Modulo 3

Prévia do material em texto

09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 1/46
ÁLGEBRA LINEARÁLGEBRA LINEAR
COMPUTACIONALCOMPUTACIONAL
MÉTODOS ITERATIVOSMÉTODOS ITERATIVOS
RESOLUÇÃO SISTEMASRESOLUÇÃO SISTEMAS
LINEARESLINEARES
Autor: Dr. Ricardo Igarashi
R e v i s o r : R a i m u n d o A l m e i d a
I N I C I A R
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 2/46
introduçãoIntrodução
Nesta unidade, reforçaremos o conteúdo do módulo II, apresentando a solução
geométrica de sistemas lineares 2x2 e 3x3. Esse conceito nos fornecerá uma visão
espacial do signi�cado de um sistema linear. Posteriormente, trabalharemos a
resolução de forma iterativa para sistemas lineares. Esse fato é de muita importância,
pois, muitas vezes, sistemas lineares não são resolvidos de forma analítica, e dessa
forma, teremos de usar métodos numéricos. Nesta unidade, apresentaremos o método
de Jacobi e método de Gauss Seidel. Esses métodos usarão como base um “chute”
inicial, e, após, serão usados métodos de recorrência, para a resolução do sistema.
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 3/46
Recordando:
Dizemos que (α1, α2, …, αn) ∈ R é solução de um sistema linear com n equações
quando (α1, α2, …, αn) é solução de cada uma das equações do sistema linear.
Vamos ver um exemplo:
Dado o sistema linear a seguir, mostre que (2, − 1, 4) é solução do sistema linear:
2x + 3y + 5z = 21
3x − 1y + 4z = 23
−4x + 2y − 6z = − 34
Veri�cando:
InterpretaçãoInterpretação
Geométrica dosGeométrica dos
Sistemas LinearesSistemas Lineares
{
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 4/46
2.(2) + 3.(−1) + 5.(4) = 4 − 3 + 20 = 21 
3.(2) − 1.(−1) + 4.(4) = 6 + 1 + 16 = 23 
−4.(2) + 2.(−1) − 6.(4) = − 8 − 2 − 24 = − 34
Como pudemos veri�car, o trio (2, − 1, 4) é solução do sistema linear, pois satisfez as
três equações.
Em estudos anteriores, vimos dois métodos de resolução de um sistema linear 2x e 3x3,
que foram a regra de Crammer e o método de Gauss-Jordam.
Neste modulo, veremos a interpretação geométrica dos sistemas lineares e dois
métodos iterativos, para a resolução do sistema.
Interpretação Geométrica de um
Sistema Linear 2x2
Os pares ordenados de números reais que são solução de uma equação linear com duas
incógnitas determinam, no grá�co, uma reta. A intersecção das retas das equações do
sistema determina sua solução, se existir.
Veja, a seguir, a representação geométrica dos três sistemas lineares e, analisando os
grá�cos, classi�que como SI (Sistema Impossível) SPD (Sistema Possível e
Indeterminado) ou SPI (Sistema Possível e Indeterminado).
Para representar cada uma das retas no plano cartesiano, basta determinar pares
ordenados que satisfaçam cada uma das equações:
3x − y = 10 → (4, 2), (2, − 4) 
2x + 5y = 1 → (−2, 1), (3, − 1)
Na Figura 3.1, as retas concorrentes indicam que existe um único par ordenado, que é a
solução do sistema solar, e essa solução é indicada na intersecção das duas retas.
{
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 5/46
x − 2y = 5 → (1, − 2), (−1, − 3)
2x − 4y = 2 → (1, 0), (3, 1) 
Na Figura 3.2, as retas paralelas e distintas indicam que não existe par ordenado que
seja solução do sistema linear (SI).
{
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 6/46
2x − 6y = 8 → (4, 0), (1, − 1) 
3x − 9y = 12 → (4, 0), (1, − 1)
Veja a Figura 3.3:
{
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 7/46
Na Figura 3.3, as retas coincidentes indicam que existem in�nitos pares ordenados, que
são soluções do sistema linear (SPI).
praticarVamos Praticar
Usando os conceitos apresentados até aqui, resolva o sistema linear 2x2 a seguir, usando o
método da adição. Classi�que-os quanto ao número de soluções e veri�que a solução
encontrada, fazendo a representação grá�ca do sistema linear.
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 8/46
3x − 2y = − 12
5x + 6y = 8 
a) O sistema tem solução única: x = − 2 e y = 3. A solução é representada pela
intersecção das retas, cujas soluções gerais são: 3x − 2y = − 12 e 5x + 6y = 8.
b) O sistema tem solução única: x = 2 e y = − 3. A solução é representada pela
intersecção das retas, cujas soluções gerais são: 3x − 2y = − 12 e 5x + 6y = 8.
c) O sistema tem solução única: x = 3 e y = 1. A solução é representada pela
intersecção das retas, cujas soluções gerais são: 3x − 2y = − 12 e 5x + 6y = 8.
d) O sistema não admite solução.
e) O sistema possui in�nitas soluções.
{
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 9/46
Considerando um sistema linear com três equações e três incógnitas,
geometricamente, cada uma das equações de�ne um plano. O termo ordenado (x, y, z)
pertence à intersecção entre os três planos.
Existem oito possibilidades para as posições relativas dos três planos que vamos
nomear de π1, π2 e π3 no espaço.
1ª possibilidade: os três planos coincidentes
Nesse caso, todos os pontos P(x, y, z) de π1 são solução do sistema; há, portanto,
in�nitas soluções (SPI).
Veja o exemplo a seguir:
InterpretaçãoInterpretação
Geométrica de umGeométrica de um
Sistema Linear 3x3Sistema Linear 3x3
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 10/46
x + y − z = 1 
2x + 2y − 2z = 2
4x + 4y − 4z = 4
 
Nesse caso, analisando o plano formado pelas três equações, podemos usar qualquer
uma das três equações para determinar uma solução genérica. Usaremos a equação 1.
x + y − z = 1 z = x + y − 1Solução = (x, y, x + y − 1)
Algumas possíveis soluções para o sistema (1, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 5, 6), que
representam um plano na �gura:
•2ª possibilidade: dois planos coincidem, e o terceiro é paralelo a eles
Nesse caso, o sistema é impossível, pois não existem pontos em comum aos três planos
(SI).
Veja o exemplo a seguir, cuja solução é apresentada na Figura 3.5:
x + y − z = 1 
2x + 2y − 2z = 2
4x + 4y − 4z = 7
 
{
Figura 3.4 - Plano formado pela 1ª equação
Fonte: Elaborada pelo autor.
{
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 11/46
3ª possibilidade: dois planos coincidem, e o terceiro os intersecta segundo
uma reta, como mostrado na Figura 3.5. Nesse caso, todos os pontos 
P(x, y, z) da reta formada pela intersecção dos três planos é solução do
sistema linear (SPI).
Como as duas primeiras equações formam o mesmo plano, analisaremos a primeira e a
terceira equações, para determinar a equação da reta e uma solução genérica para o
sistema.
x + y − z = 1 
2x + 2y − 2z = 2
4x + 4y − z = 4 
 
x + y − z = 1.(−4)
4x + 4y − z = 4 
−4x − 4y + 4z = − 4 
4x + 4y − z = 4 
3z = 0 z = 0   então 4x + 4y = 4 y = 1 − x
Solução genérica (x, 1 − x, z)
Exemplos de solução do sistema (1, 0, 0) , (2, − 1, 0)
Figura 3.5 - Dois planos coincidentes e outro paralelo
Fonte:Elaborada pelo autor.
{ {
{
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 12/46
4ª possibilidade: os três planos são paralelos
Nesse caso, o sistema é impossível, pois não existem pontos em comum aos três planos
(SI), como mostrado na Figura 3.7:
Veja o exemplo:
x + y − z = 1 
2x + 2y − 2z = 3
4x + 4y − 4z = 7
 {
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 13/46
5ª possibilidade: dois planos são paralelos, e o outro os intersecta, formando
duas retas, como mostrado na Figura 3.8.
Nesse caso, o sistema é impossível, pois não existem pontos em comum aos três planos
(SI).
Veja o exemplo:
x + y − z = 1 
2x + 2y − 2z = 3
4x + 4y − 4z = 4
 {
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 14/46
6ª possibilidade: os três planos são distintos e têm uma reta em comum,
como mostrado na Figura 3.9:
Nesse caso, todos os pontos P(x, y, z) da reta formada pela intersecção dos três planos
são solução do sistema linear (SPI).
x + y + z = 1
2x − y + z = 5 
4x + y + 3z = 7
 
A terceira equação é uma combinação entre a primeira e a segunda equações. Para
veri�car, basta multiplicar a primeira equação por dois e somar com a segunda.
Para determinar uma solução genérica, faremos combinações entre as duas primeiras
equações:
x + y + z = 1
2x − y + z = 5 3x + 2z = 6 z =
6 − 3x
2
 
{
{Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 15/46
x + y + z = 1 
2x − y + z = 5.(−1) 
x + y + z = 1
−2x + y − z = − 5 − x + 2y = − 4 y =
x − 4
2
Solu ̃a o gen ́e rica x, 
x − 4
2
, 
6 − 3x
2
Exemplos de solução do sistema (0, − 2, 3)(2, − 1, 0)
7ª possibilidade: os três planos se intersectam, dois a dois, formando três
retas paralelas, como mostrado na Figura 3.10.
Nesse caso, o sistema é impossível, pois não existem pontos em comum aos três planos
(SI).
Veja o exemplo:
{ {
( )
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 16/46
x + y − 3z = 1 
5x + 2y + z = 2 
9x + 3y + 5z = 5
 
8ª possibilidade: os três planos têm um único ponto em comum, como
mostrado na Figura 3.11.
Nesse caso, o sistema é possível e determinado, pois existe um único ponto em comum
aos três planos.
Vamos ver um exemplo
x + 2y − 3z = 4
2x + 3y + 4z = 5
4x + 7y − z = 13
 
x + 2y − 3z = 4
 −y + 10z = − 3
 −z = 0
 
z = 0, y = 3, x = − 2
{
{ {
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 17/46
Solução (−2, 3, 0)
praticarVamos Praticar
Dado um sistema de equações com três equações com três incógnitas:
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 18/46
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
cada equação representa um plano no espaço tridimensional. Dessa forma, os três planos
acima que vamos designar como π1, π2 e π3 são os planos de�nidos pelas equações do
sistema. Assim, as soluções do referido sistema pertencem à intersecção desses planos.
Usando esses conceitos, assinale a alternativa que corresponda à solução geométrica do
seguinte sistema linear:
x + 2y − z = 3
2x + 4y − 2z = 4
3x + 6y − 3z = 5
a) Os três planos coincidem. Nesse caso, o sistema é indeterminado e qualquer ponto
dos planos é uma solução do sistema.
b) O sistema é impossível. Nesse caso, dois planos coincidem, e o terceiro plano é
paralelo a eles.
c) Dois planos coincidem, e o terceiro os intersecta segundo uma reta r. Nesse caso, o
sistema é indeterminado, e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema.
d) Os três planos são paralelos. Nesse caso, o sistema é impossível.D.
e) Os planos formados pelas duas primeiras equações são paralelos, e o plano formado
pela terceira equação os intersecta segundo duas retas paralelas. Nesse caso, o
sistema é impossível.
[
[
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 19/46
Nesta seção, apresentaremos os métodos iterativos para a resolução de sistemas
lineares. Faremos uma pequena introdução aos métodos iterativos e, após,
apresentaremos os métodos de Gauss Jacobi e Gauss Seidel.
Introdução dos Métodos Iterativos
Os métodos iterativos consistem em transformar um sistema linear Ax = b em que:
A = matriz dos coe�cientes do sistema linear, n x n
x = matriz das variáveis, n x 1
b = matriz dos termos constantes, n x 1
Solução
Métodos IterativosMétodos Iterativos
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 20/46
Em um sistema do tipo x = Mx + c em que M é matriz n x n e c matriz n x 1
Observamos que φ(x) = Mx + c é uma função de iteração dada na forma matricial.
E, dessa forma, podemos iniciar o esquema iterativo.
Partindo de x ( 0 ) (aproximação inicial) podemos construir a seguinte sequência:
A próxima iteração é sempre calculada usando o valor da iteração anterior.
Teste de Parada
Primeira
Iteração
x (1) = C.x(0) + g = φ(x (0))
freepik.com
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 21/46
O processo iterativo é repetido até que a matriz solução x ( k ) do sistema linear seja
su�cientemente próxima da matriz x ( k− 1 )
Medimos essa distância por d ( k ) = max
Assim, dada uma precisão \varepsilon, a matriz {{x}^{\left( k \right)}} será escolhida
como resposta aproximada da solução exata do sistema linear se {{d}^{\left( k \right)}}
<\varepsilon
Podemos, também, efetuar o cálculo utilizando o teste do erro relativo:
d_{r}^{\left( k \right)}=\frac{{{d}^{\left( k \right)}}}{\underset{1~\le ~i~\le ~n}
{\mathop{\max }}\,~\left| x_{i}^{\left( k \right)} \right|}
Método de Gauss – Jacobi
A forma como o método de Gauss-Jacobi transforma o sistema linear Ax=b em um
sistema x=Mx+c é a seguinte:
Vamos pegar um sistema genérico n x n
\left\{ \begin{matrix}   {{a}_{11}}{{x}_{1}}+{{a}_{12}}{{x}_{2}}+\ldots +{{a}_{1n}}{{x}_{n}}=
{{b}_{1}}   \\   {{a}_{21}}{{x}_{1}}+{{a}_{22}}{{x}_{2}}+\ldots +{{a}_{2n}}{{x}_{n}}={{b}_{2}}   \\  
~\begin{matrix}   ~~\vdots ~~~~~~~~~~~\vdots ~~~~~~~~~~~~~~~~~\vdots
~~~~~~~~~~\vdots ~~~~~~~~~~~~~\vdots ~   \\   {{a}_{n1}}{{x}_{1}}+{{a}_{n2}}
{{x}_{2}}+\ldots +{{a}_{nn}}{{x}_{n}}={{b}_{n}}  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right.
A=\left[ \begin{matrix}   {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & \begin{matrix}   \ldots   & {{a}_{1n}}   \\
\end{matrix}   \\   {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & \begin{matrix}   \ldots   & {{a}_{2n}}   \\
\end{matrix}  \\   \begin{matrix}   \vdots   \\   {{a}_{n1}}  \\ \end{matrix} & \begin{matrix}  
\vdots   \\   {{a}_{n2}}  \\ \end{matrix} & \begin{matrix}   \begin{matrix}   \vdots   \\   \ldots  
\\ \end{matrix} & \begin{matrix}   \vdots   \\   {{a}_{nn}}  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix}  \\
\end{matrix} \right]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=\left[ \begin{matrix}   {{x}_{1}}   \\  Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 22/46
{{x}_{2}}   \\   \begin{matrix}   \vdots\\   {{x}_{n}}   \\ \end{matrix}   \\ \end{matrix}
\right]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~b=~\left[ \begin{matrix}   {{b}_{1}}   \\   {{b}_{2}}   \\  
\begin{matrix}   \vdots   \\   {{b}_{n}}  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right]
Inicialmente, temos de supor {{a}_{ii}}\ne 0~,~i=1,\ldots ,~n isolamos o x da diagonal
principal
\left\{\begin{matrix} {{x}_{1}}=\frac{1}{{{a}_{11}}}.\left( {{b}_{1}}-{{a}_{12}}{{x}_{2}}-
{{a}_{13}}{{x}_{3}}-\ldots -{{a}_{1n}}{{x}_{n}} \right)\\ {{x}_{2}}=\frac{1}{{{a}_{22}}}.\left(
{{b}_{2}}-{{a}_{21}}{{x}_{1}}-{{a}_{23}}{{x}_{3}}-\ldots -{{a}_{2n}}{{x}_{n}} \right) \\
\vdots~~~~~~~~~~~\vdots ~~~~~~~~~~~\vdots ~~~~~~~~~~~\vdots
~~~~~~~~~~~\vdots \\ {{x}_{n}}=\frac{1}{{{a}_{nn}}}.\left( {{b}_{n}}-{{a}_{n1}}{{x}_{1}}-
{{a}_{n2}}{{x}_{2}}-\ldots -{{a}_{n,n-1}}{{x}_{n-1}} \right) \end{matrix}\right.
Para fazer os passos da iteração, usaremos o valor determinado no passo anterior e,
portanto, teremos:
\left\{\begin{matrix} {{x}_{1}}^{\left( k+1 \right)}=\frac{1}{{{a}_{11}}}.\left( {{b}_{1}}-
{{a}_{12}}{{x}_{2}}^{\left( k \right)}-{{a}_{13}}{{x}_{3}}^{\left( k \right)}-\ldots -{{a}_{1n}}
{{x}_{n}}^{\left( k \right)} \right)\\ {{x}_{2}}^{\left( k+1 \right)}=\frac{1}{{{a}_{22}}}.\left(
{{b}_{2}}-{{a}_{21}}{{x}_{1}}^{\left( k \right)}-{{a}_{23}}{{x}_{3}}^{\left( k \right)}-\ldots -
{{a}_{2n}}{{x}_{n}}^{\left( k \right)} \right) \\ \vdots ~~~~~~~~~~~~~~~~~\vdots
~~~~~~~~~~~~~~~~~~\vdots ~~~~~~~~~~~\vdots ~~~~~~~~~~~~~~\vdots \\
{{x}_{n}}^{\left( k+1 \right)}=\frac{1}{{{a}_{nn}}}.\left( {{b}_{n}}-{{a}_{n1}}{{x}_{1}}^{\left( k
\right)}-{{a}_{n2}}{{x}_{2}}^{\left( k \right)}-\ldots -{{a}_{n,n-1}}{{x}_{n-1}}^{\left( k \right)}
\right) \end{matrix}\right.
Condição de Convergência
Considere o sistema linear
\left\{ \begin{matrix}   {{a}_{11}}{{x}_{1}}+{{a}_{12}}{{x}_{2}}+{{a}_{13}}{{x}_{3}}={{b}_{1}}  \\  
{{a}_{21}}{{x}_{1}}+{{a}_{22}}{{x}_{2}}+{{a}_{23}}{{x}_{3}}={{b}_{2}}   \\   {{a}_{31}}{{x}_{1}}+
{{a}_{32}}{{x}_{2}}+{{a}_{33}}{{x}_{3}}={{b}_{3}}  \\ \end{matrix} \right.
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 23/46
Vamos ver três critérios para analisar a convergência do sistema por método iterativo.
Esses critérios estabelecem apenas condições su�cientes.
1. Critério da soma por linha
{{a}_{11}}~\ge {{a}_{12}}+{{a}_{13}}~~~~~~~~~~~~~~~~{{a}_{22}}~\ge {{a}_{21}}+
{{a}_{23}}~~~~~~~~~~~~~~~{{a}_{33}}~\ge {{a}_{31}}+{{a}_{32}}~
Se as três desigualdades se veri�carem, podemos garantir a convergência. Se uma das
condições não está satisfeita, nada podemos a�rmar sobre a convergência.
2. Critério da soma por colunas
{{a}_{11}}~\ge {{a}_{21}}+{{a}_{31}}~~~~~~~~~~~~~~~~{{a}_{22}}~\ge {{a}_{12}}+
{{a}_{32}}~~~~~~~~~~~~~~~{{a}_{33}}~\ge {{a}_{13}}+{{a}_{23}}
Se as três desigualdades se veri�carem, podemos garantir a convergência. Se uma das
condições não está satisfeita, nada podemos a�rmar sobre a convergência.
3. Critério de Sassenfeld
{{\beta }_{1}}=\left| \frac{{{a}_{12}}}{{{a}_{11}}} \right|+\left| \frac{{{a}_{13}}}{{{a}_{11}}}
\right|<1~~~~~~~~~{{\beta }_{2}}=\left| \frac{{{a}_{21}}}{{{a}_{22}}} \right|.{{\beta
}_{1}}+\left| \frac{{{a}_{23}}}{{{a}_{22}}} \right|<1~~~~~~~~~{{\beta }_{3}}=\left|
\frac{{{a}_{31}}}{{{a}_{33}}} \right|.{{\beta }_{1}}+\left| \frac{{{a}_{32}}}{{{a}_{33}}} \right|.
{{\beta }_{2}}<1
Se as três desigualdades se veri�carem, podemos garantir a convergência. Se uma das
condições não está satisfeita, nada podemos a�rmar sobre a convergência.
Exemplo: mostre que, mesmo permutando a ordem das equações, o critério da soma
por linhas e por colunas não garante a convergência do sistema, mas o critério de
Sassenfeld satisfaz a condição de convergência.
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 24/46
\left\{ \begin{matrix}   3{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}-5{{x}_{3}}=2~~~   \\  
10{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+2{{x}_{3}}=-20   \\   2{{x}_{1}}+5{{x}_{2}}-3{{x}_{3}}=10~   \\
\end{matrix} \right.
Vamos permutar as equações, para tentar deixar os maiores valores de cada equação
na posição {{a}_{11}},~{{a}_{22}},~{{a}_{33}}
\left\{ \begin{matrix}   10{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+2{{x}_{3}}=-20~~~   \\  
2{{x}_{1}}+5{{x}_{2}}-3{{x}_{3}}=10~~~~   \\   3{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}-5{{x}_{3}}=2~~~~~~   \\
\end{matrix} \right.
Critério da soma por linha não satisfaz a condição de convergência, como podemos
veri�car:
10>3+2~\left( v \right)~~~~~~~5>2+3~\left( f \right)~~~~5>3+3~\left( f \right)
Critério da soma por colunas não satisfaz a condição de convergência, como podemos
veri�car:
10>2+3~\left( v \right)~~~~5>3+3~\left( f \right)~~~~5>3+2~\left( f \right)
O critério de Sassenfeld satisfaz a condição de convergência, como podemos veri�car:
{{\beta }_{1}}=\left| \frac{3}{10} \right|+\left| \frac{2}{10} \right|=~\frac{1}{2}~
<~1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{{\beta
}_{2}}=\left| \frac{2}{5} \right|.\frac{1}{2}+\left| \frac{-3}{5} \right|=\frac{4}{5}<1~
{{\beta }_{3}}=\left| \frac{3}{-5} \right|.\frac{1}{2}+\left| \frac{3}{-5} \right|.\frac{4}
{5}=\frac{39}{50}<1
1. Determine a solução do sistema linear a seguir, com \varepsilon <0,05:
\left\{ \begin{matrix}   10{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=7   \\   {{x}_{1}}+5{{x}_{2}}+
{{x}_{3}}=-8  \\   2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+10{{x}_{3}}=6  \\ \end{matrix} \right.
Inicialmente, veri�caremos as condições de convergência:
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 25/46
10>2+1~~~~~~~~~~5>1+1~~~~~~~~~~10>2+3
O sistema atende à condição da soma por linha.
Inicialmente, devemos isolar {{x}_{1}} na primeira equação, {{x}_{2}} na segunda equação
e {{x}_{3}} na terceira equação.
{{x}_{1}}=\frac{1}{10}.\left( 7-2{{x}_{2}}-{{x}_{3}} \right)~~
{{x}_{2}}=\frac{1}{5}.\left( -8-{{x}_{1}}-{{x}_{3}} \right)
{{x}_{3}}=\frac{1}{10}.\left( 6-2{{x}_{1}}-3{{x}_{2}} \right)~~
Se adotarmos como solução inicial {{x}^{\left( 0 \right)}}=\left[ \begin{matrix}   0  \\   0  \\
  0  \\ \end{matrix} \right], teremos:
{{x}_{1}}^{\left( 1 \right)}=\frac{1}{10}.\left( 7-2.0-0 \right)=0,7~
{{x}_{2}}^{\left( 1 \right)}=\frac{1}{5}.\left( -8-0-0 \right)=~-1,6
{{x}_{3}}^{\left( 1 \right)}=\frac{1}{10}.\left( 6-2.0-0 \right)=0,6~
{{x}^{\left( 1 \right)}}=\left[ \begin{matrix}   0,7  \\   -1,6  \\   0,6  \\ \end{matrix} \right]
Para pularmos essa primeira iteração, podemos sempre adotar a solução inicial como
sendo:
{{x}^{\left( 0 \right)}}=\frac{{{b}_{i}}}{{{a}_{ii}}}~~~x_{1}^{\left( 0 \right)}=\frac{{{b}_{1}}}
{{{a}_{11}}}=\frac{7}{10}~~~~~~~~~x_{2}^{\left( 0 \right)}=\frac{{{b}_{2}}}
{{{a}_{22}}}=\frac{-8}{5}~~~~~~~~x_{3}^{\left( 0 \right)}=~\frac{{{b}_{3}}}
{{{a}_{33}}}=~\frac{6}{10}
Prosseguindo vamos fazer a segunda iteração
{{x}_{1}}^{\left( 2 \right)}=\frac{1}{10}.\left( 7-2.\left( -1,6 \right)-0,6 \right)=~0,96
{{x}_{2}}^{\left( 2 \right)}=\frac{1}{5}.\left( -8-0,7-0,6 \right)=~-1,86
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 26/46
{{x}_{3}}^{\left( 2 \right)}=\frac{1}{10}.\left( 6-2.0,7-3.\left( -1,6 \right) \right)=0,94
{{x}^{\left( 1 \right)}}=\left[ \begin{matrix}   0,7   \\   -1,6   \\   0,6   \\ \end{matrix}
\right]~~~~~~~~~~~~~{{x}^{\left( 2 \right)}}=\left[ \begin{matrix}   0,96  \\   -1,86  \\  
0,94   \\ \end{matrix} \right]~~~~\left| {{x}^{\left( 2 \right)}}-~{{x}^{\left( 1 \right)}}
\right|=\left[ \begin{matrix}   0,26  \\   0,26  \\   0,34  \\ \end{matrix} \right]~
d_{r}^{\left( 2 \right)}=\frac{{{d}^{\left( 2 \right)}}}{\underset{1~\le ~i~\le ~n}
{\mathop{\max }}\,~\left| x_{i}^{\left( 2 \right)} \right|}=~\frac{0,34}{1,86}\cong
0,1827>0,05
Teremos de fazer maisuma iteração:
{{x}_{1}}^{\left( 3 \right)}=\frac{1}{10}.\left( 7-2.\left( -1,86 \right)-0,94
\right)=~0,978~~
{{x}_{2}}^{\left( 3 \right)}=\frac{1}{5}.\left( -8-0,96-0,94 \right)=~-1,98
{{x}_{3}}^{\left( 3 \right)}=\frac{1}{10}.\left( 6-2.0,96-3.\left( -1,86 \right) \right)=~0,966
{{x}^{\left( 2 \right)}}=\left[ \begin{matrix}   0,96   \\   -1,86   \\   0,94   \\ \end{matrix}
\right]~~~~~~~~~~~~~{{x}^{\left( 3 \right)}}=\left[ \begin{matrix}   0,978  \\   -1,98  \\  
0,966   \\ \end{matrix} \right]~~~~\left| {{x}^{\left( 3 \right)}}-~{{x}^{\left( 2 \right)}}
\right|=~\left[ \begin{matrix}   0,018  \\   0,12  \\   0,026  \\ \end{matrix} \right]
d_{r}^{\left( 3 \right)}=\frac{{{d}^{\left( 3 \right)}}}{\underset{1~\le ~i~\le ~n}
{\mathop{\max }}\,~\left| x_{i}^{\left( 3 \right)} \right|}=~\frac{0,12}{1,98}\cong
0,06O6>0,05
Teremos de fazer mais uma iteração:
{{x}_{1}}^{\left( 4 \right)}=\frac{1}{10}.\left( 7-2.\left( -1,98 \right)-0,966
\right)=~0,9994~~
{{x}_{2}}^{\left( 4 \right)}=\frac{1}{5}.\left( -8-0,978-0,966 \right)=~-1,9888~Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 27/46
{{x}_{3}}^{\left( 4 \right)}=\frac{1}{10}.\left( 6-2.0,978-3.\left( -1,98 \right)
\right)=0,9984~
{{x}^{\left( 3 \right)}}=\left[ \begin{matrix}   0,978  \\   -1,98  \\   0,966  \\ \end{matrix}
\right]~~~~~~~~~~~~~~{{x}^{\left( 4 \right)}}=\left[ \begin{matrix}   0,9994   \\  
-1,9888  \\   0,9984  \\ \end{matrix} \right]~~~\left| {{x}^{\left( 4 \right)}}-~{{x}^{\left( 3
\right)}} \right|=~\left[ \begin{matrix}   0,0214  \\   0,0088  \\   0,0324  \\ \end{matrix}
\right]
d_{r}^{\left( 4 \right)}=\frac{{{d}^{\left( 4 \right)}}}{\underset{1~\le ~i~\le ~n}
{\mathop{\max }}\,~\left| x_{i}^{\left( 4 \right)} \right|}=~\frac{0,0324}{1,9888}~\cong
0,01629<0,05
Portanto, a solução aproximada do sistema linear é x=\left[ \begin{matrix}   0,9994  \\  
-1,9888  \\   0,9984  \\ \end{matrix} \right].
praticarVamos Praticar
Vimos que um dos métodos de resolução de sistemas lineares são os métodos iterativos.
Nessa metodologia, devemos escolher valores iniciais para fazer a convergência do cálculo
iterativo. Também, devemos levar em conta a convergência do sistema linear.
\left\{ \begin{matrix}   k{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=1  \\   k{{x}_{1}}+6{{x}_{2}}=2  \\  
{{x}_{1}}+6{{x}_{2}}+8{{x}_{3}}=3  \\ \end{matrix} \right.
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 28/46
Pelo critério de linhas, assinale a alternativa que indica o intervalo de k, para que exista a
convergência do sistema apresentado:
a) 1<k<3.
b) 2<k<4.
c) 3<k<7.
d) 4<k<6.
e) 8<k<10.
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 29/46
Inicialmente, o método de Gauss-Seidel é exatamente igual ao método de Gauss-
Jacobi, ou seja, o processo iterativo consiste em sendo {{x}^{\left( 0 \right)}} uma
aproximação inicial, calcular {{x}^{\left( 1 \right)}},~{{x}^{\left( 2 \right)}}~,\ldots ,~
{{x}^{\left( k \right)}} até atingir uma resposta em que o erro relativo seja menor do que
o erro estipulado.
A diferença no processo iterativo de Gauss-Seidel consiste em usar valores já
conhecidos de {{x}^{\left( k \right)}}, portanto, no momento de se calcular x_{j}^{\left(
k+1 \right)} usamos todos os valores x_{1}^{\left( k+1 \right)},~\ldots ,~x_{j-1}^{\left(
k+1 \right)} que já foram calculados e os valores x_{j+1}^{\left( k \right)},~\ldots
,~x_{n}^{\left( k \right)} restantes.
Vamos pegar como exemplo o mesmo problema proposto anteriormente e resolvido
pelo método de Gauss-Jacobi.
Exemplo: determine a solução do sistema linear a seguir, com \varepsilon <0,05:
Método de Gauss-Método de Gauss-
SeidelSeidel
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 30/46
\left\{ \begin{matrix}   10{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=7   \\   {{x}_{1}}+5{{x}_{2}}+
{{x}_{3}}=-8  \\   2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+10{{x}_{3}}=6  \\ \end{matrix} \right.
Inicialmente, devemos isolar {{x}_{1}} na primeira equação, {{x}_{2}} na segunda equação
e {{x}_{3}} na terceira equação.
{{x}_{1}}=\frac{1}{10}.\left( 7-2{{x}_{2}}-{{x}_{3}} \right)~~
{{x}_{2}}=\frac{1}{5}.\left( -8-{{x}_{1}}-{{x}_{3}} \right)
{{x}_{3}}=\frac{1}{10}.\left( 6-2{{x}_{1}}-3{{x}_{2}} \right)~~
Se adotarmos como solução inicial {{x}^{\left( 0 \right)}}=\left[ \begin{matrix}   0  \\   0  \\
  0  \\ \end{matrix} \right], teremos:
{{x}_{1}}^{\left( 1 \right)}=\frac{1}{10}.\left( 7-2.0-0 \right)=0,7~
Agora vem a diferença no método de Gauss-Seidel, pois para calcular {{x}_{2}}^{\left( 1
\right),} já usaremos o {{x}_{1}}^{\left( 1 \right)}=0,7, já encontrado no passo anterior.
{{x}_{2}}^{\left( 1 \right)}=\frac{1}{5}.\left( -8-0,7-0 \right)=~-1,74
Para calcular o {{x}_{3}}^{\left( 1 \right)}, vamos utilizar os valores já calculados acima
{{x}_{1}}^{\left( 1 \right)}=0,7 e {{x}_{2}}^{\left( 1 \right)}=~-1,74.
{{x}_{3}}^{\left( 1 \right)}=\frac{1}{10}.\left( 6-2.0,7-3.\left( -1,74 \right) \right)=0,982~~
{{x}^{\left( 1 \right)}}=\left[ \begin{matrix}   0,7   \\   -1,74   \\   0,982   \\ \end{matrix}
\right]
Portanto, essa é a diferença do método de Gauss-Seidel: os valores que já foram
calculados são usados na própria iteração.
Vamos fazer mais uma iteração:
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 31/46
{{x}_{1}}^{\left( 2 \right)}=\frac{1}{10}.\left( 7-2.\left( -1,74 \right)-0,982
\right)=~0,9498
{{x}_{2}}^{\left( 2 \right)}=\frac{1}{5}.\left( -8-0,9498-0,982 \right)=~-1,98636
{{x}_{3}}^{\left( 2 \right)}=\frac{1}{10}.\left( 6-2.0,9498-3.\left( -1,98636 \right)
\right)=1
{{x}^{\left( 1 \right)}}=\left[ \begin{matrix}   0,7   \\   -1,74   \\   0,982   \\ \end{matrix}
\right]~~~~~~~~~~~~~{{x}^{\left( 2 \right)}}=\left[ \begin{matrix}   0,9498   \\  
-1,98636   \\   1,005948   \\ \end{matrix} \right]~~~~\left| {{x}^{\left( 2 \right)}}-~
{{x}^{\left( 1 \right)}} \right|=~\left[ \begin{matrix}   0,2498  \\   0,24636  \\   0,023948  \\
\end{matrix} \right]
d_{r}^{\left( 2 \right)}=\frac{{{d}^{\left( 2 \right)}}}{\underset{1~\le ~i~\le ~n}
{\mathop{\max }}\,~\left| x_{i}^{\left( 2 \right)} \right|}=~\frac{0,2498}{1,98636}\cong
0,1258>0,05
Teremos de fazer mais uma iteração:
{{x}^{\left( 2 \right)}}=\left[ \begin{matrix}   0,9498   \\   -1,98636   \\   1,005948   \\
\end{matrix} \right]
{{x}_{1}}^{\left( 3 \right)}=\frac{1}{10}.\left( 7-2.\left( -1,98636 \right)-1,005948
\right)=~0,9966772~~
{{x}_{2}}^{\left( 3 \right)}=\frac{1}{5}.\left( -8-0,9966772-1,005948 \right)=~-2,000525
{{x}_{3}}^{\left( 3 \right)}=\frac{1}{10}.\left( 6-2.0,9966772-3.\left( 0,9966772 \right)
\right)=~1,0008221
{{x}^{\left( 2 \right)}}=\left[ \begin{matrix}   0,9498   \\   -1,98636   \\   1,005948   \\
\end{matrix} \right]~~~~~~~~~~~~~{{x}^{\left( 3 \right)}}=\left[ \begin{matrix}  
0,9966772  \\   -2,000525  \\   1,0008221  \\ \end{matrix} \right]~~~~\left| {{x}^{\left( 3
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 32/46
\right)}}-~{{x}^{\left( 2 \right)}} \right|=~\left[ \begin{matrix}   0,0468772  \\   0,014165
 \\   0,0051259  \\ \end{matrix} \right]
d_{r}^{\left( 2 \right)}=\frac{{{d}^{\left( 2 \right)}}}{\underset{1~\le ~i~\le ~n}
{\mathop{\max }}\,~\left| x_{i}^{\left( 2 \right)} \right|}=~\frac{0,0468772}
{2,000525}\cong 0,023<0,05
Portanto, a solução aproximada do sistema linear é x=\left[ \begin{matrix}   0,9966772\\   -2,000525  \\   1,0008221  \\ \end{matrix} \right]
Para concluir, o método de Gauss-Seidel e o método de Gauss-Jacobi são algoritmos
utilizados para determinar soluções aproximadas para um sistema linear tão próximas
quanto for desejado.
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 33/46
O método de Gauss-Seidel foi criado para convergir mais rapidamente, pois na própria
iteração já utiliza os valores calculados. Isso acontece com a grande maioria dos
sistemas, mas não sempre.
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 34/46
Vamos ver mais um exemplo de resolução do sistema linear usando o método de
Gauss-Seidel.
Exemplo: veri�que a convergência e, caso seja satisfeita, obtenha a solução pelo
método de Gauss-Seidel com erro absoluto inferior a {{10}^{-3}}.
\left\{ \begin{matrix}   5x+y+z=5~~~~~   \\   3x+4y+z=6~~   \\   3x+3y+6z=0   \\
\end{matrix} \right.
Critério da soma por linha 5>1+1~~~~~~~~~~~~~~~~4>3+1~\left( f \right) não
satisfaz.
Critério da soma por colunas 5>3+3~\left( f \right) não satisfaz.
Critério de Sassenfeld:
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 35/46
{{\beta }_{1}}=\left| \frac{1}{5} \right|+\left| \frac{1}{5} \right|=0,4~
<1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{{\beta }_{2}}=\left| \frac{3}
{4} \right|.0,4+\left| \frac{1}{4} \right|=0,55~<1~~~~~~~~~
{{\beta }_{3}}=\left| \frac{3}{6} \right|.0,4+\left| \frac{3}{6} \right|.0,55=0,475<1
Critério de Sassenfeld é satisfeito, pois {{\beta }_{1}}<1~~~~~{{\beta }_{2}}<1~~~~~
{{\beta }_{3}}<1
O sistema converge:
\left\{ \begin{matrix}   x=\frac{1}{5}.\left( 5-y-z \right)~~~~~  \\   y=~\frac{1}{4}.\left( 6-
3x-z \right)~   \\   z=~\frac{1}{6}.\left( -3x-3y \right)~~   \\ \end{matrix}
\right.~~~~~~~~~~~{{\bar{x}}^{\left( 0 \right)}}=\left[ \begin{matrix}   0  \\   0  \\   0  \\
\end{matrix} \right]
\left\{ \begin{matrix}   {{x}^{\left( 1 \right)}}=\frac{1}{5}.\left( 5-0-0
\right)=1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~   \\   {{y}^{\left( 1 \right)}}=~\frac{1}{4}.\left( 6-
3.1-0 \right)=0,75~~~~~~~~~~~~   \\   {{z}^{\left( 1 \right)}}=~\frac{1}{6}.\left( -3.1-
3.0,75 \right)=-0,875~~   \\ \end{matrix} \right.~~~~~~~~{{\bar{x}}^{\left( 1
\right)}}=\left[ \begin{matrix}   1  \\   0,75  \\   -0,875  \\ \end{matrix} \right]
\left\{ \begin{matrix}  {{x}^{\left( 2 \right)}}=\frac{1}{5}.\left( 5-0,75-\left( -0,875 \right)
\right)=1,025~~   \\   {{y}^{\left( 2 \right)}}=~\frac{1}{4}.\left( 6-3.1,025-\left( -0,875
\right) \right)=0,95~   \\   {{z}^{\left( 2 \right)}}=~\frac{1}{6}.\left( -3.1,025-3.0,95
\right)=-0,9875~~~~  \\ \end{matrix} \right.~~~~~~~~{{\bar{x}}^{\left( 2 \right)}}=\left[
\begin{matrix}   1,025  \\   0,95  \\   -0,9875  \\ \end{matrix} \right]
E assim sucessivamente, até que o erro absoluto seja menor do que {{10}^{-3}}.
Lembrando que o erro absoluto é calculado por {{\bar{x}}^{\left( k \right)}}-
{{\bar{x}}^{\left( k-1 \right)}}.
Vamos, agora, utilizar o Excel para resolver o problema proposto.
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 36/46
Inicialmente, devemos escrever o sistema linear da seguinte forma:
\begin{matrix}   {{x}^{\left( k+1 \right)}}=\frac{1}{5}.\left( 5-{{y}^{k}}-{{z}^{k}} \right) \\  
{{y}^{\left( k+1 \right)}}=~\frac{1}{4}.\left( 6-3{{x}^{\left( k+1 \right)}}-{{z}^{k}} \right)  \\  
{{z}^{\left( k+1 \right)}}=~\frac{1}{6}.\left( -3{{x}^{\left( k+1 \right)}}-3{{y}^{\left( k+1
\right)}} \right)  \\ \end{matrix}
Agora, passemos ao Excel:
1° passo – criar a tabela a seguir no Excel, em que k=0 é o chute inicial:
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 37/46
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 38/46
Aqui, já podemos veri�car a primeira iteração e comparar com o resultado obtido
acima:
\left\{ \begin{matrix}   {{x}^{\left( 1 \right)}}=\frac{1}{5}.\left( 5-0-0
\right)=1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~   \\   {{y}^{\left( 1 \right)}}=~\frac{1}{4}.\left( 6-
3.1-0 \right)=0,75~~~~~~~~~~~~   \\   {{z}^{\left( 1 \right)}}=~\frac{1}{6}.\left( -3.1-
Figura 3.16 - Primeira iteração
Fonte: Elaborada pelo autor.
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 39/46
3.0,75 \right)=-0,875~~   \\ \end{matrix} \right.~~~~~~~~{{\bar{x}}^{\left( 1
\right)}}=\left[ \begin{matrix}   1  \\   0,75  \\   -0,875  \\ \end{matrix} \right]
Na sexta linha, já é possível obter a resposta com um erro absoluto menor do que
{{10}^{-3}}, como proposto no exercício.
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 40/46
praticarVamos Praticar
Resolva o sistema linear a seguir no Excel, usando o método de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel,
com erro absoluto \varepsilon <{{10}^{-4}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }, determinando o número de
iterações para cada método.
\left\{ \begin{matrix}   7x+3y+2z+w=13,5~~~~~~~~  \\   2x+10y+3z-2w=-24,5  \\  
\begin{matrix}   x-y+11z-3w=16~~~~~~~~  \\   -x+2y-3z+8w=3~~~~~~~~~~~~  \\
\end{matrix}  \\ \end{matrix} \right.~~~~~~~~~~~~~~{{\bar{x}}^{\left( 0 \right)}}=\left[
\begin{matrix}   0  \\   0  \\   \begin{matrix}   0  \\   0  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix} \right]
a) Gauss-Jacobi = 10 ; Gauss-Seidel= 9
b) Gauss-Jacobi = 11 ; Gauss-Seidel= 9
c) Gauss-Jacobi = 13 ; Gauss-Seidel= 7
d) Gauss-Jacobi = 11 ; Gauss-Seidel= 7
e) Gauss-Jacobi = 11 ; Gauss-Seidel= 8
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 41/46
indicações
Material
Complementar
F I L M E
O jogo da imitação
Ano: 2015
Comentário: Filme que conta a história de Alan Turing, um
cientista que ajudou a decifrar os códigos que os alemães
usam para se comunicarem com os submarinos. O mais
interessante é como ele programava o computador, para
tentar decifrar esses códigos.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer, disponível.
T R A I L E RLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 42/46
L I V R O
Guia Mangá. Álgebra Linear
Shin Takahashi
Editora: Novatec
ISBN: 8575222937
Comentário: Uma maneira divertida para aprender álgebra.
Basicamente, nesse mangá, um personagem que conhece
Matemática tem de ensinar álgebra para uma menina. Se ele
conseguir fazer isso, poderá entrar para o clube de caratê.
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 43/46
conclusão
Conclusão
Neste capítulo, aprendemos a resolver e a interpretar as soluções de sistemas lineares
2x2 e 3x3. Lembrando que no sistema 2x2 teremos duas retas e no sistema 3x3, três
planos. Também, apresentamos o método de resolução do sistema linear pelo método
iterativo. Nesses métodos, temos de começar com um “chute” inicial e, depois, fazemos
as iterações, até a convergência. Vimos dois métodos: Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel.
Veri�camos que o método de Gauss-Seidel é mais rápido de convergir do que o de
Gauss-Jacobi.
referências
Referências
Bibliográ�casBARROSO, L. C. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987.
DORNELLES FILHO, A. A. Fundamentos de cálculo numérico. Porto Alegre: Editora
Bookman, 2016.
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 44/46
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 45/46
09/06/2020 Ead.br
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller 46/46