 16
Exemplo: �
 3x – y = 13
Assim, isolando o “x” na primeira equação, temos: 
x = 16 – 2y e substituindo-o na segunda equação: 
3(16 – 2y) – y = 13 → 48 – 6y – y = 13 → – 7y = 13 – 48 → – 7y = – 35 logo x = −
−
35
7
 = 5
Daí basta trocar o valor de x obtido na equação isolada:
Se x = 16 – 2y, logo x = 16 – 2 x 5 → x = 16 – 10 → x = 6
2. Resolva usando o método da substituição.
a) + =
+ =
x y
x y
3 9
2 3 13
 b) 
− =
+ = −
x y
x y
3 2 7
1
Caso Especial
Sempre que nos depararmos com um sistema de duas equações no qual uma delas seja uma 
“proporção”, podemos resolvê-la de maneira eficaz e segura aplicando os conceitos de divisão 
proporcional.
Matemática – Sistemas de Equações – Prof. Dudan
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Exemplo:
3. A idade do pai está para a idade do filho assim como 7 está para 3. Se a diferença entre essas 
idades é 32 anos, determine a idade de cada um.
4. Os salários de dois funcionários do Tribunal são proporcionais às suas idades, que são 40 
e 25 anos. Se os salários somados totalizam R$ 9.100,00 qual a diferença de salário desses 
funcionários?
Faça Você:
5. Na garagem de um prédio, há carros e motos num total de 13 veículos e 34 pneus. 
O número de motos nesse estacionamento é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
6. Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e pede 3 pontos por exercício 
que erra. Ao fim de 50 exercícios, tinha 10 pontos. Quantos exercícios ele acertou?
a) 15
b) 35
c) 20
d) 10
e) 40
7. Uma família foi a um restaurante em que cada criança paga a metade do buffet 
e cada adulto paga R$ 12,00. Se nessa família há 10 pessoas e a conta foi de R$ 
108,00, o número de adultos é:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
 
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8. O valor de dois carros de mesmo preço adicionado ao de uma moto é R$ 41.000. O 
valor de duas motos iguais à primeira adicionado ao de um carro de mesmo preço 
que os primeiros é de R$ 28.000. A diferença entre o valor do carro e o da moto é:
a) R$ 5.000
b) R$ 13.000
c) R$ 18.000
d) R$ 23.000
e) R$ 41.000
9. João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 
2 cocadas, gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 
hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se 
que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma 
cocada totaliza R$ 10,00, assim o preço de cada um desses itens em reais, 
respectivamente, vale.
a) 4; 2,5 e 3,5 
b) 3; 2 e 4
c) 4; 3 e 2 
d) 4; 2,5 e 3
e) 3; 2,5 e 3,5
10. Durante uma aula de ginástica, três amigas, com a mesma preocupação, resolveram 
avaliar o peso de cada uma, utilizando a balança da academia. A pesagem, contudo, 
foi efetuada duas a duas. Ana e Carla pesaram, juntas, 98 kg; Carla e Márcia, 106 
kg; Ana e Márcia, 104 kg. O peso das três amigas, juntas, subtraindo o dobro do 
peso de Carla, é igual a:
a) 42 kg
b) 46 kg
c) 48 kg
d) 54 kg
e) 58 kg
Gabarito: 5. E 6. C 7. D 8. B 9. A 10. D