Apostila_PM_-_hidrogenio

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Conjunto dos Números Inteiros 
São todos os números que pertencem ao conjunto dos 
Naturais(ℕ) mais os seus respectivos opostos (negativos). 
São representados pela letra ℤ: 
 ℤ = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são: 
ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} - Inteiros não negativos 
ℤ− = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} - Inteiros não positivos 
ℤ+
∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} - Inteiros não negativos e não-
nulos: ℤ+
∗ = ℕ∗ 
ℤ−
∗ = {...-4,-3,-2,-1} - Inteiros não positivos e não-nulos 
 Relação de ordem nos números inteiros 
Quando estabelecemos uma relação de ordem entre dois 
números, estamos identificando se eles são iguais, ou qual 
deles é o maior. Observe a reta numérica. 
 
Dados dois números inteiros, o maior é o que estiver à 
direita. Ex: -1 é maior -3; 0 é maior -1; 4 é maior 0 
 Módulo ou valor absoluto 
É o número sem considerar o seu sinal. Para indicar módulo 
escrevemos o número entre barras. 
Ex: |−3| = 3 |+5| = 5 |−124| = 124 
 Números opostos ou simétricos 
São números com o mesmo valor absoluto e sinais contrários. 
Ex: +4 e -4 são números opostos ou simétricos. 
 Adição e subtração de números inteiros 
 
Ex: + 5 + 7 = + 12 - 5 - 7 = - 12 
 + 5 - 7 = - 2 - 5 + 7 = + 2 
 Multiplicação e divisão de números inteiros 
 
Ex: (+4) . (+5) = +20 (+30) : (+6) = +5 
 (-3) . (-6) = +18 (- 20) : (-5) = +4 
 (+8) . (-3) = -24 (+18) : (-3) = -6 
 (-6) . (+5) = -30 (-15) : (+5) = -3 
 Produto de três ou mais números inteiros 
Ex: I) (+5) . (-4) . (-2) . (+3) = 
 (-20) . (-2) . (+3) = 
 (+40) . (+3) = +120 
 II) (-2) . ( -1) . (+3) . (-2) = 
 (+2) . (+3) . (-2) = 
 (+6) . (-2) = -12 
 Podemos concluir que: Quando o número de fatores 
negativos é par, o produto sempre é positivo. - Quando o 
número de fatores negativos é ímpar, o produto sempre é 
negativo. 
 O conjunto ℤ e suas propriedades 
 
 Potenciação e radiciação de números inteiros 
Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. Ex: 2³ = 2.2.2=8 
2 é a base, 3 é o expoente e 8 é a potência. 
Estamos trabalhando com números inteiros, portanto pode 
aparecer base negativa e positiva. 
Ex: (+3)² = (+3) . (+3) = +9 
(+2)³ = (+2) . (+2) . (+2) = +8 
(-2)² = (-2) . (-2) = +4 
(-2)³ = (-2) . (-2) . (-2) = -8 
Se a base é positiva o resultado é sempre positivo. 
Se a base é negativa e o expoente é par o resultado é 
positivo. Se a base é negativa e o expoente é ímpar o 
resultado é negativo. 
Importante: Todo número elevado à zero é sempre igual a 1. 
Raiz quadrada de um número quadrado perfeito é um número 
positivo cujo quadrado é igual ao número dado. 
 𝐸𝑥: √25 = 5, 𝑝𝑜𝑖𝑠 52 = 25 
1. Números inteiros: operações 
e propriedades 
 APOSTILA DE MATEMÁTICA – CONCURSO PM - 2020 
 Prof°: Rubem Machado - e-mail: rubemachado08@gmail.com 
 
 
 Expressões numéricas em ℤ 
Para resolver qualquer expressão numérica, devemos 
obedecer o “PEMDAS”: 
 
Calcular o valor das expressões: 
1°) exemplo: 
(-3)² - 4 - (-1) + 5² 
9 – 4 + 1 + 2 
5 + 1 + 25 
 6 + 25 
 31 
2°) exemplo 
5² + √9 – [(+20) : (-4) + 3] 
25 + 3 – [ (-5) +3 ] 
25 + 3 – [-2] 
25 +3 +2 
28 + 2 
30 
 
Um número racional é o que pode ser escrito na forma 
𝑝
𝑞
, 
onde p e q são números inteiros, sendo que q deve ser 
diferente de zero. 
Como podemos observar, números racionais podem ser 
obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão 
pela qual, o conjunto de todos os números racionais é 
denotado por ℚ. Assim, é comum encontrarmos na literatura 
a notação: ℚ = {𝒙 | 𝒙 = 
𝒑
𝒒
, 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒑 𝝐 ℤ 𝒆 𝒒 ∈ ℤ∗ } 
 
Desse modo: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ 
Onde se lê: o conjunto ℕ está contido em ℤ, que está contido 
em ℚ. 
No conjunto ℚ destacamos os seguintes subconjuntos: 
ℚ∗ = conjunto dos racionais não nulos; 
ℚ+ = conjunto dos racionais não negativos; 
ℚ+
∗ = conjunto dos racionais positivos; 
ℚ− = conjunto dos racionais não positivos; 
ℚ−
∗ = conjunto dos racionais negativos. 
 Representação Decimal das Frações 
Tomemos um número racional 
𝑝
𝑞
, tal que p não seja múltiplo de 
q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do 
numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número 
finito de algarismos. Decimais exatos: 
Ex: 
2
5
= 0,4 
1
4
= 0,25 
35
4
= 8,75 
153
50
= 3,06 
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos 
algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente, 
Decimais periódicos ou Dízimas periódicas: 
Ex: 
1
3
= 0,333 
1
2
= 0,04545 
167
6
= 2,53030 
 Representação Fracionária dos Números Decimais 
Trata-se do problema inverso: estando o número racional 
escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma 
de fração. Temos dois casos: 
1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o 
número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo 
numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas 
decimais do número decimal dado: Exemplos: 
 0,9 =
9
10
 5,7 =
57
10
 0,76 =
76
100
 0,005 =
5
1000
 
2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para 
tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns 
exemplos: 
1) Seja a dízima 0, 333.... 
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3) 
então vamos colocar um 9 no denominador e repetir no 
numerador o período. 
 
Assim, a geratriz de 0,333...é a fração 
3
9
 
2) Seja a dízima 5, 1717.... 
O período que se repete é o 17, logo dois noves no 
denominador (99). Observe também que o 5 é a parte inteira, 
logo ele vem na frente: 
 5 17
99
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (5 ∙ 99 + 17) = 512 
logo, 
512
99
 
Assim, a geratriz de 5,1717 … é a fração 
512
99
 
2. Números racionais, representação 
fracionária e decimal: 
operações e propriedades 
 
 
3) Seja a dízima 1, 23434... 
O número 234 é a junção do ante período com o período. 
Neste caso temos uma dízima periódica composta, pois existe 
uma parte que não se repete e outra que se repete. Neste 
caso temos um ante período (2) e o período (34). Ao 
subtrairmos deste número o ante período (234-2), obtemos 
232, o numerador. O denominador é formado por tantos 
dígitos 9 – que correspondem ao período, neste caso 99(dois 
noves) – e pelo dígito 0 – que correspondem a tantos dígitos 
tiverem o ante período, neste caso 0 (um zero). 
 
 1
232
990
→ 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (1 ∙ 990 + 232) = 1 222 
 
logo, 
1 222
990
 
Simplificando por 2, obtemos 𝑥 =
611
495
 que é a fração geratriz 
da dízima 1, 23434... 
 Módulo ou valor absoluto 
É a distância do ponto que representa esse número ao 
ponto de abscissa zero. 
 
Exemplos: 
1) Módulo de −
3
2
 é 
3
2
. Indica-se |−
3
2
| =
3
2
 
2) Módulo de +
3
2
 é 
3
2
. Indica-se |+
3
2
| =
3
2
 
 Números opostos ou simétricos 
Dizemos que −
3
2
 𝑒 
3
2
 são números racionais opostos ou 
simétricos e cada um deles é o oposto do outro. As distâncias 
dos pontos −
3
2
 𝑒 
3
2
 ao ponto zero da reta são iguais. 
 Inverso de um número racional 
Dois números racionais dizem-se inversos um do outro se o 
produto entre eles é 1. 
 
𝑎
𝑏
∙
𝑏
𝑎
= 1 
Para calcular o inverso de um número basta trocar o 
numerador pelo denominador e o denominador pelo 
numerador. 
 (
𝑎𝑏
)
−𝑛
= (
𝑏
𝑎
)
𝑛
, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 ≠ 0 𝑒 𝑏 ≠ 0 
 
 Representação geométrica dos números racionais 
 
 
 Soma (+) e Subtração (-) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito 
na forma de uma fração, definimos a adição e subtração entre 
os números racionais 
𝑎
𝑏
 e 
𝑐
𝑑
 , da mesma forma que a soma de 
frações, através de: 
𝑎
𝑏
±
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑 ± 𝑐𝑏
𝑏𝑑
 (𝑡é𝑐𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑜𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒𝑡𝑖𝑛ℎ𝑎) 
Ex: Qual é a soma de 
3
4
+
2
5
 ? 
 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜: 
3
4
+
2
5
 = 
3∙5 +2∙4
4∙5
 → 
15+8
20
 → 
23
20
 𝑜𝑢 
 
 
 
 
 Multiplicação (Produto) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na 
forma de uma fração, definimos o produto de dois números 
racionais 
𝑎
𝑏
 e 
𝑐
𝑑
, da mesma forma que o produto de frações, 
através de: 
𝑎
𝑏
×
𝑐
𝑑
=
𝑎 ∙ 𝑐
𝑏 ∙ 𝑑
 
 
 Divisão (Quociente) de Números Racionais 
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação 
de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: 
 𝑝 ÷ 𝑞 = 𝑝 × 𝑞−1. 
𝑎
𝑏
÷
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
×
𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
×
𝑑
𝑐
 
Obs: Tanto na multiplicação quanto na divisão, devemos 
obedecer às regras de sinais: 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples 
em fração basta utilizarmos o dígito 9 no denominador para 
cada quantos dígitos tiver o período da dízima. 
 
 O conjunto ℚ e suas propriedades 
 
 Propriedades da potenciação 
P1. Potências de expoente zero: 𝒂𝟎 = 𝟏 ⇔ 𝒂 ≠ 𝟎 
Qualquer potência de expoente zero é igual a 1. 
𝐸𝑥: 
(+2)5
(+2)5
= (+2)5−5 = (+2)0 = 1. 
Consequentemente: (+2)0 = 1; (−4)0 = 1; (−982)0 = 1. 
P2. Potências de expoente 1: 𝒂𝟏 = 𝒂 
Qualquer potência de expoente 1 é igual a base. 
𝐸𝑥: (+2)1 = +2; (−4)1 = −4; (−982)1 = −982. 
P3. Produto de potências de mesma base: 𝒂𝒎. 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏 
Para multiplicar potências de mesma base, mantemos a base 
e somamos os expoentes. 
Exemplos: (+2)3 ∙ (+2)2 = (+2)3+2 = (+2)5 
P4. Quociente de potências de mesma base: 
𝒂𝒎
𝒂𝒏
= 𝒂𝒎−𝒏 
Para dividir potências de mesma base em que o expoente do 
dividendo é maior que o expoente do divisor, mantemos a 
base e subtraímos os expoentes. 
 𝐸𝑥: 
(+2)5
(+2)3
= (+2)5−3 = (+2)2 
P5. Potência de potência: (𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎 ∙ 𝒏 
Para calcular uma potência de potência, conservamos a base 
da primeira potência e multiplicamos os expoentes. 
 𝐸𝑥: [(−4)2]3 = (−4)2 ∙ 3 = (−4)6 
P6. Potência de um produto: (𝒂 ∙ 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏 ∙ 𝒃𝒏 
Para calcular a potência de um produto, sendo n o expoente, 
elevamos cada fator ao expoente n. 
 𝐸𝑥: [(−4) ∙ (+2)]3 = (−4)3 ∙ (+2)3 
 P7. Potência de um quociente: (
𝒂
𝒃
)
𝒏
=
𝒂𝒏
𝒃𝒏
 
 Para calcular a potência de um quociente, sendo n o 
expoente, elevamos o dividendo e o divisor ao expoente n. 
 𝐸𝑥: [
(−𝟐)
(+𝟑)
]
𝟐
=
(−𝟐)𝟐
(+𝟑)𝟐
 
P8. Potência de expoente negativo: 𝒂−𝒏 =
𝟏
𝒂𝒏
 (𝒂 ≠ 𝟎) 
Um número diferente de zero, elevado a um expoente 
negativo, é igual ao seu inverso com expoente positivo. 
 𝐸𝑥: (+2)−2 = [
1
(+2)
]
2
=
1
(+2)2
; (
2
3
)
−3
= (
3
2
)
3
=
33
23
 
De modo geral, temos: (
𝒂
𝒃
)
−𝒏
= (
𝒃
𝒂
)
𝒏
 (𝒂 ≠ 𝟎) 
P9. Potência de expoente fracionário: 𝒂
𝒎
𝒏 = √𝒂𝒎
𝒏
 
Quando uma potência estiver elevada a um expoente 
fracionário, devemos transformar a potência em um radical, 
onde o índice é o denominador do expoente e o radicando é a 
base elevada ao numerador do expoente. 
 𝐸𝑥: (8)
1
3 = √81
3
= √8
3
 ; (3)
2
5 = √32
5
= √9
5
 
Observação: Não confundir −32 com (−3)2, porque −32 
significa −(3)2 e portanto: −32 = −(3)2 = −9, enquanto 
que: (−3)2 = (−3) ∙ (−3) = +9. Logo: −𝟑𝟐 ≠ (−𝟑)𝟐. 
 Propriedades da radiciação