Pesquisa Operacional: Métodos Probabilísticos (Cadeia de Markov)

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QUESTÃO 1: Helbert é um fazendeiro bem sucedido que conquistou sua fortuna através da agricultura. O que poucos sabem é que o segredo do sucesso deste fazendeiro é a aplicação de seus conhecimentos sobre Cadeias de Markov para saber em que solo deve semear suas mudas. 
Ocorre que todo ano, no início da estação de plantio de mudas, Helbert usa um teste químico para verificar a condição do solo para plantio, cujos resultados possíveis são 1 – Bom, 2 – Razoável e 3 - Ruim. Depois de alguns anos de experiência ele percebeu que a condição do solo no ano anterior causava um impacto sobre a produtividade no ano corrente e que a situação podia ser modelada como uma cadeia de Markov dada pelas seguintes probabilidades de transição:
A) Construa o diagrama de espaço de estados a partir da matriz de probabilidade de transição acima.
0,5
0,5
0,2
2
1
0,0
0,5
0,3
0,0
0,0
3
1,0
B) Se este ano o solo foi avaliado como Bom qual a probabilidade que daqui a dois anos ele seja avaliado como Bom novamente. 
Dica: Utilize a equação de Chapman-Kolmogorov 
 Ou simplesmente 
	Transição de Duas Etapas
	1
	2
	3
	1
	0,04
	0,35
	0,61
	2
	0
	0,25
	0,75
	3
	0
	0
	1
A Probabilidade de um Solo Bom estar em condições boas após 2 anos é de 0,04%.
QUESTÃO 2: Um estudo efetuado em uma grande universidade brasileira avaliou que o nível econômico de uma mulher é classificado em três categorias: abastada (A), classe média (M) e pobre (P). Considere que dos filhos de uma mulher abastada, 90% são abastados e 10% são de classe média. No caso de uma mulher de classe média, 15% são abastados, 80% são de classe média e 5% são pobres. E, finalmente, no caso de uma mulher pobre, 40% são de classe média e 60% são pobres. Supondo que cada mulher tenha um filho, pode-se formar uma cadeia de Markov, observando uma família por meio de gerações sucessivas.
Considerando os resultados acima responda aos itens abaixo:
a) Monte a matriz de probabilidade de transição
	Transição de Uma Etapa 
	Abastada
	Classe Média
	Pobre
	Abastada
	0,9
	0,1
	0
	Clas. Média
	0,15
	0,8
	0,05
	Pobre
	0
	0,4
	0,6
b) Se uma mulher é pobre qual a probabilidade de que seu neto venha a ser abastado.
	Transição de Duas Etapas
	Abastada
	Classe Média
	Pobre
	Abastada
	0,825
	0,17
	0,005
	Clas. Média
	0,255
	0,675
	0,07
	Pobre
	0,06
	0,56
	0,38
A Probabilidade do Neto de uma Mulher Pobre ser abastado é de 0,06%.