Aula 04 - Forças hidrostáticas sobre superfícies planas

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HIDRÁULICA
Professor Lucas Aguiar, 15/09/2020
Hidráulica
Forças hidrostáticas sobre superfícies planas
• No projeto e na análise de engenharia, é sempre crítico determinar a força hidrostática total (ou 
resultante) sobre estruturas produzidas pela pressão hidrostática. 
• Para determinar a magnitude dessa força, vamos examinar uma área arbitrária AB (Figura 2,9) na 
parte de trás de uma barragem que se inclina a um ângulo θ . 
• Em seguida, posicione o eixo x sobre a linha onde a
superfície da água encontra com a superfície da
barragem com o eixo y movendo-se para baixo ao
longo da superfície ou lado da barragem
• A Figura 2.9 (a) mostra a visão de um plano (frente)
da área, e a Figura 2.9 (b) mostra a projeção de AB
sobre a superfície da barragem.
Hidráulica
Forças hidrostáticas sobre superfícies planas
• A superfície plana AB é composta por um número infinito de faixas horizontais, cada uma com 
largura dy e área dA. A pressão hidrostática em cada faixa pode ser considerada constante, pois a 
largura de cada uma é muito pequena. Para uma faixa a uma profundidade h abaixo da superfície 
livre, a pressão é
• A força de pressão total na faixa é a pressão vezes a área
𝑑𝐹 = 𝛾𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐴
• A força de pressão total (resultante) em todo o plano de 
superfície AB é a soma da pressão em todas as faixas
𝐹 = න
𝐴
𝑑𝐹 =𝛾𝑠𝑒𝑛𝜃 න
𝐴
𝑦𝑑𝐴 = 𝛾𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐴ത𝑦
h=y.senθ
𝑃 = 𝜌𝑔ℎ = 𝛾ℎ = 𝛾𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃
Hidráulica
Forças hidrostáticas sobre superfícies planas
• ത𝑦 é a distância medida do do eixo x até o centroide( centro de gravidade- C.G.) do plano AB.
• Se consideramos ഥℎ = ത𝑦. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (ഥℎ é a profundidade vertical do centroide abaixo da superfície da 
água) podemos descrever a força de pressão total como:
𝐹 = 𝛾തℎ𝐴
• Essa equação diz que a força de pressão hidrostática
total em qualquer supeifície plana submersa é igual ao
produto entre a área da superfície (A) e a pressão(𝛾തℎ)
agindo no centroide da superfície plana.
• Forças de pressão agindo sobre uma superfície plana são
distribuídas por todas as partes da superfície, são paralelas
e atuam perpendicularmente à superfície. Para facilitar
podemos substituí-las por uma força resultante F
h=y.senθ
Hidráulica
Forças hidrostáticas sobre superfícies planas
• A força resultante também atua perpendicularmente à superfície. O ponto na superfície plana no 
qual essa força resultante atua é conhecido como centro de pressão (C.P.).As forças distribuídas 
podem ser substituídas pela única força resultante no centro de pressão sem alterar quaisquer das 
reações ou dos momentos no sistema.
• Considerando yp como a distância medida do eixo x até o
centro de pressão, podemos escrever:
𝐹𝑦𝑝 = න
𝐴
𝑦𝑑𝐹 ∴ 𝑦𝑝 =
𝐴׬ 𝑦𝑑𝐹
𝐹
• Mas como vimos 𝑭 = 𝜸𝒔𝒆𝒏𝜽 𝑨ഥ𝒚 e 𝒅𝑭 =:
𝑦𝑝 =
𝐴׬ 𝑦𝜸𝒚𝒔𝒆𝒏𝜽𝒅𝑨
𝜸𝒔𝒆𝒏𝜽 𝑨ഥ𝒚
=
׬
𝐴
𝑦2𝒅𝑨
𝑨ത𝒚
h=y.senθ
Hidráulica
Forças hidrostáticas sobre superfícies planas
• Mas ׬𝐴 𝑦
2𝑑𝐴 é o momento de Inércia ( dificuldade em se alterar o estado de movimento 
de um corpo em rotação), e 𝑨ഥ𝒚 é momento estático (medida da distribuição da área de 
uma forma geométrica em relação a um eixo no plano da área) da superfície plana AB em 
relação ao eixo x. 
𝐼𝑥 = න
𝐴
𝑦2𝑑𝐴 𝑒 𝑀𝑥 = 𝑨ഥ𝒚
• Dessa forma podemos descrever a distância do centro de pressão como:
𝑦𝑝 =
𝐼𝑥
𝑀𝑥
• Se em vez do eixo x, queremos em relação ao centroide do plano podemos reescrever:
𝑦𝑝 =
𝐼0 + 𝐴𝑦²
𝑨ഥ𝒚
=
𝐼0
𝐴ഥ𝑦
+ ത𝑦
• Onde 𝐼0 é o momento de inércia do plano com relação ao seu próprio centroide
Hidráulica
Forças hidrostáticas sobre superfícies planas
• O centro de pressão de qualquer superfície plana submersa está sempre abaixo do centroide 
da área da superfície (𝑦𝑝 > ത𝑦).
• O centroide, a área e o momento de inércia em relação ao centroide de certas superfícies 
planas comuns são listados na Tabela 2,1.
Hidráulica
Forças hidrostáticas sobre superfícies planas
• O centro de pressão de qualquer superfície plana submersa está sempre abaixo do centroide 
da área da superfície (𝑦𝑝 > ത𝑦).
• O centroide, a área e o momento de inércia em relação ao centroide de certas superfícies 
planas comuns são listados na Tabela 2,1.
Hidráulica
Forças hidrostáticas sobre superfícies planas
• O centro de pressão de qualquer superfície plana submersa está sempre abaixo do centroide 
da área da superfície (𝑦𝑝 > ത𝑦).
• O centroide, a área e o momento de inércia em relação ao centroide de certas superfícies 
planas comuns são listados na Tabela 2,1.
Hidráulica
Exercício 1
Uma comporta vertical trapezoidal com extremidade superior localizada 5 m abaixo da superfície livre 
da água(𝛾=9790N/m³) é mostrada na Figura. Determine a força de pressão total e o centro de pressão 
na comporta.
• A força de pressão total é determinada a partir da Equação 𝐹 = 𝛾തℎ𝐴
• Da tabela 2.1 encontramos a A e o centroide da figura(തℎ é a distancia 
do centroide a superficie).
• തℎ = 5 +
ℎ(2𝑎+𝑏)
3(𝑎+𝑏)
=
• 𝐴 =
ℎ(𝑎+𝑏)
2
=
• 𝐹 = 𝛾തℎ𝐴 =
Hidráulica
Exercício 1
Uma comporta vertical trapezoidal com extremidade superior localizada 5 m abaixo da superfície livre 
da água(𝛾=9790N/m³) é mostrada na Figura. Determine a força de pressão total e o centro de pressão 
na comporta.
• A força de pressão total é determinada a partir da Equação 𝐹 = 𝛾തℎ𝐴
• Da tabela 2.1 encontramos a A e o centroide da figura(തℎ é a distância 
do centroide a superficie).
• 𝐹 = 𝛾തℎ𝐴 = 𝛾 5 +
ℎ(2𝑎+𝑏)
3(𝑎+𝑏)
.
ℎ(𝑎+𝑏)
2
= 9790 5 +
2(2∗1+3)
3(1+3)
.
2(1+3)
2
• 𝐹 = 9790 5 + 0,83 . 4 = 228433𝑁 = 228𝐾𝑁
Hidráulica
Exercício 1
Uma comporta vertical trapezoidal com extremidade superior localizada 5 m abaixo da superfície livre 
da água(𝛾=9790N/m³) é mostrada na Figura. Determine a força de pressão total e o centro de pressão 
na comporta.
• O centro de pressão 𝑦𝑝 =
𝐼0
𝐴 ത𝑦
+ ҧ𝑦. 𝐼0 tbm se encontra na tabela 2.1
• 𝐼0 =
2³(12+4∗1∗3+32)
36(1+3)
=
Eixo y faz 90º com a superfície
Hidráulica
Exercício 1
Uma comporta vertical trapezoidal com extremidade superior localizada 5 m abaixo da superfície livre 
da água(𝛾=9790N/m³) é mostrada na Figura. Determine a força de pressão total e o centro de pressão 
na comporta.
• O centro de pressão 𝑦𝑝 =
𝐼0
𝐴 ത𝑦
+ ҧ𝑦. 𝐼0 tbm se encontra na tabela 2.1
• 𝐼0 =
2³(12+4∗1∗3+32)
36(1+3)
=
8 1+12+9
36(4)
=
8(22)
36(4)
= 1,222𝑚4
• ഥℎ = ത𝑦. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∴ ഥ𝑦 =
ഥℎ
𝑠𝑒𝑛 𝜃
=
5,83
𝑠𝑒𝑛 90º
=5,83
• 𝐷𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑖𝑜𝑟 𝐴 = 4𝑚2𝑒 തℎ=5,83 m
Eixo y faz 90º com a superfície
Hidráulica
Exercício 1
Uma comporta vertical trapezoidal com extremidade superior localizada 5 m abaixo da superfície livre 
da água(𝛾=9790N/m³) é mostrada na Figura. Determine a força de pressão total e o centro de pressão 
na comporta.
𝑦𝑝 =
𝐼0
𝐴 ത𝑦
+ ҧ𝑦 =
1,222
4∗(5,83)
+ 5,83 = 0,05 + 5,83 = 5,88𝑚
Eixo y faz 90º com a superfície
Hidráulica
Exercício 2
Uma comporta semicircular invertida está instalada a 450 com relação à superfície livre da água(62,3 lb/pés³). O 
topo da comporta está 5 pés abaixo da superfície da água na direção vertical. Determine a força hidrostática e o 
centro de pressão sobre a comporta
𝐹 = 𝛾തℎ𝐴 = 𝛾(ത𝑦𝑠𝑒𝑛 𝜃)𝐴
𝐴 =
1
2
𝜋𝑟2 =
• ത𝑦 =
ℎ
𝑠𝑒𝑛 𝜃
+
4𝑟
3𝜋
=
𝐹 = 𝛾 ത𝑦𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐴 =
Hidráulica
Exercício 2
Uma comporta semicircular invertida está instalada a 450 com relação à superfície livre da água(62,3 lb/pés³). O 
topo da comporta está 5 pés abaixo da superfície da água na direção vertical. Determine a força hidrostática e o 
centro de pressão sobre a comporta
𝐹 = 𝛾തℎ𝐴 = 𝛾(ത𝑦𝑠𝑒𝑛 𝜃)𝐴
𝐴 =
1
2
𝜋𝑟2 =
1
2
𝜋*4²=25,13 pés²
• ത𝑦 =
5
𝑠𝑒𝑛 45º
+
4𝑟
3𝜋
= 7,07 +
4∗4
3𝜋
= 7,07 + 1,70 = 8,77pés
𝐹 = 𝛾 ത𝑦𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐴 = 62,3 ∗ 8,77 ∗ sen 45º ∗ 25,13 = 9709 lb
Hidráulica
Exercício 2
Uma comporta semicircular invertida está instalada a 450 com relação à superfície livre da água(62,3 lb/pés³). O 
topo da comporta está 5 pés abaixo dasuperfície da água na direção vertical. Determine a força hidrostática e o 
centro de pressão sobre a comporta
𝐼0 =
(9𝜋2 − 64)𝑟4
72𝜋
=
• 𝐷𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑖𝑜𝑟 𝐴 = 25,13𝑝é𝑠2𝑒 ത𝑦=8,77 pés
𝑦𝑝 =
𝐼0
𝐴ത𝑦
+ ҧ𝑦 =
Essa é a distância inclinada medida entre a superfície da água e 
o centro de pressão
𝑦𝑝 =
𝐼0
𝐴 ത𝑦
+ ҧ𝑦
Hidráulica
Exercício 2
Uma comporta semicircular invertida está instalada a 450 com relação à superfície livre da água(62,3 lb/pés³). O 
topo da comporta está 5 pés abaixo da superfície da água na direção vertical. Determine a força hidrostática e o 
centro de pressão sobre a comporta
𝐼0 =
(9𝜋2 − 64)𝑟4
72𝜋
=
(9𝜋2 − 64)44
72𝜋
= 28,1pés4
• 𝐷𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑖𝑜𝑟 𝐴 = 25,13𝑝é𝑠2𝑒 ത𝑦=8,77 pés
𝑦𝑝 =
𝐼0
𝐴ത𝑦
+ ҧ𝑦 =
28,1
25,13 ∗ 8,77
+ 8,77 = 0,127 + 8,77 = 8,90𝑝é𝑠
Essa é a distância inclinada medida entre a superfície da água e 
o centro de pressão
𝑦𝑝 =
𝐼0
𝐴 ത𝑦
+ ҧ𝑦