Aula 6 - Equação de Bernoulli - exercícios

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HIDRÁULICA
Professor Lucas Aguiar, 27/10/2020
Equação da Continuidade.
• Antes de entender o que é a Equação da Continuidade, é necessário entender o conceito de 
fluxo. A abordagem feita aqui é aquela adotada do ponto de vista da Hidrodinâmica (Dinâmica 
dos Fluidos).
• Se você pudesse ver cada partícula de ar atravessando a espira, poderia observar linhas que 
representariam as trajetórias das partículas de ar. Em cada ponto, a tangente à cada linha daria a 
velocidade das gotas de água naquele ponto. Veja a sequência das figuras abaixo:
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
• Pelas figuras, pode-se compreender Fluxo como sendo um campo vetorial através de 
uma superfície, isto é, a “quantidade” de algo que, efetivamente, atravessa aquela 
superfície.
• Matematicamente, pode ser expresso da seguinte forma: sendo φ o fluxo, v
o vetor velocidade e A o vetor área. 
• Anteriormente já observamos os casos de conservação da massa.
• “O balanço de massa global é responsável por computar as quantidades totais das 
correntes que fluem em um processo. ”
• Ou podemos resumir no caso de fluidos através de um tubo, que o Fluxo que 
entra=Fluxo que sai
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
Fluidos ideais
• Daniel Bernoulli (1700-1782) marcou o estudo da Hidrodinâmica.
• Essas são algumas características de um fluido ideal:
• Escoamento laminar: A velocidade do fluido num ponto fixo não muda com o tempo.
• Fluido incompressível: ρ constante
• Escoamento não viscoso.
• Escoamento irrotacional.
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
Fluidos ideais
• Podemos definir um escoamento ideal, como um escoamento sem atrito (viscosidade), 
dessa forma não existem tensões de cisalhamento (devido a forças viscosas) atuando no 
movimento do fluido.
• A Equação da continuidade mostra a conservação da massa em um fluido num duto/tubo 
ao longo do escoamento.
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
Fluidos ideais
• A Equação da continuidade estabelece que:
• O volume total de um fluido incompressível que entra num tubo é igual aquele que sai 
do tubo (ρ e m são constantes, então Ɐ também é.
• A vazão medida em um ponto do tubo será a mesma medida em quaisquer outros 
pontos ao longo do tubo, mesmo que a área transversal do tubo mude.
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
Fluidos ideais
• Considerando o fluido incompressível, é fácil compreender que a quantidade de água que 
entra na mangueira com velocidade v1 deve ser a mesma que sai com velocidade v2, já que 
não há, no transcurso, nenhuma fonte nem sumidouro de fluido. Em outras palavras, o fluxo 
de líquido deve ser constante
• Sendo φ1 = φ2, a eq. De fluxo pode ser escrita como:
A 1.v 1 =A 2.v 2
• Podemos ver que A.v= constante, e pode-
mos chamá-lo de Vazão (Q).
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
Exemplo 1
• Calcule o tempo que levará para encher um tambor de 214 litros(0,214m³), sabendo que a 
velocidade de escoamento do líquido é de 0,3m/s e o diâmetro do tubo conectado ao tambor 
é igual a 30mm(0,030m). (1 l = 0,001m³)
𝑄 = 𝑣 ∗ 𝐴 = 𝑣 ∗
𝜋𝐷2
4
= 0,3 ∗
𝜋 0,030 2
4
=
0,000212𝑚3
𝑠
𝑄 =
∀
𝑡
= 0,000212
𝑡 =
∀
0,000212
=
0,214
0,000212
= 1009𝑠
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Hidráulica
Digite a equação aqui.
Equação da Continuidade.
Exemplo 2
• Um fluido ideal percorre um cano cilíndrico em 
regime permanente. Em um estrangulamento onde 
o diâmetro do cano fica reduzido à metade, a 
velocidade do fluido fica:
𝐷2 =
𝐷1
2
a) reduzida a 1/4.
b) reduzida à metade.
c) a mesma.
d) duplicada.
e) quadruplicada. 
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Hidráulica
𝑄1 = 𝑄2
𝑉1
𝜋𝐷1
2
4
= 𝑉2
𝜋𝐷2
2
4
𝑉1𝐷1
2 = 𝑉2𝐷2
2
𝑉2 =
𝑉1𝐷1
2
𝐷2
2 =
𝑉1𝐷1
2
(𝐷1/2)²
=
𝑉1𝐷1
2
𝐷1
2
4
= 4𝑉1
Equação da Continuidade.
Equação de Bernoulli
• A energia presente em um fluido sem troca de calor pode ser separada em três parcelas:
• Energia Cinética( Ec=1/2m.v²)
• Energia Potencial (Ep= mgh)
• Energia de pressão/ Trabalho ( W= F.d= p.A.d= P.∀)
• F=pA
• ∀ =A*d
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
Equação de Bernoulli
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
Equação de Bernoulli
• Como a Energia se mantém Bernoulli deduziu que num escoamento ideal a soma dessas 
energias na entrada é igual a soma dessas energias na saída.
• Dessa forma Bernoulli estabeleceu a equação fundamental da hidrodinâmica, relacionando 
a pressão, a velocidade e a altura em pontos de uma determinada linha de corrente.
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
Equação de Bernoulli
• De acordo com Bernoulli
• A equação de Bernoulli pode ser descrita como:
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
Equação de Bernoulli
• A equação de Bernoulli também pode ser descrita integrando a equação de Euler para um 
fluxo incompressível e sem atrito.
• Integrando a Equação de Euler para um fluxo que flui do ponto 1 para o ponto 2.
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
Equação de Bernoulli
• Resolvendo a integral:1׬
2
𝜌𝑣𝑠
𝜕𝑣𝑠
𝜕𝑠
𝑑𝑠 = 1׬
2
𝜌𝑣𝑠𝑑𝑣𝑠 = 𝜌 ቃ
𝑣𝑠
2
2 1
2
• Assim:
න
1
2
𝜌
𝜕𝑣𝑠
𝜕𝑡
𝑑𝑠 + 𝜌 ቉
𝑣𝑠
2
2
1
2
= − 𝑃2 − 𝑃1 − 𝜌𝑔 𝑧2 − 𝑧1
න
1
2
𝜌
𝜕𝑣𝑠
𝜕𝑡
𝑑𝑠 = − 𝑃2 − 𝑃1 − 𝜌𝑔 𝑧2 − 𝑧1 − 𝜌
𝑣𝑠2
2
2
−
𝑣𝑠1
2
2
• Ou:
𝑃1 + 𝜌𝑔𝑧1 + 𝜌
𝑣𝑠1
2
2
= 𝑃2 + 𝜌𝑔𝑧2 + 𝜌
𝑣𝑠2
2
2
+ න
1
2
𝜌
𝜕𝑣𝑠
𝜕𝑡
𝑑𝑠
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
Equação de Bernoulli
• Quando temos o regime permanente a velocidade 𝑣𝑠 não varia com o tempo, logo:
න
1
2
𝜌
𝜕𝑣𝑠
𝜕𝑡
𝑑𝑠 = 0, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑣𝑠 é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.
• Assim para um fluido incompressível em regime permanente a equação de Bernoulli é :
𝑃1 + 𝜌𝑔𝑧1 + 𝜌
𝑣𝑠1
2
2
= 𝑃2 + 𝜌𝑔𝑧2 + 𝜌
𝑣𝑠2
2
2
• Para um fluido incompressível em regime transiente a equação de Bernoulli é :
𝑃1 + 𝜌𝑔𝑧1 + 𝜌
𝑣𝑠1
2
2
= 𝑃2 + 𝜌𝑔𝑧2 + 𝜌
𝑣𝑠2
2
2
+න
1
2
𝜌
𝜕𝑣𝑠
𝜕𝑡
𝑑𝑠
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
Teorema de Stevin
• Quando dois pontos de uma mesma porção de um mesmo líquido em equilíbrio estão no 
mesmo nível, significa que estão submetidos à mesma pressão.
• A diferença de pressão entre dois pontos de um líquido homogêneo em equilíbrio é dada 
pela pressão exercida pela coluna de líquido entre eles. Essa é a pressão exercida pela força 
Peso do líquido
𝑃2−𝑃1 =
𝐹
𝐴
=
𝑚𝑔
𝐴
=
𝜌𝑔∀
𝐴
=
𝜌𝑔(𝐻𝐴)
𝐴
= 𝜌𝑔𝐻
𝑃2−𝑃1 = 𝜌𝑔𝐻
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
Tubo de Pitot
• O tubo de Pitot é um instrumento que tem como finalidade a medição da velocidade de 
fluidos.
• Ele é baseado em modelos físicos e é muito utilizado em laboratórios de hidráulica, 
aerodinâmica e até mesmo em laboratórios de hidrologia, pois tem função de medir a 
vazão, através da velocidade, de rios e canais.
• Pode ser encontrado em redes de abastecimento de água, em adutoras e até em aviões, 
onde é responsável pela mediação da velocidade de escoamento do ar.
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
Tubo de Pitot
• O tubo de Pitot é composto por um tubo “U”, com a presença de um líquido manométrico, para 
calcular a diferença de pressão entre dois pontos do fluxo e assim, determinar a velocidade de 
escoamento do fluido.
• Como ambos os pontos estão a mesma
altura, esse termo se anula na equação 
de Bernoulli, logo:
𝑃1 + 𝜌
𝑣𝑠1
2
2
= 𝑃2 + 𝜌
𝑣𝑠2
2
2
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
Tubo de Venturi
• O tubo de Venturi também tem a finalidade de determinar a velocidade de escoamento de um 
líquido no interior de uma tubulação.
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
Tubo de Venturi
• O tubo de Venturi também tem a finalidade de determinar a velocidade de escoamento de um 
líquido no interior de uma tubulação.
• Como o tubo de Pitot, é constituído por um tubo em U com a presença de um líquido 
manométrico, geralmente o mercúrio, cujos ramos são ligados a segmentos da tubulação com 
escoamento de fluido.
• Um dos ramos é ligado à um segmento normal dessa tubulação e outro ramo é conectado à um 
estrangulamento, conforme podemos perceber na figura a seguir.21
Hidráulica
Equação da Continuidade.
Exemplo 2
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
Primeiro vamos pegar os dados: A1=40 cm², A2=10 cm², Q= 0,006 m³/s.
a)A velocidade de escoamento na parte mais larga e na constrição.
Sabemos que pela lei da conservação a Vazão é constante, então podemos 
descrever
Mas precisamos deixar tudo de acordo com o Si, já que a área foi dada em 
cm²;
Ou seja A1 = 40.10-4m² e A2 = 10.10-4m².
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
b) a diferença de pressão entre as duas partes.
Aplicando Bernoulli
Não há variação de altura entre os pontos 1 e 2 , logo:
Logo:
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
C)A diferença de altura entre os dois níveis de mercúrio existentes no tubo em U
Analisando a figura, mercúrio está em repouso, logo v1 e v2 são nulas. Poderíamos 
a partir daí aplicar Bernoulli.
Mas se analisarmos bem como estamos analisando apenas o mercúrio, podemos 
aplicar o Teorema de Stevin. O Teorema de Stevin diz : “a diferença de pressão 
entre dois pontos de um líquido homogêneo em equilíbrio é dada pela pressão 
exercida pela coluna de líquido entre eles.”
Ou seja P1-P2=ρgΔh. Sabemos que P1-P2 = 16875 Pa, logo:
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Hidráulica
Equação da Continuidade.
Outra forma de se resolver a letra c.
C)A diferença de altura entre os dois níveis de mercúrio existentes no tubo em U
Aplicando Bernoulli:
Mas entre os pontos 1 e 2 temos a mesma velocidade, pois é a coluna de 
mercúrio que está de deslocando.
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Hidráulica
𝑷𝟏 + 𝝆𝐠𝒉𝟏 = 𝑷𝟐 + 𝝆𝐠𝒉𝟐
𝝆𝐠𝒉𝟐 − 𝝆𝐠𝒉𝟏 = 𝑷𝟐 − 𝑷𝟏
𝝆𝐠(∆𝒉) = 𝑷𝟐 − 𝑷𝟏
∆𝒉 =
𝑷𝟐 − 𝑷𝟏
𝝆𝐠
=
𝟏𝟔𝟖𝟕𝟓
𝟏𝟑𝟔𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎
= 𝟎, 𝟏𝟐𝟒𝒎