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HIDRÁULICA Professor Lucas Aguiar, 15/09/2020 Hidráulica Forças hidrostáticas sobre superfícies planas • No projeto e na análise de engenharia, é sempre crítico determinar a força hidrostática total (ou resultante) sobre estruturas produzidas pela pressão hidrostática. • Para determinar a magnitude dessa força, vamos examinar uma área arbitrária AB (Figura 2,9) na parte de trás de uma barragem que se inclina a um ângulo θ . • Em seguida, posicione o eixo x sobre a linha onde a superfície da água encontra com a superfície da barragem com o eixo y movendo-se para baixo ao longo da superfície ou lado da barragem • A Figura 2.9 (a) mostra a visão de um plano (frente) da área, e a Figura 2.9 (b) mostra a projeção de AB sobre a superfície da barragem. Hidráulica Forças hidrostáticas sobre superfícies planas • A superfície plana AB é composta por um número infinito de faixas horizontais, cada uma com largura dy e área dA. A pressão hidrostática em cada faixa pode ser considerada constante, pois a largura de cada uma é muito pequena. Para uma faixa a uma profundidade h abaixo da superfície livre, a pressão é • A força de pressão total na faixa é a pressão vezes a área 𝑑𝐹 = 𝛾𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐴 • A força de pressão total (resultante) em todo o plano de superfície AB é a soma da pressão em todas as faixas 𝐹 = න 𝐴 𝑑𝐹 =𝛾𝑠𝑒𝑛𝜃 න 𝐴 𝑦𝑑𝐴 = 𝛾𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐴ത𝑦 h=y.senθ 𝑃 = 𝜌𝑔ℎ = 𝛾ℎ = 𝛾𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 Hidráulica Forças hidrostáticas sobre superfícies planas • ത𝑦 é a distância medida do do eixo x até o centroide( centro de gravidade- C.G.) do plano AB. • Se consideramos ഥℎ = ത𝑦. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (ഥℎ é a profundidade vertical do centroide abaixo da superfície da água) podemos descrever a força de pressão total como: 𝐹 = 𝛾തℎ𝐴 • Essa equação diz que a força de pressão hidrostática total em qualquer supeifície plana submersa é igual ao produto entre a área da superfície (A) e a pressão(𝛾തℎ) agindo no centroide da superfície plana. • Forças de pressão agindo sobre uma superfície plana são distribuídas por todas as partes da superfície, são paralelas e atuam perpendicularmente à superfície. Para facilitar podemos substituí-las por uma força resultante F h=y.senθ Hidráulica Forças hidrostáticas sobre superfícies planas • A força resultante também atua perpendicularmente à superfície. O ponto na superfície plana no qual essa força resultante atua é conhecido como centro de pressão (C.P.).As forças distribuídas podem ser substituídas pela única força resultante no centro de pressão sem alterar quaisquer das reações ou dos momentos no sistema. • Considerando yp como a distância medida do eixo x até o centro de pressão, podemos escrever: 𝐹𝑦𝑝 = න 𝐴 𝑦𝑑𝐹 ∴ 𝑦𝑝 = 𝐴 𝑦𝑑𝐹 𝐹 • Mas como vimos 𝑭 = 𝜸𝒔𝒆𝒏𝜽 𝑨ഥ𝒚 e 𝒅𝑭 =: 𝑦𝑝 = 𝐴 𝑦𝜸𝒚𝒔𝒆𝒏𝜽𝒅𝑨 𝜸𝒔𝒆𝒏𝜽 𝑨ഥ𝒚 = 𝐴 𝑦2𝒅𝑨 𝑨ത𝒚 h=y.senθ Hidráulica Forças hidrostáticas sobre superfícies planas • Mas 𝐴 𝑦 2𝑑𝐴 é o momento de Inércia ( dificuldade em se alterar o estado de movimento de um corpo em rotação), e 𝑨ഥ𝒚 é momento estático (medida da distribuição da área de uma forma geométrica em relação a um eixo no plano da área) da superfície plana AB em relação ao eixo x. 𝐼𝑥 = න 𝐴 𝑦2𝑑𝐴 𝑒 𝑀𝑥 = 𝑨ഥ𝒚 • Dessa forma podemos descrever a distância do centro de pressão como: 𝑦𝑝 = 𝐼𝑥 𝑀𝑥 • Se em vez do eixo x, queremos em relação ao centroide do plano podemos reescrever: 𝑦𝑝 = 𝐼0 + 𝐴𝑦² 𝑨ഥ𝒚 = 𝐼0 𝐴ഥ𝑦 + ത𝑦 • Onde 𝐼0 é o momento de inércia do plano com relação ao seu próprio centroide Hidráulica Forças hidrostáticas sobre superfícies planas • O centro de pressão de qualquer superfície plana submersa está sempre abaixo do centroide da área da superfície (𝑦𝑝 > ത𝑦). • O centroide, a área e o momento de inércia em relação ao centroide de certas superfícies planas comuns são listados na Tabela 2,1. Hidráulica Forças hidrostáticas sobre superfícies planas • O centro de pressão de qualquer superfície plana submersa está sempre abaixo do centroide da área da superfície (𝑦𝑝 > ത𝑦). • O centroide, a área e o momento de inércia em relação ao centroide de certas superfícies planas comuns são listados na Tabela 2,1. Hidráulica Forças hidrostáticas sobre superfícies planas • O centro de pressão de qualquer superfície plana submersa está sempre abaixo do centroide da área da superfície (𝑦𝑝 > ത𝑦). • O centroide, a área e o momento de inércia em relação ao centroide de certas superfícies planas comuns são listados na Tabela 2,1. Hidráulica Exercício 1 Uma comporta vertical trapezoidal com extremidade superior localizada 5 m abaixo da superfície livre da água(𝛾=9790N/m³) é mostrada na Figura. Determine a força de pressão total e o centro de pressão na comporta. • A força de pressão total é determinada a partir da Equação 𝑭 = 𝜸ഥ𝒉𝑨 • Da tabela 2.1 encontramos a A e o centroide da figura(തℎ é a distancia do centroide a superficie). • തℎ = 5 + ℎ(2𝑎+𝑏) 3(𝑎+𝑏) = 5 + 2(2∗1+3) 3(1+3) = 5 + 10 12 = 5 + 0,833 = 5,83𝑚 • 𝐴 = ℎ(𝑎+𝑏) 2 = 2(1+3) 2 =4m² • 𝐹 = 𝛾തℎ𝐴 = 9790 ∗ 5,83 ∗ 4 = 228302 𝑁 = 𝟐𝟐𝟖𝒌𝑵 ഥ𝒉 ഥ𝒚 Hidráulica Exercício 1 Uma comporta vertical trapezoidal com extremidade superior localizada 5 m abaixo da superfície livre da água(𝛾=9790N/m³) é mostrada na Figura. Determine a força de pressão total e o centro de pressão na comporta. • A força de pressão total é determinada a partir da Equação 𝐹 = 𝛾തℎ𝐴 • Da tabela 2.1 encontramos a A e o centroide da figura(തℎ é a distância do centroide a superficie). • 𝐹 = 𝛾തℎ𝐴 = 𝛾 5 + ℎ(2𝑎+𝑏) 3(𝑎+𝑏) . ℎ(𝑎+𝑏) 2 = 9790 5 + 2(2∗1+3) 3(1+3) . 2(1+3) 2 • 𝐹 = 9790 5 + 0,83 . 4 = 228433𝑁 = 228𝐾𝑁 Hidráulica Exercício 1 Uma comporta vertical trapezoidal com extremidade superior localizada 5 m abaixo da superfície livre da água(𝛾=9790N/m³) é mostrada na Figura. Determine a força de pressão total e o centro de pressão na comporta. • O centro de pressão 𝑦𝑝 = 𝐼0 𝐴 ത𝑦 + ҧ𝑦. 𝐼0 tbm se encontra na tabela 2.1 • 𝐼0 = 2³(12+4∗1∗3+32) 36(1+3) = 8 1+12+9 36(4) = 8(22) 36(4) = 44 36 = 1,2222𝑚4 Eixo y faz 90º com a superfície • 𝐷𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑖𝑜𝑟 𝐴 = 4𝑚2𝑒 തℎ=5,83 m 𝑦𝑝 = 𝐼0 𝐴ത𝑦 + ҧ𝑦 = 1,22 4 ∗ 5,83 + 5,83 = 0,05 + 5,83 = 5,88 𝑚 Hidráulica Exercício 1 Uma comporta vertical trapezoidal com extremidade superior localizada 5 m abaixo da superfície livre da água(𝛾=9790N/m³) é mostrada na Figura. Determine a força de pressão total e o centro de pressão na comporta. • O centro de pressão 𝑦𝑝 = 𝐼0 𝐴 ത𝑦 + ҧ𝑦. 𝐼0 tbm se encontra na tabela 2.1 • 𝐼0 = 2³(12+4∗1∗3+32) 36(1+3) = 8 1+12+9 36(4) = 8(22) 36(4) = 1,222𝑚4 • ഥℎ = ത𝑦. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∴ ഥ𝑦 = ഥℎ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 5,83 𝑠𝑒𝑛 90º =5,83 • 𝐷𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑖𝑜𝑟 𝐴 = 4𝑚2𝑒 തℎ=5,83 m Eixo y faz 90º com a superfície Hidráulica Exercício 1 Uma comporta vertical trapezoidal com extremidade superior localizada 5 m abaixo da superfície livre da água(𝛾=9790N/m³) é mostrada na Figura. Determine a força de pressão total e o centro de pressão na comporta. 𝑦𝑝 = 𝐼0 𝐴 ത𝑦 + ҧ𝑦 = 1,222 4∗(5,83) + 5,83 = 0,05 + 5,83 = 5,88𝑚 Eixo y faz 90º com a superfície Hidráulica Exercício 2 Uma comporta semicircular invertida está instalada a 450 com relação à superfície livre da água(62,3 lb/pés³). O topo da comporta está 5 pés abaixo da superfície da água na direção vertical. Determine a força hidrostática e o centro de pressão sobre a comporta 𝐹 = 𝛾തℎ𝐴 = 𝛾(ത𝑦𝑠𝑒𝑛 𝜃)𝐴 𝐴 = 1 2 𝜋𝑟2 = • ത𝑦 = ℎ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 4𝑟 3𝜋 = 𝐹 = 𝛾 ത𝑦𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐴 = Hidráulica Exercício 2 Uma comporta semicircular invertida está instalada a 450 com relação à superfície livre da água(62,3 lb/pés³). O topo da comporta está 5 pés abaixo da superfície da água na direção vertical. Determine a força hidrostática e o centro de pressão sobre a comporta 𝐹 = 𝛾തℎ𝐴 = 𝛾(ത𝑦𝑠𝑒𝑛 𝜃)𝐴 𝐴 = 1 2 𝜋𝑟2 = 1 2 𝜋*4²=25,13 pés² • ത𝑦 = 5 𝑠𝑒𝑛45º + 4𝑟 3𝜋 = 7,07 + 4∗4 3𝜋 = 7,07 + 1,70 = 8,77pés 𝐹 = 𝛾 ത𝑦𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐴 = 62,3 ∗ 8,77 ∗ sen 45º ∗ 25,13 = 9709 lb Hidráulica Exercício 2 Uma comporta semicircular invertida está instalada a 450 com relação à superfície livre da água(62,3 lb/pés³). O topo da comporta está 5 pés abaixo da superfície da água na direção vertical. Determine a força hidrostática e o centro de pressão sobre a comporta 𝐼0 = (9𝜋2 − 64)𝑟4 72𝜋 = • 𝐷𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑖𝑜𝑟 𝐴 = 25,13𝑝é𝑠2𝑒 ത𝑦=8,77 pés 𝑦𝑝 = 𝐼0 𝐴ത𝑦 + ҧ𝑦 = Essa é a distância inclinada medida entre a superfície da água e o centro de pressão 𝑦𝑝 = 𝐼0 𝐴 ത𝑦 + ҧ𝑦 Hidráulica Exercício 2 Uma comporta semicircular invertida está instalada a 450 com relação à superfície livre da água(62,3 lb/pés³). O topo da comporta está 5 pés abaixo da superfície da água na direção vertical. Determine a força hidrostática e o centro de pressão sobre a comporta 𝐼0 = (9𝜋2 − 64)𝑟4 72𝜋 = (9𝜋2 − 64)44 72𝜋 = 28,1pés4 • 𝐷𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑖𝑜𝑟 𝐴 = 25,13𝑝é𝑠2𝑒 ത𝑦=8,77 pés 𝑦𝑝 = 𝐼0 𝐴ത𝑦 + ҧ𝑦 = 28,1 25,13 ∗ 8,77 + 8,77 = 0,127 + 8,77 = 8,90𝑝é𝑠 Essa é a distância inclinada medida entre a superfície da água e o centro de pressão 𝑦𝑝 = 𝐼0 𝐴 ത𝑦 + ҧ𝑦 Hidráulica Forças hidrostáficas sobre superfícies curvas • A força hidrostática em uma superfície curva pode ser analisada obtendo-se a força total de pressão na superfície para o interior de seus componentes horizontais e verticais. (Lembre-se de que a força hidrostática atua perpendicularmente à superfície submersa.) • A Figura 2.12 apresenta uma parede curva da abertura de um contêiner que possui uma unidade de comprimento perpendicular ao plano da página. • O corpo de água no contêiner está estático, então cada um dos componentes de força deve satisfazer as condições de equilíbrio (σ𝐹𝑥 = 0, σ𝐹𝑦 = 0) Hidráulica Forças hidrostáficas sobre superfícies curvas • No diagrama do corpo livre da água contida em ABA’, o equilíbrio requer que a pressão horizontal exercida so- bre a superfície plana A’B (a projeção vertical de AB) seja igual(magnitude) e oposta(sentido) ao componente horizontal de pressão 𝐹𝐻(a força que a parede da porta exerce sobre o fluido). • Do mesmo modo, para que σ𝐹𝑦 = 0 , o componente vertical, Fv deve ser igual ao peso total do corpo de água acima da porta AB. Hidráulica Forças hidrostáficas sobre superfícies curvas • Logo, podemos assumir que: 1. O componente horizontal da .força de pressão hidrostática total em qualquer superfície é sempre igual à pressão total na projeção vertical da superfície 𝐹𝐻 = 𝐹𝐴′𝐵 . A força resultante do componente horizontal pode ser localizada usando-se o centro de pressão dessa projeção. 1. . 2. O componente vertical da força de pressão hidrostática total em qualquer superfície é sempre igual ao peso de toda a coluna de água acima da superfície que se estende verticalmente até a superfície livre 𝐹𝑉 = 𝑊𝐴𝐴′ +𝑊𝐴𝐵𝐴′ . A força resultante do componente vertical pode ser localizada usando-se o centroide dessa coluna Hidráulica Forças hidrostáficas sobre superfícies curvas Exercício Determine a pressão hidrostática total e o centro de pressão no quadrante da comporta que mede 5 m de comprimento e 2 m de altura confomr figura abaixo. 𝛾 = 9790 𝑁/𝑚³ 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜: • Precisamos encontrar a área projetada para calcular a força hidrostática e o centro de pressão. • 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑜 𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑎 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑡𝑎𝑑𝑎 é • Retangular e pelo enunciado mede 2mx5m. Hidráulica Forças hidrostáficas sobre superfícies curvas Exercício • O componente horizontal é igual à força de pressão hidrostática no plano de projeção A’B.(𝐹𝐻 = 𝐹𝐴′𝐵 = 𝛾തℎ𝐴) • 𝑂 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑎 á𝑔𝑢𝑎 é 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝛾 = 9790 𝑁 𝑚3 . • A área projetada é retangular e mede 2mx5m. • തℎ = ത𝑦 = 1 2 h pode ser encontrado na tabela 2.1 • 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐹𝐻 = 𝛾തℎ𝐴 = 9790 ∗ 1 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 5 = 97900 N • 𝐴 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑦𝑝 = 𝐼0 𝐴 ത𝑦 + ҧ𝑦 • 𝐼0 = 1 12 𝑏ℎ³ se encontra na tabela 2.1 𝑦𝑝 = 𝐼0 𝐴ത𝑦 + ത𝑦 = ( 1 12 5 ∗ 2³) (2 ∗ 5) 1 2 ∗ 2 + 1 2 ∗ 2 = (3,333) (10)(1) + 1 = 0,33 + 1 = 1,33𝑚 Hidráulica Forças hidrostáficas sobre superfícies curvas Exercício • 𝐴 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 fica 1,33m abaixo da superfície da água. • O componente vertical é igual ao peso da água no volume A0B. A direção desse componente de pressão é descendente. Dessa Forma podemos dizer que 𝐹𝑉 = 𝑊𝐴0𝐵 = 𝛾 ∗ Volume • 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 assim: 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 1 4 𝜋𝑟2 ∗ 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 = 1 4 𝜋22 ∗ 5 = 15,71𝑚³ • Calculando 𝐹𝑉 = 𝛾 ∗ Volume = 9790 ∗ 15,71 = 153780𝑁 • 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑣𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠, 𝑎 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑦 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒. 𝐸𝑚 𝑦 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒çã𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 é 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 .𝑁𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 2.1 𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒 é ത𝑦 = 4r 3𝜋 • O volume de água é apresentado na figura ao lado. Ele pode ser descrito como a área desse quarto de circunferência de raio h=2m, pela largura no eixo x (5m). ത𝑦 = 4r 3𝜋 = 4 ∗ 2 3𝜋 = 0,85𝑚 Hidráulica Forças hidrostáficas sobre superfícies curvas Exercício • 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 (𝐹𝐻 = 97900 N) e a vertical (𝐹𝑉 = 153780𝑁) podemos calcular a força através do módulo de F. 𝐹 = 𝐹𝐻 2 + 𝐹𝑉 2 • 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑟 𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝜃 𝑑𝑎 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 tg 𝜃 = 𝐹𝑉 𝐹𝐻 ∴ 𝜃 = 𝑡𝑔−1𝜃 = 𝑡𝑔−1 𝐹𝑉 𝐹𝐻 𝜃 = 𝑡𝑔−1 𝐹𝑉 𝐹𝐻 = 𝑡𝑔−1 153780 97900 = 𝑡𝑔−1 1,571 = 57,5° 𝐹 = 97900 2 + 153780 2 = 33232698400 = 182298𝑁 Hidráulica Forças hidrostáficas sobre superfícies curvas Exercício • 𝐴 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 (𝐹𝐻 = 97900 N) seria aplicada a 𝑦𝑝 = 1,33𝑚 abaixo da superfície da água, com sua linha de ação passando pelo centro de pressão da área projetada. • A componente vertical (𝐹𝑉 = 153780𝑁) seria aplicada a uma distância de 0,85 da Face A0. • A linha de ação da componente vertical da força passa pelo centro de gravidade do volume do fluido acima da superfície curva, o qual se estende desde a superfície curva até a superfície livre, real ou imaginária . Ela pode ser encontrada igualando o seu momento - em relação a um eixo que passa pela origem O – à somatória dos momentos das componentes verticais. • Para projetar uma estrutura de suporte é necessário saber a linha de ação dessa força para se concluir os cálculos estáticos.
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