Cap1_Met_Mat_Apl_Engenharia_v_2020_1

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Caṕıtulo 1
Números complexos
1.1 Introdução
Contrariamente ao bom senso, não foram as equações do segundo grau que motiva-
ram o aparecimento dos números complexos, mas as equações do terceiro grau.
Podemos dividir o aparecimento e a discussão dos Números Complexos em três fa-
ses no decorrer da história:
• A resolução das equações cúbicas por meio de radicais na Europa renascentista,
em particular nos trabalhos de Tartaglia (1500-1557), Cardano (1501-1576) e
Bombelli (1526-1572). A busca de uma solução para esta equação abriu espaço
para o surgimento de novos números que ainda não eram considerados leǵıtimos.
• O desenvolvimento da Matemática durante os séculos XVII e XVIII, quando estes
números foram designados como imaginários e os matemáticos passaram a operar
com eles sem se preocupar com o seu estatuto próprio.
• Os trabalhos de matemáticos como Wallis, Wessel, Buée e Argand que, na busca
de uma representação geométrica das quantidades imaginárias, lançaram as bases
para que pudesse ser fundado um novo cálculo sobre estes objetos.
Em 1545, Cardano ao tentar resolver a equação cúbica x3 = 4 + 15x, a qual ele
sabia ter raiz x = 4, constatou que a regra criada por dal Ferro-Tartaglia produzia a
seguinte expressão:
x =
3
√
2 +
√
−121 + 3
√
2−
√
−121 .
Deparando-se com o termo
√
−121, ele não conseguia encontrar uma maneira de
encontrar x = 4 .
Foram necessários mais de 25 anos para que Bombelli, engenheiro hidráulico, nas-
cido em Bologna, Itália, em 1530, tivesse uma ideia, em 1572, para resolver o impasse,
operando com as quantidades na forma a + b
√
−1 sob as mesmas regras dos números
2 Números complexos
reais e a propriedade (
√
−1)2 = −1.
Depois de Bombelli, outros personagens importantes deram grandes contribuições
ao desenvolvimento da teoria dos números complexos, dentre os quais o matemático
francês Abraham de Moivre, amigo de Isaac Newton, e também os irmãos Jacques e
Jean Bernoulli. Mas quem fez o trabalho mais importante e decisivo sobre o assunto
foi Euler.
Leonhard Euler nasceu em Basileia, Súıça, no ano de 1707, quando o Cálculo Di-
ferencial e Integral, inventado por Newton e Leibniz, estava em expansão. Foi um dos
matemáticos que mais produziu e publicou em todos os tempos, além de ter sido muito
boa pessoa. Seu nome ficou ligado para sempre ao número irracional e, conhecido
como número de Euler, cujo valor é aproximadamente 2, 71828. Muitas das notações
que utilizamos hoje foram introduzidas por ele. Dentre as representações propostas por
Euler, destacamos o i substituindo
√
−1. Euler passou a estudar números da forma
z = a + bi onde a e b são números reais e i2 = −1. Esses números são chamados de
números complexos.
O chamado número imaginário, termo que se consagrou juntamente com a expressão
número complexo, deve-se a uma passagem do Discurso do Método, de Descartes, onde
ele escreveu a seguinte frase: “Nem sempre as ráızes verdadeiras (positivas) ou falsas
(negativas) de uma equação são reais. Às vezes, elas são imaginárias ”.
A total formulação dos números complexos foi feita em 1833 pelo irlandês W. R.
Hamilton.
1.2 Definição
Há diferentes formas de definir um número complexo. Neste texto, a opção é definir
da forma mais simples e objetiva.
Definição 1.1. Um número complexo z é um número escrito na forma a + bi, sendo
a e b números reais e i =
√
−1 a unidade imaginária.
O número real a é chamado de parte real de z, denotada por Re(z), e o número
real b é chamado de parte imaginária de z, denotada por Im(z).
Escrevemos, assim, z = a+ bi = Re(z) + Im(z)i.
Exemplo 1.1. z = 1− 2 i. ⇒ Re(z) = 1 , Im(z) = −2.
Exemplo 1.2. z =
√
3 i. ⇒ Re(z) = 0 , Im(z) =
√
3.
Exemplo 1.3. z =
1
2
− `n5 i. ⇒ Re(z) = 1
2
, Im(z) = −`n5.
Introdução 3
1.3 O corpo dos complexos
Dados dois números complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, definimos as seguintes
operações de adição e multiplicação:
(i) Adição: z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i.
(ii) Multiplicação: z1z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1)i.
Para quaisquer z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i e z3 = a3 + b3i pertencentes a C,
temos as seguintes propriedades:
(i) Comutatividade: z1 + z2 = z2 + z1.
(ii) Associatividade: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) e (z1z2)z3 = z1(z2z3).
(iii) Distributividade: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3.
E, também, para qualquer z = a+ bi pertencente a C, temos as seguintes proprie-
dades:
(iv) Elemento neutro aditivo: z + 0 = z.
(v) Identidade multiplicativa: z ∗ 1 = z.
(vi) Elemento simétrico aditivo: z + (−z) = 0.
(vii) Inverso multiplicativo: z
1
z
= 1.
Com essas operações e essas propriedades, o conjunto dos números complexos cons-
titui um corpo.
O número complexo z = x+0i é identificado com o número real x e, dessa maneira,
o corpo R é visto com um subconjunto de C.
A subtração e a divisão entre dois números complexos é definida por:
(i) Subtração: z1 − z2 = z1 + (−z2) = (a1 − a2) + (b1 − b2)i.
(ii) Divisão:
z1
z2
= z3 ⇔ z1 = z2z3 , z2 6= 0.
4 Números complexos
Exemplo 1.4. Escreva, na forma a+ bi, cada um dos números complexos (lembre-se
que i2 = −1):
(a)
(
1
2
+ 5i
)(
2− 3
5
i
)
.
Solução:(
1
2
+ 5i
)(
2− 3
5
i
)
=
1
2
· 2− 1
2
· 3
5
i+ 5i · 2− 5i · 3
5
i
= 1− 3
10
i+ 10i− 3i2 = 1 + 97
10
i+ 3 = 4 +
97
10
i .
(b) (3− 5i)4 .
Solução:
(3− 5i)4 = [(3− 5i)2]2 = [32 − 2 · 3 · 5i+ (5i)2]2 = (9− 30i− 25)2
= (−16− 30i)2 = (16 + 30i)2 = 256 + 2 · 16 · 30i+ (30i)2
= (256 + 960i− 900) = −644 + 960i .
1.3.1 O corpo dos complexos não é ordenado
O conjunto dos números reais, (R,≤), é um conjunto ordenado, bem como é um
corpo (R,+, .,≤) ordenado. Já o conjunto dos números complexos, C, pode ser orde-
nado, mas o corpo complexo (C,+, .) não pode ser ordenado.
Antes de tratar da não ordenação do corpo dos complexos, iremos discutir a or-
denação de um conjunto.
Um conjunto A é ordenado se está definida entre seus elementos uma relação de
ordem, ou seja, uma relação binária x < y, com as propriedades dadas a seguir:
Dados os elementos x, y e z pertencentes ao conjunto A, temos:
• Propriedade de Tricotomia: Pode-se ter somente uma das três consequências
x < y, x > y ou x = y;
• Propriedade de Transitividade: se x < y e y < z então x < z.
Nesse caso, podemos pensar na ordenação do conjunto dos complexos considerando,
por exemplo, o que chamamos de ordem do dicionário. Sejam z = a+ bi e w = c+ di,
tem-se z > w quando a > c, valendo a rećıproca. E, quando a = c, apela-se para a
parte imaginária, b > d, sendo a rećıproca também válida.
Introdução 5
Porém, essa ordenação no corpo dos Complexos não irá fazer sentido.
Consideremos, por exemplo, z = 1 + 2i e w = 2 + i. Nesse caso, teŕıamos w > z.
Porém, como C é um corpo, temos que:
z < w ⇐⇒ (1 + 2i) < (2 + i)
⇐⇒ (1 + 2i) · (1− 2i) < (2 + i) · (1− 2i) , {[Obs:(1− 2i) > 0.]}
⇐⇒ 5 + 0i < 3− 3i . Falso!
Observe que multiplicamos ambos os lados da inequação por um número complexo
positivo (1− 2i) segundo a regra adotada.
Uma outra forma de verificar é a seguinte: i é positivo segundo a regra, mas o
produto de dois números positivos é positivo. Logo, i.i = −1 deveria ser positivo.
Mesmo se considerarmos i negativo, teremos o produto de dois números negativos
resultando em um número também negativo.
Ou ainda, de forma mais rigorosa, i.i = i2 > 0. Logo, −1 > 0 . Falso!
6 Números complexos
1.4 Representação geométrica
O número complexo z = a+ bi pode ser identificado com o ponto de coordenadas a
e b ou com o vetor de componentes a e b.
Usamos o R2 para representar o par (a, b) de números reais e, quando usamos o
plano para representar geometricamente um número complexo, chamamos esse plano
de plano complexo ou plano-z ou ainda plano Argand-Gauss e os eixos serão dados por
Re(z) e Im(z), ao invés de x e y.
Exemplo 1.5. Represente, no plano complexo, cada um dos númeroscomplexos dados
a seguir:
(a) z = 1 + i.
(b) z = 5i.
Introdução 7
(c) z1 + z2, sendo z1 = 1 + i e z2 = 3− i.
1.5 Conjugado complexo
O conjugado do número complexo z = a+ bi é definido por z = a− bi.
Geometricamente, z é a reflexão de z em relação ao eixo real.
8 Números complexos
1.5.1 Propriedades:
*As provas das propriedades estão no Apêndice.
Sejam z = a+ bi, z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, temos:
(i) z1 + z2 = z1 + z2.
(ii) z1 − z2 = z1 − z2.
(iii) z1z2 = z1 z2.
(iv)
(
z1
z2
)
=
z1
z2
.
(v) z + z = 2x = 2Re(z).
(vi) z − z = 2yi = 2Im(z)i.
(vii) z é um número real se, e só se, z = z.
1.6 Valor absoluto
O valor absoluto ou módulo do número complexo z = a+ bi é dado por
| z |=| a+ bi |=
√
a2 + b2.
Geometricamente, é o comprimento do vetor que representa z ou a distância do
ponto que representa z até a origem.
Assim, | z1 − z2 | é a distância entre os pontos que representam z1 e z2:
| z1 − z2 |=
√
(a1 − a2)2 + (b1 − b2)2 .
Introdução 9
1.6.1 Propriedades:
*As provas das propriedades estão no Apêndice.
Sejam z, z1 e z2 números complexos. Temos,
(i) | z |2= [Re(z)]2 + [Im(z)]2.
(ii) zz =| z |2.
(iii) | z |=| z |.
(iv) | z1z2 |=| z1 || z2 |.
(v)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = | z1 || z2 | .
(vi) | z1 + z2 |≤| z1 | + | z2 |.
(vii) | z1 − z2 |≥|| z1 | − | z2 ||≥| z1 | − | z2 |.
OBS.:
z1
z2
=
z1z2
z2z2
=
z1z2
| z2 |2
.
Exemplo 1.6. Calcule | z | se z = 3− 4i.
Solução:
| 3− 4i |=
√
32 + (−4)2 =
√
25 = 5 .
Exemplo 1.7. Escreva, na forma a+ bi, o número complexo
(
2− i
3 + 2i
)
.
Solução: (
2− i
3 + 2i
)
=
(2− i)(3− 2i)
(3 + 2i)(3− 2i)
=
(6− 4i− 3i+ 2i2)
9− 4i2
=
4− 7i
9 + 4
=
4
13
− 7
13
i .
10 Números complexos
1.7 Forma polar de um número complexo
Sejam r e θ as coordenadas polares do ponto que representa o número complexo
z = a+ bi. Temos:
Assim, a = rcosθ e b = rsenθ.
Podemos escrever, z = a+ bi = rcosθ + rsenθ i =| z | (cosθ + isenθ).
θ é chamado de argumento de z, representado por arg z, e só é definido para z 6= 0.
OBS.:
O argumento de z não é único. Se a igualdade z = r(cosθ + isenθ) é verdadeira
para um valor de θ, também será para θ + 2kπ , k ∈ Z.
Muitas vezes, usamos o argumento principal de um número complexo, denotado
por Arg Z, tal que −π < Arg z ≤ π. Mais adiante no curso, quando forem estudadas
as funções exponenciais e logaŕıtmicas complexas, será explicado o motivo de usar esse
intervalo.
Introdução 11
Exemplo 1.8. Determine o módulo e os (posśıveis) argumentos dos seguintes números
complexos:
(a) z = 2 + 2i.
Solução:
Temos que | z |=
√
22 + 22 = 2
√
2.
Para o argumento, observamos o gráfico a seguir:
Temos que tg(θ) =
2
2
= 1⇒ θ = π
4
+ 2kπ , k ∈ Z .
Todos os arcos côngruos a
π
4
são argumentos de z e o argumento principal é
π
4
.
(b) z = −3i.
Solução:
Temos que | z |=
√
02 + (−3)2 =
√
9 = 3 .
Nesse caso, θ = −π
2
+ 2kπ , k ∈ Z .
O argumento principal é −π
2
.
(c) z = 4.
12 Números complexos
Solução:
Temos que | z |=
√
42 + 02 = 4 .
Nesse caso, θ = 0 + 2kπ , k ∈ Z .
O argumento principal é 0 .
(d) z = i.
Solução:
Temos que | z |=
√
02 + 12 = 1 .
Nesse caso, θ =
π
2
+ 2kπ , k ∈ Z .
O argumento principal é
π
2
.
Exemplo 1.9. Determine o argumento principal, Arg Z, do número dos seguintes
números complexos:
(a) z = 1− i.
Solução:
Introdução 13
Temos que tg
(
−π
4
)
= −1
1
= −1.
(b) z = −2.
Solução:
Observamos que o argumento principal é π, pois o intervalo do argumento principal
é −π < ArgZ ≤ π .
Fórmula de Euler
As chamadas funções exponenciais complexas só serão estudadas mais adiante nesse
texto, porém uma relação muito importante deve ser comentada desde já, conhecida
como a Fórmula de Euler:
eiθ = cos(θ) + isen(θ) .
Com isso, por exemplo, teremos eiπ = cos(π) + isen(π) = −1 conhecida com
identidade de Euler e muito usada em áreas de aplicações dos números complexos.
1.8 Produtos, potências e quocientes de números
complexos, na forma polar
1.8.1 Produtos
Sejam z1 = r1(cosθ1 + isenθ1) e z2 = r2(cosθ2 + isenθ2). Temos,
14 Números complexos
z1z2 = r1r2(cosθ1 + isenθ1)(cosθ2 + isenθ2)
= r1r2[(cosθ1cosθ2 − senθ1senθ2) + i(cosθ1senθ2 + senθ1cosθ2)]
= r2r2[cos(θ1 + θ2) + isen(θ1 + θ2)].
Ou, podemos escrever, z1z2 = r1r2 θ1 + θ2.
Exemplo 1.10. Sejam z1 = 2 + 2i e z2 = 1 +
√
3i. Calcule z1z2.
Solução:
Para z1 = 2 + 2i, temos que | z1 |=
√
22 + 22 =
√
8 = 2
√
2 . E o argumento principal,
Argz1 = θ =
π
4
.
Escrevemos, z1 = 2 + 2i = 2
√
2 π/4.
Para z2 = 1 +
√
3i, temos que | z2 |=
√
12 + (
√
3)2 = 2 . E, tg(θ) =
√
3
1
⇒ θ = π
3
.
Portanto, 1 +
√
3i = 2 π/3 .
Assim,
z1z2 = (2 + 2i)(1 +
√
3i)
= (2
√
2 π/4)(2 π/3)
= 4
√
2 7π/12
= 4
√
2[cos(7π/12) + isen(7π/12)].
Mas cos(7π/12) = cos(π/4 + π/3) =
√
2
2
1
2
−
√
2
2
√
3
2
=
√
2−
√
6
4
.
E, sen(7π/12) = sen(π/4 + π/3) =
√
2
2
1
2
+
√
3
2
√
2
2
=
√
2 +
√
6
4
.
Logo,
z1z2 = 4
√
2
((√
2−
√
6
4
)
+ i
(√
2 +
√
6
4
))
ou
z1z2 =
(
2− 2
√
3
)
+ i
(
2 + 2
√
3
)
.
Exemplo 1.11. Escreva na forma polar o produto (1− i)(2i)
(
1
2
+
√
3
2
i
)
.
Introdução 15
Solução:
Para z1, temos | z1 |=
√
12 + (−1)2 =
√
2,
tg(θ) =
1
−1
= −1⇒ θ = −π
4
+ 2kπ , k ∈ Z . Arz1 = −
π
4
.
Obtemos, z1 = (1− i) =
√
2 −π/4 .
Para z2, temos | z2 |= 2,
Arz2 =
π
2
.
Obtemos, z2 = 2i = 2 π/2 .
Para z3, temos | z3 |=
√√√√(1
2
)2
+
(√
3
2
)2
= 1,
tg(θ) =
√
3/2
1/2
=
√
3⇒ θ = π
3
+ 2kπ , k ∈ Z . Arz3 =
π
3
.
Obtemos, z3 =
(
1
2
+
√
3
2
i
)
= 1 π/3 .
Assim,
(1− i)(2i)
(
1
2
+
√
3
2
i
)
=
√
2 −π/4 · 2 π/2 · 1 π/3
= 2
√
2 7π/12 .
OBS.:
Notações:
z1z2 = 4
√
2 7π/12 . (forma polar)
z1z2 = 4
√
2[cos(7π/12) + isen(7π/12)] . (forma trigonométrica)
z1z2 =
(
2− 2
√
3
)
+
(
2 + 2
√
3
)
i . (forma retangular ou cartesiana)
1.8.2 Potências
Temos, z1z2 . . . zn = r1r2 . . . rn[cos(θ1 + θ2 + . . .+ θn) + isen(θ1 + θ2 + . . .+ θn)].
Se z = r(cosθ + isenθ) , n ∈ Z∗+ ⇒ zn = rn[cos(nθ) + isen(nθ)].
16 Números complexos
A fórmula acima é chamada de fórmula de De Moivre.
E, (cosθ + isenθ)n = cos(nθ) + isen(nθ).
Também, (cosθ + isenθ)−n =
1
cosnθ + isennθ
= cos(nθ)− isen(nθ).
Exemplo 1.12. Seja z = 1 + i. Escreva, na forma a+ bi, o número complexo z100.
Solução:
Temos, z = 1 + i⇒ z =
√
2 π/4.
z100 = (
√
2)100 100π/4 .
Portanto, z = 250 25π = 250(cos25π + isen25π) = 250(−1) = −250 .
Exemplo 1.13. Escreva na forma a+ bi o número complexo (2i)50 · (1 +
√
3i)20.
Solução:
z1 = (2i)
50 = (2 π/2)50 = 250 50π/2 = 250 25π = −250 .
z2 = (1 +
√
3i)20 = (2 π/3)20 = 220 20π/3 = 220[cos(20π/3) + isen(20π/3)] .
Mas,
20π
3
= 6π +
2π
3
= 3 · 2π + 2π
3
.
Assim, cos
(
20π
3
)
= cos
(
2π
3
)
= −1
2
sen
(
20π
3
)
= sen
(
2π
3
)
=
√
3
2
.
Obtemos, z2 = (1 +
√
3i)20 = 220 ·
(
−1
2
+
√
3
2
i
)
Logo, (2i)50 · (1 +
√
3i)20 = (−250 · 220)
(
−1
2
+
√
3
2
i
)
= 269 − 269
√
3i .
1.8.3 Quocientes
Temos que
z1
z2
=
r1
r2
[cos(θ1 − θ2) + isen(θ1 − θ2)] , r2 6= 0.
Exemplo 1.14. Sejam z1 = 1 +
√
3i e z2 = 1 −
√
3i . Escreva, na forma a + bi, o
número complexo
z1
z2
.
Solução:
Introdução 17
z1 = 1 +
√
3 = 2 π/3 e z2 = 1−
√
3 = 2 −π/3.
Portanto,
z1
z2
=
2 π/3
2 −π/3
= 2/2 π/3− (−π/3) = 1 2π/3 .
Assim,
z1
z2
= cos
(
2π
3
)
+ isen
(
2π
3
)
= −1
2
+
√
3
2
i .
Exemplo 1.15. Escreva na forma a+ bi o número complexo
(1 +
√
3i)20
(1− i)30
.
Solução:
z1 = (1 +
√
3i)20 = (2 π/3)20 = 220 20π/3 = 220 2π/3 .
z2 = (1− i)30 = (
√
2 −π/4)30 = 215 −15π/2 = 215 −3π/2 = 215 π/2 .
Assim,
(1 + i
√
3)20
(1− i)30
=
220 2π/3
215 π/2
= 25 2π/3− π/2 = 25 π/6 .
Portanto,
(1 + i
√
3)20
(1− i)30
= 32
(
cos
π
6
+ isen
π
6
)
= 32
(√
3
2
+
1
2
i
)
= 16
√
3 + 16i .
1.9 Extração de ráızes de números complexos
Queremos resolver a equação zn = z0, sendo z0 = r0 θ0 e z = r θ.
Temos, zn = z0 ⇔ rn[cos(nθ) + isen(nθ)] = r0(cosθ0 + isenθ0) .
Assim, rn = r0 e nθ = θ0 + 2kπ , k ∈ R⇒ θ =
θ0 +2kπ
n
.
Logo, z = n
√
r0
(
cos
θ0 + 2kπ
n
+ isen
θ0 + 2kπ
n
)
, k ∈ Z.
Observamos, porém, que os valores k = 1, 2, . . . , n− 1 são suficientes para que as n
ráızes sejam obtidas.
Exemplo 1.16. Calcule, em C, as ráızes das equações:
(a) z3 = 1.
Solução:
Temos, z0 = 1⇒ |z0| = r0 = 1 e θ0 = 0 .
z3 = 1⇒ z = 3
√
1 = 1 ,
18 Números complexos
3θ = 0 + 2kπ ⇒ θ = 2kπ
3
.
Assim, z =
(
cos
2kπ
3
+ isen
2kπ
3
)
, k = 0, 1, 2 .
Para k = 0, temos z1 = cos0 + isen0 = 1 .
Para k = 1, temos z2 = cos
2π
3
+ isen
2π
3
= −1
2
+
√
3
2
i .
Para k = 2, temos z3 = cos
4π
3
+ isen
4π
3
= −1
2
−
√
3
2
i .
(b) z2 = 1−
√
3i.
Solução:
Temos, z0 = 1− i
√
3⇒ |z0| = r0 = 2 e θ0 = −
π
3
.
z2 = 2⇒ z =
√
2 ,
2θ = −π
3
+ 2kπ ⇒ θ = −π
6
+ kπ
Assim, z =
√
2
[
cos
(
−π
6
+ kπ
)
+ isen
(
−π
6
+ kπ
)]
, k = 0, 1 .
Para k = 0, temos z1 =
√
2
(
cos− π
6
+ isen− π
6
)
=
√
2
(√
3
2
− 1
2
i
)
.
Para k = 1, temos z2 =
√
2
[
cos
(
−π
6
+ 2π
)
+ isen
(
−π
6
+ 2π
)]
z2 =
√
2
(
cos
5π
6
+ isen
5π
6
)
=
√
2
(
−
√
3
2
+
1
2
i
)
.
Devemos observar que as ráızes não são conjugadas, pois os coeficientes da equação
não são números reais!
(c)z4 = 1.
Solução:
Temos, z0 = 1⇒ |z0| = r0 = 1 e θ0 = 0 .
z4 = 1⇒ z = 4
√
1 = 1 ,
4θ = 2kπ ⇒ θ = kπ
2
Introdução 19
Assim, z = cos
kπ
2
+ isen
kπ
2
, k = 0, 1, 2, 3 .
Para k = 0, temos z1 = 1 .
Para k = 1, temos z2 = cos
π
2
+ isen
π
2
= i .
Para k = 2, temos z3 = cosπ + isenπ = −1 .
Para k = 3, temos z4 = cos
3π
2
+ isen
3π
2
= −i .
(d) z3 = 1− i.
Solução:
Temos, z0 = 1− i⇒ |z0| = r0 =
√
2 e θ0 = −
π
4
.
z3 =
√
2⇒ z = 3
√√
2 = 6
√
2 ,
3θ = −π
4
+ 2kπ ⇒ θ = −π/4 + 2kπ
3
Logo, z = 6
√
2
(
cos
−π/4 + 2kπ
3
+ isen
−π/4 + 2kπ
3
)
, k = 0, 1, 2 .
Para k = 0, temos z1 =
6
√
2
(
cos− π
12
+ isen− π
12
)
= 6
√
2
(
cos
π
12
− isen π
12
)
.
Para k = 1, temos z2 =
6
√
2
(
cos
7π
12
+ isen
7π
12
)
.
Para k = 2, temos z3 =
6
√
2
(
cos
15π
12
+ isen
15π
12
)
= 6
√
2
(
cos
5π
4
+ isen
5π
4
)
.
Usando as identidades trigonemátricas cos2x =
1 + cos2x
2
e sen2x =
1− cos2x
2
,
obtemos as ráızes:
z1 =
6
√
2
(√
2 +
√
3
2
− i
√
2−
√
3
2
)
,
z2 =
6
√
2
((√
2
4
−
√
6
4
)
+ i
(√
2
4
+
√
6
4
))
,
z3 =
6
√
2
(
−
√
2
2
+ i
√
2
2
)
.
20 Números complexos
1.10 Regiões no plano complexo
Esse tópico trataremos através de exemplos.
Exemplo 1.17. Represente, graficamente, no plano complexo, os seguintes conjuntos:
(a) {z ∈ C|Re(z) < −3}.
Solução:
Quando escrevemos Re(z) < −3 é o equivalente, no R2, escrever x < −3 .
No plano complexo, temos:
(b)
{
z ∈ C| | z − 2i |>| 1−
√
3i |
}
.
Solução:
Primeiro, calculamos | 1−
√
3i |=
√
12 + (
√
3)2 = 2 .
Queremos descrever o conjunto dos pontos no plano complexo tais que | z−2i |> 2 .
Há duas formas de tratar esse caso:
Na primeira, podemos pensar geometricamente. A região é o conjunto dos pontos
que distam mais que 2 unidades do ponto que representa o número complexo 2i .
Temos, no plano complexo, os pontos exteriores a um ćırculo centrado no ponto que
representa o complexo 2i e raio 2 .
Outra maneira de resolver, é substituindo z por x+ yi e resolvendo a inequação:
Introdução 21
| z − 2i | > 2
| (x+ yi)− 2i | > 2
| x+ (y − 2)i | > 2√
x2 + (y − 2)2 > 2
.
Assim, x2 + (y − 2)2 > 4 .
22 Números complexos
(c) {z ∈ C|0 < argz < π/3}.
Solução:
(d) {z ∈ C|Re(z2) ≥ 1}.
Solução:
Temos que z2 = (x+ yi)2 = (x2 + 2xyi+ y2i2) = (x2 − y2) + 2xyi .
Portanto, Re(z2) = x2 − y2 .
x2 − y2 ≥ 1 é o conjunto dos pontos à direita e à esquerda dos ramos da hipérbole
x2 − y2 = 1 .
Introdução 23
1.11 Exerćıcios
1. Simplifique:
(a) Re
[
(1 + i)2
3 + 2i
]
(b) Im
(
2− i
4− 3i
) (c)
∣∣∣∣ (1 + i)6i3(1 + 2i)2
∣∣∣∣
(d) (1− i)4
(e)
2 eπi
2− i
(f)
√
2 e2−2πi
e1+πi
2. Encontre todos os valores de z ∈ C tais que:
(a) z3 − i = 0
(b) z2 = 3 + i
√
3
(c) z2 =
1
1 + i
(d) z6 + 64 = 0
(e) z3 = (1− i)8
(f) z−4/3 = −1
3. Seja Arg(z) , −π < Arg(z) ≤ π, o valor principal do argumento de z. Determine
Arg(z):
(a) z = −1− i (b) z = 1− i
√
3 (c) z = −4i (d) z = −3
4. Represente, no plano complexo, as regiões:
(a) Re[(1 + i)z] ≥ 0
(b) Im(z − i) ≥ 0
(c) | z − 1− i |≤| 1 + i |
(d) 0 < Arg(z) ≤ π
2
24 Números complexos
1.12 Soluções dos Exerćıcios
1. (a) (1 + i)2 = (1 + 2i− 1) = 2i
⇒ 2i
3 + 2i
=
2i(3− 2i)
(3 + 2i)(3− 2i)
=
4
13
+i
6
13
⇒ Re
[
(1 + i)2
3 + 2i
]
=
4
13
.
(b)
2− i
4− 3i
=
(2− i)(4 + 3i)
(4− 3i)(4 + 3i)
=
11 + 2i
25
⇒ Im
(
2− i
4− 3i
)
=
2
25
.
(c)
∣∣∣∣ (1 + i)6i3(1 + 2i)2
∣∣∣∣ = |(1 + i)6||i3| |(1 + 2i)2|
=
∣∣(√2)6(cos6π/4 + isen6π/4)∣∣
|−i| |(1 + 4i− 4)|
=
|8(−i)|
|i| |−3 + 4i|
=
8
5
.
(d) (1− i)4
= (
√
2)4
[
cos
(
4
(−π)
4
)
+ isen
(
4
π
4
)]
= −4.
(e)
2eπi
2− i
=
2.(−1)
2− i
=
−2(2 + i)
(2− i)(2 + i)
= −4
5
− 2
5
i.
(f)
√
2e2−2πi
e1+πi
=
√
2e2e−2πi
eeπi
=
√
2e2[cos(2π)− isen(2π)]
e[cos(π) + isen(π)]
=
√
2e2
e(−1)
= −
√
2e.
2. (a) z0 = i⇒ r = 1 , θ =
π
2
.
z3 = z0 = i⇒ z = 3
√
1
(
cos
π/2 + 2kπ
3
+ isen
π/2 + 2kπ
3
)
, k = 0, 1, 2.
k = 0⇒ z1 =
√
3
2
+
1
2
i , k = 1⇒ z2 = −
√
3
2
+
1
2
i , k = 2⇒ z3 = −i.
(b) z0 = 3 + i
√
3⇒ r =
√
12 , θ =
π
6
.
z2 = z0 = 3 + i
√
3 ⇒ z = 4
√
12
(
cos
π/6 + 2kπ
2
+ isen
π/6 + 2kπ
2
)
, k =
0, 1.
k = 0⇒ z1 = 4
√
12
(
cos
π
12
+ isen
π
12
)
.
Mas, cos2θ =
1 + cos2θ
2
⇒ cos2θ = 2cos2θ − 1. Analogamente, sen2θ =
2cos2θ + 1.
Portanto, cos
π
12
=
√
2 +
√
3
4
e sen
π
12
=
√
2−
√
3
4
.
z1 =
4
√
12
(√
2 +
√
3
4
+ i
√
2−
√
3
4
)
.
Introdução 25
k = 1⇒ z2 = 4
√
12
(
cos
13π
12
+ isen
13π
12
)
= 4
√
12
[
cos
( π
12
+ π
)
+ isen
( π
12
+ π
)]
⇒
z2 = −z1.
(c) z0 =
1
1 + i
=
1(1− i)
(1 + i)(1− i)
=
1
2
− i
2
⇒ r =
√
1
2
, θ =
π
4
.
z2 = z0 =
1
2
− i
2
⇒ z = 1
4
√
2
(
cos
π/4 + 2kπ
2
+ isen
π/4 + 2kπ
2
)
, k = 0, 1.
k = 0⇒ z1 =
1
4
√
2
(
cos
π
8
+ isen
π
8
)
. Mas, sen2
π
8
=
1− cosπ/4
2
.
Assim, sen
π
8
=
√
2−
√
2
2
e cos
π
8
=
√
2 +
√
2
2
.
z1 =
1
4
√
2
(√
2 +
√
2
4
+ i
√
2−
√
2
4
)
e z2 = −z1.
(d) z0 = −64⇒ r = 64 , θ = π.
z6 = z0 = −64 ⇒ z = 6
√
64
[
cos
(
π + 2kπ
6
)
+ isen
(
π + 2kπ
6
)]
, k =
0, 1, 2, 3, 4, 5.
k = 0⇒ z1 = 2
(√
3
2
+ i
1
2
)
⇒ z1 =
√
3 + i.
k = 1⇒ z2 = 2 (0 + i)⇒ z2 = 2i.
k = 2⇒ z3 = 2
(
−
√
3
2
+ i
1
2
)
⇒ z3 = −
√
3 + i.
k = 3⇒ z4 = 2
(
−
√
3
2
− i1
2
)
⇒ z4 = −
√
3− i.
k = 4⇒ z5 = −2i.
k = 5⇒ z6 =
√
3− i.
(e) z0 = (1− i)8 = (
√
2)8 [cos8(−π/4) + isen8(−π/4)] = 16⇒ r = 16 , θ = 0.
z = 3
√
16
[
cos
(
2kπ
3
)
+ isen
(
2kπ
3
)]
.
k = 0 ⇒ z1 = 2 3
√
2 , k = 1 ⇒ z2 = 2 3
√
2
(
−1
2
+ i
√
3
2
)
, k = 2 ⇒
z3 = 2
3
√
2
(
−1
2
− i
√
3
2
)
.
26 Números complexos
(f) (1
z
)
4
3 = −1⇔ z4 = −1.
z0 = −1⇒ r = 1 , θ = π.
z = 4
√
1
[
cos
(
π + 2kπ
4
)
+ isen
(
π + 2kπ
4
)]
, k = 0, 1, 2, 3.
k = 0⇒ z1 =
√
2
2
+ i
√
2
2
, k = 1⇒ z2 = −
√
2
2
+ i
√
2
2
.
k = 2⇒ z3 = −
√
2
2
− i
√
2
2
, k = 3⇒ z4 =
√
2
2
− i
√
2
2
.
3. (a) Argz = −3π
4
.
(b) Argz = −π
3
.
(c) Argz = −π
2
.
(d) Argz = π.
4. (a) Re[(1 + i)z] ≥ 0⇔ Re[(x− y) + (x+ y)i] ≥ 0⇒ x ≥ y.
(b) Im(z − i) ≥ 0⇔ Im(x+ (y − 1)i) ≥ 0⇒ y ≥ 1.
Introdução 27
(c) |z − 1− i| ≤ |1 + i| ⇔ |(x+ yi)− 1− i| ≤ |1 + i| ⇒ (x− 1)2 + (y − 1)2 ≤ 2.
(d) 0 < arg(z) ≤ π
2
.
28 Números complexos
Apêndice
Provas de Propriedades
Seção 1.5.1
(i) z1 + z2 = z1 + z2
Prova:
z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i
= (a1 + a2)− (b1 + b2)i = (a1 − b1i) + (a2 − b2i)
= z1 + z2 .
(ii) z1 − z2 = z1 − z2
Prova:
z1 − z2 = (a1 + b1i)− (a2 + b2i) = (a1 − a2) + (b1 − b2)i
= (a1 − a2)− (b1 − b2)i = (a1 − b1i)− (a2 − b2i)
= z1 − z2 .
(iii) z1z2 = z1 z2
Prova:
z1z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + a1b2i+ a2b1i− b1b2
= (a1a2 − b1b2)− (a1b2 + a2b1)i = (a1 − b1i)(a2 − b2i)
= z1 z2 .
(iv)
(
z1
z2
)
=
z1
z2
29
30 Números complexos
Prova:(
z1
z2
)
=
(
a1+ b1i
a2 + b2i
)
=
(
(a1 + b1i)(a2 − b2i)
(a2 + b2i)(a2 − b2i)
)
=
(
(a1 + b1i)(a2 − b2i)
a22 − b22i2
)
=
(
(a1a2 + b1b2) + (a2b1 − a1b2)i
a22 + b
2
2
)
=
(a1a2 + b1b2)− (a2b1 − a1b2)i
a22 + b
2
2
.
Por outro lado,
z1
z2
=
(a1 − b1i)
(a2 − b2i)
=
(a1 − b1i)(a2 + b2i)
(a2 − b2i)(a2 + b2i)
=
(a1a2 + b1b2)− (a2b1 − a1b2)i
a22 + b
2
2
.
(v) z + z = 2x = 2Re(z)
Prova:
z + z = [Re(z) + iIm(z)] + [Re(z)− iIm(z)] = 2Re(z) .
(vi) z − z = 2yi = 2Im(z)i
Prova:
z + z = [Re(z) + iIm(z)]− [Re(z)− iIm(z)] = 2Im(z)i .
Seção 1.6.1
(i) | z |2= [Re(z)]2 + [Im(z)]2
Prova:
| z |2= (
√
a2 + b2)2 = a2 + b2 = [Re(z)]2 + [Im(z)]2.
Introdução 31
(ii) zz =| z |2
Prova:
zz = (a+ bi)(a− bi) = a2 − b2i2 = a2 + b2 =| z |2.
(iii) | z |=| z |
Prova:
| z | =| (a− bi) |
=| (a+ (−b)i) |=
√
a2 + (−b)2
=
√
a2 + b2
=| z | .
(iv) | z1z2 |=| z1 || z2 |.
Prova:
| z1z2 | =| (a1 + b1i)(a2 + b2i) |
=| (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1)i |
=
√
(a1a2 − b1b2)2 + (a1b2 + a2b1)2
=
√
a21a
2
2 + a
2
1b
2
2 + a
2
2b
2
1 + b
2
1b
2
2 .
E,
| z1 || z2 | =
√
(a21 + b
2
1)
√
(a22 + b
2
2)
=
√
a21a
2
2 + a
2
1b
2
2 + a
2
2b
2
1 + b
2
1b
2
2.
(v)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = | z1 || z2 |
Prova:∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a+ bic+ di
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣(a+ bi) · (c− di)(c+ di) · (c− di)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ac− adi+ bci− bdi2c2 − d2i2
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣(ac+ bd) + (bc− ad)ic2 + d2
∣∣∣∣ =
√
(ac+ bd)2 + (bc− ad)2√
(c2 + d2)2
=
√
a2c2 + 2acbd+ b2d2 + b2c2 − 2bcad+ a2d2√
(c2 + d2)2
32 Números complexos
=
√
a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2)√
(c2 + d2)2
=
√
(a2 + b2) · (c2 + d2)√
(c2 + d2)2
=
√
a2 + b2√
c2 + d2
=
|z1|
|z2|
.
(vi) | z1 + z2 |≤| z1 | + | z2 |
Prova:
(|z1|+ |z2|)2 =
(√
a2 + b2 +
√
c2 + d2
)2
= a2 + b2 + 2 ·
√
a2 + b2 ·
√
c2 + d2 + c2 + d2
= a2 + b2 + 2 ·
√
(a2 + b2)(c2 + d2) + c2 + d2
= c2 + d2 + a2 + b2 + 2 ·
√
a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2
= c2 + d2 + a2 + b2 + 2 ·
√
(ac+ bd)2 − 2 · ac · bd+ a2d2 + b2c2
= c2 + d2 + a2 + b2 + 2 ·
√
(ac+ bd)2 + (ad− bc)2
≥ c2 + d2 + a2 + b2 + 2 ·
√
(ac+ bd)2
= c2 + d2 + a2 + b2 + 2 · |ac+ bd|
≥ c2 + d2 + a2 + b2 + 2 · (ac+ bd)
= (a2 + 2 · ac+ c2) + (b2 + 2 · bd+ d2)
= (a+ c)2 + (b+ d)2 = |z1 + z2|2
Ou seja, (|z1|+ |z2|)2 ≥ |z1 + z2|2 =⇒ |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|.
(vii) | z1 − z2 |≥|| z1 | − | z2 ||≥| z1 | − | z2 |
Primeiro, vamos provar a desigualdade ||z1| − |z2|| ≥ |z1| − |z2|:
Percebemos que quando |z1| ≥ |z2|, podemos dizer que ||z1| − |z2|| = |z1| − |z2|.
Porém, quando |z1| < |z2|, podemos dizer que ||z1| − |z2|| > |z1| − |z2|, pois o
termo da direita será negativo e o da esquerda positivo.
Provando |z1 − z2| ≥ ||z1| − |z2|| ≥ |z1| − |z2|:
(|z1| − |z2|)2 =
(√
a2 + b2 −
√
c2 + d2
)2
= a2 + b2 − 2 ·
√
a2 + b2 ·
√
c2 + d2 + c2 + d2
= a2 + b2 − 2 ·
√
(a2 + b2)(c2 + d2) + c2 + d2
= c2 + d2 + a2 + b2 − 2 ·
√
a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2
Introdução 33
= c2 + d2 + a2 + b2 − 2 ·
√
(ac+ bd)2 − 2 · ac · bd+ a2d2 + b2c2
= c2 + d2 + a2 + b2 − 2 ·
√
(ac+ bd)2 + (ad− bc)2
≤ c2 + d2 + a2 + b2 − 2 ·
√
(ac+ bd)2
= c2 + d2 + a2 + b2 − 2 · |ac+ bd|
≤ c2 + d2 + a2 + b2 − 2 · (ac+ bd)
= (a2 − 2 · ac+ c2) + (b2 − 2 · bd+ d2)
= (a− c)2 + (b− d)2 = |z1 − z2|2
Ou seja, (|z1| − |z2|)2 ≤ |z1 − z2|2 =⇒ |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|.
	Números complexos
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	Definição
	O corpo dos complexos
	O corpo dos complexos não é ordenado
	Representação geométrica
	Conjugado complexo
	Propriedades:
	Valor absoluto
	Propriedades:
	Forma polar de um número complexo
	Produtos, potências e quocientes de números complexos, na forma polar
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