Introdução à Bioestatística

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BIOESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Luciane Zickuhr Tomelin 
 
 
 
 
Apostila de Estatística – Prof.ª Luciane Zickuhr Tomelin – Dept.º Matemática FURB Página 2 
 
CAPÍTULO 1: GENERALIDADES ESTATÍSTICAS 
 
1.1- O que é Estatística? 
 
A palavra estatística vem do latim e significa ‘estado’. Os primeiros 
usos da estatística foram realizados para a obtenção do n.º de habitantes, de 
nascimentos, casamentos, ... e elaboração de tabelas e gráficos para a apresentação 
resumida de várias características de um país. 
 
1.2- Definição 
 
Podemos definir a Estatística como um conjunto de métodos e processos 
quantitativos que serve para estudar e medir fenômenos coletivos. 
Podemos também definir a Estatística como um conjunto de métodos e 
técnicas que, através de dados obtidos em estudos ou experimentos realizados nas 
mais diferentes áreas do conhecimento, permite organizar, descrever, analisar, 
interpretar e tirar conclusões com base nesses dados. 
 
Bioestatística: é a estatística aplicada às ciências biológicas e da saúde. 
Ela é fundamental para a genética, a pesquisa clínica, e epidemiologia, ... 
 
1.3- Ramos da Estatística 
 
A Estatística se divide em três ramos: Estatística Descritiva, Teoria das 
Probabilidades e Inferência Estatística. 
 
1.3.1- Estatística Descritiva 
Compreende a coleta, a organização, a análise e o resumo de dados 
oriundos de pesquisas ou levantamentos de dados. Aqui, utilizam-se tabelas e 
gráficos para representar essas informações. Ex.: n.º de partos, nível de poluição 
ambiental, n.º dos casos de dengue em determinada região, estado de saúde das 
pessoas em relação ao tabagismo, notas de estudantes em determinada disciplina, ... 
Neste ramo, se enquadram as medidas de tendência central (média, 
mediana e moda) e as medidas de dispersão ou variabilidade (desvio-padrão, 
desvio- médio variância, ...). 
 
1.3.2- Teoria das Probabilidades 
Sempre que estudamos fenômenos de caráter aleatório, deparamos com a 
incerteza de seus resultados, pois não podem ser previstos com plena certeza; então, 
é a Teoria das Probabilidades que se encarrega de realizar e desenvolver esses 
estudos. 
Ex.: a) Qual a chance da população adquirir a doença X? 
b) Que garantia temos de que o conteúdo de determinada lata em conserva 
de certo produto está em condições de ser consumido, mesmo que dentro do seu 
prazo de validade? 
c) Qual é a probabilidade da pessoa sorteada, ser vegana? 
 
 
 
 
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1.3.3- Inferência Estatística 
Inferir significa tirar por conclusão; deduzir pelo raciocínio. Este é o 
terceiro ramo da Estatística, em que envolve a formulação de certos julgamentos 
sobre um todo (população ou universo) após examinar apenas uma parte dele 
(amostra). A Inferência Estatística é feita por meio de teste de hipóteses, mas como 
toda inferência, está sujeita a erro. Ela tem como base, a Teoria das Probabilidades. 
 
1.4- Variáveis Estatísticas 
 
As variáveis são divididas em quantitativas (natureza numérica) e 
qualitativas (não numéricas). 
 
1.4.1- Variáveis quantitativas 
Podem ser divididas em discretas (quando os valores podem ser contados; 
ex.: n.º de pessoas que procuram um tratamento com fisioterapeuta, quantidade de 
alunos do 3.º semestre de medicina veterinária, quantidade de notas fiscais emitidas 
pelo hospital X no final do dia,...) e contínuas (quando se pode tomar qualquer 
valor de um determinado intervalo de números reais; ex.:altura de pessoas, 
consumo de energia elétrica dos habitantes da cidade X...). 
 
1.4.2- Variáveis qualitativas 
São classificadas em ordinais (quando as variáveis possuem uma ordenação natural 
ou sequência classificatória; ex.: tamanho (p, m ou g), nível de instrução de uma 
pessoa (EF, EM, ES ou PG), classe social (A, B, C, D ou E)...) e nominais (quando 
não é possível estabelecer uma ordem natural entre as situações; ex.: esporte que 
pratica (futebol, natação,...), estado civil (casado, separado, solteiro,...). 
 
1.5 Levantamento ou Método Estatístico ou Método Científico 
 
A partir do momento em que nos encontramos interessados ou envolvidos numa 
pesquisa, que necessite de dados mensuráveis, temos a necessidade de fazer um 
levantamento estatístico, ou seja, precisamos coletar, representar, descrever, 
analisar e prever o objeto ou o acontecimento em questão. 
Nisto utilizamos o Método Científico que é um conjunto de estratégias, 
ferramentas e ideias resultantes da experiência humana e consequentemente do 
acúmulo de saberes, que, estruturadas e sistematizadas, possibilitam alcançar um 
objetivo, que é responder a uma pergunta. 
Por ex.: 
# Qual é a prevalência da tuberculose na região X? 
# Qual a incidência da aids na cidade S? 
# Como é a qualidade de vida dos veterinários da clínica R? 
# Quais são as características dos usuários de uma unidade de saúde? 
 
Para tanto, encontramos 6 fases inseridas neste levantamento: 
 
1a Fase → Planejamento 
Consiste num cronograma de atividades, respondendo uma série de 
interrogações, ou seja: o que? onde? quando? por quê? para que? como? Nada mais 
é do que, a definição do universo, da população, das informações, do tipo de 
levantamento, do prazo, do custo, ...; 
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- Para a escolha da técnica (como?): via postal, pessoas, através de questionário, 
entrevista direta, google docs, google forms, e-mail, teste, ...; esta escolha da 
técnica, deverá ser clara, simples e ter uma sequência lógica. 
 
2a Fase → Coleta de Dados 
Consiste num registro de dados, segundo o(s) objetivo(s) determinado(s). 
 
3a Fase → Apreciação ou Crítica 
Consiste na possível eliminação de erros, que possam afetar os resultados. Pode 
ser externa (erro do observado) ou interna (erro do observador); 
 
4a Fase → Apuração ou Contagem dos Dados 
Processa os dados obtidos e dispõe os resultados mediante critérios de 
classificação. 
 
5a Fase → Exposição dos resultados 
É a organização racional e prática para melhor entendimento dos dados através 
de gráficos, tabelas ou séries. Constitui a fase mais importante pois, é a coerência 
do levantamento; 
 
6a Fase → Interpretação dos fatos 
É a conclusão final (numérica ou não) 
 
Exercício: 
Elaborar um Planejamento, para um futuro Levantamento Estatístico. 
 
1.6 Questionário 
 
Quanto às questões, destacamos alguns CUIDADOS a serem observados: 
 
# explicar o objetivo do questionário e como ele poderá ser devolvido; 
# o questionário não deve ser de grande extensão (no máximo 15 
minutos); 
# a redação deve ser clara, simples e dirigida ao leitor, como se o 
entrevistador estivesse conversando com ele (utilizar vocabulário compatível 
com o universo a ser pesquisado); 
# as questões devem ser curtas e objetivas, nunca exigindo duas ou mais 
informações numa mesma pergunta (a não ser que este seja o objetivo); 
# ser uma forma de informação adequada às necessidades definidas pela 
pesquisa; o objetivo sempre deverá ser um instrumento de informações de 
variáveis do universo; 
# devem-se preferir questões cujas respostas sejam quantificáveis; 
# para facilitar as respostas, as questões devem estar dispostas em ordem 
cronológica e segundo um grau crescente de dificuldade; 
# procurar incluir pontos de “amarração” que permitam verificar possíveis 
chutes; 
# prever e dispor as respostas numa forma tal que facilite a sua tabulação 
para processamento posterior. 
# devem-se evitar questões: 
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• declarativas ou opinativas em excesso, a menos que este seja o objetivo 
do estudo; 
• que exijam cálculos ou raciocínios complicados ou ainda a consulta a 
longas notas explicativas; 
• polêmicas ou que possam ferir suscetibilidades;• evitar formular duas perguntas em uma (Ex.: Você considera este 
veículo bonito e espaçoso?) 
 • evitar perguntas negativas. (Ex.: Na sua opinião o técnico não deveria 
ter substituído o jogador? A resposta sim quer dizer que não deveria...) 
• não direcionar a pesquisa para um resultado desejado, nem refletir a 
posição do pesquisador em relação ao assunto 
 
Obs.: realizar pré-teste piloto (10 a 20 pessoas) em amostra com as 
mesmas características da população, permite a melhoria da qualidade do 
questionário bem como a reformulação de sua linha de condução de raciocínio. 
 
1.6.1 Tipos de perguntas 
 
 Perguntas fechadas 
- Dicotômicas (Ex.: sim/não; tem/não tem; V/F;...) 
- Respostas múltiplas (Ex.: manhã/tarde/noite; sim/talvez/não...) 
- Alternativas hierarquizadas (Ex.: ótimo/bom/regular/ruim/péssimo/não 
sabe) 
Obs.: 1)as alternativas de resposta devem ser exaustivas, pois se a opção 
do entrevistado não está presente, então ele optará por uma das respostas 
(incluir sempre alternativas como: outro, não sabe, não conhece,...) 
2) as alternativas devem ser excludentes, para que uma resposta não esteja 
em duas opções (Ex.: Idade ( ) menos de 20 ( ) 20 a 30 ( ) 31 a 40 ( )acima de 
40) 
 
Vantagens de perguntas fechadas 
São fáceis de codificar. O entrevistado só assinala e não escreve sendo 
menos cansativo em responder. 
 
Desvantagens de perguntas fechadas 
Limitação das respostas às alternativas propostas. 
 
 Perguntas abertas 
Levam a responder com frases ou orações. (Ex.: Justifique porque você 
está contente com seu emprego. 
 
Vantagens de perguntas abertas 
Resposta com mais liberdade. 
 
Desvantagens de perguntas abertas 
Dificuldade de codificação e classificação. Diferença na facilidade de 
escrever dos entrevistados; demora no preenchimento da resposta; não 
responder às questões. 
 
 
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 Perguntas abertas e fechadas 
A pergunta fechada terá uma pergunta aberta.( Ex.: ( ) preto ( ) branco ( ) 
outro quais? ___________) 
 
 
Exemplo de Questionário (Referente a satisfação dos serviços prestados 
da Unidade de Saúde X) 
 
Estamos realizando uma pesquisa para fins acadêmicos. Você foi selecionado para 
participar e sua opinião é muito importante. Gostaríamos que respondesse a algumas perguntas. 
Garantimos confidencialidade dos dados, que somente serão divulgados de forma 
agregada, garantindo o anonimato dos participantes. 
 
PARTE I 
1) Sexo 
( ) Masculino ( ) Feminino 
 
2) Faixa etária: 
( ) menos de 18 anos 
( ) 18 – 24 
( ) 25 – 31 
( ) 32 – 38 
( ) 39 – 45 
( ) 45 – 51 
( ) acima de 51 
 
3) Estado civil: 
( ) Casado (a) 
( ) Solteiro (a) 
( ) Divorciado (a) / Separado (a) 
( ) Viúvo (a) 
( ) União Estável 
 
4) Grau de escolaridade 
( ) Ensino Fundamental I 
( ) Ensino Fundamental II 
( ) Ensino Médio 
( ) Ensino Superior 
( ) Pós – Graduação 
 
5) Faixa salarial 
( ) menos de 1500 reais 
( ) 1500 – 2000 reais 
( ) 2001 – 2500 reais 
( ) acima de 2500 reais 
 
PARTE II 
6) Você costuma frequentar muito esta unidade de saúde? 
( ) Sim ( ) Não 
 
7) Até hoje, você frequentou esta unidade: 
( ) Somente uma vez 
( ) Mais de uma vez 
 
8) Qual (ais) serviço(s) você utiliza nesta Unidade de Saúde? 
( ) Médico ( )Dentista ( ) Fisioterapeuta ( )Psicólogo ( ) Nutricionista 
 
9) Como você avalia a higiene desta Unidade? 
( ) Ótimo ( )Bom ( ) Regular ( ) Ruim ( ) Péssimo 
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10) Como você avalia o atendimento inicial (recepção) nesta Unidade? 
 ( ) Ótimo ( )Bom ( ) Regular ( ) Ruim ( ) Péssimo 
 
11) Como você avalia o atendimento e o serviço prestado pelo profissional da saúde que 
lhe atendeu? 
Médico: 
( ) Ótimo ( )Bom ( ) Regular ( ) Ruim ( ) Péssimo ( ) Não utilizei 
 
Dentista: 
( ) Ótimo ( )Bom ( ) Regular ( ) Ruim ( ) Péssimo ( ) Não utilizei 
 
Fisioterapeuta: 
( ) Ótimo ( )Bom ( ) Regular ( ) Ruim ( ) Péssimo ( ) Não utilizei 
 
Psicólogo: 
( ) Ótimo ( )Bom ( ) Regular ( ) Ruim ( ) Péssimo ( ) Não utilizei 
 
Nutricionista: 
( ) Ótimo ( )Bom ( ) Regular ( ) Ruim ( ) Péssimo ( ) Não utilizei 
 
12) Espaço reservado para algum comentário (elogio, crítica, sugestão de melhoria, ...) 
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 
 
............................................................................................................................................ 
 
 
1.7 Arredondamento de dados (Normas gerais) 
 
1a Norma: quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3 
ou 4, fica inalterado o último algarismo a permanecer. 
Exemplos: 48,32  
 47, 834  
 2,3  
 4, 56487  
 
2a Norma: quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, 6, 7, 8 
ou 9, aumenta-se em uma unidade o último algarismo a permanecer. 
Exemplos: 48,27  
 23,367  
 13,9  
 4,56748  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
1)Fazer o arredondamento dos seguintes números: 
Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 
53,479 Inteiros 
26,571 Décimos 
152,9838... Centésimos 
31,834 Décimos 
65,0921 Centésimos 
16,504 Inteiros 
27,587 Centésimos 
37,6032 Centésimos 
44,964... Décimos 
315,500 Inteiros 
316,5000 Inteiros 
316,750 Décimos 
316,705 Centésimos 
316,735 Centésimos 
4,972618 Milésimos 
10,739274 Décimos de milésimos 
81,938372 Milésimos 
0,0034186 Décimos de milésimos 
0,00083724 Centésimos de milésimos 
12,1450000000 Centésimos 
12,14555 Centésimos 
83,6545 Décimos 
83,6545 Décimos 
127,85005 Décimos 
72,150005 Centésimos 
16,3445... Milésimos 
8,0995000 Milésimos 
123557 Dezena mais próxima 
130,055 Unidade mais próxima 
6739 Centena mais próxima 
 
2) A Secretaria da Saúde declarou ter recebido os seguintes formulários de 
inscrição para o Prêmio de Qualidade Nacional MB: 23 de médicos, 18 de 
fisioterapeutas e 30 de psicólogos. 
a) A área da saúde (medicina, fisioterapia e psicologia) é variável qualitativa ou 
quantitativa? 
b) Que porcentagem de formulários foi entregue por cada categoria descrita? 
 
3) Declare se cada uma das seguintes variáveis é quantitativa (discreta ou contínua) 
ou qualitativa (nominal ou ordinal): 
a) Atendimentos anuais: 
b) Região de residência do paciente, no início do tratamento oncológico, 
ambulatorial (Norte, Nordeste, Centro-Oeste, Sudeste, Sul): 
c) Estadiamento clínico do paciente, no momento do diagnóstico clínico de câncer 
na boca (in situ, I, II, III ou IV): 
d) Renda familiar de uma pessoa: 
e) Utilização de medicamentos durante a gestação (Sim; Não): 
f) Área em que o paciente reside (rural, urbana): 
g) Classificação socioeconômica do chefe do domicílio (muito pobre, pobre, médio, 
rico, muito rico): 
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h) Frequência com que um paciente se sente cansado durante as atividades 
rotineiras (nunca, raramente, algumas vezes, muitas vezes, sempre): 
i) Idade gestacional de grávidas atendidas um uma unidade de saúde, em semanas 
completas: 
 
 
1.8 Como coletar dados (amostragem – I parte) 
 
1.8.1- Amostras e Populações 
 
Em um levantamento com um grande n.º de dados, dificilmente tem-se acesso ao 
todo, que se chama população ou universo, então considera-se apenas uma parte dessa 
população, que se chama amostra e que deve ser aleatória, isto é, todo elemento da 
população tem a mesma chance que todos osoutros elementos da população de pertencer a 
essa amostra. 
Uma população pode ser: 
- Finita: quando possui um n.º determinado de elementos. 
- Infinita: quando possui um n.º infinito de elementos. É importante observar que 
na prática, não existe n.º infinito de elementos. Neste caso, consideramos populações 
infinitas quando estas apresentam um grande n.º de elementos (ex.: quantidade de árvores 
existentes em um país). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.8.2- Amostragem 
 
A amostragem é o ato ou o processo de seleção ou extração de amostras de uma 
população, e que tem as mesmas características desejadas. 
A complexidade da amostragem depende da população e do problema que se 
pretende estudar. Na indústria, por ex., as obtenções das amostras para o controle de 
qualidade dos produtos não são tão difíceis em se obter, enquanto nos problemas 
econômicos e sociais, por ex., encontram-se muita dificuldade na obtenção das amostras, 
exigindo do pesquisador muita prática e bom senso. 
 
Importante! 
 
Quando o uso da amostragem não é interessante? 
Citaremos três situações em que o uso da amostragem pode não ser indicado: 
1) POPULAÇÃO PEQUENA. Se a população for pequena ( 50 elementos), para 
termos uma amostra capaz de gerar resultados precisos para os parâmetros da população, 
necessitamos de uma amostra relativamente grande (em torno de 80% da população). 
Geralmente é mais relevante o tamanho absoluto da amostra do que a percentagem que 
ela representa na população. Por exemplo, para verificar o tempero de um alimento em 
preparação, desde que o alimento esteja bem mexido, uma amostra de uma colher é 
suficiente, independente de estarmos preparando uma pequena ou grande quantidade de 
alimento. 
 
2) CARACTERÍSTICA DE FÁCIL MENSURAÇÃO. Talvez a população não seja tão 
pequena, mas a variável que se quer observar é de tão fácil mensuração, que não 
compensa investir num plano de amostragem. Por exemplo, para verificar a porcentagem 
de enfermeiros favoráveis à mudança de horário de um turno de trabalho, podemos 
entrevistar toda a população no próprio local de trabalho. 
 
3) NECESSIDADE DE ALTA PRECISÃO. A cada 10 anos o IBGE realiza um Censo 
Demográfico para estudar diversas características da população brasileira. Dentre as 
características tem-se o parâmetro número de habitantes residentes no país, que é 
fundamental para o planejamento do país. Desta forma, o parâmetro número de 
habitantes precisa ser avaliado com grande precisão e, por isso, se pesquisa toda a 
população. 
 
A amostragem é probabilística quando todos os elementos têm probabilidade 
conhecida, e não nula, de pertencer à amostra; caso contrário, a amostragem é não 
probabilística. 
 
 
1.8.3- Métodos de amostragem não probabilística 
 
(1) Amostragem por julgamento: Neste método, é o pesquisador quem faz a 
escolha dos elementos da amostra, os quais são selecionados com base no seu julgamento. 
 
Por ex.: Um pesquisador pretende entrevistar pessoas, com idade entre 40 e 50 
anos e que recebam entre 8 e 10 salários mínimos. Ao avistar uma pessoa, ele poderá 
julgar, pela sua aparência, que ela se enquadra nessas características, e assim poderá 
entrevistá-la. 
Também se encaixam nesse método as pessoas que são voluntárias, como, por 
ex., doadores de sangue, pessoas que se submetem a um tratamento para testar um novo 
medicamento,... 
 
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(2) Amostragem por conveniência (ou intencional): é um método bem simples 
e prático, no qual o pesquisador utiliza os resultados que já estão disponíveis, ou que são 
fáceis de coletarem. 
Ex.: Se um professor (ou pesquisador) que trabalha em uma universidade 
pretende realizar determinada pesquisa que envolva estudantes universitários, ele pode 
obter uma amostra formada por estudantes dessa própria universidade, pois são as pessoas 
que estão ao seu alcance, sendo, assim, uma amostra por conveniência. 
 
 
1.8.4- Métodos de amostragem probabilística 
 
(1) Amostragem casual ou aleatória simples: este tipo de amostragem é 
equivalente a um sorteio lotérico. Na prática, esta amostragem pode ser realizada 
numerando-se a população de um a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um 
dispositivo aleatório qualquer, k números dessa sequência, os quais corresponderão aos 
elementos pertencentes à amostra. 
 
Por ex., imagine que você precisa obter uma amostra de 5% dos 300 funcionários 
de um hospital para entrevistá-los sobre a qualidade das refeições servidas por um novo 
fornecedor. Uma forma bem simples de obter essa amostra é escrever o nome desses 
funcionários em pedaços de papel, colocá-los em uma caixa, misturar bem e retirar 15 
papéis. Outra forma seria a de elaborar uma lista desses 300 funcionários, numerando-os de 
001 a 300 e, em seguida, utilizar uma tabela de números aleatórios (existem várias tabelas 
desse tipo) para selecionar os 15 funcionários (também poderia ser utilizado o mesmo 
procedimento anterior, escrevendo esses números em pedaços de papel). 
 
(2) Amostragem proporcional estratificada: muitas vezes a população se 
divide em subpopulações – estratos. Como é provável que a variável em estudo 
apresente, de estrato em estrato, um comportamento heterogêneo e, dentro de cada 
estrato, um comportamento homogêneo, convém que o sorteio dos elementos da 
amostra leve em consideração tais estratos. É exatamente isso que fazemos quando 
empregamos a amostragem proporcional estratificada, que, além de considerar a 
existência dos estratos, obtém os elementos da amostra proporcional ao n.º de 
elementos dos mesmos. 
 
Por ex. se um pesquisador for fazer um levantamento na Secretaria da Saúde 
da cidade X, que tem 500 funcionários, sendo 300 homens e 200 mulheres, e quiser 
uma amostra de 5% desses funcionários, basta escolher aleatoriamente 5% do total de 
homens e 5% do total de mulheres (15 homens e 10 mulheres). 
 
(3) Amostragem sistemática: quando os elementos da população já se 
encontram ordenados, não há necessidade de construir o sistema de referência. São 
exemplos os prontuários de um hospital, os prédios de uma rua, as linhas de produção, 
etc. Nestes casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por 
um sistema imposto pelo pesquisador que chamamos de amostragem sistemática. 
 
Assim, no caso de uma linha de produção, podemos, a cada dez itens 
produzidos, retirar um para pertencer a uma amostra da produção diária. Neste caso, 
estamos fixando o tamanho da amostra em 10% da população. 
Neste caso, utilizamos a fórmula N/n onde N (universo) e n(tamanho da 
amostra). 
 
 
 
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Vamos analisar as situações descritas acima, através de um ex. prático. Com o 
objetivo de estudar algumas características dos funcionários de uma unidade de saúde, 
vamos extrair uma amostra aleatória simples de tamanho cinco. A listagem dos 
funcionários da unidade é apresentada a seguir: 
 
POPULAÇÃO: funcionários da unidade 
Aristóteles Anastácia Arnaldo Bartolomeu Bernardino 
Cardoso Carlito Cláudio Felício João da Silva 
Ernestino Endevaldo Francisco Hiraldo José de Souza 
Geraldo Gabriel Getúlio José C. Mauro 
Joana Joaquim Joaquina Maria Paula Thiago 
Josefa Josefina Maria J Ercílio Janete 
Paula Paulo C. Emílio Fabrício Roberto 
 
Para utilizar uma tabela de números aleatórios, precisamos associar cada 
elemento da população a um número. Por simplicidade, consideremos números inteiros 
sucessivos: 
 
Numeração dos elementos da população 
Aristóteles-
01 
Anastácia-
02 
Arnaldo-
03 
Bartolomeu-04 Bernardino-
05 
Cardoso-06 Carlito-07 Cláudio-
08 
Felício-09 João da 
Silva-10 
Ernestino-
11 
Endevaldo-
12 
Francisco-
13Hiraldo-14 José de 
Souza-15 
Geraldo-16 Gabriel-17 Getúlio-18 José C-19 Mauro-20 
Joana-21 Joaquim-22 Joaquina-
23 
Maria Paula-24 Thiago-25 
Josefa-26 Josefina-27 Maria J-
28 
Ercílio-29 Janete-30 
Paula-31 Paulo C.-32 Emílio-33 Fabrício-34 Roberto-35 
 
Extrair uma amostra aleatória simples de tamanho 5 utilizando a 1.ª linha da 
tabela de números aleatórios (ver final do capítulo). 
 
Resposta: 
 
Para selecionarmos nossa amostra, num primeiro momento, os elementos que 
compõe a população, precisam estar todos enumerados (condição necessária para fazer o 
sorteio e identificar o elemento da população). 
 
O segundo passo é utilizar o sorteador (google) https://sorteador.com.br/ ou a tabela 
de números aleatórios (usada para sorteios) que se encontra no final deste capítulo. 
 
Porém, antes de usarmos a tabela, precisamos identificar o n.º de algarismos 
necessários para ocorrer o sorteio. O n.º de algarismos irá depender do tamanho da 
população (que iremos identificar por N). 
 
No nosso exemplo, o tamanho da população é formado por 35 funcionários. 
Portanto, N = 35 (2 algarismos). Neste sentido, devemos usar 2 algarismos para o sorteio. 
 
No exemplo, foi pedido para utilizar a 1.ª linha da tabela de sorteios. Os valores que 
se encontram na 1.ª linha, são: 57 – 72 – 00 – 39 – 84 - ... (vejam que até agora, não 
sorteamos nenhum funcionário já que o n.º máximo se refere a 35. Então, devemos 
continuar sorteando até encontrarmos as 5 pessoas pretendidas. Caso chegar ao final da 1.ª 
https://sorteador.com.br/
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linha e ainda não tiver encontrado as 5 pessoas, passe para a linha seguinte e continue o 
sorteio. Vejamos: 
 
1.ª pessoa sorteada: 21 (Joana) 
2.ª pessoa sorteada: 13 (Francisco) 
3.ª pessoa sorteada: 08 (Claudio) 
4.ª pessoa sorteada: 29 (Ercilio) 
5.ª pessoa sorteada: 28 (Maria J.) 
 
Estas pessoas fazem parte da amostra. 
 
Utilizando o ex. acima, encontre 10% (este valor sempre difere) da população 
utilizando a amostragem proporcional estratificada. Em seguida, use a 1.ª e a 2.ª coluna 
da tabela de números aleatórios para destacar os funcionários selecionados. 
Resposta: 
 
Neste caso, primeiramente, precisamos separar os estratos na tabela para facilitar 
nosso sorteio. Então: 
 
Aristóteles-
01 
Arnaldo-02 Bartolomeu-
03 
Bernardino-04 Cardoso-
05 
Carlito-06 Cláudio-07 Felício-08 João da Silva-
09 
Ernestino-
10 
Endevaldo-
11 
Francisco-12 Hiraldo-13 José de Souza-
14 
Geraldo-15 
Gabriel-16 Getúlio-17 José C-18 Mauro-19 Joaquim-
20 
Thiago-21 Ercílio-22 Paulo C.-23 Emílio-24 Fabrício-
25 
Roberto-26 Anastácia-27 Joana-28 Joaquina-29 Maria 
Paula-30 
Josefa-31 Josefina-32 Maria J-33 Janete-34 Paula-35 
 
 
Num segundo momento, precisamos calcular o n.º de elementos que se encontram 
em cada estrato. Para isto, elaboramos a seguinte tabela de cálculo: 
 
Estrato População % (10%) Amostra 
Masculino 26 10/100 x 26 = 2,6 3 
Feminino 9 10/100 x 9 = 0,9 1 
Total 35 4 
 
Vejamos que precisamos sortear 3 homens e 1 mulher. Aí a pergunta: quem são? 
Para isto, precisamos recorrer ao sorteador (google) https://sorteador.com.br/ ou a nossa 
tabela de sorteios (final do capítulo). 
 
Vejam que o nosso exemplo, sugere que usemos a 1.ª e a 2.ª coluna da tabela de 
números aleatórios para destacar os funcionários selecionados. Quantos algarismos 
devemos utilizar para fazer o sorteio? Depende do tamanho da população (N). Como N = 
35 funcionários, devemos utilizar novamente, 2 algarismos. Portanto: 
 
O 1.º número sorteado seria o 57. Porém, não temos funcionário 57, já que a nossa 
enumeração máxima, corresponde a 35. Então, pulamos este valor. 
https://sorteador.com.br/
Apostila de Estatística – Prof.ª Luciane Zickuhr Tomelin – Dept.º Matemática FURB Página 14 
 
O 2.º n.º sorteado é 28. Vejam acima que temos este funcionário. Ele se refere á 
Joana. Vimos na tabela, que apenas devemos sortear 1 mulher. Caso acharmos mais algum 
n.º que corresponda a outra mulher, este deverá ser ignorado. 
 
O 3.º n.º sorteado é 92 (que será ignorado já que não temos este funcionário). Vamos 
continuar o sorteio até encontrarmos os 3 homens que estão faltando. Portanto, as pessoas 
sorteadas que formarão a amostra são: 
 
28 – Joana 
22 – Ercílio 
18 – José C. 
03 - Bartolomeu 
 
Voltando ao exemplo dos 35 funcionários (primeira tabela enumerada), 
vamos realizar uma amostragem sistemática de tamanho 5. Calculemos, 
inicialmente, o intervalo de seleção: N/n 
Resposta: 
 
Para realizar uma amostragem sistemática, primeiramente precisamos enumerar os 
membros da população que representamos por N. No nosso exemplo, o critério escolhido 
para fazer essa enumeração, foi ordem alfabética dos nomes dos funcionários. 
 
Ao mesmo tempo, precisamos conhecer o tamanho da amostra (representado por 
n). 
 
Num primeiro momento, iremos dividir o tamanho da população (N) pelo tamanho 
da amostra (n). Ou seja: 
 
𝑁
𝑛
 
 
Em nosso problema, N = 35 funcionários e ‘n’ = 5 funcionários. Substituindo os 
valores, teremos: 
 
35
5
= 7 
 
O resultado da divisão da população pela amostra sempre deverá ser inteiro. Caso 
isso não aconteça, devemos fazer o arredondamento conforme as normas que já estudamos 
no capítulo 1. 
 
Em seguida, devemos sortear um número de 01 até o resultado da divisão anterior, 
ou seja, até 07. 
 
Para isso, podemos utilizar o ‘sorteador’ em https://sorteador.com.br/ ou utilizar a 
tabela dos números aleatórios que se encontra na página 17 (cap. 1) da apostila de 
Estatística. 
 
 Lembro que na tabela, teremos que utilizar dois algarismos pois (N = 35 
funcionários, ou seja, formado por dois algarismos). Então, podemos escolher se quisermos 
utilizar linhas ou colunas para fazer o sorteio (basta sempre descrever para identificar). No 
exemplo, irei utilizar a primeira e segunda coluna (juntas). 
No caso do ‘sorteador’, basta imprimir o valor sorteado (a própria página permite 
esta ação). 
 
https://sorteador.com.br/
Apostila de Estatística – Prof.ª Luciane Zickuhr Tomelin – Dept.º Matemática FURB Página 15 
 
No exemplo, irei utilizar a tabela de números aleatórios (p.17 da apostila) utilizando 
a primeira e segunda coluna (juntas). Neste sentido, sorteamos os seguintes valores: 
57 – 28 – 92 – 90 – 80 - ... 
 
O primeiro número, entre 01 e 07 que apareceu é 03. 
 
Então 03, é o primeiro funcionário sorteado. Voltamos à tabela de funcionários 
(início do exemplo) para verificarmos quem é a pessoa. 
 
03 – Arnaldo (Este, é o único sorteado. Para descobrirmos quem serão os próximos 
funcionários que farão parte da amostra, basta somar 7 (resultado da divisão entre 
população e amostra, realizado anteriormente) até termos o total de 5 funcionários. 
Portanto: 
 
03 (+ 7) = 10 (João da Silva) 
 
O funcionário 10 (João da Silva) será o segundo funcionário da amostra. O próximo 
será: 
 
10 (+7) = 17 (Gabriel) E assim sucessivamente. Os próximos serão: 
 
17 (+7) = 24 (Maria Paula) e finalmente 
 
24 (+7) = 31 (Paula) 
 
Dessa forma, completamos o n.º de funcionários pedidos no exemplo. 
 
 
1.8.5 Fórmula para calcular o tamanho de uma amostra (segundo Barbetta) 
 
Um primeiro cálculo do tamanho da amostra pode ser feito, mesmo sem 
conhecer o tamanho da população, através da seguinte expressão: 
 
no=1/E² 
Conhecendo o tamanho da população (N), podemos corrigir o cálculo anterior. 
Temos: 
 
0
0.
nN
nN
n
+
= 
Onde: 
N = tamanho da população 
n = tamanho da amostra 
n0 = uma primeira aproximação para o tamanho da amostra 
E = erro amostral tolerável (em pesquisas sociais, o erro padrão é fixado em 
5%). 
 
Ex.: Planeja-se um levantamento por amostragem para avaliar diversas 
características da população (N=200) veterinários(as) da cidade A. Qual deve ser o 
tamanho mínimo da amostra aleatóriasimples tal que, possamos admitir que o erro 
amostral não ultrapasse a 5%( E0=0,05)? 
 
 
 
 
Apostila de Estatística – Prof.ª Luciane Zickuhr Tomelin – Dept.º Matemática FURB Página 16 
 
 Portanto: 
 
Primeiramente, vamos retirar os dados do problema. Temos: 
 
População: N = 200 funcionários. 
E0 = 5% (para cálculo, transforme sempre o valor da % em número fracionário 
ou decimal, como preferir. Fracionário 5% corresponde a 5/100 e decimal (5 dividido 
por 100 corresponde a 0,05) 
 
Como conhecemos o tamanho da população (N = 200) precisamos utilizar as 
duas fórmulas. 
 
 Portanto: 
0n = 2
0
1
E
 
 
Substituindo os valores na fórmula, temos: 
 
𝑛0 =
1
0,052
 = 
1
0,0025
 = 400 funcionários 
 
Esta seria a amostra caso não conhecêssemos o tamanho da população. 
Porém, o problema nos informa que a empresa possui 200 funcionários, ou seja, 
temos o conhecimento do tamanho da população. Portanto, teremos que arrumar o valor 
calculado anteriormente. 
Usamos então, a seguinte fórmula: 
 
0
0.
nN
nN
n
+
= 
 
Substituindo e calculando, temos: 
 
n = 
200 𝑥 400
200+400
 = 
80000
600
 = 133,33... 
 
Como não existem 133,33... pessoas, temos que arredondar este resultado para 
inteiros (ver normas de arredondamento na p. 08 da apostila (cap. 1)). 
 
Portanto, n = 133 funcionários, ou seja, este é o número mínimo de funcionários que 
precisam pertencer à amostra. 
 
 
Agora é com você: 
 
• Considerando os objetivos e os valores fixados no exemplo anterior, 
qual deveria ser o tamanho da amostra se a pesquisa fosse estendida 
para todos os veterinários da região, ou seja, N = 20.000? 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Estatística – Prof.ª Luciane Zickuhr Tomelin – Dept.º Matemática FURB Página 17 
 
Exercícios 
 
1) 1) Num estudo de amostragem de trabalho decidiu-se fazer 10 leituras (visitas para 
avaliações médicas), num período de 8 horas. O tamanho do universo S são 32 
horários, do qual será retirada uma amostra casualizada de 10 intervalos. 
 Quais intervalos escolher? Considere a 1ª e 2ª coluna da tabela de sorteio (números 
aleatórios, ver no final do capítulo), de cima para baixo, utilizando números com 2 
algarismos. Caso necessário, utilize também a 3.ª e 4.ª coluna. 
1. 8:00 – 8:15h 
2. 8:15 – 8:30h 
3. 8:30 – 8:45h 
4. 8:45 – 9:00h 
5. 9:00 – 9:15h 
6. 9:15 – 9:30h 
7. 9:30 – 9:45h 
8. 9:45 – 10:00h 
9. 10:00 – 10:15h 
10. 10:15 – 10:30h 
11. 10:30 – 10:45h 
12. 10:45 – 11:00h 
13. 11:00 – 11:15h 
14. 11:15 – 11:30h 
15. 11:30 – 11:45h 
16. 11:45 – 12:00h 
17. 13:00 – 13:15h 
18. 13:15 – 13:30h 
19. 13:30 – 13:45h 
20. 13:45 – 14:00h 
21. 14:00 – 14:15h 
22. 14:15 – 14:30h 
23. 14:30 – 14:45h 
24. 14:45 – 15:00h 
25. 15:00 – 15:15h 
26. 15:15 – 15:30h 
27. 15:30 – 15:45h 
28. 15:45 – 16:00h 
29. 16:00 – 16:15h 
30. 16:15 – 16:30h 
31. 16:30 – 16:45h 
32. 16:45 – 17:00h 
 
2) Uma população se encontra dividida em três estratos, com tamanhos N1 = 80, N2 = 
120 e N3 = 60. Ao se realizar uma amostragem estratificada proporcional, doze 
elementos da amostra foram retirados do primeiro estrato. Qual o n.º de elementos total 
da amostra? 
 
3) Os valores abaixo são referentes ao resultado de peso (kg) aplicados com 140 
pessoas. 
 
 
 
Apostila de Estatística – Prof.ª Luciane Zickuhr Tomelin – Dept.º Matemática FURB Página 18 
 
62 129 95 123 81 93 105 95 96 80 87 110 139 75 
123 60 72 86 108 120 57 113 65 108 90 137 74 106 
109 84 121 60 128 100 72 119 103 128 80 99 149 85 
77 91 51 100 63 107 76 82 110 63 131 65 114 103 
104 107 63 117 116 86 115 62 122 92 102 113 74 78 
69 116 82 95 72 121 52 80 100 85 117 85 102 106 
94 84 123 42 90 91 81 116 73 79 98 82 69 102 
100 79 101 98 110 95 67 77 91 95 74 90 134 94 
79 92 73 83 74 125 101 82 71 75 101 102 78 108 
125 56 86 98 106 72 117 89 99 86 82 57 106 90 
 
Obtenha uma amostra do consumo de 26 pessoas. Para isto, utilize a tabela de 
sorteios (ver final do capítulo). Na tabela de sorteios, comece utilizando a 1.ª linha da 
esquerda para a direita. Após retirar a amostra, calcule a média do índice corpóreo (peso) 
destes pacientes. 
 
4) Descreva como se faz uma amostragem sistemática de 35 elementos a partir de uma 
população ordenada formada por 2590 elementos. 
 
6) Uma população encontra-se dividida em 3 estratos com tamanhos N1 = 80, N2 = 120 
e N3 = 60. Pretende-se tirar uma amostra de 50 elementos da população. 
a) Por que não é recomendada uma amostra aleatória simples? 
b) Que tipo de amostragem é a mais adequada? Descreva como seria feita a 
amostragem. 
 
7) O secretário da saúde da cidade X quer encaminhar para um curso de capacitação 5% 
de seus 600 funcionários, escolhidos por meio de um processo de amostragem aleatória 
simples. Descreva o critério para a escolha desses funcionários. 
 
8) O departamento que controla a qualidade dos produtos de uma indústria de fármacos, 
quer fazer uma análise do peso constante na embalagem de seus produtos. Na 
impossibilidade de analisar todos os produtos, selecionou uma amostra de 12% de um 
lote com 98 unidades de um tipo de embalagem e 200 de outro tipo. Obtenha a 
quantidade dos componentes proporcionais da amostra estratificada. 
 
9)Numa pesquisa para estudar a preferência do eleitorado a uma semana da eleição 
presidencial, qual o tamanho de uma amostra aleatória simples de eleitores, que garanta, 
com alta confiança, um erro amostral não superior a 2%? 
 
10)Num hospital, com 1000 funcionários, deseja-se estimar a percentagem de 
funcionários favoráveis a um certo programa de treinamento. Qual deve ser o tamanho 
da amostra aleatória simples, sendo o erro amostral não superior a 5%? 
 
Apostila de Estatística – Prof.ª Luciane Zickuhr Tomelin – Dept.º Matemática FURB Página 19